Handout Analisis Regresi

HANDOUT

ANALISIS REGRESI

Kismiantini

NIP. 19790816 200112 2 001

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

1

Analisis

Analisis Regresi

Regresi

A

li i

A

li i

K

K

l

l

i

i

Analisis

Analisis Korelasi

Korelasi

Model

Model Regresi

Regresi Linear

Linear Sederhana

Sederhana

2

Analisis

Analisis Regresi

Regresi dan

dan Analisis

Analisis Korelasi

Korelasi

•

Apa itu an alisis regresi?

•

Apa bedan ya den gan korelasi?

Apa bedan ya den gan korelasi?

Analisis RegresiÎAnalisis statistika yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih peubah kuantitatif sehingga salah satu peubah dapat diramalkan dari peubah lainnya.p p p y

Analisis KorelasiÎAnalisis statistika yang membahas tentang y g g derajat (kekuatan) hubungan antara peubah-peubah.

3

Korelasi

Korelasi

Korelasi

Korelasi

4

i i

i

X

Y

_i

=

β

β

₀₀

+

β

β

_{11 i}

+

ε

_i i = 1, 2 , …, n

Yiadalah n ilai peubah tak bebas dalam pen gam atan ke-i

β d β d l h t

i 1, 2 , …, n

β0 dan β1 adalah param eter

Xiadalah kon stan ta yan g diketahui, yaitu n ilai peubah bebas dari pen gam atan ke-i

εiadalah galat yan g bersifat acak den gan rataan E[εi]=0 dan ragam Var [εi]=σ2_; ε

idan εjtidak berkorelasi sehin gga peragam / kovarian si

σ{{εii, ,εjj}} =0 un tuk sem ua i,j ; i ,j ; ≠j j _iid

S e h in gga :

S e h in gga :

( )

2

,

0

~

σ

ε

N

iid i

i

i

X

Y

E

[

]

=

β

₀

+

β

₁

5

Model regresi linear sederhana

•

Model regresi diatas dikatakan sederhan a, lin ear dalam

param eter, dan lin ear dalam peubah bebas.

Dik t k

“

d

h

” k

h

d

t

b h

•

Dikatakan “

s e d e rh a n a

” karen a han ya ada satu peubah

bebas.

•

Dikatakan “

Dikatakan

lin e a r d a la m p a ra m e te r

lin e a r d a la m p a ra m e te r

” karen a tidak

karen a tidak

ada param eter yan g m un cul sebagai suatu ekspon en atau

dikalikan atau dibagi oleh param eter lain .

Dik t k

“

li

d l

b h b b

” k

•

Dikatakan “

lin e a r d a la m p e u ba h be ba s

” karen a

peubah dalam m odel tersebut berpan gkat satu.

•

Model yan g lin ear dalam param eter dan lin ear dalam

Model yan g lin ear dalam param eter dan lin ear dalam

peubah bebas juga din am akan

m o d e l o rd o -p e rta m a

.

Plot Data!

Plot Data!

NEVER skip this step! The d a t a m a y n o t

6

Plot Data!

Plot Data!

NEVER skip this step! The d a t a m a y n o t

e v e n b e lin e a r a n d a d iffe r e n t m o d e l m a y b e m o r e

7 8

9

( i k i) d l h b d t il i t d il i d

Yˆ

Persamaan regresi linear dugaan :

ˆ

e_i (sisaan ke-i) adalah beda antara nilai amatan Yidengan nilai dugaannya

Y

i

i

i

X

Y

ˆ

=

13

,

82

+

48

,

60

Y

ˆ

=

13

,

82

+

48

,

60

X

10

11

Bagaimana mendapat kan b

0

dan b

1

?

