Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta
PERSAMAAN LINIER
1). Persamaan Linier Satu Variabel
Bentuk umum : ax+b=0, dimana a≠0 dan b = konstanta Penyelesaian :
a b x=−
Contoh : 1). 2
5 10 0
10
5x+ = →x=− →x=−
2). 8
1 8 0
8= → =− → =−
+ x x
x
2). Persamaan Linier 2 Variabel
Bentuk umum : ax+by=c dimana : a, b, c adalah konstanta 3). Persamaan Linier Tiga Variabel
Bentuk umum : ax+by+cz=d dimana : a, b, c, d adalah konstanta. Penyelesaian persamaan linier dua Variabel dan tiga variable ( persamaan linier simultan ) dilakukan dengan : (1) Eliminasi, (2) Substitusi, (3) Interasi dan (4) Determinan.
1. Cara Eliminasi
Eliminasi berarti meniadakan atau menghilangkan harga – harga unknown.
Contoh :
Tentukan harga – harga x, y dan z dalam persamaan linier simultan :
0 5
3
1 3 2
2 3
2
= + − −
= − +
= + +
z y x
z y x
z y x
Jawab :
Misal
0 5
3 ) 3 (
1 3 2 )
2 (
2 3
2 ) 1 (
= + − − →
= − − →
= + + →
z y x p
z y x p
z y x p
(2)
Eliminasi x
2 3
2 1 ). 1
(p → x+ y+ z= ; Tanda . adalah operasi kali )
4 ( 0
7 7
2 6 4 2 ). 2 (
P z
y z y x p
L L =
+ +
= − −
→ −
) 5 ( 3
8 11
0 5
3 1 ). 3 (
3 9 6 3 3 ). 2 (
P z
y z y x p
z y x p
L L
= − −
= + − − →
= − − →
+
Eliminasi y :
1 3 3
3 8 11 1
). 5 (
0 11 11 7
11 ). 4 (
= = = − − →
= + →
+
z z z y p
z y p
Menentukan harga unknown Y:
Untuk harga z = 1 maka persamaan ( P4 ) adalah : 0
1 . 7
7y+ =
atau 7
7y=− y=−1
Jika digunakan p5 untuk z = 1 persamaannya adalah : 3
1 . 8
11 − =
− y
atau 11
11 =
− y y=−1
Menentukan harga unknown x :
Harga x dapat ditentukan dari persamaan ( p1 ), atau ( p2 ), atau ( p3 ), untuk harga z = 1 dan y = -1 dengan persamaan ( p1 ) menghasilkan :
2 4 2
2 2 2
2 1 3 2
2 1 ) 1 .( 3 2 ) 1 (
= =
= −
= + −
= + − + →
x x x x x p
(3)
2. Cara Substitusi
Substitusi berarti mengganti salah satu unknown yang mewakili unknown – unknown lain. Pada suatu persamaan linier tiga variabel terdapat 3 buah unknown x, y, z maka substitusi dapat dilakukan dengan 6 macam yaitu :
x, y; x,z; y, x; y, z; z, x; dan z, y. contoh:
Selesaikan persamaan linier simultan dengan cara substitusi :
0 5
3
1 3 2
2 3
2
= + − −
= − −
= + +
z y x
z y x
z y x
Jawab
Misalkan : (p1)→2x+3y+z=2 (p2)→ x−2y−3z=1 (p3)→−3x−5y+z=0
Substitusi x
Dari persamaan linier (p1) diperoleh harga x dalam bentuk term y dan z sebagai berikut :
2 3
2x+ y+ z=
) 4 ( 5
, 0 5 , 1 1
3 2 2
p z
y x
z y x
L L
− − =
− − =
Substitusi harga x tersebut kedalam persamaan ( p2 ) dan ( p3 ) diperoleh :
P4ĺ P2 (1−1,5y−0,5z)−2y−3z=1
) 5 ( 5
, 3 5 , 3
0 5 , 3 5 , 3
1 3 2 5 , 0 5 , 1 1
p z
y
z y z y
z y z y
L L
− = ⇔
= − ⇔
= − − ⇔
= − − − − ⇔
(4)
) 6 ( 3
5 , 2 5 , 0
0 5
5 , 1 5 , 4 3
p z
y z y z y
