soal pembahasan ujian nasional matematika teknik 2016
Soal dan Pembahasan
Ujian Nasional 2016
Matematika
Teknik
SMK
matematikamenyenangkan.com
Kunci Jawaban: E
−2
p 5 q 3 r −2
1. Bentuk sederhana dari −1 −2 3 adalah ....
p q r
A. p8q2r−2
B. p12q10r−10
D. p−12q–10r10
C. p−8q−2r−10
E. p6q5r−5
3.
Nilai dari 4log 81∙ 3log 32 adalah ....
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
E. 32
Pembahasan:
Pembahasan:
Ingat rumus berikut
m n
(a )
=a
m×n
Ingat rumus berikut:
log b
a
log b =
log a
1
= a−m
m
a
am
= a m−n
an
log a b = b log a
Kita sederhanakan terlebih dahulu angkanya.
log 81 log 34 4 log 3
log 3
4
=
= 2
log
81 = =
2
log 4 log 2
log 2
2 log 2
Kita peroleh
−2
p 5 q 3 r −2
5 −( −1) 3−( −2 ) −2 −3
q
r
−1 −2 3 = p
p q r
(
)
−2
3
−2
p 5 q 3 r −2
6 5 −5 −2
−1 −2 3 = ( p q r )
p q r
log 32 log 25 5 log 2
log 2
log 32 = = =
=5
log 3
log 3
log 3
log 3
Kita peroleh
−2
p 5 q 3 r −2
−12 −10 10
−1 −2 3 = p q r
p q r
4
log 81 ⋅3 log 32 = 2
log 3 log 2
⋅5
= 2 ⋅ 5 = 10
log 2 log 3
Kunci Jawaban: B
Kunci Jawaban: D
4.
− 12
2.
2
1
1
Nilai dari (125 ) 3 + − ( 243) 5 adalah ....
9
A. –2
B. 11
C. 16
D. 19
E. 25
Fungsi kuadrat yang graiknya memiliki titik
balik P(4, 6) dan melalui titik A(2, 10) adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
f(x) = (x – 4)2 + 2
f(x) = (x – 4)2 + 6
f(x) = (x – 4)2 + 10
f(x) = (x + 4)2 + 6
f(x) = (x + 4)2 + 10
Pembahasan:
Pembahasan:
Ingat rumus berikut:
Ingat rumus titik balik fungsi kuadrat
b
b 2 − 4ac
−
,
−
= ( 4, 6 ) .
4a
2a
( a m ) = a m×n
n
Kita sederhanakan setiap bilangan terlebih
dahulu.
(125)
1
9
2
3
− 12
( 243)
2
3
= ( 9−1 )
1
5
3× 23
= ( 53 ) = 5
− 12
=9
= 52 = 25
−1×− 12
1
= 92 = 9 = 3
1
5
= ( 35 ) = 3
Kita peroleh
−1
2
1
1 2
3
(125) + − ( 243) 5 = 25 + 3 − 3 = 25
9
2 | matematikamenyenangkan.com
Diketahui x titik balik adalah 4, maka diperoleh
b
−
=4
2a
⇔ −b = 8a
⇔ b = −8a
Diketahui y titik balik adalah 6, maka diperoleh
b 2 − 4ac
−
=6
4a
( −8a )
⇔−
6 5
. Jika A = B, maka nilai a, b, c, dan d
−4 c
berturut–turut adalah ....
2
− 4ac
=6
4a
64a 2 − 4ac
⇔−
=6
4a
⇔ −16a + c = 6
A. 3, 2, –6, dan –6
B. 3, 2, –2, dan –2
C. 3, 2, 2, dan 2
⇔ 16a − c = −6 ................. (1)
Pembahasan:
Diketahui melalui titik A(2, 10).
f ( x ) = ax 2 + bx + c
2a a + b 6 5
=
d −4 c
b + c
f ( 2 ) = 10
D. 3, –1, –3, dan –3
E. 3, –1, 3, dan 3
2a = 6
⇔a=3
2
⇔ a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c = 10
⇔ 4a + 2b + c = 10
⇔ 4a + 2 ( −8a ) + c = 10
a+b =5
⇔ 3+b = 5
⇔b=2
⇔ 4a − 16a + c = 10
⇔ −12a + c = 10
⇔ 12a − c = −10 ................. ( 2 )
Dengan eliminasi persamaan (1) dan (2)
diperoleh
16a − c = −6
12a − c = −10
−
4a = 4
⇔ a =1
b = −8a
⇔ b = −8 ⋅1 = −8
16a − c = −6
⇔ 16 ⋅1 − c = −66
⇔ 16 − c = −6
⇔ 16 + 6 = c
⇔ c = 22
b + c = −4
⇔ 2 + c = −4
⇔ c = −6
d =c
⇔ d = −6
Maka nilai a, b, c, dan d adalah 3, 2, −6, dan −6.
6.
Hasil dari perkalian matriks
5 2
−1 −2 −3
3 1 2 1 0 = ....
0 4
−1 −1 −15
0
A. 8 8
−1 −5 −9
Maka persamaannya adalah
y = ax 2 + bx + c
−1 −8 −15
E. −1 −5 −9
8 4
0
0
8 4
B. −1 −5 −9
−1 −8 −15
2
y = x − 8 x + 22
y = ( x 2 − 8 x + 16 ) − 16 + 22
2
y = ( x − 4) + 6
Kunci Jawaban: B
5.
2a a + b
Diketahui matriks A =
dan B =
d
b + c
−1 −1 8
C. −8 −5 4
−15 −9 0
−1 −15 −8
D. −1 −9 −5
8
0
4
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 3
Pembahasan:
3 −9 0
A+ B −C = 9 2 5
16 −1 19
5 2
−1 −2 −3
3
1
0 4 2 1 0
Kunci Jawaban: E
5 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 2 5 ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅1 5 ⋅ ( −3) + 2 ⋅ 0
= 3 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 2 3 ⋅ ( −2 ) + 1⋅1 3 ⋅ ( −3) + 1 ⋅ 0
0 ⋅ ( −1) + 4 ⋅ 2 0 ⋅ ( −2 ) + 4 ⋅1 0 ⋅ ( −3) + 4 ⋅ 0
−1 −8 −15
= −1 −5 −9
8 4
0
8.
Kunci Jawaban: E
7.
−1 4
Invers dari matriks
adalah ....
1 −3
3 4
A.
1 1
−3 4
D.
−1 −1
−3 4
B.
1 −1
−3 −4
E.
1 1
3 −4
C.
−1 −1
4 1 −1
Diketahui matriks A = 10 2 0 , B =
5 −2 7
Pembahasan:
−1
0 −6 3
2 −1 7 , dan C =
15 1 12
a b
1 d −b
=
ad − bc −c a
c d
1 4 2
3 −1 2 . Matriks
4 0 0
−1
−1 4
−3 −4
1
=
( −1) ( −3) − 4 ⋅1 −1 −1
1 −3
A + B – C adalah ....
−1
3 1 5
A. 15 4 5
24 4 19
3 9 5
D. 7 −2 9
24 2 −5
4 −9 6
B. 15 4 5
16 −2 19
3 −9 0
E. 9 2 5
16 −1 19
4 1 0
C. 7 4 −5
16 4 −5
−1 4
1 −3 −4
=
−1 −1 −1
1 −3
−1
−1 4
3 4
=
1 −3
1 1
Kunci Jawaban: A
9.
1 1 0
Determinan dari matriks 2 −1 −1 adalah
2 4 3
....
A. –7
B. –3
4 1 −1 0 −6 3 1 4 2
A + B − C = 10 2 0 + 2 −1 7 − 3 −1 2
5 −2 7 15 1 12 4 0 0
−1 + 3 − 2
1 + ( −6 ) − 4
4 + 0 −1
A + B − C = 10 + 2 − 3 2 + ( −1) − ( −1) 0 + 7 − 2
5 + 15 − 4
−2 + 1 − 0
7 + 12 − 0
Pembahasan:
C. 3
D. 7
E. 10
Kunci Jawaban: A
4 | matematikamenyenangkan.com
Pembahasan:
1 1 0
A = 2 −1 −1
2 4 3
1 1 0
det ( A ) = 2 −1 −1
2 4 3
1 1
2 −1
2 4
det ( A ) = (1 ⋅ [ −1] ⋅ 3) + (1 ⋅ [ −1] ⋅ 2 ) + ( 0 ⋅ 2 ⋅ 4 ) − ( 2 ⋅ [ −1] ⋅ 0 ) − ( 4 ⋅ [ −1] ⋅1) − ( 3 ⋅ 2 ⋅1)
det ( A ) = −3 + ( −2 ) + 0 − 0 − ( −4 ) − 6
det ( A ) = −7
10. Seorang pekerja bangunan membeli 2 kaleng
cat dan 3 kuas seharga Rp101.500,00. Esok
harinya pekerja itu membeli 1 kaleng cat dan 2
kuas yang sama seharga Rp53.500,00. Harga 1
kaleng cat dan 1 kuas adalah ....
