Pengaruh Relativistik Terhadap Koreksi Potensial Coulomb Pada Tingkat Atom Hidrogen

(1)

DAFTAR PUSTAKA

Anugraha, R., 2005, Pengantar Teori Relativitas dan Kosmologi,UGM PRESS :Yogyakarta.

Beiser Arthur, 1999,Konsep Fisika Modern, Edisi keempat,Erlangga :Jakarta. Behera,H.,Effect of relativistic correction to the Coulomb Potensial on the Energy

Levels of Hydrogen Atom.arXiv:1201.1619v2[physics.gen-ph] 10 January 2012:Mumbai.

Goldstein, H.,1980, Classical Mechanics,Second edition,Addison Wesley :Massachusetts.

Pauling, Wilson.1935.Introduction to Quantum Mechanics with Application to Chemistry. McGRAW-HILL BOOK COMPANY:New York.

Purwanto, Agus,2006, Fisika Kuantum, Gava Media : Yogyakarta.

Schiff, Leonard, 1939. Quantum Mechanics, Second edition,McGRAW-HILL BOOK COMPANY : New York.

Sokolov,Loskutov.1966.Quantum Mechanics.Publishing House of Ministry of Education of RSFSR: Moskow.

Zettili, Nouredine, 2009, Quantum Mechanics Concepts and Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Ltd: United Kingdom.

Zimmerman,R.L.and Olness,F.I.,1995.Mathematica for Physics. Addison-Wesley:Massachussetts.

(2)

PENGARUH RELATIVISTIK TERHADAP KOREKSI POTENSIAL COULOMB PADA TINGKAT ENERGI ATOM HIDROGEN

ABSTRAK

Telah dilakukan penelitian bahwa potensial Coulomb dipakai untuk mengetahui struktur atom hidrogen. Namun, menurut teori kuantum, hal ini tidak sepenuhnya benar karena pada dasarnya elektron pada atom hidrogen bergerak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya. Pengaruh kecepatan ini elektron ini tidak diperhitungkan dalam menyusun struktur atom hidrogen secara klasik, sedangkan menurut teori kuantum, pengaruh kecepatan elektron ini berperan dalam efek pengurangan potensial (potensial Li nard-Wiechert). Koreksi terhadap pengurangan potensial Coulomb harus diperhitungkan dalam menyusun tingkat-tingkat energi atom hidrogen, yang secara ekspektasi mekanika kuantum memiliki nilai . Nilai ini akan mengubah nilai eigen standard pada energi atom hidrogen. Koreksi ini juga memunculkan degenerasi pada spektrum atom hidrogen.

Kata kunci : atom hidrogen, pengurangan potensial, potensial Li nard-Wiechert, potensial Coulomb, struktur atom.

(3)

EFFECT OF RELATIVISTIC TO THE COULOMB POTENTIAL CORRECTION ON THE ENERGY LEVEL OF HYDROGEN ATOM

ABSTRACT

Based on expreriments have done, it is argued that Coulomb potential to study of energy levels of hydrogen atom. But, according to quantum theory, it is not correct one because the electron in the hydrogen atom moves with relativistic speed respect to the nucleus. Classically, this relativistic speed is not included in studying structure of hydrogen atom, however this relativistic speed lifts the efect retardation potential (Li nard-Wiechert potential). This correction has to be included in the energy levels of hydrogen atom, whose quantum mechanical expectation value is estimated at . This value modifies both standard energy eigenvalue in hydrogen atom, and lifts the -degeneracy in the spectra of hydrogen atom.

Keywords : hydrogen atom, potential retarded, Li nard-Wiechert potential, Coulomb potential, atom structure.

(4)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Potensial Coulomb untuk Partikel yang Bergerak

Dalam bab ini, akan dikemukakan teori-teori yang mendukung penyelesaian pembahasan pengaruh koreksi relativistik potensial Coulomb atom hidrogen, antara lain: potensial Coulomb untuk partikel bergerak, model atom Bohr, transormasi Lorentz, dan persamaan Schrodinger.