L L
= + − ⇔
= + − + + − ⇔
Substitusi y:
Dari persamaan p5 dapat diketahui harga y dalam term z. substitusi harga y dalam persamaan p6 diperoleh :
P5ĺ p6 −0,5(−z)+2,5z=3
) 7 ( 1
3 3
3 5 , 2 5 , 0
p z
z z z
L L
= ⇔
= ⇔
= + ⇔
Jadi harga z = 1 Substitusi kembali :
Substitusi kembali z dalam p7 pada p5 diperoleh : P7ĺ P5 y=−z
) 8 (
1 p
y=− LL
⇔
Substitusi kembali y pada p8 dan z pada p7 ke dalam p4 diperoleh :
P8ĺ P7ĺ P4 x=1−1,5y−0,5z
) 9 ( 2
5 , 0 5 , 1 1
1 . 5 , 0 ) 1 .( 5 , 1 1
p x
x x
L L
= ⇔
− + = ⇔
− − − = ⇔
Dari hasil substitusi di atas dapat ditentukan harga – harga penyelesaian persamaan linier simultan adalah :
1 1 2 =
− = = z y x
3. Cara Interasi
Cara interasi adalah cara coba – coba memasukkan harga tertentu ke dalam unknown – unknown sampai ditemukan harga x, y dan z
(5)
4. Penyelesaian dengan cara determinan
Sebelumnya disusun koefisien – koefisien dan konstanta – konstanta pada persamaan linier simultan yang membentuk formasi baris dan kolom. Setiap bilangan yang menempati suatu baris dan kolom disebut elemen.
Contoh :
) ( 0
2 2 2
) ( 0
1 1 1
ii c
y b x a
i c
y b x a
L L
= + +
= + +
Maka persamaan linier simultan tersebut disusun dalam bentuk kolm dan baris sebagai berikut :
ĺ baris 1 1
1
1 b c
a
ĺ baris 2 2
2
2 b c
a
Ļ Ļ Ļ elemen Kolom a kolom b kolom c
Dengan cara determinan, harga – harga ( unknown ) dicari dengan menentukan determinanya terlebih dahulu. Cara menyusun determinan x misalkan cukup mengganti bilangan – bilangan pada kolom x dengan kolom konstanta.
a. cara Cramer
rumus untuk mencari harga – harga dalam determinan linier simultan adalah membagi determinannya dengan determinan. Misalkan mencari harga x adalah dengan membagi determinan x dengan determinan. Demikian juga untuk mencari harga y maka determinan y dibagi dengan determinan.
1). Untuk persamaan linier simultan dengan dua cara persamaan linier
0 2 2 2
0 1 1 1
= + +
= + +
c y b x a
c y b x a
(6)
Kolom x kolom y kolom c
2 2
2
1 1
1
) ( )
( )
(
c b
a
c b
a
Kc Ky
Kx
• Determinan ∇ dibentuk dari elemen-elemen pada kolom x dan y :
Kx Ky
Determinan ∇ = 1. 2 2. 1 2
2
1 1
b a b c b a
b a
− =
• Determinan x yaitu ∇x dibentuk dengan mengganti kolom x dengan kolom c sebagai berikut :
Kc Ky
1 . 2 2 . 1 2 2
1 1
b c b c b c
b c
x= = −
∇
Harga
1 . 2 2 . 1
1 . 2 2 . 1 2 2
1 1
b a b a
b c b c b c
b c
x x
− − =
∇ = ∇ ∇ =
• Determinan y yaitu ∇y dibentuk dengan mengganti kolom y dengan kolom c sebagai berikut :
Kx Kc
1 . 2 2 . 1 2 2
1 1
c a c a c a
c a
y= = −
∇
Harga y =
1 . 2 2 . 1
1 . 2 2 . 1 2 2
1 1
b a b a
c a c a c a
c a
y
− − =
∇ =
∇ ∇
(7)
2). Untuk persamaan linier simultan dengan tiga persamaan linier.
