PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA.
PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA
Oleh:
Robin Sanjaya Halawa
NIM 4123230025
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2017
i
PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE
DUA
Robin Sanjaya Halawa
NIM: 4123230025
ABSTRAK
Skripsi ini membahas perilaku solusi persamaan diferensial orde dua. Metode
penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah penelitian analisis dan studi
pustaka. Analisis dilakukan pada persamaan diferensial orde dua homogen linier
dengan koefisien y ′ cukup kecil (kasus dua akar kompleks). Hasil analisis menunjukkan bahwa saat suatu kondisi awal dengan posisi awal yang sama dan sembarang
kecepatan awal diberikan, maka terdapat waktu-waktu tertentu dimana semua solusi
bernilai sama. Begitu juga saat diberikan sembarang posisi awal dan kecepatan awal
yang sama.
Kata kunci:Diferensial, Kompleks, Linier, Homogen.
iii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
kasih dan karunia-Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul ”Perilaku Solusi Persamaan Diferensial Orde Dua”.
Dalam skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak, oleh
karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd selaku Rektor Universitas Negeri Medan yang
telah memberikan ijin dan kesempatan untuk menyelesaikan studi Strata 1 di
Universitas Negeri Medan.
2. Dr. Asrin Lubis, M.Pd selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Dr. Edy Surya, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika dan Drs. Yasifati Hia,
M.Si selaku Sekretaris Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan.
4. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Prodi Jurusan Matematika.
5. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
6. Dr. Faiz Ahyaningsih, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
7. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si, Dr. Mulyono, M.Si, Arnah Ritonga, S.Si, M.Si,
Faridawaty Marpaung, S.Si, M.Si, Chairunissa, S.Si, M.Si selaku dosen penguji
yang telah membimbing serta memberikan masukan dalam pembuatan skripsi.
8. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang tidak bosan-bosannya
membimbing saya, mengingat saya dan terus mengajari saya agar menjadi
manusia yang lebih baik lagi dan mencirikan sikap serta sifat layaknya manusia
yang berintelektual dan berintegritas.
9. Teristimewa untuk Orang tuaku tercinta, yaitu Ayahanda (Alm) Aliran Zaman
Halawa dan Juliana br Sitepu, yang telah memberikan support dan semangat
serta doa yang mendukung dalam menulis skripsi ini.
10. Abang saya Christian, Kakak saya Elvi, Emilia, dan adik saya Darma, Adrian.
v
11. Sahabat-sahabatku di bangku kuliah (Tanyel Sinaga, Veemona Sibarani,Silva
Humaira,Nur Intan, Penghuni kos Sukaria, Nina, Penny, Intan,Ester,Hawa,Ira
dan teman-teman seperjuangan lainnya di kelas Matematika Nondik 2012), Petra
SG (Kak Eko, Imanuel, Firdaus, Bruce), LGM (kak Thio, bang Jepri, Kak Friska,
kak Pera, kak lia,kak Selfi, kak May, Yoan, bang Oka,bang Tona, Yunus, dll)
terimakasih atas dukungan dan bantuannya.
Penulis berharap semoga Tuhan membalas kebaikan dari semua pihak yang
telah banyak membantu dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Namun mengingat penulis masih dalam tahap belajar, penulis menyadari bahwa
isi yang disajikan dalam skripsi ini masih memiliki kekurangan dan ketidaksempurnaan.
Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
diharapkan. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Akhir kata,
penulis mengucapkan terima kasih.
Medan,
April 2017
Penulis,
Robin Sanjaya Halawa
NIM 4123230025
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
Bab 1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
3
3
4
Bab 2
Kajian Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Bentuk Umum Persamaan Diferensial Orde Dua . . . . . . . . .
2.2
Solusi Fundamental Persamaan Homogen Linear . . . . . . . .
2.3
Kebebasan Linear Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Akar Kompleks Persamaan Karakteristik . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Gerak Harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Penggunaan Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen . . .
2.6.1 Pegas Bergetar/Berosilasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Pegas Berosilasi teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Metode Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
9
11
11
12
12
13
14
Bab 3
Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Jenis Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Prosedur Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
17
17
Bab 4
Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Perilaku Solusi Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
Homogen Dengan Koefisien Konstan . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Solusi Akar Kompleks Persamaan Karakteristik . . . . . . . . .
4.3
Titik Istemewa Solusi Akar Kompleks dengan Sembarang
Posisi Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Titik Istemewa Solusi Akar Kompleks dengan Sembarang
Kecepatan Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Bab 5
18
19
20
24
Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
vii
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
INDEKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
.1
Lampiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Gambar 4.3
Grafik solusi persamaan y ′′ +0, 1y ′ +3y = 0, y(0) = 2
dan y ′ (0) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Grafik solusi persamaan y ′′ + 0, 3y ′ + 9y = 0, y0′ = 2
dan y01 = −4, y02 = 0, y03 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Grafik solusi persamaan y ′′ + 0, 3y ′ + 9y = 0, y0 = 2
′
′
′
dan y01
= −4, y02
= 2, y03
= 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ix
Bab 1
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada perkembangan ilmu sekarang, persamaan diferensial sebagai model
banyak dijumpai dalam bidang-bidang sains, teknologi (teknik), biologi, ekonomi,
ilmu sosial,demografi dan sebagainya. Persamaan diferensial digunakan sebagai
alat untuk mengetahui kelakuan ataupun sifat-sifat masalah yang ditinjau. Karena
itu penting sekali mempelajari persamaan diferensial. Nababan (1987)
Terdapat dua alasan mengapa persamaan-persamaan linear yang berorde dua
menjadi sangat penting dalam mempelajari persamaan diferensial. Pertama, bahwa
persamaan-persamaan linear orde dua mempunyai struktur teoritik yang kaya
dengan metoda-metoda sistematis dalam menentukan solusi. Dengan Metoda yang
sistematis ini, sangat mudah dimengerti untuk level matematika yang sederhana.
Alasan kedua adalah tidak mungkin mempelajari lebih jauh mengenai mekanika
cairan, aliran panas, gerakan gelombang ataupun penomena elektromagnetik tanpa
menemukan solusi persamaan linear orde dua. Waluya (2006)
Secara umum persamaan diferensial orde dua mendiskripsikan lebih luas
variasi dari suatu penomena. Hal yang sangat berbeda dengan persamaan diferensial
orde satu adalah keunikan solusi dari persamaan diferensial orde dua, disyaratkan
dengan dua kondisi awal yang harus dipenuhi yakni y(t0 ) = y0 dan y ′ (t0 ) = y ′ 0 .
Pada persamaan diferensial orde satu, solusi total terdiri dari dua komponen yaitu
solusi umum dan solusi khusus. Hal yang sama juga terjadi pada persamaan
diferensial orde dua yang dengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti
halnya pada persamaan orde pertama.
1
2
Bentuk umum persamaan diferensial orde dua homogen dengan koefisien
konstan adalah:
a
d2 y
dy
+ b + cy = 0
2
dt
dt
(1.1)
Dimana solusinya dapat ditinjau dari 3 kasus, yaitu berdasarkan nilai D = b2 − 4ac
dari persamaan karakteristiknya:
• dua akar riil berbeda, D > 0
• dua akar sama, D = 0
• dua akar kompleks konjugate, D < 0
Hal yang menarik dalam penelitian ini adalah mengkaji perilaku solusi untuk
dua akar kompleks konjugate. Dimana ketika penulis mengamati perilaku solusi
untuk kasus dua akar komplek konjugate, penulis melihat solusi tersebut merupakan
gerak harmonik. Sedangkan pada kasus dua akar riil berbeda dan kasus dua akar
sama, solusinya bukan merupakan gerak harmonik. Pada kasus dua akar riil berbeda
dan kasus dua akar sama, solusinya merupakan gerakan yg teredam kuat dan berupa
fungsi eksponensial.
