BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

i

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( ₁₂

  θ ) TERHADAP

BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

  

Skripsi

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

  

Oleh:

THOMAS JOKO KRISMANTO

NIM: 003214016

  

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ii

  INTER PLANET ANGLE ( ₁₂ θ ) EFFECT ON THE

  

TRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

Scription

Presented as Partial Fulfillment of the requirements

to obtain the Sarjana Sains Degree

In Physics

  

By:

THOMAS JOKO KRISMANTO

NIM: 003214016

  

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  K eh i d u p a n i n i a d a l a h b el a ja r d a r i w a k tu k e w a k tu sa m p a i k i ta ta k d a p a t m er a sa k a n p a n a s d i n gi n n y a d u n i a .

  

Sem u a b egi tu m u d a h b a gi k em a u a n d a n tek a t

y a n g k u a t.

  Ku per sembahkan skr ipsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku Isbandini,Her iyanto dan Sr i Astuti v

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( ) TERHADAP

θ ₁₂ BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

ABSTRAK

  Telah dilakukan studi terhadap pengaruh sudut ( ) untuk sistem dua planet θ ₁₂

yang mengorbit pusat yang sama secara numerik mengunakan paket program Maple

Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa besar sudut antar planet (

  10.

  ) θ ₁₂ menentukan bentuk lintasan planet.

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

INTER PLANET ANGLE ( ) EFFECT TO THE

θ ₁₂ TRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

ABSTRACT

  Inter planet angle ( ) effect to the trajectory form of two planets system θ ₁₂

which orbiting the same centre have been performed numerically using Maple 10

program packet. The obtained results show that the inter planet angle ( ) value

  θ ₁₂ determine the planet trajectory form.

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Syukur kepada Tuhan Yesus yang selalu membimbing penulis dalam setiap

detik kehidupan penulis selama penulisan skripsi ini. Suatu kehormatan yang besar

bagi saya dapat memperoleh kesempatan memahami agungnya alam semesta karya

tangan Tuhan yang sempurna selama mempelajari ilmu fisika.

  Banyak pihak yang telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmi-

ah ini yang membuat saya selalu berdiri dan maju terus. Oleh karena itu dengan

rendah hati saya mengucapkan banyak terimakasih kepada:

  1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing yang dengan sangat sabar dan sepenuh hati serta meluangkan waktu di saat libur untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. Saya terkesan dengan jawaban “mudah” setiap saya menanyakan hasil pekerjaan saya dan suatu hal yang tidak saya pahami, itu membuat tak ada yang sulit bagi saya yang ada hanyalah “mau dan maju terus”.

  2. Bapak, Ibu, Kakak dan seluruh keluarga besar yang telah memberi dukungan dan semangat penuh, dukungan keluarga tak ternilai bagi saya.

3. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ir.G.Heliarko,S.J S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beserta staf.

  4. Dosen program studi fisika Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si, Bapak

ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

Dr. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Drs.BA.

  Tjipto Sujitno, M.T, APU, Bapak Drs. Albertus Setyoko, M.Si (almarhum), Bapak Prasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si.

  

5. Laboran program studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang

banyak membantu saya dalam penggunaan laboratorium selama studi.

  6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.

  7. Pegawai Perpustakaan unit kampus III Paingan.

  

8. Semua teman di Program Studi Fisika angkatan”00 yang sama-sama

berjuang serta teman beda angkatan yang sama-sama berjuang dalam menyelesaikan skripsi yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu. Terimakasih atas segala dukungan dan smangatnya.

  

9. Teman-teman MUDIKA yang selalu memberi semangat dan menghibur.

  

10. Kepada “virtus compusoft” yang telah meminjami saya satu unit

komputer dan hp selama penulisan skripsi serta memberi dukungan baik materi maupun smangat yang tak pernah padam. MAJU dan SUKSES

untuk “virtus compusoft” dan menjadi besar untuk menolong sesama.

