Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta Handout PD sesi3

Kuliah PD
Pertemuan ke-3:
Pokok Bahasan: PD tak Eksak
PD M ( x, y )dx + N ( x, y )dy =
0 dikatakan tak eksak jika

∂M ( x, y ) ∂N ( x, y )
.
≠
∂y
∂x

PD tak eksak dapat dibawa ke PD eksak dengan mengalikan kedua ruas pada PD
tersebut dengan suatu fungsi sehingga PD yang baru menjadi PD eksak.
Fungsi pengali ini disebut faktor integral.
Misalkan PD M ( x, y )dx + N ( x, y )dy =
0 tidak eksak dan u adalah faktor integral, maka PD
uM ( x, y )dx + uN ( x, y )dy =
0 menjadi eksak sehingga

∂u

∂M
∂u
∂N
M+
u= N+
u
∂y
∂y
∂x
∂x

∂uM ∂uN
.
=
∂y
∂x

……………………………………..(1)

1. Faktor integral u adalah fungsi x saja.

∂u du
∂u
=
dan
=0.
∂x dx
∂y

..……………………………………………(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh
0M + u

du
∂M
∂N
=N
+u
dx

∂y
∂x

 ∂M ∂N 
du
N
u
=
−

dx
 ∂y ∂x 
Variabel dipisahkan menjadi
du 1  ∂M ∂N 
=
−

 dx
u
N  ∂y ∂x 

=
ln u

1  ∂M ∂N 
−
 dx
∂y ∂x 

∫ N 

1  ∂M ∂N 

u=e

∫ N  ∂y − ∂x  dx

adalah faktor integral fungsi dari x saja.

2. Faktor integral u adalah fungsi dari y saja.

∂u
∂u du
=0.
dan
=
∂x
∂y dy

……………………………………………(3)

Dari (1) dan (3) diperoleh
M

du
∂M
∂N
+u
=
0+u
∂y

∂x
dy

 ∂N ∂M 
du
= u
−
M

dy
 ∂x ∂y 
Variabel dipisahkan menjadi
du 1  ∂N ∂M
=
−

u M  ∂x ∂y
1  ∂N

∫ M  ∂x −

=
ln u

u=e

−


 dy


∂M
∂y


 dy


1  ∂M ∂N 

∫ M  ∂y − ∂x  dy

adalah faktor integral fungsi dari y saja.

Contoh. Selesaikan PD berikut:
1. (4 xy + 3 y 2 − x)dx + x( x + 2 y )dy =
0

∂N
∂M
= 4 x + 6 y dan = 2 x + 2 y . Jadi PD tersebut PD tak eksak.
∂x
∂y
1  ∂M ∂N  2( x + 2 y ) 2
∂M ∂N
fungsi dari x saja.
− =
=
−

= 2 x + 4 y = 2( x + 2 y ) dan 

N  ∂y ∂x  x( x + 2 y ) x
∂y ∂x
1  ∂M ∂N 

Faktor integralnya adalah u = e

∫ N  ∂y − ∂x  dx

2

u=e

∫ x dx

= u = eln x = x 2 .
2

Kalikan PD semula dengan u = x2, maka diperoleh

x 2 (4 xy + 3 y 2 − x)dx + x 3 ( x + 2 y )dy =
0
⇔

(4 x3 y + 3 x 2 y 2 − x 3 )dx + ( x 4 + 2 x 3 y )dy =
0

Dengan M ( x, y ) =4 x3 y + 3 x 2 y 2 − x3 dan N ( x, y=
) x 4 + 2 x3 y

∂M
∂N
=4 x3 + 6 x 2 y = . Jadi PD terakhir PD eksak.
∂y
∂x

selanjutnya

Misalkan F(x,y) = c adalah PU dari PD eksak (4 x3 y + 3 x 2 y 2 − x 3 )dx + ( x 4 + 2 x 3 y )dy =
0

4
3
Maka F ( x, y ) =
∫ ( x + 2 x y)dy + g ( x)

= x 4 y + x3 y 2 + g ( x)

−1
∂F
− x 3dx = x 4 .
= M ( x, y ) , maka 4 x3 y + 3 x 2 y 2 + g ′( x) =4 x 3 y + 3 x 2 y 2 − x 3 sehingga g =
∫
4
∂x
Jadi PUnya adalah x 4 y + x3 y 2 −