A. Rp46.000,00
B. Rp48.000,00
C. Rp49.000,00
D. Rp51.000,00
E. Rp53.000,00
Pembahasan:
Misalkan kaleng cat = x dan kuas = y.
2 x + 3 y = 101.500
2 x + 3 y = 101.500
x + 2 y = 53.500
×2 2 x + 4 y = 107.000
Hasil eliminasi kedua persamaan menghasilkan
2 x + 3 y = 101.500
2 x + 4 y = 107.000 _
A.
B.
C.
D.
E.
x – y ≥ 3, 2x + 3y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
x – y ≤ 3, 2x + 3y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
x – y ≥ – 3, 2x + 3y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
x – y ≤ – 3, 2x + 3y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
x – y ≥ 3, 2x + 3y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
− y = −5.500
⇔ y = 5.500
Diketahui harga satu kuas adalah Rp5.500
x + 2 y = 53.500
⇔ x + 2 ( 5.500 ) = 53.500
⇔ x + 11.000 = 53.500
⇔ x = 53.500 − 11.0000
⇔ x = 42.500
Diketahui bahwa harga cat adalah Rp42.500.
Harga satu cat dan satu kuas adalah Rp42.500 +
Rp5.500 = Rp48.000.
Kunci Jawaban: B
11. Pada gambar di samping, daerah yang diarsir
merupakan himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan ....
Titik (0, 0) termasuk daerah diarsir, maka
berlaku 2 x + 3 y ≤ 18 dan x − y ≤ 3 . Semua x dan
y positif, maka berlaku x ≥ 0 dan y ≥ 0 .
Sistem pertidaksamaan yang digunakan adalah
x − y ≤ 3 , 2 x + 3 y ≤ 18 , x ≥ 0 , y ≥ 0
Kunci Jawaban: D
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 5
12. Seorang penjahit akan membuat dua model
baju. Baju model pertama dan kedua berturutturut memerlukan bahan sebanyak 1,5 m dan 2
m kain. Baju yang diproduksi paling banyak 20
potong dan bahan kain yang tersedia sebanyak
30 m. Jika banyak baju model pertama x
dan baju model kedua y potong, manakah
pernyataan yang benar berikut ini ?
Pembahasan:
Gambar terlebih dahulu graik pertidaksamaan
yang diberikan dan tentukan area yang
memenuhi beserta titik verteknya.
A. Membuat baju model pertama dan kedua
sama banyak tetap paling menguntungkan.
B. Membuat baju model pertama dan kedua
sama banyak tidak ada pengaruh dalam
keuntungan.
C. Membuat baju model pertama setengah kali
dari model kedua akan menguntungkan.
D. Lebih baik membuat baju model kedua saja
paling untung jika harga model pertama
lebih mahal
E. Membuat baju model pertama saja paling
untung jika harga model kedua lebih murah
dari model pertama
Pembahasan:
Banyak baju model pertama = x
Banyak baju model kedua = y
Batasan
x
y
Jumlah
20
x
y
Kain
1,5 2
30
x + y ≤ 20
1, 5 x + 2 y ≤ 30
Untuk membuat kedua model sama banyak, 10
potong, total kain yang dibutuhkan adalah 1,5 ×
10 + 2 × 10 = 35 m. Karena total kain tersedia
hanya 30 m, maka hanya bisa membuat 9 potong
untuk masing-masing model jika ingin jumlah
keduanya sama.
Keuntungan hanya bisa ditentukan jika harga
jualnya diketahui. (A dan B tidak bisa diketahui)
13. Nilai minimum f (x,y) = 4x + 5y yang memenuhi
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
2x + y ≥ 8
x + 2 y ≥ 7
linear
adalah ....
x≥0
y ≥ 0
A.
B.
C.
D.
E.
18
22
26
32
40
6 | matematikamenyenangkan.com
2x + y = 8
x + 2y = 7
4 x + 2 y = 16
x + 2y = 7
3x = 9
×2
4 x + 2 y = 16
x + 2y = 7
−
⇔ x=3
x + 2y = 7
⇔ 3+ 2y = 7
⇔ 2y = 4
⇔ y=2
Cari nilai terkecil dari f (x,y) = 4x + 5y di titik
vertek yang diperoleh.
( x, y ) → 4 x + 5 y
( 0, 8) → 4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 8 = 40
( 3, 2 ) → 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 = 22
( 7, 0 ) → 4 ⋅ 7 + 5 ⋅ 0 = 288
Maka, nilai minimum adalah 22.
Kunci Jawaban: B
14. Diberikan barisan aritmatika –4, –2, 0, ...., 50.
Banyaknya suku pada barisan tersebut adalah ....
A. 28
B. 29
C. 30
D. 31
E. 32
cm.
B. Pertumbuhan tanaman tersebut 3/2 kali
tinggi hari sebelumnya.
C. Tinggi tanaman pada hari ketiga 24 cm
D. Tinggi tanaman pada hari kelima 128 cm.
E. Perbandingan tinggi tanaman pada hari
kedua dan keempat 8 : 6
Pembahasan:
a = −4
Pembahasan:
b = U 2 − U1 = −2 − ( −4 ) = 2
Dari soal, diketahui suku kedua dan keempat
deret geometris.
U 2 = 18
U n = a + ( n − 1) b
U 4 = 32
50 = −4 + ( n − 1) 2
54 = ( n − 1) 2
Ingat rumus dasar deret geometris.
U n = ar n −1
54 = 2n − 2
56 = 2n
⇒ n = 28
U 2 = ar
Kunci Jawaban: A
15. Rumus suku ke–n pada barisan geometri 9, 27,
81, 243, ... adalah ....
A. Un = 3 · 3n – 1
B. Un = 9 · 3n
C. Un = 3n – 1
D. Un = 3n + 1
E. Un = 3n + 3
Pembahasan:
U 4 = ar 3 = ar ⋅ r 2
⇔ 32 = 18r 2
⇔ 16 = 9r 2
16
⇔ r2 =
9
16
⇔r=
9
4
⇔r=±
3
Karena rasio pertumbuhan tinggi tanaman tidak
mungkin negatif (jika rasio negatif berarti tinggi
4
tanaman jadi negatif), maka diperoleh r = .
3
a=9
U
27
b= 2 =
=3
9
U1
U n = ar n −1
Tinggi tanaman pertama kali adalah U1 .
U n = 9 ⋅ 3n −1
3n
Un = 9 ⋅
3
U n = 3 ⋅ 3n
U1 = a
U 2 = 18
Un = 3
n +1
Kunci Jawaban: D
16. Seorang peneliti sedang mengamati
pertumbuhan sebuah tanaman. Pada hari kedua
pengamatan tinggi tanaman 18 cm dan hari
keempat pengamatan tinggi tanaman 32 cm.
Pertambahan tinggi tanaman tersebut sesuai
dengan barisan geometri. Pernyataan berikut
yang benar adalah ....
A. Tinggi tanaman pada awal pengamatan 16
⇔ ar = 18
4
⇔ a ⋅ = 18
3
27
⇔a=
2
⇔ a = 13, 5
Tinggi tanaman pertama kali adalah 13,5 cm. (A
salah)
Pertumbuhan tanaman tersebut mengikuti rasio
4
deret geometri, yaitu r = kali tinggi hari
3
sebelumnya. (B salah)
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 7
Tinggi tanaman pada hari ketiga, U 3 , bisa
dihitung seperti berikut
U n = ar n −1
U 3 = ar 2
27 4
⇔ U3 =
⋅
2 3
⇔ U 3 = 24
U n = a + ( n − 1) b
U n = 50 + ( n − 1) 5
U n = 50 + 5n − 5
U n = 5n + 45
2
U 30 = 5 ⋅ 30 + 45 = 195
n
(a +Un )
2
30
S30 = ( a + U 30 )
2
30
S30 = ( 50 + 195 )
2
S30 = 3.675
Sn =
Tinggi tanaman pada adalah 24 cm. (C benar)
Tinggi tanaman pada hari kelima, U 5 , bisa
dihitung seperti berikut
U n = ar n −1
U 5 = ar 4
Kunci Jawaban: D
4
27 4
⋅
2 3
128
⇔ U5 =
= 42, 7
3
⇔ U5 =
18. Ruas garis yang merupakan diagonal bidang
pada kubus ABCD.EFGH adalah ....
Tinggi tanaman pada adalah 42,7 cm. (D salah)
Perbandingan tinggi tanaman pada hari kedua
dan keempat adalah 9:16.
U 2 18
=
U 4 32
U
9
⇔ 2 =
U 4 16
(E salah)
A. EC
B. DF
C. AC
D. CD
E. EH
Pembahasan:
Diagonal bidang adalah garis yang
menghubungkan antara dua titik berseberangan
yang berada pada satu bidang.
Kunci Jawaban: C
17. Sebuah perusahaan pakaian menghasilkan 50
baju pada awal produksi dan meningkat menjadi
55 pada hari berikutnya. Jika peningkatan
jumlah produksi konstan setiap hari, jumlah
produksi setelah 30 hari adalah ....