Secara umum, potensial dari suatu muatan titik q pada posisi tertentu dinyatakan sebagai

Di mana, R adalah jarak titik dari sumber muatan

Melalui prinsip superposisi, potensial dari sekumpulan muatan adalah

Selanjutnya, adalah menghitung pengurangan potensial, dari suatu muatan titik q yang bergerak membentuk sudut terhadap jarak R dengan kecepatan v

secara relativistik seperti gambar berikut

Gambar 2.1.Muatan q yang bergerak dengan kecepatan v dan membentuk sudut terhadap jarak R

(5)

Maka akan diperoleh persamaan potensial Coulomb

Di manaR r– vt yakni vektor dari posisi mula-mula dari suatu partikel terhadap titik r, adalah sudut antara R dan v, |v| = v, danc adalah kecepatan cahaya dalam ruang vakum dan t adalah waktu mula-mula. Bila keadaan nonrelativistik muncul ,yakni maka persamaan (2.3) akan kembali ke persamaan (2.1). Prinsip ini disebut prinsip pengurangan potensial dan dikemukakan oleh Lienard-Wiechert.

2.2 Model Atom Bohr

Gambaran klasik terhadap inti atom didasarkan pada gaya Coulomb antara inti bermuatan positif dan elektron bermuatan negatif yang mengelilingi inti. Sederhananya, pada atom hidrogen, dengan satu proton dan satu elektronyang terjadi pasti orbit melingkar. Elektron dengan massa medan bermuatan –e bergerak melingkar dengan jari-jari rdan kecepatan tangensial v yang tetap. Gaya tarik Coulomb menyebabkan adanya percepatan sentripetal untuk mempertahankan gerakannya. Gaya netto yang dialami oleh elektron adalah sebesar gaya elektrostatik ataupun gaya sentripetal, , sehingga

Dimana = 8,85 x 1012F/m yakni permitivitas ruang hampa. Besarnya gaya yang dialami bertanda positif namun pada arah –r, dimana rmerupakan vektor pointing satuan dari inti atom menuju posisi elektron. Dari persamaan di atas, dapat ditentukan energi kinetik elektron (dengan mengabaikan efek relativistik)

(6)

Energi potensial dalam hal ini bertanda negatif akibat tanda muatan elektron. Total energi E = K + V menghasilkan

Secara klasik, elektron berada di sekitar inti (pengaruh gaya Coulomb) tidak sepenuhnya dapat menggambarkan spektrum atom, sehingga konsep tentang inti atom mengalami perkembangan berikutnya.

Pada tahun 1911, Niels Bohr memodifikasi model atom. Energi elektromagnetik terkuantisasi, yakni perkalian bilangan bulat terhadap hfdimana f merupakan frekuensi foton. Bohr menyatakan bahwa orbit elektron hanya dapat terjadi pada keadaan tertentu dalam geraknya yang kemudian disebut sebagai keadaan stasioner, dimana pada keadaan ini tidak ada radiasi elektromagnetik yang dipancarkan. Pada keadaan ini momentum angular elektron, L merupakan perkalian bilangan bulat dengan konstanta Planck h dibagi 2 . Pada keadaan stasioner ini momentum anguler dapat bernilai dan tidak pernah bernilai selain bilangan bulat. Keadaan ini disebut dengan kuantisasi momentum angular, dan merupakan bagian dari hipotesis Bohr. Hipotesis ini berbeda dengan hipotesis Planck dan berperan dalam membangun hipotesis kuantisasi energi. Untuk orbit melingkar, vektor posisi elektron r selalu tegak lurus dengan momentum linear p. Momentum anguler L = r x p bernilai L = r.p= me.v.r.sehingga postulat Bohr terhadap kuantisasi momentum angular adalah

n merupakan bilangan bulat positif. Persamaan ini memberi solusi kecepatan

setelah menggunakan persamaan ini ke persamaan (2.4) diperoleh

(7)

Dalam hal ini a0= 0,00529 nm yang disebut sebagai jari-jari Bohr. Persamaan (2.11) merupakan jari- jari elektron yang diizinkan dalam mengorbit atom hidrogen.

