SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  

OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN

ALGORITMA GENETIKA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  

Program Studi Matematika

Disusun Oleh:

Yolenta Asri Astuti Prany

  

NIM : 023114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

  

ABSTRAK

Secara umum, permasalahan optimasi dalam kehidupan sehari – hari lebih

sering menggunakan pemrograman linear, karena lebih mudah untuk diselesaikan

dari pada dengan menggunakan pemrograman tak linear. Karena pemrograman

tak linear selalu menimbulkan kesulitan dalam penanganan analitik dan numerik

(teknik konvensional), bahkan untuk fungsi dua variabel pun terkadang sulit untuk

diselesaikan. Algoritma Genetika merupakan salah satu teknik yang dapat dipilih

untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman tak linear tersebut, karena

Algoritma Genetika merupakan teknik pencarian stokastik dengan sistem

pencarian berdasarkan mekanisme genetika dalam biologi.

  Pada skripsi ini, generasi baru (anak) terbentuk dari rekombinasi dan mutasi

dengan menggunakan metode pemotongan satu titik. Pemilihan anak pada proses

rekombinasi atau mutasi dilakukan secara acak. Dari percobaan, solusi optimal

akan lebih mendekati dengan nilai konvensionalnya pada probabilitas rekombinasi

0.5 dengan probabilitas mutasi 0.08. Namun, probabilitas tersebut tidak mutlak,

karena Algoritma Genetika menggunakan teknik pencarian secara acak.

  

ABSTRACT

Generally, the optimization problems in daily life is more regular using the

linear programming, because it is easier to solved than nonlinear programming.

Because nonlinear programming are difficultly in analytic handling and numeric

(conventional technique), even for two variables function it is difficult to be

solved, sometimes. Genetic Algorithm are one of technique that could be chosen

to solved it, because Genetic Algorithm are stochastic search techniques based on

the mechanism of genetic on biology.

  On this mini thesis, a new generation (offspring) formed of crossover or

mutation with one cut point method. Selection of new generation by crossover and

mutation conducted at random. According to the experiments, it is visible to get

the optimal solution close to a value by conventional with crossover probabilities

0.5 and mutation probabilities 0.08. But, that is not absolute, because the

searching technique of Genetic Algorithm are randomly.

KATA PENGANTAR

  Puji syukur kepada Bapa di Surga dan Bunda Maria yang memberikan

kasih-Nya dan melimpahkan karunia-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat

diselesaikan. Skripsi ini disusun dalam rangka menyelesaikan pendidikan tingkat

Sarjana Strata Satu Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal sampai akhir mendapatkan

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini

penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

  1. Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Si selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  2. Bapak Drs. HJ Haris Sriwindono, M.Kom selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Y.G Hartono, S.Si selaku Dosen Pembimbing II yang dengan sabar telah banyak membimbing dan memberikan petunjuk dalam penyusunan skripsi ini.

  3. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan ilmu dan pengetahuan selama masa perkuliahan.

  4. Staff fakultas MIPA terima kasih atas dorongan dan pelayanan yang telah diberikan.

  5. Bapak dan Mama yang telah memberikan kasih, dorongan semangat, serta doa yang melimpah selama kehidupanku di dunia ini.

  

6. Abang dan adikku (Yacobus dan Ade (Nenek Lampir)) terima kasih untuk

“kata-kata” yang membuatku semakin termotivasi .

  

7. Keluarga besarku yang tersebar di berbagai kota. Terima kasih atas doa

dan bantuan yang telah kalian berikan.

  

8. T Agusta Dwi Handaru yang telah menambah warna dalam kehidupanku.

  Terima kasih atas kesabaran dan cinta mu.

  

9. Sahabat-sahabatku nan jauh di sana: Yulia, Maria, dan Uthe terima kasih

buat persahabatan, perhatian dan dukungannya.

  

10. Teman-teman angkatan 2002: Ngq, Debby, Lia, Ika, Sari, Aan, Tato, Bani,

Lili, Taim, Ijup, Markus, Felix, Vida (Ipid), Retno, Priska, Galih, Aning, Desy, Rita, Wuri, Deon, Cheea, Nunung, Dani , Palma, dan Asih. Esp. Debby, Lia, dan Ijup yang selalu menemaniku ketika masa-masa ngantukku dengan chating bersama.

