SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURMLIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB.

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE
FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB

oleh
NURUL KOMIYATUN
M0110063

SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
commit to user

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE
FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB

oleh
NURUL KOMIYATUN
M0110063

SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
commit to user

i

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

commit to user

ii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRAK
Nurul Komiyatun. 2014. SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURMLIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB. Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Masalah Sturm-Liouville klasik dapat ditulis sebagai
Ly = −(p(x)y ′ )′ + q(x)y = λw(x)y

dengan syarat batas k1 y(a) + k2 y ′ (a) = 0 dan l1 y(b) + l2 y ′ (b) = 0. Dalam perkembangannya muncul masalah Sturm-Liouville fraksional, yaitu masalah SturmLouville yang menggunakan derivatif berorde fraksional (berupa bilangan noninteger). Salah satu pengembangan dari masalah Sturm-Liouville fraksional adalah masalah Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb yang didefinisikan sebagai
Lα[C] y(x) + λwα (x)y(x) = 0
)
(
α
α
+ Ax + q(x) dan α merupakan bilangan non
p(x)C D0,+
dengan Lα[C] = Dπ,−
integer.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan sifat-sifat spektral dari masalah
Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb. Penurunan sifat spektral
dari masalah tersebut di atas adalah dengan menyelidiki sifat operatornya, yang
ditunjukkan melalui hasil dari ⟨Lα[C] ψ, φ⟩ dan ⟨ψ, Lα[C] φ⟩, dengan φ dan ψ adalah
fungsi eigen. Jenis nilai eigen dapat diselidiki melalui hubungan antara nilai eigen
dengan konjugat dari nilai eigen itu sendiri. Sedangkan untuk ortogonalitas dari
fungsi-fungsi eigen, ditunjukkan dengan hasil kali dalam dari dua fungsi eigen
bernilai nol. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa sifat spektral dari masalah
Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb adalah operatornya bersifat
self-adjoint, nilai eigennya real, dan fungsi eigen yang sesuai dengan nilai eigen

bersifat ortogonal terhadap suatu fungsi bobot.
Kata kunci : masalah Sturm-Liouville, fraksional, sifat spektral, Coulomb

commit to user

iii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRACT
Nurul Komiyatun. 2014. SPECTRAL PROPERTIES OF FRACTIONAL
STURM-LIOUVILLE PROBLEM FOR COULOMB POTENTIAL. Faculty of
Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
The classical Sturm-Liouville problem is defined by
Ly = −(p(x)y ′ )′ + q(x)y = λw(x)y
with boundary conditions k1 y(a) + k2 y ′ (a) = 0 and l1 y(b) + l2 y ′ (b) = 0. For last
decades, some researchers start to put their interest to fractional Sturm-Liouville
problem. Fractional Sturm-Liouville problem is Sturm-Liouville problem with

fractional order derivation or we can say that the second derivation in classical
Sturm-Liouville problem is replaced by fractional order derivation. An example
of fractional Sturm-Liouville problem is fractional Sturm-Liouville problem with
Coulomb potential which is defined by
Lα[C] y(x) + λwα (x)y(x) = 0
)
(
α
α
where Lα[C] = Dπ,−
p(x)C D0,+
+ Ax + q(x) and α is a non-integer order.
The aim of this research is to determine the spectral properties of fractional Sturm-Liouville problem with Coulomb potential. Before giving the main
results, we mention some properties of fractional integral Riemann-Liouville and
fractional derivative in Riemann-Liouville and Caputo sense. Spectral properties
of Sturm-Liouville fractional problem with Coulomb potential is to investigate its
operator, which is indicated by the result of ⟨Lα[C] ψ, φ⟩ and ⟨ψ, Lα[C] φ⟩, with φ
and ψ is an eigenfunction. Eigenvalues types can be investigated through the eigenvalues and its conjugate. As for the orthogonality of eigenfunctions, indicated
by the results of inner product of two distict eigenfunctions is equal to zero. We
will show that the spectral properties of fractional Sturm-Liouville problem with

Coulomb potential are the operator is self-adjoint, its eigenvalues are real, and
its eigenfunctions corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal respect to
a weight function.
Keywords : Sturm-Liouville, fractional, Coulomb, spectral properties

commit to user

iv

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk
Ibu dan Ayah tercinta.

commit to user

v

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan
skripsi ini. Skripsi ini membahas tentang sifat spektral dari masalah SturmLiouville fraksional dengan potensial Coulomb. Selain itu, juga disajikan sifat
dari integral serta derivatif fraksional Riemann-Liouville dan derivatif fraksional
Caputo.
Selesainya penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Drs. Sutrima, M.Si. sebagai pembimbing I yang telah memberi bimbingan
serta motivasi dalam penyelesaian skripsi ini.
2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si. sebagai pembimbing II yang telah memberi
bimbingan serta motivasi dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.

Surakarta, Desember 2014

Penulis

commit to user

vi

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Daftar Isi

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

ABSTRACT

I

II LANDASAN TEORI
2.1

2.2

4

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.1

Ruang Hasil Kali Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.2

Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.3

Kalkulus Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.4

Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . .

9

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

commit to user
III METODE PENELITIAN

11

vii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

IV PEMBAHASAN

12

4.1

Sifat-Sifat dari Operator Integral dan Diferensial Fraksional . . .

12

4.2

Masalah Sturm-Liouville Fraksional dengan Potensial Coulomb . .

18

V PENUTUP

24

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

DAFTAR PUSTAKA

25

commit to user

viii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Daftar Notasi

Ψ

:

fungsi gelombang

r

:

jarak antara elektron dan proton

~

:

konstanta Planck

e

:

besar muatan elektron

m

:

massa elektron

C

:

himpunan bilangan kompleks

R

:

himpunan bilangan real

[a, b]

:

interval tertutup dari a sampai b

λ, En

:

nilai eigen

y, Rn,l

:

fungsi eigen

Γ(z)

:

fungsi Gamma untuk variabel z

B(z, w)

:

fungsi Beta untuk variabel z dan w

α, β

:

orde fraksional (berupa bilangan non-integer)

Dy,

dy
,
dx

y ′ (x) :

derivatif pertama dari fungsi y(x)

x̄

:

konjugat dari x

L

:

operator diferensial

⟨. , .⟩

:

hasil kali dalam (dot product) pada ruang vektor

⟨f, g⟩

:

hasil kali dalam dari fungsi f dan g

α, β

:

orde fraksional

α
Ia,+
y(x)

:

integral fraksional Riemann-Liouville kiri dari fungsi y(x)

α
Ib,−
y(x)

:

integral fraksional Riemann-Liouville kanan dari fungsi y(x)

α
Da,+
y(x)

:

derivatif fraksional Riemann-Liouville kiri dari fungsi y(x)

α
Db,−
y(x)

:

derivatif fraksional Riemann-Liouville kanan dari fungsi y(x)

C

α
Da,+
y(x)

:

derivatif fraksional Caputo kiri dari fungsi y(x)

C

α
Db,−
y(x)

:

derivatif fraksional Caputo kanan dari fungsi y(x)
commit to user
akhir bukti

✷

:

ix