METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL.

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL
UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE
FRAKSIONAL

oleh
ASRI SEJATI
M0110009

SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2015to user
commit

i

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

commit to user

ii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRAK
Asri Sejati, 2015. METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas
Maret.
Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional adalah persamaan diferensial Sturm-Liouville biasa dengan derivatif berorde dua diubah menjadi derivatif
berorde fraksional α. Derivatif fraksional yang digunakan dideskripsikan dalam

bentuk Caputo. Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional didefinisikan
sebagai
′

Dα [p(x)y (x)] + q(x)y(x) + λr(x)y(x) = 0, x ∈ (a, b), 0 < α ≤ 1,
dengan p(x) > 0, r(x) > 0, p(x), q(x), dan r(x) kontinu dalam interval [a, b],
λ nilai eigen, dan y(x) fungsi eigen. Masalah Sturm-Liouville fraksional adalah
persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional yang memenuhi syarat batas
′

α1 y(a) + β1 y (a) = 0,

′

α2 y(b) + β2 y (b) = 0,

dengan α1 , α2 , β1 , β2 merupakan konstanta riil. Penyelesaian dari masalah SturmLiouville fraksional yaitu nilai eigen λ dan fungsi eigen y yang bersesuaian dengan
λ. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah SturmLiouville fraksional adalah metode transformasi diferensial fraksional (MTDF).
Metode transformasi diferensial fraksional adalah metode yang didasarkan pada
ekspansi deret Taylor yang mengkonstruksikan penyelesaian analitik dalam bentuk polinomial. Metode ini digunakan untuk menentukan koefisien deret Taylor dengan menyelesaikan persamaan rekursif dari persamaan diferensial yang

diberikan.
Dalam penelitian ini, MTDF diterapkan untuk menentukan nilai eigen dan
fungsi eigen yang merupakan penyelesaian pendekatan masalah Sturm-Liouville
fraksional. Hasil penelitian menunjukkan bahwa MTDF dapat diterapkan dengan
mudah untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville fraksional.
Dalam penggunaan MTDF, transformasi diferensial fraksional Y (k) dapat
ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat transformasi diferensial fraksional.
Selanjutnya, nilai-nilai Y (k) sampai dengan sejumlah N suku sebarang dapat
digunakan untuk memperoleh nilai eigen. Nilai eigen yang diperoleh digunakan
untuk menentukan fungsi eigen y(x) yang merupakan transformasi invers diferensial dari Y (k). Fungsi eigen yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan
masalah Sturm-Liouville fraksional
y(x) =

n
∑

k

Y (k)(x − x0 ) β .

k=0

to user
Kata kunci: metode transformasi commit
diferensial
fraksional, masalah Sturm-Liouville
fraksional, nilai eigen, fungsi eigen

iii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRACT
Asri Sejati, 2015. FRACTIONAL DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD
FOR SOLVING FRACTIONAL STURM-LIOUVILLE PROBLEM. Faculty of
Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
A fractional Sturm-Liouville differential equation is an ordinary SturmLiouville differential equation in which the second order derivative is replaced
by a fractional derivative of order α. The fractional derivatives are described in

the Caputo sense. A Fractional Sturm-Liouville differential equation is defined
as
′
Dα [p(x)y (x)] + q(x)y(x) + λr(x)y(x) = 0, x ∈ (a, b), 0 < α ≤ 1,
where p(x) > 0, r(x) > 0, p(x), q(x), and r(x) are continuous function in the interval [a, b], λ is eigen value, and y(x) is eigen function. A fractional Sturm-Liouville
problems is fractional Sturm-Liouville differential equation which subject to the
boundary conditions
′

′

α1 y(a) + β1 y (a) = 0,

α2 y(b) + β2 y (b) = 0,

with α1 , α2 , β1 , β2 is real constants. The Solution of the fractional SturmLiouville problems is the eigen values λ and eigen functions y which corresponding
to the eigen values. One of the approximate method that can be used to solve
the fractional Sturm-Liouville problems is the fractional differential transform
method (FDTM). The FDTM is the method based on the Taylor series expansion
which costructs an analytical solution in the form of a polynomial. This method

is used to determine the coefficients of the Taylor series by solving recursive
equation from the given differential equation.
In this research, FDTM is applied for computing the eigen values and eigen
functions that are the approximate solutions of the fractional Sturm-Liouville
problems. The results of the research show that FDTM can be applied easily to
solve fractional Sturm-Liouville problems.
In the use of FDTM, the fractional differential transformation Y (k) can be
determined by using the properties of the fractional differential transform. Furthermore, the values of Y (k) up to any arbitrary value of N can be used to obtain
the eigen values. The obtained eigen values are used to determine the eigen functions y(x) that are the differential inverse transform of Y (k). The obtained eigen
functions are the approximate solutions of fractional Sturm-Liouville problems
y(x) =

n
∑

k

Y (k)(x − x0 ) β .