  

11. Teman-teman kostku (Wisma Lestari) esp. Lia, Kawat (thanks atas

printernya), M`Nchis, dan M`Mitha yang menjadi setan serta malaikat ketika skripsi ini dibuat. Thanks untuk hari-hari ceria yang telah kita lewati bersama.

  

12. Teman seperjuanganku dalam menyusun skripsi (Ipid Manyiiit), terima

kasih atas bantuan dan perhatiannya.

  

13. Teman-teman kost (tumpangan) ku, Ipid (namamu paling banyak

terucap…), Endra, Primtul, M`Lina, Ine, Maria, Lili. Terima kasih atas tumpangannya, tanpa kalian entah bagaimana nasibku.

  14. Teman-teman KKN ku, yang berlomba-lomba untuk menyelesaikan skripsi. Serta warga Caben. Terima kasih untuk dorongan dan semangat yang telah kalian berikan.

  15. Teman-teman P3W Terima kasih untuk dorongan dan semangat yang telah kalian berikan.

  16. Teman-Teman Pondok Baca Kota Baru, tempatku menghilangkan kepenatan belajar. Teruslah berusaha mengembangkan Pondok Baca, upah kalian besar di Surga.

  17. Semua pihak yang telah turut membantu hingga skripsi ini selesai yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

  Penulis menyadari masih ada kekurangan, kekeliruan, dan masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi kemajuan yang akan datang.

  Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

  Yogyakarta, Juli 2007 Penulis

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL..................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... ii HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................... v ABSTRAK .................................................................................................... vi ABSTRACT.................................................................................................. vii KATA PENGANTAR .................................................................................. viii DAFTAR ISI................................................................................................. xi DAFTAR TABEL......................................................................................... xiv DAFTAR GAMBAR……………………………………………………… xxi

  BAB I PENDAHULUAN................................................................... 1 A. Latar Belakang. .....................................................................

  1 B. Perumusan Masalah ..............................................................

  4 C. Pembatasan Masalah .............................................................

  4 D. Tujuan Penulisan...................................................................

  4 E. Metode Penulisan ..................................................................

  5 F. Manfaat Penulisan.................................................................

  5 G. Sistematika Penulisan ...........................................................

  5

  BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA..........................

  7 A. Optimasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan

  Kalkulus ................................................................................ 7

  B. Optimasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus...................................................................

  21 BAB III ALGORITMA GENETIKA.................................................. 50 A. Latar Belakang Biologi .........................................................

  50 B. Struktur Umum Algoritma Genetika.....................................

  51 C. Komponen-komponen Utama Algoritma Genetika. .............

  56 1. Teknik Penyandian..........................................................

  56 2. Prosedur Inisialisasi ........................................................

  57

  3. Fungsi Evaluasi (fitness function) ................................... 58

  4. Seleksi ............................................................................. 59 4.1. Seleksi Roda Rolet .................................................

  59

  4.2. Seleksi Rangking.................................................... 60

  4.3. Seleksi Turnamen................................................... 61 5. Operator Genetika ...........................................................

  62

  5.1. Rekombinasi (crossover) ....................................... 62

  5.2. Mutasi..................................................................... 63 6. Penentuan Parameter .......................................................

  64

  BAB

  

IV ALGORITMA GENETIKA UNTUK OPTIMASI

FUNGSI TANPA KENDALA...............................................

  66 BAB V PENUTUP............................................................................... 112

  A. Kesimpulan ........................................................................... 112

  B. Saran...................................................................................... 113

  DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 114 LAMPIRAN ............................................................................................... 116

  DAFTAR TABEL Tabel 3.2.1 Tabel Istilah dalam Algoritma Genetika ............................