A. 2.500 baju
B. 2.720 baju
C. 2.750 baju
D. 3.675 baju
E. 3.750 baju
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Kita bisa menghitung nilai beda dalam deret
aritmetika yang terjadi.
a = U1 = 50
U 2 = 55
b = U 2 − U1 = 55 − 50 = 5
Hitung jumlah produksi pada hari ke-30.
8 | matematikamenyenangkan.com
19. Panjang sisi KM pada segitiga di bawah ini
adalah ....
Pembahasan:
A. 7 6 cm
D. 10 6 cm
B. 8 6 cm
E. 12 6 cm
C. 9 6 cm
sin A sin C
=
BC
AB
sin 30° sin 60°
=
BC
18
1
1
3
2 =2
18
BC
1
3
=
BC 18
18
KM =
3
Pembahasan:
sin K sin L sin M
=
=
LM
KM
KL
sin 60° sin 45°
=
27
KM
1
1
3
2
2
=2
27
KM
3
2
=
27 KM
KM = 27 ×
2
3
KM = 27 ×
2
3
×
3
3
KM = 27 ×
18
3
×
3
3
18
3
KM =
3
KM =
KM = 6 3
Kunci Jawaban: B
6
3
KM = 9 6
Kunci Jawaban: C
20. Segitiga ABC siku–siku di B. Jika panjang sisi
AB adalah 18 cm dan besar sudut BAC
adalah 30°, maka panjang BC adalah ....
A. 6 2 cm
21. Segitiga ABC mempunyai sisi a = 10 cm dan
sisi b = 16 cm, serta sudut C = 30°. Luas
segitiga ABC tersebut adalah ....
A. 12 cm2
B. 20 cm2
C. 24 cm2
D. 40 cm2
E. 42 cm2
Pembahasan:
B. 6 3 cm
C. 9 2 cm
D. 9 3 cm
E. 54 3 cm
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 9
y = 4x + 2
1
ab sin C
2
1
L = ⋅10 ⋅16 ⋅ sin 30°
2
1
1
L = ⋅10 ⋅16 ⋅
2
2
L = 40
L=
y ′ − 3 = 4 ( x′ − 2 ) + 2
y ′ = 4 x′ − 8 + 2 + 3
y ′ = 4 x′ − 3
Kunci Jawaban: B
Kunci Jawaban: D
24. Perhatikan gambar balok ABCD.EFGH. Titik P
terletak di tengah–tengah EH. Jarak antara titik
B dan titik P adalah ....
22. Persamaan garis yang melalui titik (–2, 7) dan
tegak lurus garis y = 2x + 7 adalah ....
A. x + 2y – 12 = 0
B. x – 2y – 12 = 0
C. 2x + y + 12 = 0
y = 2 x + 7 → m1 = 2
⊥→ m2 = −
D. 2x + y – 12 = 0
E. 2x – y – 12 = 0
1
1
=−
2
m1
A. 5 cm
B. 7 cm
C. 13 cm
1
y = − x+c
2
( −2, 7 ) → y = −
1
x+c
2
D. 15 cm
E. 17 cm
Pembahasan:
1
7 = − ⋅ ( −2 ) + c
2
7 = 1+ c
⇒c=6
1
y = − x+6
2
1
− x+ y+6=0
2
1
− x + y + 6 ( −2 ) = 0 ( −2 )
2
x − 2 y −112 = 0
Untuk mengetahui panjang BP, kita perlu
menambahkan titik Q dan R yang berada di
tengah-tengah FG dan BC.
Kunci Jawaban: B
Dari segitiga BRQ, kita peroleh panjang BQ
melalui teorema Phytagoras.
BQ 2 = BR 2 + RQ 2
⇔ BQ 2 = 32 + 42
2
23. Garis y = 4x + 2 digeser sejauh . Persamaan
3
garis bayangan hasil pergeseran tersebut adalah
....
A. y = 4x – 5
B. y = 4x – 3
C. y = 4x + 3
Pembahasan:
x′ = x + 2 → x = x′ − 2
y′ = y + 3 → y = y′ − 3
10 | matematikamenyenangkan.com
⇔ BQ 2 = 25
⇔ BQ = 5
D. y = 4x + 5
E. y = 4x + 7
Dari segitiga siku-siku BQP, kita peroleh
panjang BP melalui teorema Phytagoras.
Dari deinisi trigonometri, kita peroleh
AQ 12 2
sin α =
=
12 12 3
BP 2 = BQ 2 + QP 2
⇔ BP 2 = 52 + 122
⇔ BP 2 = 169
⇔ BP = 13
Kunci Jawaban: C
25. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12
cm. Jarak titik A ke garis HB adalah ....
A. 4 3 cm
D. 4 6 cm
Maka
AQ 12 2
=
12 12 3
B. 3 6 cm
E. 6 3 cm
⇔
AQ
2
=
12
3
C. 5 3 cm
⇔ AQ = 12
2
3
Pembahasan:
⇔ AQ = 12
2
3
×
3
3
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH!
6
3
⇔ AQ = 4 6
⇔ AQ = 12
Kunci Jawaban: D
26. Besar sudut antara garis AF dan bidang ABCD
adalah ....
Berikut tampilan segitiga terpisah dari kubus.
Jarak A ke garis HB adalah panjang proyeksi
titik A ke garis HB, yaitu garis AQ.
A.
B.
C.
D.
0°
30°
45°
60°
E. 90°
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 11
Pembahasan:
Besar sudut antara garis AF dan bidang ABCD
sama dengan besar sudut yang dibentuk antara
garis AF dan AB, yaitu 45°.
A. 77,5%
B. 55%
C. 45%
Kunci Jawaban: C
27. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,
–1) dan melalui titik (4, 3) adalah ....
x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0
x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0
x2 + y2 – 4x – 2y – 15 = 0
x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0
x2 + y2 – 2x + 4y – 15 = 0
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
Pembahasan:
Pendaftar Teknik Komputer Jaringan = 125 +
175 + 150 = 450
Pendaftar Teknik Kendaran Ringan = 100 + 125
+ 100 = 325
Pendaftar Teknik Elektronika Industri = 50 +
100 + 75 = 225
Total pendaftar = 450 + 325 + 225 = 1.000
Persentase pendaftar Teknik Komputer Jaringan
adalah
450
×100% = 45%
1000
Pendaftar lainnya adalah 100% − 45% = 55%.
( x − a) + ( y − b) = r2
2
2
( x − 2 ) + ( y − ( −1) ) = r 2
2
2
( x − 2 ) + ( y + 1) = r 2
2
2
( 4, 3) → ( 4 − 2 ) + ( 3 + 1) = r 2
2
D. 35%
E. 25%
2
Kunci Jawaban: B
29. Perusahaan pembibitan taman hias mengolah
data pesanan tanaman. Diagram batang berikut
menyatakan banyaknya pesanan tanaman “bibit
unggul” dari tahun 2006 – 2010.
22 + 42 = r 2
20 = r 2
( x − 2 ) + ( y + 1)
2
(x
2
2
= 20
− 4 x + 4 ) + ( y 2 + 2 y + 1) = 20
x 2 − 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 = 20
x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 5 = 20
x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 15 = 0
Kunci Jawaban: A
28. Diagram berikut ini menggambarkan jumlah
pendaftar calon siswa baru pada 3 jurusan
di suatu SMK dari tahun 2000 sampai tahun
2002. Banyaknya pendaftar yang tidak memilih
jurusan Teknik Komputer dan Jaringan adalah
....
12 | matematikamenyenangkan.com
Manakah pernyataan yang benar berdasarkan
diagram?
A. Terjadi kecenderungan naik untuk setiap
tahun dari pesanan tanaman.
B. Terjadi kecenderungan turun untuk setiap
tahun dari pesanan tanaman.
C. Terjadi kenaikan paling banyak pesanan
tanaman dua tahun terakhir.
Pembahasan:
Pesanan pada tahun 2007 dan 2009 turun
dibandingkan dengan tahun sebelumnya. (A
salah)
Pesanan pada tahun 2008 dan 2010 naik
dibandingkan dengan tahun sebelumnya. (B
salah)
Pada tahun 2008 dan 2009, pesanan turun 60
(2008-2009) lalu naik 150 (2009-2010).
Pada tahun 2009 dan 2009, pesanan turun 60
(2008-2009) lalu naik 150 (2009-2010).
Pada tahun 2006 dan 2007, pesanan turun 50
(2006-2007) lalu naik 110 (2007-2008). (C
benar)
Kunci Jawaban: C
30. Upah rata-rata 7 orang pekerja sebesar
Rp250.000,00 per hari. Jika ada tambahan
satu orang pekerja, rata-rata upah menjadi
Rp237.500,00 per hari. Manakah perhitungan
yang tepat berdasarkan data?