Pada sistem pegas, massa berlangsung terus-menerus tanpa berkesudahan.
Kenyataan sesungguhnya adalah gerak osilasi kita amati melemah, dan pada
akhirnya berhenti. Gerak demikian dikatakan teredam. Jika hambatan atau gesekan
cukup kecil maka benda tersebut akan mengalami redaman. Perlu diketahui bahwa
redaman yang dialami oleh benda dengan cukup kecil sehingga untuk kasus seperti
ini, osilasi benda menyerupai gerak harmonik. Gerak harmonik adalah gerak
periodik yang terjadi secara teratur. gerak periodik yaitu setiap gerak yang terjadi
secara berulang dalam selang waktu yang sama. Gerak harmonik mempunyai
sifat-sifat yang unik, misalnya panjang gelombangnya yang selalu sama dan tinggi
gelombangnya yang ditentukan oleh nilai redaman, kemudian bisa juga pada
perbedaan pemberian kondisi awalnya. Dimana kondisi awal terdiri dari dua, yakni
: posisi awal dan kecepatan awal. Pada saat suatu sistem persamaan diferensial
orde dua diberikan posisi awal yang sama dengan kecepatan awal yang berbeda,
maka solusi akan mempunyai titik-titik istemewa, begitu juga sebaliknya, pada saat
diberikan posisi awal yang berbeda dengan kecepatan awal yang sama. Ishaq (2007)
Dari latar belakang tersebut penulis ingin mengkaji pengaruh kecepatan awal
dan posisi awal pada gerak harmonik solusi persamaan diferensial orde dua dan
pada penelitian ini juga dikaji perilaku solusi, terutama melihat titik-titik istemewa
3
dari solusi tersebut. Penelitian akan dimulai dengan persamaan diferensial orde
dua homogen dengan koefisien konstan. Dengan demikian, penulis mengangkat hal
tersebut pada sebuah karya ilmiah dalam bentuk Skripsi dengan judul ”PERILAKU
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,
permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana perilaku solusi untuk kasus dua akar kompleks konjugate pada
Persamaan Diferensial Orde dua Homogen, ketika diberikan posisi awal
yang sama dengan kecepatan awal yang berbeda?
2. Bagaimana perilaku solusi untuk kasus dua akar kompleks konjugate pada
Persamaan Diferensial Orde dua Homogen,ketika diberikan kecepatan
awal yang sama dengan posisi awal yang berbeda?
1.3 Batasan Masalah
Penelitian yang dilakukan dibatasi pada masalah persamaan diferensial orde
dua homogen pada kasus dua akar kompleks dengan koefisien konstan dan tanpa
gaya luar.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Mengkaji perilaku solusi untuk kasus dua akar kompleks konjugate pada
Persamaan Diferensial Orde dua Homogen, dengan posisi awal yang sama
dan kecepatan awal berbeda.
2. Mengkaji perilaku solusi untuk kasus dua akar kompleks konjugate pada
Persamaan Diferensial Orde dua Homogen, dengan kecepatan awal yang
sama dan posisi awal yang berbeda.
4
1.5 Manfaat Penelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat
sebagai berikut :
1. Bagi peneliti : merupakan media belajar dalam meneliti Perilaku Solusi
Persamaan Diferensial Orde dua dan memberikan sumbangan pemikiran
berdasarkan disiplin ilmu yang diperoleh dibangku kuliah.
2. Bagi pembaca : memberikan informasi tentang Perilaku Solusi Persamaan
Diferensial Orde dua.
Bab 5
Penutup
5.1 Kesimpulan
Penelitian yang telah dilakukan, pada suatu sistem persamaan diferensial orde
dua
ay ′′ + by ′ + cy = 0,
dimana a, b, c konstan dan a 6= 0. khususnya untuk nilai koefisien y ′ yang cukup
kecil. Dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Jika diberi kecepatan awal y0′ yang sama dalam setiap keadaan (y0
berbeda), maka solusi akan melalui titik (t, y(t)), dimana
t=
1
β kπ
. arctan +
, k = 0, 1, 2, ...
