Baris dan deret aritmatika dalma kehidup (2)
Baris dan deret aritmatika dalma kehidupan
Besarnya penerimaan P.T Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun
kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan
tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa
besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460
Juta?
Jawab :
Penerimaan Tahun Ke-5 : U5 = 720
U5 = a + (5 – 1 )b
720 = a + 4b
Penerimaan Tahun Ke-7 : U7 = 980
U7 = a + (7 – 1) b
980 = a +6b
a + 4b = 720
a + 6b = 980
-2b = -260
b = 130
a + 4b = 720
a + 4.130 = 720
a = 720 – 520
a = 200
Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 Juta
Penerimaan Tahun Ke-n = 460
Un = a + (n – 1) b
460 = 200 + ( n – 1 )130
260 = 130n – 130
390 = 130n
n=3
Jadi jumlah penerimaan sebesar Rp. 460 juta terjadi pada tahun ketiga
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan
adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan.
Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap
bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang
dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun
pertama produksinya ?
Jawab :
Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12
U12 = a + (n – 1)
b
= 5.000 + (12 – 1) 300
= 5.000 + (11) 300
= 5.000 + 3.300 = 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik
Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
S12 = n/2 (a + U12 )
= 12/2 (5.000 + 8.300)
= 6 (13.300)
= 79.800
tabungan Bagus dari menyisihkan uang jajannya adalah sebesar Rp. 35.000 pada bulan kelima
dan sebesar Rp. 45.000 pada tahun ketujuh. Apabila Bagus menabung secara konstan dari bulan
ke bulan, pada bulan ke berapa tabungannya mencapai Rp. 50.000 ?
Jawab :
S7 = 1,8 miliar
45.000 = a + 6b
S5 = 1,2 miliar
35.000 = a + 4b b = 5.000
Sehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun : Rp. 300.000.000, Adapun
penerimaan pada tahun pertama adalah :
a + 4b
= 35.000
a + 4(5.000) = 35.000
a + 20.00
= 35.000
a
= 15.000
Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan
sebesar 2,7 miliar diterimanya pada tahun :
Sn
= a + (n-1) b
50.000
= 0 + (n-1) 5.000
50.000
= 0 + 5.000n – 5.000
50.000 + 5.000 = 5.000n
n = 11
Jadi penerimaan sebesar Rp. 2,7 miliar diterima perusahaan pada tahun ke-11
APLIKASI DALAM ILMU EKONOMI BISNIS
Deret dalam Mengukur Pertumbuhan Penduduk
Menurut Robert Malthus, dalam mengukur Pertumbuhan Penduduk mengikuti Barisan Geometri
(Ukur), sedangkan Pertumbuhan Pangan mengikuti Barisan Aritmatika (Hitung).
Secara Matematis dapat dirumuskan:
Dimana :
Pt = Jumlah penduduk pada periode t
Pi = Jumlah penduduk pada awal periode
r = pertumbuhan penduduk (%)
t = Selisih waktu pada awal periode hingga periode t
Contoh:
Di Kota A pada tahun 2000 jumlah penduduknya sebnayak 2.000.000 jiwa dab menurut historis
perhitungan tingkat pertumbuhan penduduknya sebesar 2% / tahun. Berapa jumlah penduduk di
Kota A tahun 2004?
Barisan dalam Usaha Bisnis
Penerapan barisan bagi dunia bisnis yang lebih sesuai adalah Barisan Aritmatika. Karena apabila
diukur dengan barisan geometri, variabel-variabel ekonomi seperti biaya produksi, modal,
pendapatan, tenaga kerja akan kesulitan untuk mengikutinya dalam arti segera memenuhinya.
Contoh: Stok barang PT. X pada bulan 1 sampai dengan 10, setelah dihitung rata-rata permintaan
barang tersebut ialah 7. Berapakah stok barang pada bulan ke-6
Deret dalam Mengukur Bunga Majemuk
Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah baris geometri khususnya bagi
hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.
Rumus:
Rumus ini untuk kredit system pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali.
Sebaiknya jika suku bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun rumusnya menjadi:
Contoh :
Mr. Bean kredit mobil dengan uang muka 10.000.000, sisa kreditnya yaitu 30.000.000 dengan
suku bunga kredit 2% / bulan dalam jangka waktu 2 tahun. Berapakah jumlah kredit setelah jatuh
tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga mobil?