A. Upah pekerja baru 50% lebih kecil dari ratarata pekerja lama.
B. Upah pekerja untuk delapan orang tersebut
kurang dari dua juta rupiah.
C. Upah pekerja baru sebesar 75% dari rata-rata
upah pekerja lama.
D. Pekerja baru membebani anggaran lebih dari
70%.
E. Anggaran untuk membayar pekerja delapan
orang merugikan usaha.
Pembahasan:
Misalkan upah per hari para pekerja kita
identiikasikan sebagai x1, x2, x3, ....
x1 + x2 + + x7
= 250.000
7
⇔ x1 + x2 + + x7 + x8 = 250.000 × 7
⇔ x1 + x2 + + x7 + x8 = 1.750.000
Penambahan seorang pekerja mengubah ratarata menjadi Rp237.500,00.
x1 + x2 + + x7 + x8
= 237.500
8
⇔ x1 + x2 + + x7 + x8 = 237.500 × 8
⇔ x1 + x2 + + x7 + x8 = 1.900.000
⇔ 1.750.000 + x8 = 1.900.000
⇔ x8 = 1.900.000 − 1.750.000
⇔ x8 = 150.000
Maka, diketahui bahwa upah harian pekerja baru
adalah Rp150.000,00.
Upah pekerja baru lebih kecil Rp100.000,00
dari rata-rata pekerja lama. Perbedaannya tidak
sampai 50% rata-rata upah pekerja lama, yaitu
Rp125.000,00. (A salah)
Total upah kedelapan pekerja adalah
Rp1.900.000,00, kurang dari dua juta rupiah. (B
benar)
Misalkan, upah pekerja baru adalah x persen
dari rata-rata upah pekerja lama.
x
150.000 =
⋅ 250.000
100
x
⇔ 15 =
4
⇔ x = 60
Ditemukan bahwa upah pekerja baru adalah
60% dari rata-rata upah pekerja lama. (C salah)
Pekerja baru membebani anggaran lebih dari
70%. (D tidak bisa diketahui)
Anggaran untuk membayar pekerja delapan
orang merugikan usaha. (E tidak bisa diketahui)
Kunci Jawaban: B
31. Kuartil atas Q3 dari data yang disajikan pada
tabel adalah ....
Interval
151 – 155
156 – 160
161 – 165
166 – 170
171 – 175
A. 169,0
B. 169,4
C. 169,5
Frekuensi
4
7
12
10
7
D. 169,6
E. 169,8
Pembahasan:
i
4 n − fk
Qi = tb +
p , i = 1, 2, 3
f
Q
i
Q3 berada di kelas yang ditandai.
Frekuensi
Interval Frekuensi
Kumulatif
151 – 155
4
4
156 – 160
7
11
161 – 165
12
23
166 – 170
10
33
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 13
171 – 175
7
40
Untuk menghitung nilai Q3 diketahui
i=3
tb = 165, 5
f k = 23
adalah ....
A.
125
190
D.
75
380
B.
75
190
E.
50
380
C.
50
190
fQ3 = 10
p = 170 − 165 = 5
n = 40
3
4 n − fk
Q3 = tb +
p
fQ3
Pembahasan:
Nilai Q3 bisa dihitung seperti berikut
3
4 n − fk
Q3 = tb +
p
fQ3
3
4 ⋅ 40 − 23
⇔ Q3 = 165, 5 +
⋅5
10
30 − 23
⇔ Q3 = 165, 5 +
⋅5
10
⇔ Q3 = 165, 5 + 3, 5
⇔ Q3 = 169, 0
Kunci Jawaban: A
32. Dari 20 orang siswa berprestasi akan dipilih
3 orang untuk mendapatkan 3 beasiswa yang
berbeda. Banyak cara pemilihan tersebut adalah
....
A. 1.140 cara
B. 2.280 cara
C. 6.840 cara
D. 6.880 cara
E. 8.840 cara
Terdapat 20 bola. Kemungkinan cara
pengambilan 2 bola adalah
20 !
20 ⋅19 ⋅18!
C220 =
=
= 190 cara
2 !( 20 − 2 )!
2 !18!
Terdapat 15 bola merah. Kemungkinan cara
pengambilan 1 bola merah adalah
15!
15 ⋅14 !
C115 =
=
= 15
1!(15 − 1)! 1!14 !
Terdapat 5 bola putih. Kemungkinan cara
pengambilan 1 bola putih adalah
5!
5 ⋅ 4!
C15 =
=
=5
1!( 5 − 1)! 1!4 !
Peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola putih
dari 20 bola adalah
C115 × C15 15 × 5 75
P (1M ,1P ) =
=
=
190 190
C220
Kunci Jawaban: B
A. –6
B. –3
Pembahasan:
Untuk orang pertama, ada 20 cara memilih.
Untuk orang kedua, ada 19 cara memilih.
Untuk orang ketiga, ada 18 cara memilih.
Total cara pemilihan = 20 × 19 × 18 = 6.840
Kunci Jawaban: C
x2 − 9
adalah ....
x →−3 x + 3
C. 0
D. 3
E. 6
34. Nilai dari lim
Pembahasan:
( x + 3) ( x − 3)
x2 − 9
= lim
x →−3 x + 3
x →−3
( x + 3)
lim
= lim ( x − 3)
x →−3
33. Dalam sebuah kotak terdapat 20 bola yang
terdiri dari 15 bola merah dan 5 bola putih. Jika
diambil dua bola sekaligus secara acak, maka
peluang terambil kedua bola berbeda warna
14 | matematikamenyenangkan.com
= lim ( −3 − 3)
x →−3
= −6
Kunci Jawaban: A
35. Interval x agar graik fungsi
1
f ( x ) = x3 − x 2 − 3 x + 3 turun adalah ....
3
A. x < –1 atau x > 3
B. –1 < x < 3
C. x > 3
D. 0 < x < 3
E. x < 0 atau x > 3
D.
1 4
x + x3 − 2 x 2 + c
4
E.
1 4
x − x3 + 2 x 2 + c
4
Pembahasan:
∫ x(x
∫ x(x
Pembahasan:
1
f ( x ) = x3 − x 2 − 3x + 3
3
f ′ ( x ) = x2 − 2 x − 3
∫ x(x
2
2
2
− 3 x + 4 ) dx = ∫ ( x3 − 3 x 2 + 4 x ) dx
− 3 x + 4 ) dx = ∫ x3 dx − ∫ 3 x 2 dx + ∫ 4 x dx
− 3 x + 4 ) dx =
1 4
x − x3 + 2 x 2 + c
4
Kunci Jawaban: E
1 3
2
Agar graik fungsi f ( x ) = x − x − 3 x + 3
3
turun, maka f ′ ( x ) < 0 .
3
38. Nilai dari
∫ (12 x
2
− 24 x + 9 ) dx =....
−1
A. 50
B. 51
C. 52
x2 − 2 x − 3 < 0
( x + 1) ( x − 3) < 0
D. 53
E. 54
x1 = −1 ∨ x2 = 3
−1 < x < 3
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
3
36. Jika f‘(x) adalah turunan dari f (x) = 2x3 + 3x2 +
4x + 5. Maka nilai dari f’(3) = ....
A. 76
B. 80
C. 82
D. 91
E. 98
∫ (12 x
2
− 24 x + 9 ) dx
−1
= 4 x 3 − 12 x 2 + 9 x
3
−1
(
= ( 4 ⋅ 33 − 12 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3) − 4 ⋅ ( −1) − 12 ⋅ ( −1) + 9 ⋅ ( −1)
3
2
= ( 4 ⋅ 33 − 12 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3) − ( −4 − 12 − 9 )
= (108 − 108 + 27 ) − ( −25 )
Pembahasan:
= 27 + 25 = 52
f ( x ) = 2 x3 + 3x 2 + 4 x + 5
Kunci Jawaban: C
f ′( x) = 6x + 6x + 4
2
f ′ ( 3) = 6 ⋅ 32 + 6 ⋅ 3 + 4 = 76
Kunci Jawaban: A
37. Hasil dari
A.
∫ x(x
2
39. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 3x + 4,
sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3 adalah ....
A.
8
satuan luas
31
D.
14
satuan luas
3
B.
10
satuan luas
3
E.
31
satuan luas
3
C.
12
satuan luas
31
− 3 x + 4 ) dx adalah ....
1 3
x + x2 + 2x + c
4
B.
1 3
x − x2 + 2 x + c
4
C.
1 4
x + x3 − 2 x + c
4
Pembahasan:
Gambar dulu graik fungsi yang dimaksud.
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 15
)
Luas bisa dihitung menggunakan integral.
3
∫(x
2
− 3 x + 4 ) dx
1
3
x3 3
= − x2 + 4x
3 2
1
13 3
33 3
= − ⋅ 32 + 4 ⋅ 3 − − ⋅12 + 4 ⋅1
3 2
3 2
27
1 3
= 9 − + 12 − − + 4
2
3 2
15 17
= −
2 6
14
=
3
Kunci Jawaban: D
16 | matematikamenyenangkan.com
Ujian Nasional 2016
Matematika
Teknik
SMK
matematikamenyenangkan.com
Kunci Jawaban: E
−2
p 5 q 3 r −2
1. Bentuk sederhana dari −1 −2 3 adalah ....
p q r
A. p8q2r−2
B. p12q10r−10
D. p−12q–10r10
C. p−8q−2r−10
E. p6q5r−5
3.