β
α
β
dan
y = eαt p
y0′
α2 + β 2
2. Jika diberi posisi awal y0 sama dalam setiap keadaan (y0′ berbeda), maka
solusi akan melalui titik (t, y(t)), dimana
t=
kπ
, k = 0, 1, 2, ..
β
dan
kπ
y(t) = y0 eα( β )
5.2 Saran
Analisis yang dilakukan pada penelitian ini dapat dilanjutkan pada persamaan
diferensial orde dua non homogen dengan koefisien konstan, serta persamaan
diferensial orde dua dengan koefisien tidak konstan. Demikian beberapa masalah
terbuka pada skripsi ini yang masih bisa dikembangkan untuk penelitian selanjutnya.
27
DAFTAR PUSTAKA
Cahyono, E., (2013): Pemodelan Matematika, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Ishaq, M., (2007): FISIKA DASAR, 2, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Munzir, M. S., (2009): PERSAMAAN DIFERENSIAL, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Nababan, S., (1987): Persamaan difernsial Biasa, 1, Universitas Terbuka, Jakarta.
Nugroho, D. B., (2011):
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DAN
APLIKASINYA, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Sangadji (2008): Metode Numerik, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Tveito, A., W. R., (1998): Introduction to Partial Differntial Equation: A Computational Approach, Vol. 45, Springer-Verlag, New York.
Waluya, S., (2006): PERSAMAAN DIFERENSIAL, 1, GRAHA ILMU, Yogyakarta.
William, E. Boyce., R. C. D., (2008): Elementary Differential Equations
and Boundary Value Problems, 9, Department of Mathematical Sciences
Rensselaer Polytechnic Institute, New York.
Yunianto, M., (2012): Simulasi Gerak Harmonik Sederhana dan Osilasi Teredam
pada Cassy-E 524000, Universitas Sebelas Maret, 2(2), 124–125.
28
Oleh:
Robin Sanjaya Halawa
NIM 4123230025
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2017
i
PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE
DUA
Robin Sanjaya Halawa
NIM: 4123230025
ABSTRAK
Skripsi ini membahas perilaku solusi persamaan diferensial orde dua. Metode
penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah penelitian analisis dan studi
pustaka. Analisis dilakukan pada persamaan diferensial orde dua homogen linier
dengan koefisien y ′ cukup kecil (kasus dua akar kompleks). Hasil analisis menunjukkan bahwa saat suatu kondisi awal dengan posisi awal yang sama dan sembarang
kecepatan awal diberikan, maka terdapat waktu-waktu tertentu dimana semua solusi
bernilai sama. Begitu juga saat diberikan sembarang posisi awal dan kecepatan awal
yang sama.
Kata kunci:Diferensial, Kompleks, Linier, Homogen.
iii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
kasih dan karunia-Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul ”Perilaku Solusi Persamaan Diferensial Orde Dua”.
Dalam skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak, oleh
karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd selaku Rektor Universitas Negeri Medan yang
telah memberikan ijin dan kesempatan untuk menyelesaikan studi Strata 1 di
Universitas Negeri Medan.
2. Dr. Asrin Lubis, M.Pd selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Dr. Edy Surya, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika dan Drs. Yasifati Hia,
M.Si selaku Sekretaris Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan.
4. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Prodi Jurusan Matematika.
5. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
6. Dr. Faiz Ahyaningsih, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
7. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si, Dr. Mulyono, M.Si, Arnah Ritonga, S.Si, M.Si,
Faridawaty Marpaung, S.Si, M.Si, Chairunissa, S.Si, M.Si selaku dosen penguji
yang telah membimbing serta memberikan masukan dalam pembuatan skripsi.
8. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang tidak bosan-bosannya
membimbing saya, mengingat saya dan terus mengajari saya agar menjadi
manusia yang lebih baik lagi dan mencirikan sikap serta sifat layaknya manusia
yang berintelektual dan berintegritas.