  53 Tabel 3.3.1.1 Pemetaan nilai biner ke nilai real .......................................

  57 Tabel 3.4.2.1 Contoh populasi dengan 5 kromosom yang diberi fitness baru..................................................................................... 61 _{2 2} Tabel 4.1 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x x 2 x x x

  ( ) + + _{1 2} = _{1 1 2 2} dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas

  mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... _{2 2}

  70 Tabel 4.2 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x x 2 x x x

  ( ) = + + _{1 2 1 1 2 2}

  dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... _{2 2}

  71 Tabel 4.3 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x = x 2 x x x + +

  ( ) _{1 2 1 1 2 2}

  dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... _{2 2}

  72 Tabel 4.4 Tabel nilai maksimum fungsi f ( x , x ) = x _{1 2 1} + + 2 x x x _{1 2 2} dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 .......................................................

  73

• Tabel 4.5 Tabel nilai maksimum fungsi f ( + x , x ) = x
_{1 2 1} ² 2 x x x _{1 2 2} ² dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 .......................................................

  74

  2 ² Tabel 4.6 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x x

  2 x x x

  ( ) = _{1 2 1 1 2} + + ₂ dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas

  mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... _{2 2}

  75 Tabel 4.7 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x = x + + 2 x x x

  ( ) _{1 2 1 1 2 2}

  dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... _{2 2}

  76 Tabel 4.8 Tabel nilai maksimum fungsi f x , x = x 2 x x x + +

  ( ) _{1 2 1 1 2 2}

  dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 .........................................................................

  77 Tabel

  4.9 Tabel nilai maksimum fungsi _{2 3 2}

  f x , x = ( ) + _{1 2} 3 x x − _{1 2} 9 x − x _{2 1} 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

  83 Tabel

  4.10 Tabel nilai maksimum fungsi _{2 3 2} ,

  3

  9 1 dengan probabilitas

  f ( x x ) + = x x − x − x _{1 2 1 2 2 1}

  rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

  84 Tabel

  4.11 Tabel nilai maksimum fungsi

  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

  ( ) = − − _{1 2 1} ² _{2 2} ³ ₁ ² rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

• f x , x

  85 Tabel

  4.12 Tabel nilai maksimum fungsi

  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 86

  ( ) = − − _{1 2 1} ² _{2 2} ³ ₁ ² + f x , x Tabel

  4.13 Tabel nilai maksimum fungsi ^{2 3 2} +

  f x , x =

  3 x x − 9 x − x 1 dengan probabilitas

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

  87 Tabel

  4.14 Tabel nilai maksimum fungsi

  3 x x − ² 9 x − x ^{3 2} 1 dengan probabilitas

• f x , x =

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

  rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

  88 Tabel

  4.15 Tabel nilai maksimum fungsi

  f x , x =

  3 x x − ² 9 x − x ^{3 2} 1 dengan probabilitas

• rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

  89 Tabel

  4.16 Tabel nilai minimum fungsi

• f ( x , x ) =
_{1 2} 3 x x − ₁ ² ₂ 9 x − x ₂ ³ ₁ ² 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

  90 Tabel

  4.17 Tabel nilai minimum fungsi

  3

  9 1 dengan probabilitas

  f ( x x ) = x x − x − x _{1 2 1} ² _{2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1
• ,

  91 Tabel

  4.18 Tabel nilai minimum fungsi

  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

  ( ) = − − _{1 2 1} ² _{2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.
• f x , x

  92 Tabel

  4.19 Tabel nilai minimum fungsi _{1 2 1}

  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

  ( ) = − − ² _{2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1
• f x , x

  93 Tabel

  4.20 Tabel nilai minimum fungsi

  f x , x =

  3 x x − ² 9 x − x ^{3 2} 1 dengan probabilitas

• rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

  94 Tabel

  4.21 Tabel nilai minimum fungsi _{2 3 2}

  f x , x =

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

  3 x x − 9 x x − + 1 dengan probabilitas

  rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

  95 Tabel

  4.22 Tabel nilai minimum fungsi

  3 x x − ² 9 x − x ^{3 2} 1 dengan probabilitas

• f x , x =

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

  96 Tabel

  4.23 Tabel nilai maksimum fungsi _{2 3 2}

  f ( x , x ) + = _{1 2} 3 x x − _{1 2} 9 x − x _{2 1} 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ............