  

11.Terima kasih kepada keluarga bapak ibu Wahyudi yang tak henti-henti

menanyakan skripsi selama satu tahun ini, itu sangat memberi dukungan dan semangat bagi saya.

  

12. Buat temen-temen yang ada disekelilingku yang tak bisa saya sebutkan

satu persatu, terimakasih atas doa dan dukungannya.God Bless. x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Saya menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun diterima dengan senang hati.

  Yoyakarta, Januari 2008 Penulis Th. Joko Krismanto xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak

memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka,

sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, Januari 2008 Penulis Th. Joko Krismanto

xii

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL ………………………………………………………. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………..….. iii

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………..….. iv HALAMAN MOTTO PERSEMBAHAN …………………………….......... v HALAMAN LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vi

ABSTRAK ………………………………………………………….………. vii

ABSTRACT ………………………………………………………………… viii

KATA PENGANTAR ………………………………………………............ ix

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………... xii

DAFTAR ISI ……………………………………………………….............. xiii

DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………... xv

BAB I. PENDAHULUAN …………………………………………………. 1

  1.1. Latar Belakang ………………………………….………....…. 1

  1.2. Perumusan Masalah ………………………………………….. 2

  1.3. Batasan Masalah ……………………………………………... 2

  1.4. Tujuan Penelitian …………………………………………….. 3 1.5. Manfaat Penelitian ………… .……………………………......

  3

  1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian ………..………...... 3

  BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………....... 5

  2.1. Hukum Kepler ………………………………………………... 5

  2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral ………………………...... 8

  2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet …….. 13

  2.4. Sistem Gerak Dua Planet ......................................................... 18

  2.5. Polinomial Legendre …………………………………………. 20

  

BAB III. METODE PENELITIAN ………………………………………… 22

xiii

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

3.1. Jenis Penelitian ……………………………………………….. 22

  

3.2. Sarana Penelitihan ……………………………………………. 22

  

3.3. Langkah-Langkah Penelitihan ……………………………….. 22

  

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ………….……………………….... 23

  

4.1. Sistem Dua Planet …………………………………………….. 23

  

4.2. Bentuk Lintasan Planet ……………………………………..... 34

4.3. Pembahasan …………………………………………………..

  41 BAB V. PENUTUP ……………………………………………………........ 44 5.1 Kesimpulan ………………………………………………….....

  44

  5.2 Saran …………………………………………………………... 44

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………... 45

LAMPIRAN Lampiran A ………………………………………………………. 46

  Lampiran B . ……………………………………………………... 55 Lampiran C ………………………………………………………. 56 xiv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet 5Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu t

  6 ∆

  Gambar

  

2.3 Interaksi sistem dua planet

  19 Gambar

  

4.1 Dua planet berinteraksi

  23 Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut

  35 θ = ₁₂ Gambar 4.3 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

  M secara kualitatif untuk sudut

  30

  35 θ = ₁₂ Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

  M secara kualitatif untuk sudut

  60

  36 θ = ₁₂ Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

  M secara kualitatif untuk sudut

  36

  90 θ = ₁₂ Gambar 4.6 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

  M secara kualitatif untuk sudut

  37 120 θ = ₁₂ Gambar 4.7 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

  M secara kualitatif untuk sudut 150

  37 θ ^{12 =}

Gambar 4.8 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

  M secara kualitatif untuk sudut 180

  38 θ ^{12 =}

Gambar 4.9 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

  M secara kualitatif untuk sudut 210

  38 θ = ₁₂ xv xvi

Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

  M secara kualitatif untuk sudut ₁₂ 240 = θ

  39 Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut ₁₂ 270

  = θ

  39 Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut ₁₂ 300

  = θ

  40 Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut ₁₂ 330

  = θ

  40 Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut ₁₂ 360

  = θ

  41 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

  Dalam pembahasan tentang astronomi khususnya hukum gerak planet sangat jarang membahas pengaruh interaksi antar planet terhadap bentuk lintasan planet yang berinteraksi. Pembahasan mengenai gerak planet hanya terbatas pada hukum Kepler dan hukum Newton secara umum, yaitu bahwa pergerakan planet yang satu sangat berpengaruh terhadap planet yang lain dan bentuk lintasannya adalah berbentuk elips (Sears dkk, 1987).