Hasil ini lebih signifikan dan tidak dapat diprediksi oleh pernyataan klasik sebelumnya. Elektron hanya diizinkan mengorbit dengan jari-jari tertentu. Melalui persamaan (2.11), diperoleh kecepatan, momentum, dan energi total yang diizinkan dalam hidrogen

Merupakan kuantisasi kecepatan,

Merupakan kuantisasi momentum (momentum nonrelativistik), dan

Merupakan kuantisasi tingkat energi. Di sini = 13,6 eV yang merupakan energi dasar sistem. Energi elektron terkuantisasi hanya pada nilai-nilai diskrit yang diizinkan. Tingkat energi yang paling rendah disebut keadaan dasar, energi elektron bernilai 13,6 eV. Keadaan yang lebih tinggi, n = 2,3,4,... dengan energi -3,6 eV, -1,5 eV, -0,85 eV,... disebut keadaan tereksitasi. Bilangan bulat n yang menandai jari-jari dan tingkat energi yang diizinkan dikenal sebagai bilangan kuantum utama. Bilangan ini menandai tingkat energi dan keberadaan elektron. Ketika elektron dan inti terpisah pada jarak tak hingga (n ), maka E = 0. Untuk membawa elektron dari jarak tak hingga menuju keadaan tertentu, n, dibebaskan energi E = -(Ef- Ei) = |En|. Sebaliknya, bila elektron dipindahkan dari keadaan n menuju tak hingga, pasti dibutuhkan energi minimum |En|. Energi ini dikenal sebagai energi ikat pada keadaan n. Bila diberikan lebih banyak energi dari |En| terhadap elektron, maka kelebihan energi ini akan berubah menjadi energi kinetik untuk melepaskan elektron.

(8)

2.3 Transformasi Lorentz

Kaitan antara dan yang rasional memenuhi :

dengan menyatakan faktor pembanding yang tak tergantung dari besaran atau tetapi dapat merupakan fungsi . Pemilihan parsamaan (2.15) sebagai alternatif transformasi didasarkan pada pertimbangan-pertimbangan sebagai berikut :

a) Persamaan tersebut linear terhadap x dan , sehingga suatu kejadian dalam kerangka bersesuaian dengan kejadian tunggal dalam kerangka , seperti seharusnya.

b) Bentuk persamaan tersebut cukup sederhana, sehingga pemecahannya mudah dipahami.

Gambar 2.2. Kerangka acuan S dan Kerangka acuan S’

Menurut postulat pertama relativitas khusus, maka persamaan fisika harus berbentuk sama dalam kerangka dan , seperti Gambar (2.2), sehingga kaitan sebagai fungsi dan dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:

(9)

sedangkan pada arah koordinat y’ dan z’ memenuhi persamaan :

Koordinat dan tidak sama, hal ini dapat dilihat dengan mensubstitusi yang diperoleh dari persamaan (2.15) ke persamaan (2.16) diperoleh :

Dari persamaan ini diperoleh :

Persamaan (2.15), (2.16) hingga persamaan (2.20) merupakan transformasi koordinat yang memenuhi postulat relativitas khusus.

Pada saat , titik asal kedua kerangka dan berada pada tempat yang sama. Menurut persamaan awal juga, dan pengamat pada masing-masing koordinat melakukan pengukuran kelajuan cahaya yang menuju ke titik itu. Kedua pengamat harus mendapatkan kelajuan yang sama yaitu c.