Nilai dari 4log 81∙ 3log 32 adalah ....
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
E. 32
Pembahasan:
Pembahasan:
Ingat rumus berikut
m n
(a )
=a
m×n
Ingat rumus berikut:
log b
a
log b =
log a
1
= a−m
m
a
am
= a m−n
an
log a b = b log a
Kita sederhanakan terlebih dahulu angkanya.
log 81 log 34 4 log 3
log 3
4
=
= 2
log
81 = =
2
log 4 log 2
log 2
2 log 2
Kita peroleh
−2
p 5 q 3 r −2
5 −( −1) 3−( −2 ) −2 −3
q
r
−1 −2 3 = p
p q r
(
)
−2
3
−2
p 5 q 3 r −2
6 5 −5 −2
−1 −2 3 = ( p q r )
p q r
log 32 log 25 5 log 2
log 2
log 32 = = =
=5
log 3
log 3
log 3
log 3
Kita peroleh
−2
p 5 q 3 r −2
−12 −10 10
−1 −2 3 = p q r
p q r
4
log 81 ⋅3 log 32 = 2
log 3 log 2
⋅5
= 2 ⋅ 5 = 10
log 2 log 3
Kunci Jawaban: B
Kunci Jawaban: D
4.
− 12
2.
2
1
1
Nilai dari (125 ) 3 + − ( 243) 5 adalah ....
9
A. –2
B. 11
C. 16
D. 19
E. 25
Fungsi kuadrat yang graiknya memiliki titik
balik P(4, 6) dan melalui titik A(2, 10) adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
f(x) = (x – 4)2 + 2
f(x) = (x – 4)2 + 6
f(x) = (x – 4)2 + 10
f(x) = (x + 4)2 + 6
f(x) = (x + 4)2 + 10
Pembahasan:
Pembahasan:
Ingat rumus berikut:
Ingat rumus titik balik fungsi kuadrat
b
b 2 − 4ac
−
,
−
= ( 4, 6 ) .
4a
2a
( a m ) = a m×n
n
Kita sederhanakan setiap bilangan terlebih
dahulu.
(125)
1
9
2
3
− 12
( 243)
2
3
= ( 9−1 )
1
5
3× 23
= ( 53 ) = 5
− 12
=9
= 52 = 25
−1×− 12
1
= 92 = 9 = 3
1
5
= ( 35 ) = 3
Kita peroleh
−1
2
1
1 2
3
(125) + − ( 243) 5 = 25 + 3 − 3 = 25
9
2 | matematikamenyenangkan.com
Diketahui x titik balik adalah 4, maka diperoleh
b
−
=4
2a
⇔ −b = 8a
⇔ b = −8a
Diketahui y titik balik adalah 6, maka diperoleh
b 2 − 4ac
−
=6
4a
( −8a )
⇔−
6 5
. Jika A = B, maka nilai a, b, c, dan d
−4 c
berturut–turut adalah ....
2
− 4ac
=6
4a
64a 2 − 4ac
⇔−
=6
4a
⇔ −16a + c = 6
A. 3, 2, –6, dan –6
B. 3, 2, –2, dan –2
C. 3, 2, 2, dan 2
⇔ 16a − c = −6 ................. (1)
Pembahasan:
Diketahui melalui titik A(2, 10).
f ( x ) = ax 2 + bx + c
2a a + b 6 5
=
d −4 c
b + c
f ( 2 ) = 10
D. 3, –1, –3, dan –3
E. 3, –1, 3, dan 3
2a = 6
⇔a=3
2
⇔ a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c = 10
⇔ 4a + 2b + c = 10
⇔ 4a + 2 ( −8a ) + c = 10
a+b =5
⇔ 3+b = 5
⇔b=2
⇔ 4a − 16a + c = 10
⇔ −12a + c = 10
⇔ 12a − c = −10 ................. ( 2 )
Dengan eliminasi persamaan (1) dan (2)
diperoleh
16a − c = −6
12a − c = −10
−
4a = 4
⇔ a =1
b = −8a
⇔ b = −8 ⋅1 = −8
16a − c = −6
⇔ 16 ⋅1 − c = −66
⇔ 16 − c = −6
⇔ 16 + 6 = c
⇔ c = 22
b + c = −4
⇔ 2 + c = −4
⇔ c = −6
d =c
⇔ d = −6
Maka nilai a, b, c, dan d adalah 3, 2, −6, dan −6.
6.
Hasil dari perkalian matriks
5 2
−1 −2 −3
3 1 2 1 0 = ....
0 4
−1 −1 −15
0
A. 8 8
−1 −5 −9
Maka persamaannya adalah
y = ax 2 + bx + c
−1 −8 −15
E. −1 −5 −9
8 4
0
0
8 4
B. −1 −5 −9
−1 −8 −15
2
y = x − 8 x + 22
y = ( x 2 − 8 x + 16 ) − 16 + 22
2
y = ( x − 4) + 6
Kunci Jawaban: B
5.
2a a + b
Diketahui matriks A =
dan B =
d
b + c
−1 −1 8
C. −8 −5 4
−15 −9 0
−1 −15 −8
D. −1 −9 −5
8
0
4
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 3
Pembahasan:
3 −9 0
A+ B −C = 9 2 5
16 −1 19
5 2
−1 −2 −3
3
1
0 4 2 1 0
Kunci Jawaban: E
5 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 2 5 ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅1 5 ⋅ ( −3) + 2 ⋅ 0
= 3 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 2 3 ⋅ ( −2 ) + 1⋅1 3 ⋅ ( −3) + 1 ⋅ 0
0 ⋅ ( −1) + 4 ⋅ 2 0 ⋅ ( −2 ) + 4 ⋅1 0 ⋅ ( −3) + 4 ⋅ 0
−1 −8 −15
= −1 −5 −9
8 4
0
8.
Kunci Jawaban: E
7.
−1 4
Invers dari matriks
adalah ....
1 −3
3 4
A.
1 1
−3 4
D.
−1 −1
−3 4
B.
1 −1
−3 −4
E.
1 1
3 −4
C.
−1 −1
4 1 −1
Diketahui matriks A = 10 2 0 , B =
5 −2 7
Pembahasan:
−1
0 −6 3
2 −1 7 , dan C =
15 1 12
a b
1 d −b
=
ad − bc −c a
c d
1 4 2
3 −1 2 . Matriks
4 0 0
−1
−1 4
−3 −4
1
=
( −1) ( −3) − 4 ⋅1 −1 −1
1 −3
A + B – C adalah ....
−1
3 1 5
A. 15 4 5
24 4 19
3 9 5
D. 7 −2 9
24 2 −5
4 −9 6
B. 15 4 5
16 −2 19
3 −9 0
E. 9 2 5
16 −1 19
4 1 0
C. 7 4 −5
16 4 −5
−1 4
1 −3 −4
=
−1 −1 −1
1 −3
−1
−1 4
3 4
=
1 −3
1 1
Kunci Jawaban: A
9.
1 1 0
Determinan dari matriks 2 −1 −1 adalah
2 4 3
....
A. –7
B. –3
4 1 −1 0 −6 3 1 4 2
A + B − C = 10 2 0 + 2 −1 7 − 3 −1 2
5 −2 7 15 1 12 4 0 0
−1 + 3 − 2
1 + ( −6 ) − 4
4 + 0 −1
A + B − C = 10 + 2 − 3 2 + ( −1) − ( −1) 0 + 7 − 2
5 + 15 − 4
−2 + 1 − 0
7 + 12 − 0
Pembahasan:
C. 3
D. 7
E. 10
Kunci Jawaban: A
4 | matematikamenyenangkan.com
Pembahasan:
1 1 0
A = 2 −1 −1
2 4 3
1 1 0
det ( A ) = 2 −1 −1
2 4 3
1 1
2 −1
2 4
det ( A ) = (1 ⋅ [ −1] ⋅ 3) + (1 ⋅ [ −1] ⋅ 2 ) + ( 0 ⋅ 2 ⋅ 4 ) − ( 2 ⋅ [ −1] ⋅ 0 ) − ( 4 ⋅ [ −1] ⋅1) − ( 3 ⋅ 2 ⋅1)
det ( A ) = −3 + ( −2 ) + 0 − 0 − ( −4 ) − 6
det ( A ) = −7
10. Seorang pekerja bangunan membeli 2 kaleng
cat dan 3 kuas seharga Rp101.500,00. Esok
harinya pekerja itu membeli 1 kaleng cat dan 2
kuas yang sama seharga Rp53.500,00. Harga 1
kaleng cat dan 1 kuas adalah ....