9. Teristimewa untuk Orang tuaku tercinta, yaitu Ayahanda (Alm) Aliran Zaman
Halawa dan Juliana br Sitepu, yang telah memberikan support dan semangat
serta doa yang mendukung dalam menulis skripsi ini.
10. Abang saya Christian, Kakak saya Elvi, Emilia, dan adik saya Darma, Adrian.
v
11. Sahabat-sahabatku di bangku kuliah (Tanyel Sinaga, Veemona Sibarani,Silva
Humaira,Nur Intan, Penghuni kos Sukaria, Nina, Penny, Intan,Ester,Hawa,Ira
dan teman-teman seperjuangan lainnya di kelas Matematika Nondik 2012), Petra
SG (Kak Eko, Imanuel, Firdaus, Bruce), LGM (kak Thio, bang Jepri, Kak Friska,
kak Pera, kak lia,kak Selfi, kak May, Yoan, bang Oka,bang Tona, Yunus, dll)
terimakasih atas dukungan dan bantuannya.
Penulis berharap semoga Tuhan membalas kebaikan dari semua pihak yang
telah banyak membantu dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Namun mengingat penulis masih dalam tahap belajar, penulis menyadari bahwa
isi yang disajikan dalam skripsi ini masih memiliki kekurangan dan ketidaksempurnaan.
Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
diharapkan. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Akhir kata,
penulis mengucapkan terima kasih.
Medan,
April 2017
Penulis,
Robin Sanjaya Halawa
NIM 4123230025
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
Bab 1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
3
3
4
Bab 2
Kajian Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Bentuk Umum Persamaan Diferensial Orde Dua . . . . . . . . .
2.2
Solusi Fundamental Persamaan Homogen Linear . . . . . . . .
2.3
Kebebasan Linear Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Akar Kompleks Persamaan Karakteristik . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Gerak Harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Penggunaan Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen . . .
2.6.1 Pegas Bergetar/Berosilasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Pegas Berosilasi teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Metode Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
9
11
11
12
12
13
14
Bab 3
Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Jenis Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Prosedur Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
17
17
Bab 4
Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Perilaku Solusi Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
Homogen Dengan Koefisien Konstan . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Solusi Akar Kompleks Persamaan Karakteristik . . . . . . . . .
4.3
Titik Istemewa Solusi Akar Kompleks dengan Sembarang
Posisi Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Titik Istemewa Solusi Akar Kompleks dengan Sembarang
Kecepatan Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Bab 5
18
19
20
24
Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
vii
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
INDEKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
.1
Lampiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Gambar 4.3
Grafik solusi persamaan y ′′ +0, 1y ′ +3y = 0, y(0) = 2
dan y ′ (0) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Grafik solusi persamaan y ′′ + 0, 3y ′ + 9y = 0, y0′ = 2
dan y01 = −4, y02 = 0, y03 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Grafik solusi persamaan y ′′ + 0, 3y ′ + 9y = 0, y0 = 2
′
′
′
dan y01
= −4, y02
= 2, y03
= 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ix
Bab 1
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada perkembangan ilmu sekarang, persamaan diferensial sebagai model
banyak dijumpai dalam bidang-bidang sains, teknologi (teknik), biologi, ekonomi,
ilmu sosial,demografi dan sebagainya. Persamaan diferensial digunakan sebagai
alat untuk mengetahui kelakuan ataupun sifat-sifat masalah yang ditinjau. Karena
itu penting sekali mempelajari persamaan diferensial. Nababan (1987)
Terdapat dua alasan mengapa persamaan-persamaan linear yang berorde dua
menjadi sangat penting dalam mempelajari persamaan diferensial. Pertama, bahwa
persamaan-persamaan linear orde dua mempunyai struktur teoritik yang kaya
dengan metoda-metoda sistematis dalam menentukan solusi. Dengan Metoda yang
sistematis ini, sangat mudah dimengerti untuk level matematika yang sederhana.