Dalam kerangka S :

sedangkan dalam kerangka :

substitusi dan pada persamaan (2.15) dan (2.20) ke persamaan (2.22), dihasilkan :

(10)

Rumusan di atas sama dengan yang diberikan oleh persamaan (2.21) yaitu jika kuantitas dalam tanda kurung sama dengan satu, sehingga :

Akhirnya diperoleh nilai :

dengan memasukkan nilai ke persamaan (2.15) diperoleh persamaan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian dalam kerangka terhadap pengukuran yang sesuai yang dilakukan dalam kerangka :

2.4 Momentum Anguler Orbital

Dalam fisika klasik, momentum anguler partikel dengan momentum p, dan posisi rdinyatakan dengan

Operator momentum anguler orbital dapat diperoleh dengan menggantikan r

dan pdengan operator yang sesuai untuk posisi dan momentum, dan , dimana

sehingga

(11)

Namun, momentum anguler bukan pada satu dimensi, sehingga komponen , , dan kuadrat dinyatakan sebagai

Karena X, Y dan Z masing-masing komut, begitu juga dengan , dan dan

karena , , diperoleh

Dengan cara yang sama, diperoleh

2.5 Momentum Anguler Spin

Keberadaan spin pertama kali diteliti oleh Stern dan Gerlach tahun 1922 dengan menggunakan atom perak (Ag). Perak mempunyai 47 elektron, 46 di antaranya membentuk distribusi muatan simetris yang sferis dan elektron yang ke-47 menempati orbita 5s. Bila atom perak pada keadaan dasar, momentum anguler orbital totalnya adalah nol, . Pada percobaan Stern-Gerlach, atom perak melewatimedan magnetik nonhomogen. Bila dalam percobaan, medan meagnetik dianggap searah sumbu z, secara klasik akan diperoleh pita kontinyu sekitar . Menurut teori gelombang Schrodinger, bila atom memiliki momentum anguler orbita , akan terjadi perpecahan menjadi bilangan diskrit (ganjil)

komponen. Andaikan gerakan atom pada keadaan dasar , hanya ada satu titik yang dapat ditangkap oleh layar, dan apabila awan elektron menepati keadaan 5p ( ) akan terdapat 3 titik pada layar. Secara eksperimen, gerakan atom menurut prediksitidak seperti fisika klasik maupun teori gelombang Schrodinger. Mengatasi hal ini. Goudsmith dan Uhlenbeck mengemukakan pendapatnya tahun 1925, selain momentum anguler orbital , elektron memiliki momentum anguler

(12)

intrinsik, yang tidak seperti momentum anguler orbital. Hal ini dinamakan dengan momentum anguler spin. Tidak seperti momentum anguler orbital, spin tidak dapat digambarkan dengan operator diferensial. Dari teori klasik elektromegnetik, momen dipol magnetik orbital diperoleh dari gerak orbital partikel bermuatan q

Di mana L adalah momentum anguler orbital partikel, m adalah massa dan c adalah kecepatan cahaya. Dengan cara yang sama, diperoleh analisis gerakan spin elektron sebagai momen dipol magnetik spin

Dengan analogi momentum anguler orbital, partikel yang bercirikan 2 bilangan kuantum, bilangan kuantum orbital dan bilangan kuantum azimuth ( ). Momentum anguler spin jugan menjadi ciri 2 bilangan kuantum tersebut.

(13)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Potensial Coulomb untuk Partikel yang Bergerak

Secara umum, potensial dari suatu muatan titik q pada posisi tertentu dinyatakan sebagai

Di mana, R adalah jarak titik dari sumber muatan

Melalui prinsip superposisi, potensial dari sekumpulan muatan adalah

Selanjutnya, adalah menghitung pengurangan potensial, dari suatu muatan titik q yang bergerak membentuk sudut terhadap jarak R dengan kecepatan v

secara relativistik seperti gambar berikut

Gambar 2.1.Muatan q yang bergerak dengan kecepatan v dan membentuk sudut terhadap jarak R

(14)

Maka akan diperoleh persamaan potensial Coulomb

2.2 Model Atom Bohr

(15)