  Hukum-hukum yang dapat menjelaskan posisi dan orbit planet dirumuskan antara tahun 1601 dan 1619 oleh astronom dan ahli matematika Jerman Johanes Kepler(1571-1630). Kepler sebagai asisten Tycho Brahe (1546-1601) memanfaatkan data pengamatan yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe dan mengolahnya secara matematis sehingga menghasilkan perumusan matematis gerak planet.

  Hukum Kepler menyatakan bahwa semua planet mengorbit matahari dan gerak semu planet yang terlihat dari bumi dapat digunakan untuk menentukan secara tepat posisi dari planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah secara periodik dengan bentuk lintasan elips (Suwitra, 2001). Perubahan kedudukan (posisi) planet terhadap matahari menunjukkan bahwa terjadi interaksi antar planet sehingga setiap planet mempunyai posisi terjauh dan terdekat dari matahari. Posisi terjauh dari matahari disebut aphelium , sedangkan posisi terdekat planet dari matahari disebut perihelium.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  2 Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh tentang interaksi dua planet terhadap gerak planet khususnya pengaruh bentuk lintasan planet relatif terhadap matahari sebagai fungsi sudut antar planet. Dengan menggunakan persamaan energi dan sudut yang terbentuk antara dua planet yang mengorbit matahari akan ditentukan bentuk lintasan sistem dua planet.

  1.2. Perumusan Masalah

  Berdasarkan latar belakang tersebut bahwa pengaruh interaksi antar planet yang mengorbit matahari jarang dibahas khususnya terkait dengan pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan planet, maka yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan (orbit) sistem dua planet yang mengorbit titik pusat (matahari).

  1.3. Batasan Masalah

  Masalah yang diteliti dibatasi pada 1. Interaksi dua planet yang bergerak mengorbit suatu titik pusat yang sama.

  2. Energi total sistem dua planet hanya memperhitungkan energi kinetik dan energi potensial gravitasi.

  3. Sistem dua planet yang berinteraksi.

  4. Bentuk lintasan gerak planet sebagai fungsi sudut antar planet.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  3

  1.4. Tujuan Penelitian

  Tujuan penelitian ini adalah untuk

  1. Merumuskan persamaan gerak sistem dua planet yang mengorbit titik pusat massa yang sama.

  2. Menyelesaikan persamaan gerak sistem dua planet sehingga diperoleh bentuk lintasan planet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua planet dengan menggunakan paket program Maple 10.

  1.5. Manfaat Penelitian

  Penelitian ini bermanfaat untuk: Pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang gerak dua planet yang mengorbit titik pusat yang sama.

  1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian

  Sistematika laporan penelitian ini adalah sebagai berikut:

  BAB I. PENDAHULUAN Dalam Bab ini dijelaskan uraian mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan laporan penelitian.

  BAB II. DASAR TEORI Dalam Bab II dijabarkan dasar teori yang terkait dengan hukum gerak planet, yaitu hukum Kepler, hukum Newton, gerak benda dengan gaya sentral,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  4 hukum kekekalan energi dan persamaan gerak planet, sistem dua planet dan polinomial Legendre.