0 3 3 3 3
0 2 2 2 2
0 1 1 1 1
= + + +
= + + +
= + + +
d z c y b x a
d z c y b x a
d z c y b x a
Disusun sebagai berikut :
Kx Ky Kz Kd
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
d c
b a
d c
b a
d c
b a
Determinan ∇ dibentuk dari elemen – elemen pada kolom x, y dan z dengan menempatkan elemen – elemen dari baris yang atas dan masing – masing dikalikan dengan minornya
Contoh
Minor dari a1 adalah
3 3
2 2
c b
c b
yang didapat dari gambar berikut :
3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
Determinan ∇ adalah sebagaio berikut : Kd Ky Kz
. . .
3 3
2 2 . 1 3 3
2 2 1 3 3
2 2 . 1 3 3 3
2 2 2
1 1
1
b a
b a c c a
c a b c b
c b a c b a
c b a
c b
a
+ −
= =
∇
Menentukan harga determinan dengan cara ini disebut ekspansi determinan. Selanjutnya harga – harga x, y
(8)
dan z dirumuskan dengan cara determinan sebagai berikut :
Kd Ky Kz
∇ =
∇ ∇
= 3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b d
c b d
c b
d
x x
Kx Kd Kz Kx Ky Kd
∇ =
∇ ∇
= 3 3 3
2 2 2
1 1
1
c d a
c d a
c d
a
y y
∇ =
∇ ∇
= 3 3 3
2 2 2
1 1
1
d b a
d b a
d b
a
z z
b. Cara Sarrus
Cara Sarrus ini terlebih dahulu disusun elemen-elemen determinan, kemudian ditulis kembali dua kolom yang pertama. Cara Sarrus ini disusun hanya untuk susunan bilangan yang mempunyai tiga baris dan tiga kolom saja. Harga determinan dengan cara ini dihasilkan melalui operasi perkalian diantara elemen-elemen diagonal. Perkalian elemen diagonal dari atas ke bawah tandanya positif ( + ). Sedangkan perkalian elemen diagonal dari bawah ke atas tandanya negatif ( - ).
Contoh
Kx Ky Kz Kx Ky
3 3
2 2
1 1
3 3 3
2 2 2
1 1
1
b a
b a
b a
c b a
c b a
c b a
= ∇
(9)
Untuk mencari harga x maka determinan ∇x dibagi dengan determinan . Demikian juga harga y dan harga z. Hanya operasinya menggunakan cara Sarrus.
∇
Contoh soal-Penyelesaian
1. Tentukan harga x dan y dalam persamaan linier simultan sebagai berikut dengan cara determinan yang menggunakan aturan Cramer.
24 4 6
15 9
6
= +
− = −
y x
y x
Jawab:
Susunan kolom x, kolom y dan kolom c adalah : Kx Ky Kc
6 -9 -15
6 4 24
2 78 156 54
24 216 60 )
9 )( 6 ( ) 4 )( 6 (
) 9 )( 24 ( ) 4 )( 15 (
4 6
9 6
4 24
9 15
= = ++ − = − −− − −
= −
− − = ∇ ∇x x
3 78 234 78
90 144 78
) 15 )( 6 ( ) 24 )( 6 ( 78
24 6
15 6
= = + = − − =
− = ∇ ∇ = y y
Jadi harga yang memenuhi persamaan linier simultan tersebut adalah x = 2 dan y = 3.
2. selsesaikan persamaan linier simultan seperti dibawah ini dengan cara determinan yang menggunakan aturan cramer.