  97 Tabel

  4.24 Tabel nilai minimum fungsi ² + ,

  3

  9 1 dengan probabilitas

  f ( x x ) = x x − x − x _{1 2 1 2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ............

  98 ^{2 2}

  − ( ) _{1 2} Tabel 4.25 Tabel nilai maksimum fungsi f x = x e dengan ( )

• x x

  1

  probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 101 ^{2 2}

  − ( ) _{1 2} f x x e

• x x
Tabel 4.26 Tabel nilai maksimum fungsi ( ) = dengan

  1

  probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 102

  − ( ) _{1 2} x

  ^{2 2}

• x x
Tabel 4.27 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 102 ^{2 2}

  − ( ) _{1 2} Tabel 4.28 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

• x x

  1

  probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 103 ^{2 2}

  − ( ) _{1 2} x

• x x
Tabel 4.29 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 103

  − ( ) ₁ ² ₂ ² Tabel 4.30 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

• x x

  1

  probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 104

  − ( ) ₁ ² ₂ ² x

• x x
Tabel 4.31 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 104 _{2 2}

  x x − + ( ) _{1 2} Tabel 4.32 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan

  ( ) =

  1

  probabilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 105

  x x − ( ) ₁ ² + ₂ ² f x x e

Tabel 4.33 Tabel nilai maksimum fungsi = dengan

  ( )

  1

  probabilitas mutasi 0.02 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 105

  − ( ) _{1 2} x

  ^{2 2}

• x x
Tabel 4.34 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas mutasi 0.03 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 106 ^{2 2}

  − ( ) _{1 2} Tabel 4.35 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

• x x

  1

  probabilitas mutasi 0.04 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 106 ^{2 2}

  − ( ) _{1 2} x

• x x
Tabel 4.36 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas mutasi 0.05 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 107

  − ( ) ₁ ² ₂ ² Tabel 4.37 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

• x x

  1

  probabilitas mutasi 0.06 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 107

  − ( ) ₁ ² ₂ ² x

• x x
Tabel 4.38 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas mutasi 0.07 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 108 _{2 2}

  x x − + ( ) _{1 2} Tabel 4.39 Tabel nilai maksimum fungsi f x x e dengan

  ( ) =

  1

  probabilitas mutasi 0.08 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 108

  x x − ( ) ₁ ² + ₂ ² f x x e

Tabel 4.40 Tabel nilai maksimum fungsi = dengan

  ( )

  1

  probabilitas mutasi 0.09 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 109

  − ( ) _{1 2} x

  ^{2 2}

• x x
Tabel 4.41 Tabel nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas mutasi 0.1 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 109

  DAFTAR GAMBAR

  8 = − − ^{3 2 *}

• Gambar 2.1.1 Grafik f ( x ) x x x 2 .............................................
Gambar 2.1.2 x titik batas dari I atau f (x ′

  )

  .................................... 9 =

Gambar 2.1.3 Grafik fungsi f ( x ) 7 x 3 x 5 ..................................... 11

  = − ² Gambar 2.1.4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b]. .......................... 12

Gambar 2.1.5 Fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b]......................... 14Gambar 2.1.6 Grafik fungsi f ( x ) = x −

  ² + ₂ 4 x ₂ 5 ....................................... 20

Gambar 2.2.1 Grafik fungsi f ( x , y ) = x y − x − y

  ₃ + + ₃ 1 ....................... 33

Gambar 2.2.2 Grafik fungsi f ( x , x ) = x x −

  _{1 2 1 2} 3 x − ₁ 12 x ₂ + + 20 .......... 47 Gambar 3.2.1. Ilustrasi Algoritma Genetika ..............................................