  BAB III. METODE PENELITIAN Pada Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam penelitian ini. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam Bab IV dibahas tentang sistem dua planet yang berinteraksi, bentuk lintasan planet dan pembahasan. BAB V. PENUTUP Bab V menyajikan kesimpulan dan saran.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II DASAR TEORI

2.1. HUKUM KEPLER

  Keteraturan gerak planet dapat dijelaskan oleh mekanika benda langit yang kemudian dikembangkan untuk menjelaskan gerak dan lintasan planet sehingga dapat diketahui bentuk orbit planet. Kepler membandingkan data yang dikumpulkan Tycho Brahe (1546-1601) dengan hasil pengamatannya dan kemudian mengolahnya secara matematis sehingga menghasilkan tiga buah hukum gerak planet yang kemudian dikenal sebagai hukum Kepler (Sears dkk, 1987). Hukum Kepler tersebut adalah:

  1. Planet bergerak dalam bidang datar dengan orbitnya berbentuk elips dan matahari sebagai salah satu titik fokusnya (Gambar 2.1). Ini berarti kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah. Titik terjauh dari matahari disebut aphelium dan titik terdekat dari matahari disebut

  perihelium .

  

D

b

C A B M a

E

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  6

  2. Vektor yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas yang sama untuk waktu yang sama (Gambar 2.2). Dari Gambar 2.2, jika lintasan AB ditempuh dengan waktu yang sama dengan lintasan CD, maka luas

  M M

  A B sama dengan C D.

  ∆ t r r r r ∆

• ∆ A ∆ A ∆ t θ r

  v M r r m

Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆ t .

  

r

  Jika jari-jari lintasan planet adalah dan sudut yang dibentuk selama waktu ∆ t ∆ , maka adalah θ

  1 A r s ∆ = ⋅ ∆

  2

  1

  θ

  = r ⋅ r ⋅ ∆

  2

  1 ² r θ . (2.1)

  = ∆

  2 Jika ∆t → , maka ∆ θ → , sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

  1 ∆ ² A = lim r , ∆ →

  θ

  θ

  2 ∆

  atau

  1 ₂ dA = r d θ . (2.2)

  2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  7

  T

  3. Rasio kuadrat periode revolusi planet ( ) terhadap kubik dari sumbu elips

  r

  ( ) adalah sama untuk seluruh planet : ₂ T ₃ = C . (2.3)

  r

  Nilai tetapan C dapat dijabarkan dari hukum II Newton khususnya tentang gerak melingkar atau suatu benda bergerak dalam medan atau gaya sentral.

  r

  Jika suatu benda bermassa m bergerak melingkar dengan jari-jari , maka

  T

  periode ( ) adalah π

  

2 r

T , (2.4)

  =

v

  dengan adalah kecepatan, dan gaya sentripetal yang bekerja sama dengan v gaya sentrifugal ₂

  v

  . (2.5)

  

F = m

r Mm

  Jika F = G dimasukkan ke persamaan (2.5), maka diperoleh ₂

  r ₂ GM = v , (2.6) r

  G

  dengan adalah tetapan gaya gravitasi universal. Dari persamaan (2.4) dan (2.6) akhirnya diperoleh _{2 2}

  4 T π ₃ = , (2.7)

  GM ₂ r ₁₁ Nm −

  dengan G = 6 , 673 . 10 . ₂

  kg C

  Jadi nilai konstanta (tetapan) pada persamaan (2.3) adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  8

  2

  4 π

  C = . (2.8) GM

2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral

  Penggunaan hukum III Newton berbunyi (Goldstein, 1950): untuk sistem aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda m ₁

  r m

  dan , maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua ( F ) akan _{2 12}

  

r

  menimbulkan reaksi pada benda kedua ( F ) yang besarnya sama dan berlawanan ₂₁

  r

  arah dengan ( F ) . Jadi dapat dituliskan ₁₂ r r .