Alasan kedua adalah tidak mungkin mempelajari lebih jauh mengenai mekanika
cairan, aliran panas, gerakan gelombang ataupun penomena elektromagnetik tanpa
menemukan solusi persamaan linear orde dua. Waluya (2006)
Secara umum persamaan diferensial orde dua mendiskripsikan lebih luas
variasi dari suatu penomena. Hal yang sangat berbeda dengan persamaan diferensial
orde satu adalah keunikan solusi dari persamaan diferensial orde dua, disyaratkan
dengan dua kondisi awal yang harus dipenuhi yakni y(t0 ) = y0 dan y ′ (t0 ) = y ′ 0 .
Pada persamaan diferensial orde satu, solusi total terdiri dari dua komponen yaitu
solusi umum dan solusi khusus. Hal yang sama juga terjadi pada persamaan
diferensial orde dua yang dengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti
halnya pada persamaan orde pertama.
1
2
Bentuk umum persamaan diferensial orde dua homogen dengan koefisien
konstan adalah:
a
d2 y
dy
+ b + cy = 0
2
dt
dt
(1.1)
Dimana solusinya dapat ditinjau dari 3 kasus, yaitu berdasarkan nilai D = b2 − 4ac
dari persamaan karakteristiknya:
• dua akar riil berbeda, D > 0
• dua akar sama, D = 0
• dua akar kompleks konjugate, D < 0
Hal yang menarik dalam penelitian ini adalah mengkaji perilaku solusi untuk
dua akar kompleks konjugate. Dimana ketika penulis mengamati perilaku solusi
untuk kasus dua akar komplek konjugate, penulis melihat solusi tersebut merupakan
gerak harmonik. Sedangkan pada kasus dua akar riil berbeda dan kasus dua akar
sama, solusinya bukan merupakan gerak harmonik. Pada kasus dua akar riil berbeda
dan kasus dua akar sama, solusinya merupakan gerakan yg teredam kuat dan berupa
fungsi eksponensial.
Pada sistem pegas, massa berlangsung terus-menerus tanpa berkesudahan.
Kenyataan sesungguhnya adalah gerak osilasi kita amati melemah, dan pada
akhirnya berhenti. Gerak demikian dikatakan teredam. Jika hambatan atau gesekan
cukup kecil maka benda tersebut akan mengalami redaman. Perlu diketahui bahwa
redaman yang dialami oleh benda dengan cukup kecil sehingga untuk kasus seperti
ini, osilasi benda menyerupai gerak harmonik. Gerak harmonik adalah gerak
periodik yang terjadi secara teratur. gerak periodik yaitu setiap gerak yang terjadi
secara berulang dalam selang waktu yang sama. Gerak harmonik mempunyai
sifat-sifat yang unik, misalnya panjang gelombangnya yang selalu sama dan tinggi
gelombangnya yang ditentukan oleh nilai redaman, kemudian bisa juga pada
perbedaan pemberian kondisi awalnya. Dimana kondisi awal terdiri dari dua, yakni
: posisi awal dan kecepatan awal. Pada saat suatu sistem persamaan diferensial
orde dua diberikan posisi awal yang sama dengan kecepatan awal yang berbeda,
maka solusi akan mempunyai titik-titik istemewa, begitu juga sebaliknya, pada saat
diberikan posisi awal yang berbeda dengan kecepatan awal yang sama. Ishaq (2007)
Dari latar belakang tersebut penulis ingin mengkaji pengaruh kecepatan awal
dan posisi awal pada gerak harmonik solusi persamaan diferensial orde dua dan
pada penelitian ini juga dikaji perilaku solusi, terutama melihat titik-titik istemewa
3
dari solusi tersebut. Penelitian akan dimulai dengan persamaan diferensial orde
dua homogen dengan koefisien konstan. Dengan demikian, penulis mengangkat hal
tersebut pada sebuah karya ilmiah dalam bentuk Skripsi dengan judul ”PERILAKU
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,
permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana perilaku solusi untuk kasus dua akar kompleks konjugate pada
Persamaan Diferensial Orde dua Homogen, ketika diberikan posisi awal
yang sama dengan kecepatan awal yang berbeda?