0 5
3
1 3 2
2 3
2
= + − −
= − −
= + +
z y x
z y x
z y x
(10)
Jawab
Determinan = ∇
5 3 2 1 . 1 1 3 3 1 . 3 1 5 3 2 . 2 1 5 3 3 2 1 1 3 2 − − − + − − − − − − = − − − −
}
({
{
} {
}
21 11 24 34 11 . 1 8 . 3 17 . 2 ) 6 5 .( 1 ) 9 1 .( 3 ) 15 2 .( 2 ) 2 )( 3 ( ) 5 )( 1 ( . 1 ) 3 )( 3 ( ) 1 )( 1 ( . 3 ) 3 )( 5 ( ) 1 . 2 . 2 − = − + − = − + − − − = − − + − − − − = − − − − + − − − − − − − − =Determinan ∇x =
5 0 2 1 . 1 1 0 3 1 . 3 1 5 3 2 . 2 1 5 0 3 2 1 1 3 2 − − + − − − − − = − − −
= 2.{(-2)(1) - (-5)(-3)} – 3.{(1)(1) – (0)(-3)} + 1.{(1)(-5)-(0)(-2)} = 2.(-2-15) - 3(1-0) + 1(-5-0)
= 2.-17 – 3.1 + 1.-5 = -34 - 3 – 5 = -42 Determinan 0 3 1 1 . 1 3 3 1 . 2 1 0 3 1 . 2 1 0 3 3 1 1 1 2 2 − + − − − − = − − = ∇y
= 2. {(1).(1) – (0)(-3)} – 2.{(!)(1) – (-3)(-3)} + 1.{(1)(0) – (-3)(1)} = 2.(1-0) – 2.(1-9) + 1(0+3)
= 2.1 + 2.8 + 1.3 = 2 + 16 + 3 = 21 Determinan 5 3 2 1 . 2 0 3 1 1 . 3 0 1 5 2 . 2 0 5 3 1 2 1 2 3 2 − − − + − − − − = − − − = ∇z
(11)
= 2.{(9-2)(0) – (-5)(1)} – 3{(1)(0) – (-3)(1)} + 2{(1)(-5) – (-3)(-2)} = 2(0+5) – 3(0+3) + 2(-5-6)
(1)
Kolom x kolom y kolom c
2 2
2
1 1
1
) ( )
( )
(
c b
a
c b
a
Kc Ky
Kx
• Determinan ∇ dibentuk dari elemen-elemen pada kolom x dan y :
Kx Ky
Determinan ∇ = 1. 2 2. 1 2
2
1 1
b a b c b a
b a
− =
• Determinan x yaitu ∇x dibentuk dengan mengganti kolom x dengan kolom c sebagai berikut :
Kc Ky
1 . 2 2 . 1 2 2
1 1
b c b c b c
b c
x= = −
∇
Harga
1 . 2 2 . 1
1 . 2 2 . 1 2 2
1 1
b a b a
b c b c b c
b c
x x
− − =
∇ = ∇ ∇ =
• Determinan y yaitu ∇y dibentuk dengan mengganti kolom y dengan kolom c sebagai berikut :
Kx Kc
1 . 2 2 . 1 2 2
1 1
c a c a c a
c a
y= = −
∇
Harga y =
1 . 2 2 . 1
1 . 2 2 . 1 2 2
1 1
b a b a
c a c a c a
c a
y
− − =
∇ =
∇ ∇
(2)
2). Untuk persamaan linier simultan dengan tiga persamaan linier.
0 3 3 3 3
0 2 2 2 2
0 1 1 1 1
= + + +
= + + +
= + + +
d z c y b x a
d z c y b x a
d z c y b x a
Disusun sebagai berikut :
Kx Ky Kz Kd
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
d c
b a
d c
b a
d c
b a
Determinan ∇ dibentuk dari elemen – elemen pada kolom x, y dan z dengan menempatkan elemen – elemen dari baris yang atas dan masing – masing dikalikan dengan minornya
Contoh
Minor dari a1 adalah
3 3
2 2
c b
c b
yang didapat dari gambar berikut :
3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
Determinan ∇ adalah sebagaio berikut : Kd Ky Kz
. . .
3 3
2 2 . 1 3 3
2 2 1 3 3
2 2 . 1 3 3 3
2 2 2
1 1
1
b a
b a c c a
c a b c b
c b a c b a
c b a
c b
a
+ −
= =
∇
Menentukan harga determinan dengan cara ini disebut ekspansi determinan. Selanjutnya harga – harga x, y
(3)
dan z dirumuskan dengan cara determinan sebagai berikut :
Kd Ky Kz
∇ =
∇ ∇
= 3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b d
c b d
c b
d
x x
Kx Kd Kz Kx Ky Kd
∇ =
∇ ∇
= 3 3 3
2 2 2
1 1
1
c d a
c d a
c d
a
y y
∇ =
∇ ∇
= 3 3 3
2 2 2
1 1
1
d b a
d b a
d b
a
z z
b. Cara Sarrus
Cara Sarrus ini terlebih dahulu disusun elemen-elemen determinan, kemudian ditulis kembali dua kolom yang pertama. Cara Sarrus ini disusun hanya untuk susunan bilangan yang mempunyai tiga baris dan tiga kolom saja.