  

F = − F

_{aksi reaksi}

  Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik antar dua buah benda bermassa m dan m berbanding lurus dengan massa m dan _{1 2 1} m serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak ( r ) antar m dan m . _{2 1 2} Jika benda bermassa m mengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton,

  r

  r gaya yang dialami suatu benda bermassa m dengan percepatan adalah a

  F

  r r

  F = m a (2.9)

  Vektor posisi dan vektor sudut planet ditulis

  r

= ˆ

r r r , (2.10)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  9 r

  ˆ = . (2.11)

  θ θ θ Perubahan dan terhadap waktu di tulis sebagai berikut

  rˆ θˆ

  θ

  d r d

ˆ

ˆ = θ , (2.12) dt dt

  ˆ d θ d θ

  

ˆ

= − r , (2.13)

dt dt

  Kecepatan radial planet

  r

r d r dr d r ˆ

  v = = r r . (2.14) _r dt dt dt

• ˆ

  Dari persamaan (2.12) dan (2.14) diperoleh

  r

  θ

  d r dr d ˆ ˆ θ

• = r r . (2.15)

  dt dt dt

  Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap waktu ( t ), maka diperoleh percepatan planet _{2 2} r _{2 2} ⎡ ⎤ r ⎡ ⎤

  d r d r d θ dr d θ dr d θ d θ

  ⎛ ⎞ ˆ

  a = = − r r ˆ r . (2.16)

• _{r ⎢ ⎥}
_{2 2} ⎜ ⎟ θ ₂ ⎢ ⎥

  

dt dt dt dt dt dt dt dt

  ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  r

  Persamaan gerak planet untuk berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai r ˆ

  f ( r ) r = m a . (2.17) _r

  Jika persamaan (2.16) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17), maka diperoleh _{2 2 2} ⎧

  ⎫ ⎡ ⎤

  ⎡ ⎤

  d r d θ dr d θ dr d θ d θ

  ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ ˆ

  f ( r ) r ˆ = m − r r ˆ r . (2.18)

  θ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥

  ⎨ ^{2 2 ⎬} ⎢ ⎥

  dt dt dt dt dt dt dt

  ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎭ Dari persamaan (2.18) terikat bahwa _{2 2}

  ⎡ ⎤

  d r d

  ⎛ θ ⎞

  = f ( r ) m . − r , (2.19)

  ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ₂

  dt

dt

  ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  10 dan ₂

  ⎡ dr d dr d d ⎤ θ θ θ

• 0 = m ⋅ r . (2.20)
₂ ⎢ ⎥

  dt dt dt dt dt

  ⎣ ⎦ Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan r

  a

  hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial ( ) _r r sedangkan percepatan sudut ( a ) sama dengan nol.

  θ

  r Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut ( l ) yang diberikan oleh

  r

r r

l = r × p , (2.21)

  r

  p r = m v

  dengan adalah momentum linier. Jika persamaan (2.14) dimasukkan ke _r persamaan (2.21), maka diperoleh

  r

r θ

dr d

  ⎡ ⎤

  l = r × m . r r θ dt dt ⎢⎣ ⎥⎦ dr d θ

• ˆ ˆ
• ˆ ˆ ˆ ˆ θ = mr r × r mr r ×
² dt dt _{2 d} θ

  = mr kˆ , (2.22) dt

  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sebab r × r = dan r × θ = k . r

  Jika nilai mutlak l pada persamaan (2.22) dimasukkan ke dalam persamaan (2.19), maka diperoleh _{2 2}

  ⎡ ⎤

  d r l = − . (2.23) f ( r ) m .

₂

_{2 3}

  ⎢ ⎥

  dt m r

  ⎣ ⎦ Kecepatan planet sebagai fungsi dari kecepatan sudut diberikan oleh

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎝ ⎛

  =

  

dt

dr

dt d dt r d ₂ ²

  θ θ

  θ d

  d d du

m

l

dt d

  ⎝ ⎛− = dt d d du m l d d

  − = . (2.27)

  θ θ θ

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝ ⎛− =

  2 ²

²

^{2 2}

  θ d

  u d r m l

  − = . (2.28) Jika persamaan (2.28) dimasukkan ke persamaan (2.23), maka diperoleh