2. Bagaimana perilaku solusi untuk kasus dua akar kompleks konjugate pada
Persamaan Diferensial Orde dua Homogen,ketika diberikan kecepatan
awal yang sama dengan posisi awal yang berbeda?
1.3 Batasan Masalah
Penelitian yang dilakukan dibatasi pada masalah persamaan diferensial orde
dua homogen pada kasus dua akar kompleks dengan koefisien konstan dan tanpa
gaya luar.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Mengkaji perilaku solusi untuk kasus dua akar kompleks konjugate pada
Persamaan Diferensial Orde dua Homogen, dengan posisi awal yang sama
dan kecepatan awal berbeda.
2. Mengkaji perilaku solusi untuk kasus dua akar kompleks konjugate pada
Persamaan Diferensial Orde dua Homogen, dengan kecepatan awal yang
sama dan posisi awal yang berbeda.
4
1.5 Manfaat Penelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat
sebagai berikut :
1. Bagi peneliti : merupakan media belajar dalam meneliti Perilaku Solusi
Persamaan Diferensial Orde dua dan memberikan sumbangan pemikiran
berdasarkan disiplin ilmu yang diperoleh dibangku kuliah.
2. Bagi pembaca : memberikan informasi tentang Perilaku Solusi Persamaan
Diferensial Orde dua.
Bab 5
Penutup
5.1 Kesimpulan
Penelitian yang telah dilakukan, pada suatu sistem persamaan diferensial orde
dua
ay ′′ + by ′ + cy = 0,
dimana a, b, c konstan dan a 6= 0. khususnya untuk nilai koefisien y ′ yang cukup
kecil. Dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Jika diberi kecepatan awal y0′ yang sama dalam setiap keadaan (y0
berbeda), maka solusi akan melalui titik (t, y(t)), dimana
t=
1
β kπ
. arctan +
, k = 0, 1, 2, ...
β
α
β
dan
y = eαt p
y0′
α2 + β 2
2. Jika diberi posisi awal y0 sama dalam setiap keadaan (y0′ berbeda), maka
solusi akan melalui titik (t, y(t)), dimana
t=
kπ
, k = 0, 1, 2, ..
β
dan
kπ
y(t) = y0 eα( β )
5.2 Saran
Analisis yang dilakukan pada penelitian ini dapat dilanjutkan pada persamaan
diferensial orde dua non homogen dengan koefisien konstan, serta persamaan
diferensial orde dua dengan koefisien tidak konstan. Demikian beberapa masalah
terbuka pada skripsi ini yang masih bisa dikembangkan untuk penelitian selanjutnya.
27
DAFTAR PUSTAKA
Cahyono, E., (2013): Pemodelan Matematika, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Ishaq, M., (2007): FISIKA DASAR, 2, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Munzir, M. S., (2009): PERSAMAAN DIFERENSIAL, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Nababan, S., (1987): Persamaan difernsial Biasa, 1, Universitas Terbuka, Jakarta.
Nugroho, D. B., (2011):
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DAN
APLIKASINYA, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Sangadji (2008): Metode Numerik, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Tveito, A., W. R., (1998): Introduction to Partial Differntial Equation: A Computational Approach, Vol. 45, Springer-Verlag, New York.
Waluya, S., (2006): PERSAMAAN DIFERENSIAL, 1, GRAHA ILMU, Yogyakarta.
William, E. Boyce., R. C. D., (2008): Elementary Differential Equations
and Boundary Value Problems, 9, Department of Mathematical Sciences
Rensselaer Polytechnic Institute, New York.
Yunianto, M., (2012): Simulasi Gerak Harmonik Sederhana dan Osilasi Teredam
pada Cassy-E 524000, Universitas Sebelas Maret, 2(2), 124–125.
28