Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta Handout PD sesi4
PD
Pertemuan ke-4
Pokok Bahasan: PD linear tingkat 1
Bentuk umum:
dy
+ P( x) y =
Q( x) ………………………………………………(1)
dx
Penyelesaian:
1. Metode faktor integral
2. Metode Lagrange (variasi parameter)
3. Metode Bernoulli
Metode faktor integral:
PD bentuk (1) dapat ditulis menjadi:
( P( x) y − Q( x))dx + dy =
0
Misalkan M ( x, y ) =−
P ( x) y Q( x), N ( x, y ) =
1
∂N
∂M
=0
= P( x) ,
∂x
∂y
jadi
∂M ∂N
1 ∂M ∂N
dan
≠
(
−
)=
P ( x) fungsi x saja sehingga
N ∂y ∂x
∂y
∂x
diperoleh faktor integral
1 ∂M ∂N
P ( x ) dx
∫ N ( ∂y − ∂x ) dx
u e=
e∫
=
Persamaan (1) dapat ditulis dalam
dy + P ( x) ydx =
Q( x)dx
dikalikan dengan faktor integral, diperoleh
e∫
P ( x ) dx
d (e ∫
dy + e ∫
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P( x) ydx =
e∫
Q( x)dx
y ) = Q ( x )e ∫
P ( x ) dx
dx
∫ P ( x ) dx y )
=
∫ d (e
P ( x ) dx
=
e∫
y
PU:
y
∫ Q ( x )e
∫
∫ Q ( x )e
∫ P ( x ) dx dx + c
P ( x ) dx
dx + c
− P ( x ) dx
− ∫ P ( x ) dx
∫ P ( x ) dx
……………………………………(2)
e ∫
∫ Q( x)e dx + ce
PD Bernoulli:
Bentuk umum:
dy
+ P( x) y =
Q( x) y n
dx
Diselesaikan dengan membawa ke PD linear tingkat 1 yaitu kedua ruas dibagi y n
diperoleh
y−n
dy
Q( x)
+ P( x) y1− n =
dx
Substitusi y1− n = w
Diturunkan menjadi (1 − n) y − n
y−n
dy dw
=
dx dx
dy dw 1
=
dx dx (1 − n)
1 dw
+ P( x) w =
Q( x)
(1 − n) dx
dw
+ (1 − n) P( x) w = (1 − n)Q( x) PD linear tingkat 1.
dx
− (1− n ) P ( x ) dx
∫ (1− n ) P ( x ) dx dx + ce − ∫ (1− n ) P ( x ) dx
PU w =
e ∫
∫ (1 − n)Q( x)e
Dengan w = y1− n
Contoh 1: Selesaikan PD 2( y − 4 x 2 )dx + xdy =
0
Jawab: diubah ke PD linear tingkat 1
x
dy
+ 2( y − 4 x 2 ) =
0
dx
x
dy
+ 2y =
8x2
dx
dy 2
2
+ y=
8 x PD linear dengan=
P( x) =
, Q( x) 8 x
dx x
x
∫
Faktor integral
u e=
e
=
P ( x ) dx
= eln x = x 2
2
ydx) =
8 x3 dx
x
x 2 dy + 2 xydx =
8 x 3dx
d ( x 2 y ) = 8 x3 dx
( x y ) ∫ 8 x dx + c
∫ d=
2
3
2
x=
y 2x4 + c
x2 y − 2x4 =
c
Atau langsung dengan rumus (2)
y
− P ( x ) dx
∫ P ( x ) dx dx + ce − ∫ P ( x ) dx
e ∫
Q
(
x
)
e
∫
y e
=
−
2
∫ x dx
=
y eln x
=
y
−2
∫ 8 xe
2
∫ x dx
2
2
8 xdx dengan u, diperoleh
ydx =
x
Kalikan PD dy +
x 2 (dy +
2
∫ x dx
dx + ce
−
ln x
ln x
∫ 8 xe dx + ce
2
1
c
8 x3 dx + 2
2 ∫
x
x
2
∫ x dx
−2
=
y
2x 4 c
+
x2 x2
2
x=
y 2x4 + c
x2 y − 2x4 =
c
Contoh 2: selesaikan PD
dy 1
y2
− y=
− 2
dx x
x
Jawab: PD tersebut PD Bernoulli dengan
−1
−1
=
, Q( x)
dan n = 2.