  Jika persamaan (2.27) diturunkan terhadap waktu ( ), maka diperoleh t ⎟ ⎠ ⎞

  11

  

dt

d

d dr dt dr

  maka

  θ θ

  = , (2.24)

  memasukkan persamaan (2.22) ke persamaan (2.24) menghasilkan θ

  d dr mr l dt dr

₂

  = . (2.25)

  Dengan memisalkan

  r u 1 = , (2.26.a)

  du u dr

₂

  θ

  1 − =

  , (2.26.b) sehingga

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝

⎛−

=

  θ

  d du u u m l dt dr _{2 2}

  1

  d du m l

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  12

  2 ^{2 2} f ( r ) l d u l

  = − − . (2.29) _{2 2 2 2 3}

  m m r d θ m r

1 Dengan mengganti r = , maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua

  u

  pada persamaan (2.29) menjadi ₂

  1

  d u m ₂ + u = − f ( ) . (2.30)

₂

₂ u d θ l u

  Sebuah benda bermassa m yang berada dalam medan gravitasi mempunyai energi potensial

  k V , (2.31)

= −

r dengan k = GMm . r

  Turunan energi potensial terhadap posisi menghasilkan gaya atau secara matematis

  dV

f ( r ) = −

dr k

  = − , (2.32) ₂ r

  atau

  1 ₂ f ( ) = − ku , (2.33) u

  memasukkan persamaan (2.33) ke persamaan (2.30) menghasilkan ₂

  

d u mk

₂ + u = . (2.34) ₂

d θ l

  Persamaan diferensial orde dua pada persamaan (2.34) mempunyai penyelesaian berbentuk

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  13

  mk = + u A cos( θ − θ ) , (2.35) ₂ l

  1

  dengan tetapan. Karena dan θ , maka persamaan (2.35) dapat ditulis

  A u = = r

  menjadi

  2 l mk r = . (2.36)

₂

l A

  θ

• 1 . cos

  

mk

  Jika didefinisikan eksentrisitas ₂

  l A e = , (2.37) mk

  dan ₂

  l r , (2.38)

  =

  mk

  maka

  r r = . (2.39)

  1 e cos ⋅ + θ

2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet

  Persamaan gerak dan lintasan (orbit) planet dapat dijabarkan dari hukum kekekalan energi untuk medan (gaya) sentral menyatakan bahwa jumlah energi kinetik ( ) dan energi potensial (V ) adalah konstan, secara matematis dituliskan

  T

• E = T

  V . (2.40) m

  Energi kinetik ( T ) suatu benda (planet) bermassa ( ) yang mengorbit benda lain sejauh r sesuai dengan persamaan (2.15) adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  (2.44.b)

  2 r m l

r

GM m E dr dt

  

− +

=

  (2.44.a)

  2 ^{2 2}

  2

  2

  1 m l

  GMr m Er r dr dt

  − + =

  ∫ − + = ^{mak r} _r m l

  2 ^{2 2}

  GMr m Er dr r t _{min 2 2 2}

  2

  2 .

  . (2.44.c) Dengan menggunakan persamaan Lampiran B (B.1) dan (B.2) penyelesaian untuk persamaan (2.44.c) dengan memisalkan

  m E

a

  2 =

  , GM b 2 = , dan ₂ ²

  m l c − = . Hasil

  integral persamaan (2.44.c) adalah

  2

  14

  2 ^{2 2}

  1

  2

  1

  2

  1

  mr l T r m + =

  & , (2.41) dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan (2.41) ke persamaan

  (2.40) menghasilkan

  V mr l E r m + + = ₂ ²

²

  2

  2

  Dari kecepatan diperoleh waktu tempuh planet sebagai fungsi dari posisi ) (t

  1 &

  . (2.42) Jadi kecepatan planet ke arah r adalah

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − − = ₂ ²

  2

  2

  mr l

  

V E

m r& . (2.43)