A. Rp46.000,00
B. Rp48.000,00
C. Rp49.000,00
D. Rp51.000,00
E. Rp53.000,00
Pembahasan:
Misalkan kaleng cat = x dan kuas = y.
2 x + 3 y = 101.500
2 x + 3 y = 101.500
x + 2 y = 53.500
×2 2 x + 4 y = 107.000
Hasil eliminasi kedua persamaan menghasilkan
2 x + 3 y = 101.500
2 x + 4 y = 107.000 _
A.
B.
C.
D.
E.
x – y ≥ 3, 2x + 3y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
x – y ≤ 3, 2x + 3y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
x – y ≥ – 3, 2x + 3y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
x – y ≤ – 3, 2x + 3y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
x – y ≥ 3, 2x + 3y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
− y = −5.500
⇔ y = 5.500
Diketahui harga satu kuas adalah Rp5.500
x + 2 y = 53.500
⇔ x + 2 ( 5.500 ) = 53.500
⇔ x + 11.000 = 53.500
⇔ x = 53.500 − 11.0000
⇔ x = 42.500
Diketahui bahwa harga cat adalah Rp42.500.
Harga satu cat dan satu kuas adalah Rp42.500 +
Rp5.500 = Rp48.000.
Kunci Jawaban: B
11. Pada gambar di samping, daerah yang diarsir
merupakan himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan ....
Titik (0, 0) termasuk daerah diarsir, maka
berlaku 2 x + 3 y ≤ 18 dan x − y ≤ 3 . Semua x dan
y positif, maka berlaku x ≥ 0 dan y ≥ 0 .
Sistem pertidaksamaan yang digunakan adalah
x − y ≤ 3 , 2 x + 3 y ≤ 18 , x ≥ 0 , y ≥ 0
Kunci Jawaban: D
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 5
12. Seorang penjahit akan membuat dua model
baju. Baju model pertama dan kedua berturutturut memerlukan bahan sebanyak 1,5 m dan 2
m kain. Baju yang diproduksi paling banyak 20
potong dan bahan kain yang tersedia sebanyak
30 m. Jika banyak baju model pertama x
dan baju model kedua y potong, manakah
pernyataan yang benar berikut ini ?
Pembahasan:
Gambar terlebih dahulu graik pertidaksamaan
yang diberikan dan tentukan area yang
memenuhi beserta titik verteknya.
A. Membuat baju model pertama dan kedua
sama banyak tetap paling menguntungkan.
B. Membuat baju model pertama dan kedua
sama banyak tidak ada pengaruh dalam
keuntungan.
C. Membuat baju model pertama setengah kali
dari model kedua akan menguntungkan.
D. Lebih baik membuat baju model kedua saja
paling untung jika harga model pertama
lebih mahal
E. Membuat baju model pertama saja paling
untung jika harga model kedua lebih murah
dari model pertama
Pembahasan:
Banyak baju model pertama = x
Banyak baju model kedua = y
Batasan
x
y
Jumlah
20
x
y
Kain
1,5 2
30
x + y ≤ 20
1, 5 x + 2 y ≤ 30
Untuk membuat kedua model sama banyak, 10
potong, total kain yang dibutuhkan adalah 1,5 ×
10 + 2 × 10 = 35 m. Karena total kain tersedia
hanya 30 m, maka hanya bisa membuat 9 potong
untuk masing-masing model jika ingin jumlah
keduanya sama.
Keuntungan hanya bisa ditentukan jika harga
jualnya diketahui. (A dan B tidak bisa diketahui)
13. Nilai minimum f (x,y) = 4x + 5y yang memenuhi
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
2x + y ≥ 8
x + 2 y ≥ 7
linear
adalah ....
x≥0
y ≥ 0
A.
B.
C.
D.
E.
18
22
26
32
40
6 | matematikamenyenangkan.com
2x + y = 8
x + 2y = 7
4 x + 2 y = 16
x + 2y = 7
3x = 9
×2
4 x + 2 y = 16
x + 2y = 7
−
⇔ x=3
x + 2y = 7
⇔ 3+ 2y = 7
⇔ 2y = 4
⇔ y=2
Cari nilai terkecil dari f (x,y) = 4x + 5y di titik
vertek yang diperoleh.
( x, y ) → 4 x + 5 y
( 0, 8) → 4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 8 = 40
( 3, 2 ) → 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 = 22
( 7, 0 ) → 4 ⋅ 7 + 5 ⋅ 0 = 288
Maka, nilai minimum adalah 22.
Kunci Jawaban: B
14. Diberikan barisan aritmatika –4, –2, 0, ...., 50.
Banyaknya suku pada barisan tersebut adalah ....
A. 28
B. 29
C. 30
D. 31
E. 32
cm.
B. Pertumbuhan tanaman tersebut 3/2 kali
tinggi hari sebelumnya.
C. Tinggi tanaman pada hari ketiga 24 cm
D. Tinggi tanaman pada hari kelima 128 cm.
E. Perbandingan tinggi tanaman pada hari
kedua dan keempat 8 : 6
Pembahasan:
a = −4
Pembahasan:
b = U 2 − U1 = −2 − ( −4 ) = 2
Dari soal, diketahui suku kedua dan keempat
deret geometris.
U 2 = 18
U n = a + ( n − 1) b
U 4 = 32
50 = −4 + ( n − 1) 2
54 = ( n − 1) 2
Ingat rumus dasar deret geometris.
U n = ar n −1
54 = 2n − 2
56 = 2n
⇒ n = 28
U 2 = ar
Kunci Jawaban: A
15. Rumus suku ke–n pada barisan geometri 9, 27,
81, 243, ... adalah ....
A. Un = 3 · 3n – 1
B. Un = 9 · 3n
C. Un = 3n – 1
D. Un = 3n + 1
E. Un = 3n + 3
Pembahasan:
U 4 = ar 3 = ar ⋅ r 2
⇔ 32 = 18r 2
⇔ 16 = 9r 2
16
⇔ r2 =
9
16
⇔r=
9
4
⇔r=±
3
Karena rasio pertumbuhan tinggi tanaman tidak
mungkin negatif (jika rasio negatif berarti tinggi
4
tanaman jadi negatif), maka diperoleh r = .
3
a=9
U
27
b= 2 =
=3
9
U1
U n = ar n −1
Tinggi tanaman pertama kali adalah U1 .
U n = 9 ⋅ 3n −1
3n
Un = 9 ⋅
3
U n = 3 ⋅ 3n
U1 = a
U 2 = 18
Un = 3
n +1
Kunci Jawaban: D
16. Seorang peneliti sedang mengamati
pertumbuhan sebuah tanaman. Pada hari kedua
pengamatan tinggi tanaman 18 cm dan hari
keempat pengamatan tinggi tanaman 32 cm.
Pertambahan tinggi tanaman tersebut sesuai
dengan barisan geometri. Pernyataan berikut
yang benar adalah ....
A. Tinggi tanaman pada awal pengamatan 16
⇔ ar = 18
4
⇔ a ⋅ = 18
3
27
⇔a=
2
⇔ a = 13, 5
Tinggi tanaman pertama kali adalah 13,5 cm. (A
salah)
Pertumbuhan tanaman tersebut mengikuti rasio
4
deret geometri, yaitu r = kali tinggi hari
3
sebelumnya. (B salah)
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 7
Tinggi tanaman pada hari ketiga, U 3 , bisa
dihitung seperti berikut
U n = ar n −1
U 3 = ar 2
27 4
⇔ U3 =
⋅
2 3
⇔ U 3 = 24
U n = a + ( n − 1) b
U n = 50 + ( n − 1) 5
U n = 50 + 5n − 5
U n = 5n + 45
2
U 30 = 5 ⋅ 30 + 45 = 195
n
(a +Un )
2
30
S30 = ( a + U 30 )
2
30
S30 = ( 50 + 195 )
2
S30 = 3.675
Sn =
Tinggi tanaman pada adalah 24 cm. (C benar)
Tinggi tanaman pada hari kelima, U 5 , bisa
dihitung seperti berikut
U n = ar n −1
U 5 = ar 4
Kunci Jawaban: D
4
27 4
⋅
2 3
128
⇔ U5 =
= 42, 7
3
⇔ U5 =
18. Ruas garis yang merupakan diagonal bidang
pada kubus ABCD.EFGH adalah ....
Tinggi tanaman pada adalah 42,7 cm. (D salah)
Perbandingan tinggi tanaman pada hari kedua
dan keempat adalah 9:16.
U 2 18
=
U 4 32
U
9
⇔ 2 =
U 4 16
(E salah)
A. EC
B. DF
C. AC
D. CD
E. EH
Pembahasan:
Diagonal bidang adalah garis yang
menghubungkan antara dua titik berseberangan
yang berada pada satu bidang.
Kunci Jawaban: C
17. Sebuah perusahaan pakaian menghasilkan 50
baju pada awal produksi dan meningkat menjadi
55 pada hari berikutnya. Jika peningkatan
jumlah produksi konstan setiap hari, jumlah
produksi setelah 30 hari adalah ....