Energi potensial dalam hal ini bertanda negatif akibat tanda muatan elektron. Total energi E = K + V menghasilkan

Secara klasik, elektron berada di sekitar inti (pengaruh gaya Coulomb) tidak sepenuhnya dapat menggambarkan spektrum atom, sehingga konsep tentang inti atom mengalami perkembangan berikutnya.

n merupakan bilangan bulat positif. Persamaan ini memberi solusi kecepatan

setelah menggunakan persamaan ini ke persamaan (2.4) diperoleh

(16)

Dalam hal ini a0= 0,00529 nm yang disebut sebagai jari-jari Bohr. Persamaan (2.11) merupakan jari- jari elektron yang diizinkan dalam mengorbit atom hidrogen.

Merupakan kuantisasi kecepatan,

Merupakan kuantisasi momentum (momentum nonrelativistik), dan

(17)

2.3 Transformasi Lorentz

Kaitan antara dan yang rasional memenuhi :

a) Persamaan tersebut linear terhadap x dan , sehingga suatu kejadian dalam kerangka bersesuaian dengan kejadian tunggal dalam kerangka , seperti seharusnya.

b) Bentuk persamaan tersebut cukup sederhana, sehingga pemecahannya mudah dipahami.

Gambar 2.2. Kerangka acuan S dan Kerangka acuan S’

(18)

sedangkan pada arah koordinat y’ dan z’ memenuhi persamaan :

Koordinat dan tidak sama, hal ini dapat dilihat dengan mensubstitusi yang diperoleh dari persamaan (2.15) ke persamaan (2.16) diperoleh :

Dari persamaan ini diperoleh :

Persamaan (2.15), (2.16) hingga persamaan (2.20) merupakan transformasi koordinat yang memenuhi postulat relativitas khusus.

Dalam kerangka S :

sedangkan dalam kerangka :

substitusi dan pada persamaan (2.15) dan (2.20) ke persamaan (2.22), dihasilkan :

(19)

Rumusan di atas sama dengan yang diberikan oleh persamaan (2.21) yaitu jika kuantitas dalam tanda kurung sama dengan satu, sehingga :

Akhirnya diperoleh nilai :

dengan memasukkan nilai ke persamaan (2.15) diperoleh persamaan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian dalam kerangka terhadap pengukuran yang sesuai yang dilakukan dalam kerangka :

2.4 Momentum Anguler Orbital

Dalam fisika klasik, momentum anguler partikel dengan momentum p, dan posisi rdinyatakan dengan

Operator momentum anguler orbital dapat diperoleh dengan menggantikan r

dan pdengan operator yang sesuai untuk posisi dan momentum, dan , dimana

sehingga

(20)

Namun, momentum anguler bukan pada satu dimensi, sehingga komponen , , dan kuadrat dinyatakan sebagai

Karena X, Y dan Z masing-masing komut, begitu juga dengan , dan dan

karena , , diperoleh

Dengan cara yang sama, diperoleh

2.5 Momentum Anguler Spin

(21)

Di mana L adalah momentum anguler orbital partikel, m adalah massa dan c adalah kecepatan cahaya. Dengan cara yang sama, diperoleh analisis gerakan spin elektron sebagai momen dipol magnetik spin

(22)

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Rancangan Penelitian

Langkah awal yang dilakukan adalah menemukan persamaan potensial Coulomb nonrelativistik dan kemudian mengembangkannya menurut koreksi relativistik. Pada akhirnya akan dilakukan perbandingan potensial Coulomb tanpa koreksi relativistik dengan potensial Coulomb koreksi relativistik.