  ) (r

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  15 _{2 2}

  1 ₂

  ⎧ ⎛

  2 Er l ⎞ ⎪

• 2 GMr −

  4 Er ⎜⎜ ⎟⎟

  m ^{2 ⎡}

  ⎪ m +

  2 GM

  GMm

  ⎝ ⎠ ⎢

  t = − log m

  ⎨ ₁

  2 E ₃ ^{2 ⎢}

  2 ⎪ ⎛ ⎞ ₂

  ⎣

  E

  ⎜ ⎟ ⎪ m

  m

  ⎝ ⎠ ⎩ _{2 2 2 1 2 ⎫ r mak}

  ⎤ ⎛

  4 E r EGMr

  2 El ⎞ ⎪

  ⎥

  2 4 − . (2.45) _{2 3} ⎬ ⎜⎜ ⎟⎟

  m m m ⎥

  ⎝ ⎠ ⎦

  ⎪⎭ _{r min} Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari persamaan (2.22), yaitu

  ldt d θ = . (2.46)

₂

mr dr

  Dengan mengganti , persamaan (2.46) menjadi

  dt = & r

l dr

d θ . (2.47)

  = ₂ & mr r

  Jika persamaan (2.43) dimasukkan ke persamaan (2.47) kemudian di integralkan maka diperoleh

  

dr

  = . (2.48) θ

  ∫ ₂ 2 mE 2 mV

  1

  r − − _{2 2 2} l l r

  Dengan memasukkan persamaan (2.31), (2.26.a) dan (2.26.b) ke persamaan (2.48), menjadi

  

du

  θ = − . (2.49)

  ∫

  2 mE 2 mku _{2 2 2} − +

  u l l 2 mE

  2 mk =

  = − g

  Dengan memisalkan y

  1 , f = , , dan k = GMm , serta ₂

  2 l l

  menggunakan Lampiran B (B.3), bentuk penyelesaian persamaan (2.49) adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  2

  θ γ , (2.50) dengan γ adalah tetapan integral (konstanta).

  1 ) sin(

  16 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  1

  = − _{2 2} ²

• −

  ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

• −

  Mengingat persamaan (2.39), eksentrisitas untuk persamaan (2.53) adalah _{2 2}

  , (2.52) atau θ cos .

  2

  1

  1 . _{2 2} ²

  mk El k m

l

r

  2

  1 ₂ ² ₂

  1

  mk El e + = . (2.54)

  Jika lintasan (orbit) planet berbentuk lingkaran, maka = e , sehingga

  2

  1 ₂ ² = +

  mk El

  , (2.55) atau

  mk El l mk r

  1

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  1

  mk El mk ul

  Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (2.50) menjadi ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  = _{2 2} ²

  2

  1 cos

  1

  mk El

mk

ul

  θ . (2.51) Dengan mengganti kembali

  r u 1 =

  , persamaan (2.51) menjadi ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

• =

  θ . cos

  2

• = . (2.53)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  17

  k E = − . (2.56) 2r

  Dengan memasukkan persamaan (2.31) ke persamaan (2.56) diperoleh

  

1

E = V . (2.57)

  

2

Jadi energi total ( E ) setengah dari nilai energi potensial (V ) untuk planet yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran.

  Dari nilai eksentrisitas persamaan (2.37) dan (2.54) diperoleh _{2 2}

  

m k

  2 Em ₄ + A = , (2.58) ₂

  l l

  sehingga nilai eksentrisitas seperti pada persamaan (2.54) ₂

  2 El 1 . + e = ₂

  mk

  Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah 0< e <1

  m

  (Goldstein, 1950). Sebagai contoh ditinjau lintasan partikel bermassa yang bergerak melingkar dalam medan sentral dengan gaya sentripetal sama dengan gaya gravitasi (Alonso, 1994). Energi kinetik partikel tersebut adalah

  

1

₂

  . (2.59)

  

T = mv

  

2

Dengan memasukkan persamaan (2.6) ke persamaan (2.59) diperoleh

  1 GMm T = . (2.60)

  2 r