  54 Gambar 3.3.1.1 Representasi string bit .......................................................

  56 Gambar 3.3.1.2 Representasi panjang kromosom .......................................

  57 Gambar 3.4.1.1 Contoh penggunaan metode seleksi roda roulette..............

  59 Gambar 3.5.1.1 Rekombinasi satu titik........................................................ _{2 2}

  62 Gambar 4.1 Grafik fungsi f ( x , x ) = + + x _{1 2 1} 2 x x x .......................... 67 _{1 2 2} Gambar 4.2 Grafik terjadinya nilai maksimum _{2 2} , 2 dengan probabilitas

  f ( x x ) = + + x x x x _{1 2 1 1 2}

₂

rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

  70

• 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1…................................................................................... 71
• 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..
• 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.
• 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..
• x x x x x x f + =
• = dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1...
• 2 , x x x x x x f + = dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08. ...........

  ( )

²

₂

_{2 1} ² _{1 2 1}

  76 Gambar 4.9 Grafik terjadinya nilai maksimum

  2 , x x x x x x f

  ( )

²

₂

_{2 1} ² _{1 2 1}

  4.8 Grafik terjadinya nilai maksimum

  dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1. 75 Gambar

  2 ,

  ( )

²

₂

_{2 1} ² _{1 2 1}

  4.7 Grafik terjadinya nilai maksimum

  74 Gambar

  4.6 Grafik terjadinya nilai maksimum

  ( )

²

₂

_{2 1} ² _{1 2 1}

  73 Gambar

  ( )

²

₂

_{2 1} ² _{1 2 1}

  4.5 Grafik terjadinya nilai maksimum

  72 Gambar

  ( )

²

₂

_{2 1} ² _{1 2 1}

  4.4 Grafik terjadinya nilai maksimum

  Gambar

  ( )

²

₂

_{2 1} ² _{1 2 1}

  4.3 Grafik terjadinya nilai maksimum

  Gambar

  77

Gambar 4.10 Grafik fungsi f x , x 3 x x 9 x x 1 ................... 78

  

( ) = − −

_{1 2}

₁

_{2 2} ³ ₁ ² +

  ² Gambar

  4.11 Grafik terjadinya nilai maksimum fungsi f x , x = 3 x x − ² 9 x − x ^{3 2} 1 dengan

• probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1...........................................................................

  ( ) _{1 2 1 2 2 1}

  83 Gambar 4.12 Grafik terjadinya nilai maksimum

  f x , x =

  3 x x − ² + 9 x − x ^{3 2} 1 dengan probabilitas

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

  84 Gambar

  4.13 Grafik terjadinya nilai maksimum

• f ( x , x ) =
_{1 2} 3 x x − ₁ ² ₂ 9 x − x ₂ ³ ₁ ² 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

  85 Gambar

  4.14 Grafik terjadinya nilai maksimum

  3

  9 1 dengan probabilitas

  f ( x x ) = x x − x − x _{1 2 1} ² _{2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1
• ,

  86 Gambar

  4.15 Grafik terjadinya nilai maksimum _{1 2 1}

  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

  ( ) = − − ² _{2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..
• f x , x

  87 Gambar

  4.16 Grafik terjadinya nilai maksimum

  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

  ( ) = − − _{1 2 1} ² _{2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1
• f x , x

  88 Gambar

  4.17 Grafik terjadinya nilai maksimum ^{2 3 2} +

  f x , x =

  3 x x − 9 x − x 1 dengan probabilitas

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

  89 Gambar

  4.18 Grafik terjadinya nilai minimum

  3 x x − ² 9 x − x ^{3 2} 1 dengan

• fungsi f x , x =

  ( ) _{1 2 1 2 2 1}

  probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1...........................................................................

  90 Gambar

  4.19 Grafik terjadinya nilai minimum _{2 3 2}

  f x , x ) = ( + _{1 2} 3 x x − _{1 2} 9 x − x _{2 1} 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

  91 Gambar

  4.20 Grafik terjadinya nilai minimum

• f ( x , x ) =
_{1 2} 3 x x − ₁ ² ₂ 9 x − x ₂ ³ ₁ ² 1 dengan probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

  92 Gambar

  4.21 Grafik terjadinya nilai minimum

  3

  9 1 dengan probabilitas

  f ( x x ) = x x − x − x _{1 2 1} ² _{2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1
• ,

  93 Gambar

  4.22 Grafik terjadinya nilai minimum

  3 x x 9 x x 1 dengan probabilitas

  ( ) = − − _{1 2 1} ² _{2 2} ³

₁

² rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..
• f x , x

  94 Gambar

  4.23 Grafik terjadinya nilai minimum

  3 x x − ² 9 x − x ^{3 2} 1 dengan probabilitas

• f x , x =

  ( ) _{1 2 1 2 2}

₁

  rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1

  95

  Gambar

  4.24 Grafik terjadinya nilai minimum

  f x , x =

  3 x x − ² 9 x − x ^{3 2} 1 dengan probabilitas

• rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1..