A. 2.500 baju
B. 2.720 baju
C. 2.750 baju
D. 3.675 baju
E. 3.750 baju
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Kita bisa menghitung nilai beda dalam deret
aritmetika yang terjadi.
a = U1 = 50
U 2 = 55
b = U 2 − U1 = 55 − 50 = 5
Hitung jumlah produksi pada hari ke-30.
8 | matematikamenyenangkan.com
19. Panjang sisi KM pada segitiga di bawah ini
adalah ....
Pembahasan:
A. 7 6 cm
D. 10 6 cm
B. 8 6 cm
E. 12 6 cm
C. 9 6 cm
sin A sin C
=
BC
AB
sin 30° sin 60°
=
BC
18
1
1
3
2 =2
18
BC
1
3
=
BC 18
18
KM =
3
Pembahasan:
sin K sin L sin M
=
=
LM
KM
KL
sin 60° sin 45°
=
27
KM
1
1
3
2
2
=2
27
KM
3
2
=
27 KM
KM = 27 ×
2
3
KM = 27 ×
2
3
×
3
3
KM = 27 ×
18
3
×
3
3
18
3
KM =
3
KM =
KM = 6 3
Kunci Jawaban: B
6
3
KM = 9 6
Kunci Jawaban: C
20. Segitiga ABC siku–siku di B. Jika panjang sisi
AB adalah 18 cm dan besar sudut BAC
adalah 30°, maka panjang BC adalah ....
A. 6 2 cm
21. Segitiga ABC mempunyai sisi a = 10 cm dan
sisi b = 16 cm, serta sudut C = 30°. Luas
segitiga ABC tersebut adalah ....
A. 12 cm2
B. 20 cm2
C. 24 cm2
D. 40 cm2
E. 42 cm2
Pembahasan:
B. 6 3 cm
C. 9 2 cm
D. 9 3 cm
E. 54 3 cm
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 9
y = 4x + 2
1
ab sin C
2
1
L = ⋅10 ⋅16 ⋅ sin 30°
2
1
1
L = ⋅10 ⋅16 ⋅
2
2
L = 40
L=
y ′ − 3 = 4 ( x′ − 2 ) + 2
y ′ = 4 x′ − 8 + 2 + 3
y ′ = 4 x′ − 3
Kunci Jawaban: B
Kunci Jawaban: D
24. Perhatikan gambar balok ABCD.EFGH. Titik P
terletak di tengah–tengah EH. Jarak antara titik
B dan titik P adalah ....
22. Persamaan garis yang melalui titik (–2, 7) dan
tegak lurus garis y = 2x + 7 adalah ....
A. x + 2y – 12 = 0
B. x – 2y – 12 = 0
C. 2x + y + 12 = 0
y = 2 x + 7 → m1 = 2
⊥→ m2 = −
D. 2x + y – 12 = 0
E. 2x – y – 12 = 0
1
1
=−
2
m1
A. 5 cm
B. 7 cm
C. 13 cm
1
y = − x+c
2
( −2, 7 ) → y = −
1
x+c
2
D. 15 cm
E. 17 cm
Pembahasan:
1
7 = − ⋅ ( −2 ) + c
2
7 = 1+ c
⇒c=6
1
y = − x+6
2
1
− x+ y+6=0
2
1
− x + y + 6 ( −2 ) = 0 ( −2 )
2
x − 2 y −112 = 0
Untuk mengetahui panjang BP, kita perlu
menambahkan titik Q dan R yang berada di
tengah-tengah FG dan BC.
Kunci Jawaban: B
Dari segitiga BRQ, kita peroleh panjang BQ
melalui teorema Phytagoras.
BQ 2 = BR 2 + RQ 2
⇔ BQ 2 = 32 + 42
2
23. Garis y = 4x + 2 digeser sejauh . Persamaan
3
garis bayangan hasil pergeseran tersebut adalah
....
A. y = 4x – 5
B. y = 4x – 3
C. y = 4x + 3
Pembahasan:
x′ = x + 2 → x = x′ − 2
y′ = y + 3 → y = y′ − 3
10 | matematikamenyenangkan.com
⇔ BQ 2 = 25
⇔ BQ = 5
D. y = 4x + 5
E. y = 4x + 7
Dari segitiga siku-siku BQP, kita peroleh
panjang BP melalui teorema Phytagoras.
Dari deinisi trigonometri, kita peroleh
AQ 12 2
sin α =
=
12 12 3
BP 2 = BQ 2 + QP 2
⇔ BP 2 = 52 + 122
⇔ BP 2 = 169
⇔ BP = 13
Kunci Jawaban: C
25. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12
cm. Jarak titik A ke garis HB adalah ....
A. 4 3 cm
D. 4 6 cm
Maka
AQ 12 2
=
12 12 3
B. 3 6 cm
E. 6 3 cm
⇔
AQ
2
=
12
3
C. 5 3 cm
⇔ AQ = 12
2
3
Pembahasan:
⇔ AQ = 12
2
3
×
3
3
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH!
6
3
⇔ AQ = 4 6
⇔ AQ = 12
Kunci Jawaban: D
26. Besar sudut antara garis AF dan bidang ABCD
adalah ....
Berikut tampilan segitiga terpisah dari kubus.
Jarak A ke garis HB adalah panjang proyeksi
titik A ke garis HB, yaitu garis AQ.
A.
B.
C.
D.
0°
30°
45°
60°
E. 90°
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 11
Pembahasan:
Besar sudut antara garis AF dan bidang ABCD
sama dengan besar sudut yang dibentuk antara
garis AF dan AB, yaitu 45°.
A. 77,5%
B. 55%
C. 45%
Kunci Jawaban: C
27. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,
–1) dan melalui titik (4, 3) adalah ....
x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0
x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0
x2 + y2 – 4x – 2y – 15 = 0
x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0
x2 + y2 – 2x + 4y – 15 = 0
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
Pembahasan:
Pendaftar Teknik Komputer Jaringan = 125 +
175 + 150 = 450
Pendaftar Teknik Kendaran Ringan = 100 + 125
+ 100 = 325
Pendaftar Teknik Elektronika Industri = 50 +
100 + 75 = 225
Total pendaftar = 450 + 325 + 225 = 1.000
Persentase pendaftar Teknik Komputer Jaringan
adalah
450
×100% = 45%
1000
Pendaftar lainnya adalah 100% − 45% = 55%.
( x − a) + ( y − b) = r2
2
2
( x − 2 ) + ( y − ( −1) ) = r 2
2
2
( x − 2 ) + ( y + 1) = r 2
2
2
( 4, 3) → ( 4 − 2 ) + ( 3 + 1) = r 2
2
D. 35%
E. 25%
2
Kunci Jawaban: B
29. Perusahaan pembibitan taman hias mengolah
data pesanan tanaman. Diagram batang berikut
menyatakan banyaknya pesanan tanaman “bibit
unggul” dari tahun 2006 – 2010.
22 + 42 = r 2
20 = r 2
( x − 2 ) + ( y + 1)
2
(x
2
2
= 20
− 4 x + 4 ) + ( y 2 + 2 y + 1) = 20
x 2 − 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 = 20
x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 5 = 20
x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 15 = 0
Kunci Jawaban: A
28. Diagram berikut ini menggambarkan jumlah
pendaftar calon siswa baru pada 3 jurusan
di suatu SMK dari tahun 2000 sampai tahun
2002. Banyaknya pendaftar yang tidak memilih
jurusan Teknik Komputer dan Jaringan adalah
....
12 | matematikamenyenangkan.com
Manakah pernyataan yang benar berdasarkan
diagram?
A. Terjadi kecenderungan naik untuk setiap
tahun dari pesanan tanaman.
B. Terjadi kecenderungan turun untuk setiap
tahun dari pesanan tanaman.
C. Terjadi kenaikan paling banyak pesanan
tanaman dua tahun terakhir.
Pembahasan:
Pesanan pada tahun 2007 dan 2009 turun
dibandingkan dengan tahun sebelumnya. (A
salah)
Pesanan pada tahun 2008 dan 2010 naik
dibandingkan dengan tahun sebelumnya. (B
salah)
Pada tahun 2008 dan 2009, pesanan turun 60
(2008-2009) lalu naik 150 (2009-2010).
Pada tahun 2009 dan 2009, pesanan turun 60
(2008-2009) lalu naik 150 (2009-2010).
Pada tahun 2006 dan 2007, pesanan turun 50
(2006-2007) lalu naik 110 (2007-2008). (C
benar)
Kunci Jawaban: C
30. Upah rata-rata 7 orang pekerja sebesar
Rp250.000,00 per hari. Jika ada tambahan
satu orang pekerja, rata-rata upah menjadi
Rp237.500,00 per hari. Manakah perhitungan
yang tepat berdasarkan data?
A. Upah pekerja baru 50% lebih kecil dari ratarata pekerja lama.
B. Upah pekerja untuk delapan orang tersebut
kurang dari dua juta rupiah.