1 4
x =
c.
4

2. y ( x + y + 1)dx + x( x + 3 y + 2) dy =
0

∂N
∂M
= 2 x + 3 y + 2 . Jadi PD tersebut PD tak eksak.
=x + 2 y + 1 dan
∂x
∂y
1
∂M ∂N
−
=−( x + y + 1) dan
M
∂y ∂x

 ∂M ∂N  −( x + y + 1) −1
fungsi dari y saja.
−=
=


 ∂y ∂x  y ( x + y + 1) y

Faktor integralnya adalah u = e

−

1  ∂M ∂N 

∫ M  ∂y − ∂x  dy

1

Maka u = e

∫ y dy

ln y
==
u e=
y.

Kalikan PD tersebut dengan y, maka diperoleh
y 2 ( x + y + 1)dx + xy ( x + 3 y + 2) dy =
0
⇔

( xy 2 + y 3 + y 2 )dx + ( x 2 y + 3 xy 2 + 2 xy )dy =
0

Dengan M ( x, y ) = xy 2 + y 3 + y 2 dan N ( x, y ) =x 2 y + 3 xy 2 + 2 xy .
Dapat ditunjukkan bahwa PD terakhir ini PD eksak. Misalkan PUnya adalah F(x,y) = c,
maka F(x,y) =
=

∫ ( xy

2

+ y 3 + y 2 )dx + g ( y )

1 2 2
x y + xy 3 + xy 2 + g ′( y )
2

∂F
= N ( x, y ) , maka x 2 y + 3 xy 2 + 2 xy + g ′( y ) =x 2 y + 3xy 2 + 2 xy sehingga
∂y
g ′( y ) = 0 , maka g ( y ) = c1 sehingga PUnya adalah

1 2 2
x y + xy 3 + xy 2 + g ′( y ) =
c
2
1 2 2
x y + xy 3 + xy 2 + c1 =
c
2
x 2 y 2 + 2 xy 3 + 2 xy 2 =2(c − c1 )
x 2 y 2 + 2 xy 3 + 2 xy 2 =
C

Bentuk

Faktor integral u(x,y)

ydx − xdy =
0

−

ydx − xdy =
0

1
x2

1
y2

ydx − xdy =
0

−

ydx − xdy =
0

−

1
xy

1
x + y2
2

ydx + xdy =
0

1
xy

ydx + xdy =
0

1
, n >1
( xy ) n

ydx + xdy =
0

1
x + y2
2

ydx + xdy =
0

1
, n >1
( x + y 2 )n
2

aydx + bxdy =
0

x a −1 y b −1

a, b konstan

Latihan:
Carilah faktor integral PD tak eksak berikut ini dan selesaikan.

1. ( y + 1)dx − xdy =
0
2. (3 x 2 y − x 2 )dx + dy =
0
3. dx − 2 xydy =
0
4. y ( x + y )dx + ( x + 2 y − 1)dy =
0
5. ( x 2 + y 2 − 1)dx + x( x − 2 y )dy =
0
6. ( xy + 1)dx + x( x + 4 y − 2) dy =
0
7. 2(2 y 2 + 5 xy − 2 y + 4)dx + x(2 x + 2 y − 1)dy =
0
8. ( x 2 + y + y 2 )dx − xdy =
0
9. (3 x 2 y + 2 xy + y 3 )dx + ( x 2 + y 2 )dy =
0 ; y (0) = 2
10. y′ = e 2 x + y − 1 ; y (0) = −3
x
11. dx + ( − sin y )dy =
0 ; y (0) = π
y

PR.
 ∂N ∂M 
1. Tunjukkan bahwa jika 
−

 ∂x ∂y 

R dengan R fungsi dari xy saja, maka
( xM − yN ) =

M + Ny′ =
0 mempunyai faktor integral dalam bentuk u ( xy ) . Kemudian cari bentuk

umum dari faktor integral tersebut.
2. Berdasarkan jawaban nomor 1, cari faktor integral dari PD berikut dan cari PUnya


6   x2
y  dy
+
3
x
0

+ +3  =
y  y
x  dx