3.2 Diagram Alir Penelitian

Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini dengan menentukan persamaan potensial Coulomb dan melakukan koreksi relativistik pada tingkatan energi atom hidrogen. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat diagram di bawah ini

(23)

Atom Hidrogen

Pendekatan Klasik

v << c

Pendekatan Relativistik

v ≤ c

Potensial Coulomb Potensial Lienard-Whiecert

Penentuan Energi Potensial Penentuan Energi Potensial Relativistik

Penentuan Hamiltonian secara kuantum

Tingkat-tingkat Energi Atom Hidrogen

Koreksi

(24)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Persamaan Potensial Coulomb

Persamaan potensial Coulomb diturunkan dari Hukum Gauss. Pada gambar 4.1 berikut terdapat permukaan Gauss pada jarak dari suatu pusat bola berjari-jari dan muatan total sebesar

Permukaan Gauss

Gambar 4.1.Permukaan Gauss pada Jarak r dari Pusat Bola Berjari-jari R

Dari gambar 4.1 di atas tampak bahwa . Dalam hal ini, hukum Gauss mengungkapkan

Di mana . Integral tertutup persamaan (4.1) dapat diganti dengan integral permukaan karena bentuk bola yang simetris, sehingga

(25)

Sehingga

Atau

Dari persamaan elektrostatik, untuk menghasilkan potensial dari medan listrik digunakan persamaan

Potensial listrik adalah daerah sekitar muatan listrik yang masih dipengaruhi oleh medan listrik. Untuk daerah di mana , . Dari persamaan (4.5) dan (4.6) diperoleh

Bila , dan , yakni pada jarak tak hingga dari muatan , diperoleh

Dari persamaan (4.8) di atas, besar potensial Coulomb dari gambar 4.1 pada jarak darim muatan pada pusat bola, diperoleh

Bila ada distribusi muatan yang merata pada suatu daerah volume kecil , maka potensial Coulomb yang berlaku adalah

(26)

Atau

Persamaan ini dikenal sebagai Persamaan Poission.

4.2 Atom Hidrogen

Untuk orbit melingkar, vektor posisi elektron, selalu tegak lurus dengan momentum linear, . Momentum anguler, bernilai , sehingga postulat Bohr terhadap kuantisasi momentum anguler adalah

Dimana merupakanbilangan bulat positif. Persamaan ini memberi solusi kecepatan

Gaya netto yang dialami elektron adalah

Dengan mensubstitusi persamaan (4.12) ke persamaan (4.13), diperoleh jari-jari atom

Di mana disebut sebagai jari-jari Bohr. Dari persamaan(4.14), diperoleh kuantitas kecepatan maupun momentum linear atom hidrogen, yaitu

Dan

Energi total merupakan jumlah energi potensial dan energi kinetik yang dialami elektron pada atom hidrogen yang nilainya

(27)

Dari persamaan (4.14), kuantitas energi atom hidrogen menurut atom Bohr adalah

Jika , nilai energinya disebut energi keadaan dasar, yaitu .

4.3 Pasangan Spin-Orbit

Pasangan spin-orbit pada atom hidrogen berasal dari interaksi antara momen magnetik spin elektron dan medan magnetik orbital proton,

B L

-e v

Gambar 4.2

Berdasarkan Gambar 4.2, medan magnetik yang dialami elektron adalah

Di mana merupakan momentum linear elektron dan adalah medan listrik yang ditimbulkan oleh gaya Coulomb. Secara umum, medan listrik arah radial yang timbulpada interaksi Coulomb adalah

(28)

Karena pada interaksi Coulomb berlaku

Di mana adalah potensial Coulomb dan adalah fungsi potensial terhadap . Dengan mensubstitusikan persamaan (4.20) ke persamaan (4.19), maka diperoleh persamaan medan magnetik pada elektron

Di mana adalah momentum anguler orbital elektron interaksi antara momen dipol spin elektron, dengan medan magnetik yang menghasilkan interaksi energi, yakni

Dengan melakukan transormasi balik pada kerangka acuan diam, persamaan (4.23) akan mengalami reduksi dengan faktor 2, sehingga

Di mana meerupaka operator yang berkaitan dengan interaksi spin-orbital.