C. Upah pekerja baru sebesar 75% dari rata-rata
upah pekerja lama.
D. Pekerja baru membebani anggaran lebih dari
70%.
E. Anggaran untuk membayar pekerja delapan
orang merugikan usaha.
Pembahasan:
Misalkan upah per hari para pekerja kita
identiikasikan sebagai x1, x2, x3, ....
x1 + x2 + + x7
= 250.000
7
⇔ x1 + x2 + + x7 + x8 = 250.000 × 7
⇔ x1 + x2 + + x7 + x8 = 1.750.000
Penambahan seorang pekerja mengubah ratarata menjadi Rp237.500,00.
x1 + x2 + + x7 + x8
= 237.500
8
⇔ x1 + x2 + + x7 + x8 = 237.500 × 8
⇔ x1 + x2 + + x7 + x8 = 1.900.000
⇔ 1.750.000 + x8 = 1.900.000
⇔ x8 = 1.900.000 − 1.750.000
⇔ x8 = 150.000
Maka, diketahui bahwa upah harian pekerja baru
adalah Rp150.000,00.
Upah pekerja baru lebih kecil Rp100.000,00
dari rata-rata pekerja lama. Perbedaannya tidak
sampai 50% rata-rata upah pekerja lama, yaitu
Rp125.000,00. (A salah)
Total upah kedelapan pekerja adalah
Rp1.900.000,00, kurang dari dua juta rupiah. (B
benar)
Misalkan, upah pekerja baru adalah x persen
dari rata-rata upah pekerja lama.
x
150.000 =
⋅ 250.000
100
x
⇔ 15 =
4
⇔ x = 60
Ditemukan bahwa upah pekerja baru adalah
60% dari rata-rata upah pekerja lama. (C salah)
Pekerja baru membebani anggaran lebih dari
70%. (D tidak bisa diketahui)
Anggaran untuk membayar pekerja delapan
orang merugikan usaha. (E tidak bisa diketahui)
Kunci Jawaban: B
31. Kuartil atas Q3 dari data yang disajikan pada
tabel adalah ....
Interval
151 – 155
156 – 160
161 – 165
166 – 170
171 – 175
A. 169,0
B. 169,4
C. 169,5
Frekuensi
4
7
12
10
7
D. 169,6
E. 169,8
Pembahasan:
i
4 n − fk
Qi = tb +
p , i = 1, 2, 3
f
Q
i
Q3 berada di kelas yang ditandai.
Frekuensi
Interval Frekuensi
Kumulatif
151 – 155
4
4
156 – 160
7
11
161 – 165
12
23
166 – 170
10
33
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 13
171 – 175
7
40
Untuk menghitung nilai Q3 diketahui
i=3
tb = 165, 5
f k = 23
adalah ....
A.
125
190
D.
75
380
B.
75
190
E.
50
380
C.
50
190
fQ3 = 10
p = 170 − 165 = 5
n = 40
3
4 n − fk
Q3 = tb +
p
fQ3
Pembahasan:
Nilai Q3 bisa dihitung seperti berikut
3
4 n − fk
Q3 = tb +
p
fQ3
3
4 ⋅ 40 − 23
⇔ Q3 = 165, 5 +
⋅5
10
30 − 23
⇔ Q3 = 165, 5 +
⋅5
10
⇔ Q3 = 165, 5 + 3, 5
⇔ Q3 = 169, 0
Kunci Jawaban: A
32. Dari 20 orang siswa berprestasi akan dipilih
3 orang untuk mendapatkan 3 beasiswa yang
berbeda. Banyak cara pemilihan tersebut adalah
....
A. 1.140 cara
B. 2.280 cara
C. 6.840 cara
D. 6.880 cara
E. 8.840 cara
Terdapat 20 bola. Kemungkinan cara
pengambilan 2 bola adalah
20 !
20 ⋅19 ⋅18!
C220 =
=
= 190 cara
2 !( 20 − 2 )!
2 !18!
Terdapat 15 bola merah. Kemungkinan cara
pengambilan 1 bola merah adalah
15!
15 ⋅14 !
C115 =
=
= 15
1!(15 − 1)! 1!14 !
Terdapat 5 bola putih. Kemungkinan cara
pengambilan 1 bola putih adalah
5!
5 ⋅ 4!
C15 =
=
=5
1!( 5 − 1)! 1!4 !
Peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola putih
dari 20 bola adalah
C115 × C15 15 × 5 75
P (1M ,1P ) =
=
=
190 190
C220
Kunci Jawaban: B
A. –6
B. –3
Pembahasan:
Untuk orang pertama, ada 20 cara memilih.
Untuk orang kedua, ada 19 cara memilih.
Untuk orang ketiga, ada 18 cara memilih.
Total cara pemilihan = 20 × 19 × 18 = 6.840
Kunci Jawaban: C
x2 − 9
adalah ....
x →−3 x + 3
C. 0
D. 3
E. 6
34. Nilai dari lim
Pembahasan:
( x + 3) ( x − 3)
x2 − 9
= lim
x →−3 x + 3
x →−3
( x + 3)
lim
= lim ( x − 3)
x →−3
33. Dalam sebuah kotak terdapat 20 bola yang
terdiri dari 15 bola merah dan 5 bola putih. Jika
diambil dua bola sekaligus secara acak, maka
peluang terambil kedua bola berbeda warna
14 | matematikamenyenangkan.com
= lim ( −3 − 3)
x →−3
= −6
Kunci Jawaban: A
35. Interval x agar graik fungsi
1
f ( x ) = x3 − x 2 − 3 x + 3 turun adalah ....
3
A. x < –1 atau x > 3
B. –1 < x < 3
C. x > 3
D. 0 < x < 3
E. x < 0 atau x > 3
D.
1 4
x + x3 − 2 x 2 + c
4
E.
1 4
x − x3 + 2 x 2 + c
4
Pembahasan:
∫ x(x
∫ x(x
Pembahasan:
1
f ( x ) = x3 − x 2 − 3x + 3
3
f ′ ( x ) = x2 − 2 x − 3
∫ x(x
2
2
2
− 3 x + 4 ) dx = ∫ ( x3 − 3 x 2 + 4 x ) dx
− 3 x + 4 ) dx = ∫ x3 dx − ∫ 3 x 2 dx + ∫ 4 x dx
− 3 x + 4 ) dx =
1 4
x − x3 + 2 x 2 + c
4
Kunci Jawaban: E
1 3
2
Agar graik fungsi f ( x ) = x − x − 3 x + 3
3
turun, maka f ′ ( x ) < 0 .
3
38. Nilai dari
∫ (12 x
2
− 24 x + 9 ) dx =....
−1
A. 50
B. 51
C. 52
x2 − 2 x − 3 < 0
( x + 1) ( x − 3) < 0
D. 53
E. 54
x1 = −1 ∨ x2 = 3
−1 < x < 3
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
3
36. Jika f‘(x) adalah turunan dari f (x) = 2x3 + 3x2 +
4x + 5. Maka nilai dari f’(3) = ....
A. 76
B. 80
C. 82
D. 91
E. 98
∫ (12 x
2
− 24 x + 9 ) dx
−1
= 4 x 3 − 12 x 2 + 9 x
3
−1
(
= ( 4 ⋅ 33 − 12 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3) − 4 ⋅ ( −1) − 12 ⋅ ( −1) + 9 ⋅ ( −1)
3
2
= ( 4 ⋅ 33 − 12 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3) − ( −4 − 12 − 9 )
= (108 − 108 + 27 ) − ( −25 )
Pembahasan:
= 27 + 25 = 52
f ( x ) = 2 x3 + 3x 2 + 4 x + 5
Kunci Jawaban: C
f ′( x) = 6x + 6x + 4
2
f ′ ( 3) = 6 ⋅ 32 + 6 ⋅ 3 + 4 = 76
Kunci Jawaban: A
37. Hasil dari
A.
∫ x(x
2
39. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 3x + 4,
sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3 adalah ....
A.
8
satuan luas
31
D.
14
satuan luas
3
B.
10
satuan luas
3
E.
31
satuan luas
3
C.
12
satuan luas
31
− 3 x + 4 ) dx adalah ....
1 3
x + x2 + 2x + c
4
B.
1 3
x − x2 + 2 x + c
4
C.
1 4
x + x3 − 2 x + c
4
Pembahasan:
Gambar dulu graik fungsi yang dimaksud.
Ujian Nasional Matematika Teknik 2016 | 15
)
Luas bisa dihitung menggunakan integral.
3
∫(x
2
− 3 x + 4 ) dx
1
3
x3 3
= − x2 + 4x
3 2
1
13 3
33 3
= − ⋅ 32 + 4 ⋅ 3 − − ⋅12 + 4 ⋅1
3 2
3 2
27
1 3
= 9 − + 12 − − + 4
2
3 2
15 17
= −
2 6
14
=
3
Kunci Jawaban: D
16 | matematikamenyenangkan.com