k=0

Keywords: fractional differential transform method, fractional Sturm-Liouville
problem, eigen value, eigen function
commit to user

iv

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

MOTTO

Kemarin hanyalah sepenggal kisah perjalanan, seburuk apapun itu,
jangan sesali, mari bangkit dan berjuang untuk menyongsong hari
esok yang lebih dan lebih baik lagi.
Bukanlah kesulitan yang membuat kita takut, sebaliknya
ketakutanlah yang membuat kita menjadi sulit, maju dan hadapi.
Saat terjatuh ingatlah bahwa alasan mengapa kita jatuh adalah agar
kita bisa bangkit lagi.

(Penulis)

commit to user

v

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk
Kedua orangtua, kakak, dan adik-adikku tercinta,
terimakasih untuk semangat dan doa yang selalu menyertai.

commit to user

vi

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penulis bermaksud menyampaikan rasa terimakasih kepada Bapak Drs.
Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Bapak Irwan Susanto, S.Si., DEA selaku Pembimbing II yang telah dengan sabar memberikan bimbingan dan arahan
dalam penulisan skripsi ini. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada
teman-teman yang telah memberikan dukungan dan dorongan, serta semua pihak
yang membantu dalam penulisan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, Januari 2015

Penulis

commit to user

vii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

I

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

II LANDASAN TEORI
2.1

6

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.1

Kalkulus Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.2

Integral dan Derivatif Fraksional

. . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.3

commit .to. user
Masalah Sturm-Liouville
. . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.4

Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . .

14

viii

perpustakaan.uns.ac.id

2.1.5
2.2

digilib.uns.ac.id

Metode Transformasi Diferensial Fraksional . . . . . . . .

14

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

III METODE PENELITIAN

18

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

19

4.1

Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.2

Metode Transformasi Diferensial Fraksional

. . . . . . . . . . . .

20

4.3

Contoh Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

V PENUTUP

44

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

DAFTAR PUSTAKA

46

commit to user

ix

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL

4.1

Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1 , λ2 , dan λ3 sampai dengan
N = 67 suku pada Contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1 , λ2 , dan λ3 sampai dengan
N = 69 suku pada Contoh 4.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

35

Pendekatan dua nilai eigen pertama λ1 dan λ2 sampai dengan N = 101
suku pada Contoh 4.3.4

4.5

31

Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1 , λ2 , dan λ3 sampai dengan
N = 67 suku pada Contoh 4.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

7 4
Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1 , λ2 , dan λ3 dengan α = 12 , 35 , 10
,5

dan

9
10

untuk N suku tertentu pada Contoh 4.3.5 . . . . . . . . . . .

commit to user

x

42

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

4.1

Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 , λ2 ,
dan λ3 untuk n = 70 suku pada Contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . .

4.2

Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 , λ2 ,
dan λ3 untuk n = 50 suku pada Contoh 4.3.2 . . . . . . . . . . . . .

4.3

36

Grafik pendekatan dua fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 dan λ2
untuk n = 80 suku pada Contoh 4.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5

32

Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 ,
λ2 , dan λ3 untuk n = 30 suku pada Contoh 4.3.3 . . . . . . . . . .

4.4

27

40

Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1 (a), λ2
(b), dan λ3 (c) untuk n suku tertentu pada Contoh 4.3.5 . . . . . . .

commit to user

xi

43

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI

λ

:

nilai eigen

r(x)

:

fungsi bobot

y(x)

:

fungsi eigen

k

:

konstanta suku (iterasi)

x0

:

batas bawah interval

α

:

orde derivatif fraksional (0 < α ≤ 1)

Dα

:

operator diferensial fraksional berorde α

J α = D−α

:

operator integral fraksional berorde α

Jxα0 y(x)

:

integral fraksional Riemann-Liouville dari fungsi y(x)
dengan orde α dan batas bawah x0

Dxα0 y(x)

:

derivatif fraksional Riemann-Liouville dari fungsi y(x)
dengan orde α dan batas bawah x0

D∗αx0 y(x)

:

derivatif fraksional Caputo dari fungsi y(x)
dengan orde α dan batas bawah x0

Γ(z)

:

fungsi Gamma dari z

m

:

bilangan bulat positif terkecil yang lebih besar dari α

Z+

:

himpunan bilangan bulat positif

′
dy
, y (x), D1 y(x)
dx

:

derivatif pertama dari fungsi y(x) (α = 1)

Y (k)

:

transformasi diferensial fraksional dari fungsi y(x)

q

:

orde persamaan diferensial fraksional

β

:

orde pembagi dari α

N

:

jumlah suku pertama saat nilai eigen diperoleh

n

:

jumlah suku pertama yang diambil pada penyelesaian y(x)

✷

:

tanda telah terbukti

commit to user

xii