  ( ) _{1 2 1 2 2 1}

  96 Gambar

  4.25 Grafik terjadinya nilai maksimum ² +

  f x , x =

  3 x x − 9 x − x ^{3 2} 1 dengan probabilitas

  ( ) _{1 2 1 2 2 1} rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 .............

  97 Gambar

  4.26 Grafik terjadinya nilai minimum

• f x , x =
_{1 2} 3 x x − ₁ ² ₂ 9 x − x ₂ ³ ₁ ² 1 dengan probabilitas ( ) rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 .............

  98

  − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} Gambar 4.27 grafik fungsi f x , x x e .............................. 99 ( ) =

  1

  2

  1 − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} x
Gambar 4.28 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 103

  − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} Gambar 4.29 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

  1

  probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 103 ^{2 2}

  − ( ) _{1 2} x

• x x
Gambar 4.30 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 104

  − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} x
Gambar 4.31 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas rekombinasi 0.35 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 104 _{2 2}

  − + x x ( ) _{1 2} Gambar 4.32 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e dengan ( ) =

  1

  probabilitas rekombinasi 0.4 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1........................................................................... 105

  − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} x
Gambar 4.33 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1................................................................... 105 ₁ ² +

  x x − ( ) ₂ ² Gambar 4.34 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e

  ( ) =

  1

  dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 106

  − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} x
Gambar 4.35 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 106

• − x x
^{2 2} ( ) _{1 2} Gambar 4.36 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e ( ) =

  1

  dengan probabilitas mutasi 0.02 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 107

• − x x
^{2 2} ( ) _{1 2} f x x e
Gambar 4.37 Grafik nilai maksimum fungsi =

  ( )

  1

  dengan probabilitas mutasi 0.03 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 107

  − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} x
Gambar 4.38 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e

  ( )

  1

  dengan probabilitas mutasi 0.04 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 108

  − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} Gambar 4.39 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e ( ) =

  1

  dengan probabilitas mutasi 0.05 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 108

  − x x ^{2 2}

• ( )
_{1 2} x
Gambar 4.40 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e dengan

  ( )

  1

  probabilitas mutasi 0.06 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5........................................................................... 109

  − ( ) ₁ ² ₂ ² Gambar 4.41 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e ( ) =

• x x

  1

  dengan probabilitas mutasi 0.07 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 109

• − x x
^{2 2} ( ) _{1 2} x
Gambar 4.42 Grafik nilai maksimum fungsi f = x e

  ( )

  1

  dengan probabilitas mutasi 0.08 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 110 _{2 2}

  − + x x ( ) _{1 2} Gambar 4.43 Grafik nilai maksimum fungsi f x x e ( ) =

  1

  dengan probabilitas mutasi 0.09 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 110

• − x x
^{2 2} ( ) _{1 2} f x x e
Gambar 4.44 Grafik nilai maksimum fungsi =

  ( )

  1

  dengan probabilitas mutasi 0.1 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 111

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Teori optimasi secara klasik dibangun dengan menggunakan

  kalkulus diferensial untuk menentukan nilai minimum atau maksimum (optimum) dari fungsi dengan kendala atau tanpa kendala. Untuk fungsi

tanpa kendala, f(x) harus memenuhi setiap x yang memenuhi pembatas-

n pembatas: x ≥ dimana f(x) adalah fungsi yang bernilai real dari R . Jika ada beberapa atau semua fungsi dari f(x) adalah tidak linear maka masalah tersebut dikatakan pemrograman tak linear.

  Secara matematis, suatu titik dikatakan pembuat maksimum apabila _{* * * * * *}

_*