x
x2
=
P( x)
Selanjutnya diubah ke PD linear tingkat dengan substitusi
y −1 = w
Diperoleh PU
− (1− 2) P ( x ) dx
∫ (1− 2) P ( x ) dx dx + ce − ∫ (1− 2) P ( x ) dx
w=
e ∫
∫ (1 − 2) Q( x)e
−1
−1
−1 ∫ dx
∫ dx
∫ dx
w=
e x ∫ (1 − 2) 2 e x dx + ce x
x
1 1
c
x dx +
2
∫
x x
x
=
w
1
c
ln x +
x
x
=
w
xw
= ln x + c
xw − ln x =
ln c1
x
− ln x =
ln c1
y
x
y
ln e − ln x =
ln c1
1
x
y
ln
e
= ln c1
x
x
y
x
e
= c1 sehingga PU: e y = c1 x
x
Latihan:
1. ydx + (3 x − xy + 2) dy =
0
2.
dy 3 y
+
=
6x2
dx x
3. x 4
dy
+ 2 x3 y =
1
dx
4.
dy
+ 3y =
3 x 2 e −3 x
dx
5.
dx x 1
+ =
dt t 2 t 2
6.
dy
+ 4 xy =
8x
dx
7. (u 2 + 1)
8. x
dv
+ 4uv =
3u
du
dy 2 x + 1
+
y=
x −1
dx x + 1
9. ( x 2 + x − 2)
10.
dy
+ 3( x + 1) y =x − 1
dx
dr
+ r tan θ =
cos θ
dθ
Pertemuan ke-4
Pokok Bahasan: PD linear tingkat 1
Bentuk umum:
dy
+ P( x) y =
Q( x) ………………………………………………(1)
dx
Penyelesaian:
1. Metode faktor integral
2. Metode Lagrange (variasi parameter)
3. Metode Bernoulli
Metode faktor integral:
PD bentuk (1) dapat ditulis menjadi:
( P( x) y − Q( x))dx + dy =
0
Misalkan M ( x, y ) =−
P ( x) y Q( x), N ( x, y ) =
1
∂N
∂M
=0
= P( x) ,
∂x
∂y
jadi
∂M ∂N
1 ∂M ∂N
dan
≠
(
−
)=
P ( x) fungsi x saja sehingga
N ∂y ∂x
∂y
∂x
diperoleh faktor integral
1 ∂M ∂N
P ( x ) dx
∫ N ( ∂y − ∂x ) dx
u e=
e∫
=
Persamaan (1) dapat ditulis dalam
dy + P ( x) ydx =
Q( x)dx
dikalikan dengan faktor integral, diperoleh
e∫
P ( x ) dx
d (e ∫
dy + e ∫
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P( x) ydx =
e∫
Q( x)dx
y ) = Q ( x )e ∫
P ( x ) dx
dx
∫ P ( x ) dx y )
=
∫ d (e
P ( x ) dx
=
e∫
y
PU:
y
∫ Q ( x )e
∫
∫ Q ( x )e
∫ P ( x ) dx dx + c
P ( x ) dx
dx + c
− P ( x ) dx
− ∫ P ( x ) dx
∫ P ( x ) dx
……………………………………(2)
e ∫
∫ Q( x)e dx + ce
PD Bernoulli:
Bentuk umum:
dy
+ P( x) y =
Q( x) y n
dx
Diselesaikan dengan membawa ke PD linear tingkat 1 yaitu kedua ruas dibagi y n
diperoleh
y−n
dy
Q( x)
+ P( x) y1− n =
dx
Substitusi y1− n = w
Diturunkan menjadi (1 − n) y − n
y−n
dy dw
=
dx dx
dy dw 1
=
dx dx (1 − n)
1 dw
+ P( x) w =
Q( x)
(1 − n) dx
dw
+ (1 − n) P( x) w = (1 − n)Q( x) PD linear tingkat 1.