Harga determinan dengan cara ini dihasilkan melalui operasi perkalian diantara elemen-elemen diagonal. Perkalian elemen diagonal dari atas ke bawah tandanya positif ( + ). Sedangkan perkalian elemen diagonal dari bawah ke atas tandanya negatif ( - ).
Contoh
Kx Ky Kz Kx Ky
3 3
2 2
1 1
3 3 3
2 2 2
1 1
1
b a
b a
b a
c b a
c b a
c b a
= ∇
(4)
Untuk mencari harga x maka determinan ∇x dibagi dengan determinan . Demikian juga harga y dan harga z. Hanya operasinya menggunakan cara Sarrus.
∇
Contoh soal-Penyelesaian
1. Tentukan harga x dan y dalam persamaan linier simultan sebagai berikut dengan cara determinan yang menggunakan aturan Cramer.
24 4 6
15 9
6
= +
− = −
y x
y x
Jawab:
Susunan kolom x, kolom y dan kolom c adalah : Kx Ky Kc
6 -9 -15
6 4 24
2 78 156 54
24 216 60 )
9 )( 6 ( ) 4 )( 6 (
) 9 )( 24 ( ) 4 )( 15 (
4 6
9 6
4 24
9 15
= = ++ − = − −− − −
= −
− − = ∇ ∇x x
3 78 234 78
90 144 78
) 15 )( 6 ( ) 24 )( 6 ( 78
24 6
15 6
= = + = − − =
− = ∇ ∇ = y
y
Jadi harga yang memenuhi persamaan linier simultan tersebut adalah x = 2 dan y = 3.
2. selsesaikan persamaan linier simultan seperti dibawah ini dengan cara determinan yang menggunakan aturan cramer.
0 5
3
1 3 2
2 3
2
= + − −
= − −
= + +
z y x
z y x
z y x
(5)
Jawab
Determinan = ∇
5 3 2 1 . 1 1 3 3 1 . 3 1 5 3 2 . 2 1 5 3 3 2 1 1 3 2 − − − + − − − − − − = − − − −
}
({
{
} {
}
21 11 24 34 11 . 1 8 . 3 17 . 2 ) 6 5 .( 1 ) 9 1 .( 3 ) 15 2 .( 2 ) 2 )( 3 ( ) 5 )( 1 ( . 1 ) 3 )( 3 ( ) 1 )( 1 ( . 3 ) 3 )( 5 ( ) 1 . 2 . 2 − = − + − = − + − − − = − − + − − − − = − − − − + − − − − − − − − =Determinan ∇x =
5 0 2 1 . 1 1 0 3 1 . 3 1 5 3 2 . 2 1 5 0 3 2 1 1 3 2 − − + − − − − − = − − −
= 2.{(-2)(1) - (-5)(-3)} – 3.{(1)(1) – (0)(-3)} + 1.{(1)(-5)-(0)(-2)} = 2.(-2-15) - 3(1-0) + 1(-5-0)
= 2.-17 – 3.1 + 1.-5 = -34 - 3 – 5 = -42 Determinan 0 3 1 1 . 1 3 3 1 . 2 1 0 3 1 . 2 1 0 3 3 1 1 1 2 2 − + − − − − = − − = ∇y
= 2. {(1).(1) – (0)(-3)} – 2.{(!)(1) – (-3)(-3)} + 1.{(1)(0) – (-3)(1)} = 2.(1-0) – 2.(1-9) + 1(0+3)
= 2.1 + 2.8 + 1.3 = 2 + 16 + 3 = 21 Determinan 5 3 2 1 . 2 0 3 1 1 . 3 0 1 5 2 . 2 0 5 3 1 2 1 2 3 2 − − − + − − − − = − − − = ∇z
(6)
= 2.{(9-2)(0) – (-5)(1)} – 3{(1)(0) – (-3)(1)} + 2{(1)(-5) – (-3)(-2)} = 2(0+5) – 3(0+3) + 2(-5-6)