PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG

  PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG oleh

  MIRA AMALIA M0113030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

  Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

  2017

  

ABSTRAK

  Mira Amalia. 2017. PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

  ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG. Fa- kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

  Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar maks-plus. Penelitian ini membahas tentang penerapan sistem persamaan linear iteratif maks-plus pada masalah lintasan terpanjang dengan metode PDM (Presedence Diagram Method ).

  Metode PDM merupakan metode untuk menentukan jalur kritis agar pe- nyelesaian proyek dapat terselesaikan secara tepat waktu. Lintasan terpanjang ditentukan dengan memodifikasi perhitungan menggunakan metode PDM pada analisis lintasan kritis jaringan proyek. Selanjutnya, memodelkan waktu tempuh perjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus. Dari penyelesaian SPL iteratif maks-plus ini, dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir untuk masing-masing titik. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan mem- bentuk lintasan terpanjang dalam jaringan. Hasil dari pembahasan merupakan kajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa ja- ringan proyek dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf bera- rah terbobot yang dinyatakan dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star (∗) pada matriks bobot jaringannya.

  Hasil dari pembahasan merupakan kajian teoritis yang didasarkan litera- tur dan suatu perhitungan menggunakan program yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa jaringan proyek dengan bobot waktu tem- puh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star (∗) pada matriks bobot jaringannya.

  Kata Kunci :

  aljabar maks-plus, sistem persamaan linear, lintasan terpanjang

  ABSTRACT

  Mira Amalia. 2017. APPLICATION OF MAX-PLUS ITERATIVE LINEAR EQUATIONS SYSTEM ON THE LONGEST PATH PROBLEM. Faculty of Ma- thematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

  Algebra is a branch of mathematics that studies the concept or principle of simplification and problem solving using symbols or specific letters. One of the scores in algebra that is considered new is the max-plus algebra. This research discusses about the system of max-plus linear equation and its application to the longest path problem with PDM (Presedence Diagram Method ).

  PDM is a method to determine the critical path for the completion of the project can be completed in a timely manner. This discussion is the result of theoretical study based on literature and calculation using the program. The longest path is determined by modifying the calculation as in the PERT-CPM method with PDM method on the critical path analysis on the project network. Besides, it can be done by modeling travel time on the network into an iterative max-plus system of linear equations (SLE). From this max-plus SLE solution, it can be determined the earliest start time and latest time for each point. Points with the same earliest start time and latest time will form the longest path on the network.

  The result of this research shows that the network with travel time can be modeled as a weighted directed graph expressed by the upper matrix max-plus algebra. The determination of minimum travel time can be done through star operation (∗) with network weight matrix.

  Keywords

  

: max-plus algebra, system of linear equations, longest path

  

MOTO

Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan suatu kaum sampai mereka

mengubah keadaan diri mereka sendiri.

  

(QS. Ar-Ra’d: 11)

  

PERSEMBAHAN

  Karya ini saya persembahkan untuk ibu, bapak, dan kakak saya sebagai wujud atas doa, cinta, inspirasi, dan motivasi yang sudah diberikan selama ini. Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang te- lah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih kepada

  1. Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi, pengembangan model persediaan, serta penurunan model persediaan.

  2. Bowo Winarno, S.Si, M.Kom. sebagai Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi.

  3. Keluarga dan sahabat atas dukungan, motivasi, serta bantuan yang telah diberikan.

  Semoga skripsi ini bermanfaat.

  Surakarta, Oktober 2017 Penulis

  

Daftar Isi

  HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

  ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

  MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

  I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 2.2 Teori Pendukung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 2.2.1 Definisi dan Sifat-Sifat Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . .

  5 2.2.2 Matriks dan Vektor dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . .

  7

  2.2.3 Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Maks-Plus . . . .

  9 2.2.4 Teori Graf dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . .

  11 2.2.5 Presedence Diagram Methode(PDM) . . . . . . . . . . . .

  12 2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 III METODE PENELITIAN

  16 IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

  17 4.1 Sistem Persamaan Linear Iteratif Maks-Plus dan Metode PDM . .

  17 4.2 Penerapan Penjadwalan Proyek dengan Metode PDM . . . . . . .

  21 4.2.1 Penerapan Proyek Secara Umum . . . . . . . . . . . . . .

  21

  4.2.2 Penerapan Kegiatan Proyek Pembangunan Drainase di Se- marang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  26 V PENUTUP 32 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  32 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  32 DAFTAR PUSTAKA

  34 Daftar Tabel 4.1 Data dari lima kegiatan proyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  22 4.2 Data dari kegiatan proyek pembangunan drainase . . . . . . . . .

  27 Daftar Gambar 4.1 Hubungan antar kegiatan dalam PDM . . . . . . . . . . . . . . .

  23 4.2 Graf berarah kegiatan proyek drainase dalam PDM . . . . . . . .

  27

  

Daftar Notasi

  , x

  : waktu selesai paling awal kegiatan LF

  : waktu mulai paling awal kegiatan LS : waktu mulai paling akhir kegiatan EF

  : kurun waktu kegiatan ES

  (v, v) ∈ A : busur yang menyatakan loop G = (V, A) : graf berarah dengan V = 1, 2, . . . λ : nilai eigen maksimum D

  : himpunan pasangan terurut titik-titik atau busur v : titik awal busur w : titik akhir busur

  E : himpunan pasangan tak terurut titik-titik atau edges A

  V : titik (vertices)

  , . . . , x _n ] ^T |x _j ∈ ε, j = 1, 2, . . . , n} ≼ m : relasi lebih kecil atau sama dengan dalam aljabar maks-plus a _{ij : elemen A ∈ R} ^m×n _ε pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan i ∈ n dan j ∈ m

  2

  1

  (S, +, ×) : himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan dua operasi biner + dan × R

  R ⁿ _ε : {[x

  , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n}

  R ^n×n _ε : {A = [a ij ]|a ij ∈ R ^ε

  , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n}

  : {A = [a ij ]|a ij ∈ R ^ε

  , ⊕, ⊗) R ^{m×n ε}

  ⊕ : operasi maks ⊗ : operasi plus (+) R maks : (R ε

  : R ∪ {ε}

  : −∞ R ε

  : himpunan semua bilangan real ε

  : waktu selesai paling akhir kegiatan S : ujung awal atau mulai kegiatan

  F : ujung akhir atau selesai kegiatan ES _{j : waktu mulai paling awal dari kegiatan yang sedang ditinjau} ES _{i : waktu mulai paling awal kegiatan yang terdahulu} EF _j : waktu selesai paling awal dari kegiatan yang sedang ditinjau EF _{i : waktu selesai paling awal dari kegiatan terdahulu} D _{j : kurun waktu kegiatan yang bersangkutan} LF _i : waktu selesai paling akhir dari kegitan yang sedang ditinjau LF j : waktu selesai paling akhir dari kegiatan terdahulu LS _{j : waktu paling akhir dari kegiatan yang sedang ditinjau} LS _i : waktu paling akhir dari kegiatan yang bersangkutan x ^e : waktu awal paling cepat x ^l

  : waktu paling akhir