dx
− (1− n ) P ( x ) dx
∫ (1− n ) P ( x ) dx dx + ce − ∫ (1− n ) P ( x ) dx
PU w =
e ∫
∫ (1 − n)Q( x)e
Dengan w = y1− n
Contoh 1: Selesaikan PD 2( y − 4 x 2 )dx + xdy =
0
Jawab: diubah ke PD linear tingkat 1
x
dy
+ 2( y − 4 x 2 ) =
0
dx
x
dy
+ 2y =
8x2
dx
dy 2
2
+ y=
8 x PD linear dengan=
P( x) =
, Q( x) 8 x
dx x
x
∫
Faktor integral
u e=
e
=
P ( x ) dx
= eln x = x 2
2
ydx) =
8 x3 dx
x
x 2 dy + 2 xydx =
8 x 3dx
d ( x 2 y ) = 8 x3 dx
( x y ) ∫ 8 x dx + c
∫ d=
2
3
2
x=
y 2x4 + c
x2 y − 2x4 =
c
Atau langsung dengan rumus (2)
y
− P ( x ) dx
∫ P ( x ) dx dx + ce − ∫ P ( x ) dx
e ∫
Q
(
x
)
e
∫
y e
=
−
2
∫ x dx
=
y eln x
=
y
−2
∫ 8 xe
2
∫ x dx
2
2
8 xdx dengan u, diperoleh
ydx =
x
Kalikan PD dy +
x 2 (dy +
2
∫ x dx
dx + ce
−
ln x
ln x
∫ 8 xe dx + ce
2
1
c
8 x3 dx + 2
2 ∫
x
x
2
∫ x dx
−2
=
y
2x 4 c
+
x2 x2
2
x=
y 2x4 + c
x2 y − 2x4 =
c
Contoh 2: selesaikan PD
dy 1
y2
− y=
− 2
dx x
x
Jawab: PD tersebut PD Bernoulli dengan
−1
−1
=
, Q( x)
dan n = 2.
x
x2
=
P( x)
Selanjutnya diubah ke PD linear tingkat dengan substitusi
y −1 = w
Diperoleh PU
− (1− 2) P ( x ) dx
∫ (1− 2) P ( x ) dx dx + ce − ∫ (1− 2) P ( x ) dx
w=
e ∫
∫ (1 − 2) Q( x)e
−1
−1
−1 ∫ dx
∫ dx
∫ dx
w=
e x ∫ (1 − 2) 2 e x dx + ce x
x
1 1
c
x dx +
2
∫
x x
x
=
w
1
c
ln x +
x
x
=
w
xw
= ln x + c
xw − ln x =
ln c1
x
− ln x =
ln c1
y
x
y
ln e − ln x =
ln c1
1
x
y
ln
e
= ln c1
x
x
y
x
e
= c1 sehingga PU: e y = c1 x
x
Latihan:
1. ydx + (3 x − xy + 2) dy =
0
2.
dy 3 y
+
=
6x2
dx x
3. x 4
dy
+ 2 x3 y =
1
dx
4.
dy
+ 3y =
3 x 2 e −3 x
dx
5.
dx x 1
+ =
dt t 2 t 2
6.
dy
+ 4 xy =
8x
dx
7. (u 2 + 1)
8. x
dv
+ 4uv =
3u
du
dy 2 x + 1
+
y=
x −1
dx x + 1
9. ( x 2 + x − 2)
10.
dy
+ 3( x + 1) y =x − 1
dx
dr
+ r tan θ =
cos θ
dθ