Untuk atom hidrogen dan , sehingga

persamaan (4.24) menjadi

Maka persamaan Hamiltonian berdasarkan teori gangguan interaksi spin-orbit atom hidrogen adalah

Pada keadaan , keadaan eigen menurut nilai eigen yang bersangkutan adalah

(29)

Di mana adalah energi interaksi spin-orbit, yakni

Dengan menggunakan nilai dari (lampiran 2), diperoleh bahwa sehingga persamaan (4.29) dapat ditulis

Di mana , konstanta tanpa dimensi dan . Persamaan (4.30) dapat juga ditulis dalam bentuk

Di mana adalah Energi spin-orbit pada orde 1.Persamaan (4.31) merupakan persamaan tingkat energi atom hidrogen pengaruh spin-orbit dari elektron terhadap inti atom.

4.4 Koreksi Relativistik terhadap Energi Kinetik

Meskipun efek relativistik pada hidrogen yang disebabkan oleh pergerakan elektron sangat kecil, namun masih dapat diamati dengan spektroskopi. Energi kinetik relativistik elektron dirumuskan dengan , dimana merupakan energi diam elektron. Dengan melakukan ekspansi terhadap persamaan ini, diperoleh

(30)

Sehingga Hamiltonian untuk hidrogen menjadi

Di mana merupakan Hamiltonian tanpa gangguan dan adalah koreksi relativistik yang dapat dianggap sebagai gangguan orde pertama. Nilai ekspektasi dari koreksi relativistik ini adalah

Nilai (lampiran 3) diberikan

Dengan substitusi persasmaan (4.35) ke persamaan (4.34), diperoleh persamaan energi pengaruh koreksi relativistik terhadap energi kinetik

Sehingga energi total relativistik Hamiltonian persamaan(4.33) adalah

4.5 Struktur Asli Atom Hidrogen

Struktur asli atom hidrogen diperoleh dengan menggabungkan koreksi spin-orbit pada persamaan (4.31) dan koreksi relativistik energi kinetik pada persamaan (4.37), yakni

(31)

Di mana adalah energi struktur asli atom hidrogen, adalah energi spin-orbit, adalah energi koreksi relativistik energi kinetik, . Untuk

atau , substitusi ke persamaan (4.38), menghasilkan

Dengan cara yang sama, substitusi atau ke persamaan (4.38) akan menghasilkan persamaan yang sama dengan persamaan (4.39). Dari persamaan (4.39) ini akan dihasilkan persamaan umum tingkat energi atom hidrogen, yaitu

(32)

Di mana . Dari persamaan di atas, tampak bahwa terbagi menjadi 2 tingkat energi yakni karena memiliki nilai .

4.6 Potensial Li nard-Wiechert (Pengurangan Potensial)

Pengurangan potensial, dari suatu muatan titik yang bergerak pada suatu lintasan

Pengurangan waktu ditentukan secara implisit melalui persamaan

Bagian kiri persamaan (4.42) menyatakan jarak yang ditempuh dan

menyatakan waktu untuk melakukan ‘perjalanan’ itu (Gambar 4.3). Parameter menyatakan posisi pengurangan muatan, dan menyatakan vektor dari posisi pengurangan ke medan titik , sehingga

y r W(tr)

Posisi pengurangan

Gambar 4.3

Posisi Sekarang

(33)

Dalam hal ini, persamaan (4.10) berubah menjadi

Dan pengurangan potensial dari muatan titik dengan sederhana menjadi . Pengaruh efek Doppler relativistik (lampiran 1), diperoleh nilai

Maka, persamaan (4.44) berubah menjadi

Bila suatu partikel bergerak dengan kecepatan konstan , maka persamaan (4.41) berubah menjadi

Dan persamaan (4.42) juga berubah menjadi

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan (4.48), diperoleh

Jika diambil nilai dengan rumus peersamaan kuadrat maka

Dengan mengambil limit menuju , diperoleh . Dalam hal ini, muatan diam pada pusat koordinat, sehingga pengurangan waktu menjadi .