Besarnya penerimaan P.T Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun
kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan
tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa
besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460
Juta?
Jawab :
Penerimaan Tahun Ke-5 : U5 = 720
U5 = a + (5 – 1 )b
720 = a + 4b
Penerimaan Tahun Ke-7 : U7 = 980
U7 = a + (7 – 1) b
980 = a +6b
a + 4b = 720
a + 6b = 980
-2b = -260
b = 130
a + 4b = 720
a + 4.130 = 720
a = 720 – 520
a = 200
Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 Juta
Penerimaan Tahun Ke-n = 460
Un = a + (n – 1) b
460 = 200 + ( n – 1 )130
260 = 130n – 130
390 = 130n
n=3
Jadi jumlah penerimaan sebesar Rp. 460 juta terjadi pada tahun ketiga
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan
adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan.
Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap
bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang
dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun
pertama produksinya ?
Jawab :
Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12
U12 = a + (n – 1)
b
= 5.000 + (12 – 1) 300
= 5.000 + (11) 300
= 5.000 + 3.300 = 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik
Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
S12 = n/2 (a + U12 )
= 12/2 (5.000 + 8.300)
= 6 (13.300)
= 79.800
tabungan Bagus dari menyisihkan uang jajannya adalah sebesar Rp. 35.000 pada bulan kelima
dan sebesar Rp. 45.000 pada tahun ketujuh. Apabila Bagus menabung secara konstan dari bulan
ke bulan, pada bulan ke berapa tabungannya mencapai Rp. 50.000 ?
Jawab :
S7 = 1,8 miliar
45.000 = a + 6b
S5 = 1,2 miliar
35.000 = a + 4b b = 5.000
Sehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun : Rp. 300.000.000, Adapun
penerimaan pada tahun pertama adalah :
a + 4b
= 35.000
a + 4(5.000) = 35.000
a + 20.00
= 35.000
a
= 15.000
Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan
sebesar 2,7 miliar diterimanya pada tahun :
Sn
= a + (n-1) b
50.000
= 0 + (n-1) 5.000
50.000
= 0 + 5.000n – 5.000
50.000 + 5.000 = 5.000n
n = 11
Jadi penerimaan sebesar Rp. 2,7 miliar diterima perusahaan pada tahun ke-11
APLIKASI DALAM ILMU EKONOMI BISNIS
Deret dalam Mengukur Pertumbuhan Penduduk
Menurut Robert Malthus, dalam mengukur Pertumbuhan Penduduk mengikuti Barisan Geometri
(Ukur), sedangkan Pertumbuhan Pangan mengikuti Barisan Aritmatika (Hitung).
Secara Matematis dapat dirumuskan:
Dimana :
Pt = Jumlah penduduk pada periode t
Pi = Jumlah penduduk pada awal periode
r = pertumbuhan penduduk (%)
t = Selisih waktu pada awal periode hingga periode t
Contoh:
Di Kota A pada tahun 2000 jumlah penduduknya sebnayak 2.000.000 jiwa dab menurut historis
perhitungan tingkat pertumbuhan penduduknya sebesar 2% / tahun. Berapa jumlah penduduk di
Kota A tahun 2004?
Barisan dalam Usaha Bisnis
Penerapan barisan bagi dunia bisnis yang lebih sesuai adalah Barisan Aritmatika. Karena apabila
diukur dengan barisan geometri, variabel-variabel ekonomi seperti biaya produksi, modal,
pendapatan, tenaga kerja akan kesulitan untuk mengikutinya dalam arti segera memenuhinya.
Contoh: Stok barang PT. X pada bulan 1 sampai dengan 10, setelah dihitung rata-rata permintaan
barang tersebut ialah 7. Berapakah stok barang pada bulan ke-6
Deret dalam Mengukur Bunga Majemuk
Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah baris geometri khususnya bagi
hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.
Rumus:
Rumus ini untuk kredit system pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali.
Sebaiknya jika suku bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun rumusnya menjadi:
Contoh :
Mr. Bean kredit mobil dengan uang muka 10.000.000, sisa kreditnya yaitu 30.000.000 dengan
suku bunga kredit 2% / bulan dalam jangka waktu 2 tahun. Berapakah jumlah kredit setelah jatuh
tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga mobil?