(34)

Sekarang, dari persamaan (4.43) dan (4.48) diperoleh dan , yakni vektor satuan dari jarak ke medan vektor . Dari kedua persamaan ini maka diperoleh nilai

Melalui substitusi persamaan (4.51) ke persamaan (4.46), diperoleh

Bila suatu muatan bergerak dengan kecepatan konstan , seperti pada Gambar(2.1), dimana , yakni vektor ‘waktu sekarang’ terhadap medan titik , dan adalah sudut antara dan , maka dapat dicari

Dari Gambar (2.1), diperoleh

Bila persamaan (4.53) dikali dot vektor dengan , maka diperoleh atau

(35)

Bila persamaan (4.54),(4.55),dan(4.56) digabung maka diperoleh persamaan

Sehingga, dengan mensubstitusi persamaan (4.57) ke persamaan (4.52), diperoleh

Ini adalah persamaan pengurangan potensial Coulomb pengaruh relativistik atau Potensial Li nard-Wiechert.

4.7 Koreksi Relativistik Potensial Coulomb

Berdasarkan persamaan (4.58) energi potensial relativistik atom hidrogen diperoleh

Pada saat elektron mengelilingi inti atom, besar momentum anguler adalah , maka persamaan (4.59) dapat ditulis kembali dengan

Untuk pada orde pertama dalam , dengan melakukan aproksimasi persamaan (4.60) dapat ditulis menjadi

(36)

Yang menghasilkan pengurangan energi potensial sebesar

Menurut teori gangguan orde pertama dan dengan melakukan perkiraan terhadap variabel dan , maka nilai eigen dari pengurangan energi ini adalah

Ini merupakan persamaan energi pengaruh relativistik terhadap potensial Coulomb pada tingkat-tingkat energi atom hidrogen. Dengan menggabungkan peersamaan (4.63) dan persamaan (4.40) diperoleh persamaan tingkat energi atom hidrogen

Tampak dalam persamaan (4.67) bahwa degenarasi tetap ada, sedangkan dalam persamaan (4.40) tidak terdapat degenerasi . Perbedaan kedua persamaan inilah sebagai akibat dari pengaruh koreksi relativistik terhadap potensial Coulomb, yang memiliki nilai yang sama dengan persamaan (4.63), dimana

(37)

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan dalam Bab IV adalah:

1. Pengaruh relativistik pada potensial Coulomb yang mengubah persamaan potensial Coulomb tersebut menjadi persamaan Potensial

Li nard-Wiechert, . Kedua persamaan ini memilik

perbedaan dari pengamatan yang dilakukan. Potesial Coulomb diasumsikan dengan menganggap bahwa elektron bergerak mengelilingi inti atom hidrogen dengan kecepatan relatif kecil terhadap kecepatan cahaya atau bahkan saat elektron tersebut diam, sedangkan potensial Li nard-Wiechert diasumsikan jika dibandingkan dengan kecepatan elektron mendekati kecepatan cahaya.

2. Tingkat-tingkat energi atom hidrogen memiliki perbedaan dalam pengamatan nonrelativistik dan relativistik. Koreksi terhadap potensial Coulomb menjadi potensial Li nard-Wiechert mengakibatkan tingkat energi atom hidrogen mengalami pengurangan sebesar . Pengaruh relativistik pada potensial Coulomb ini menyebabkan adanya degenarasi-l pada tingkat-tingkat energi atom hidrogen seperti yang terlihat pada persamaan ini.

(38)

5.2 Saran

Berbicara mengenai atom hidrogen, tidak terlepas dari bilangan kuantum. Diharapkan untuk para peneliti selanjutnya untuk mampu mengkaji pengaruh bilangan-bilangan kuantum ini terhadap keadaan (‘state’) atom. Pengkajian ini tentu membutuhkan aplikasi matematika khusus sehingga diharapkan kepada peneliti selanjutnya untuk menguasainya dalam mengembangkan penelitian ini.

(39)