•

Metode kuadrat terkecil yaitu den gan

•

Metode kuadrat terkecil, yaitu den gan

m em in im um kan jum lah kuadrat galat :

( )

(

Y

E

Y

)

(

Y

(

X

)

)

L

n

i

i i

n

i

i i n

i

i

=

∑

−

=

∑

−

+

=

∑

_{= = =1} 2

1 0 1

2 1

2

β

β

ε

∂

_L

n

(

)

(

)

0

2

1

1 0 0

=

+

−

−

=

∂

∂

∑

=

n

i

i

i

X

Y

L

β

β

β

(

)

(

)

0

2

1

1

0

+

=

−

−

=

∂

∂

∑

i

n

i

i

X

X

Y

L

β

β

β

1 1

∂

β

i=

• Pendugaan terhadap koefisien regresi:

12

g

p

g

Æ

b

0

penduga bagi

β

0

dan b

1

penduga bagi

β

₁

₁

Metode

∑

−

∑ ∑

n

Y

X

Y

X

b

i i i i

Metode

Kuadrat Terkecil

(

)

∑

−

∑

=

n

X

X

n

b

i i

2 2 1

(

Y

b

X

)

Y

b

X

n

b

0 i 1 i 1

1

−

=

−

=

∑

∑

Bagaimana Pengujian terhadap model regresi ??

• parsial (per koefisien)

Æ

uji-t

• bersama

Æ

uji-F (Anava)

Bagaimana menilai kesesuaian model ??

g

M k

M k

d g

d g

k

k

fi i

fi i

g

g

i

i

13

Makna

Makna dugaan

dugaan koefisien

koefisien regresi

regresi

Misalkan ingin mengetahui hubungan jarak tempuh kendaraan mobil dalam k (X) d ti k t i i d l (Y)

km (X) dengan tingkat emisinya dalam ppm (Y).

• Plot data ternyata menunjukkan ada hubungan linear antara X dan Y • Dicobakan model linear Yi= β0+ β1Xi+ εi, diperoleh persamaan regresi

i

i

X

Y

ˆ

=

364

+

5

,

47

• Apa makna b0dan b1pada konteks ini ?

Makna dari b1yaiturata-rata emisimeningkat5,47 ppm untuk setiap

kenaikanjarak tempuh kendaraan mobil 1 km(ataukenaikanjarak

kenaikanjarak tempuh kendaraan mobil 1 km (ataukenaikanjarak tempuh kendaraan mobil 1 kmakanmeningkatkanrata-rata emisi yang dihasilkan mobil sebesar 5,47 ppm).

Makna dari b0yaitu untuk mobil dengan jarak tempuh kendaraan mobil 0

km (mobil baru) tingkat emisi yang dihasilkan rata-rata sebesar 364 ppm.

l 1

14

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Soal 1

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X_i 5,5 4,8 4,7 3,9 4,5 6,2 6,0 5,2 4,7 4,3 Yi 3,1 2,3 3,0 1,9 2,5 3,7 3,4 2,6 2,8 1,6

i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X_i 4,9 5,4 5,0 6,3 4,6 4,3 5,0 5,9 4,1 4,7 Y_i 2,0 2,9 2,3 3,2 1,8 1,4 2,0 3,8 2,2 1,5

66

,

257

;

84

,

134

;

12

,

509

;

0

,

50

;

0

,

100

=

2

=

2

=

=

=

∑

X

i

∑

Y

i

∑

X

i

∑

Y

i

∑

X

i

Y

i

1. Apakah nilai mutu rata-rata (NMR) pada akhir tahun pertama (Y) dapat diramalkan dari nilai ujian masuk (X)?

Bila jawaban ya, maka

2 l h d d

2. Buatlah diagram pencar X dan Y.

3. Tentukan persamaan regresi dugaannya beserta maknanya!

Soal 2

15

Soal 2

• Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu)

Nilai ulangan matematika

95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95

Lama waktu 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10 belajar matematika

a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y!

b) Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan

b) Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan koefisien regresinya!

Soal 3

16

Soal 3

• Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui hubungan antara pengeluaran untuk iklan (p g (X dalam jutaan rupiah) denganj p ) g penerimaan melalui penjualan (Y dalam jutaan rupiah) pada perusahaan tertentu. Berikut ringkasan datanya :

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = =

=10, 120, 500, 6106, 2 1470, 2 25440

i i

i i i

i Y XY X Y

X n

a) Tentukan persamaan regresi dugaan! Berikan maknanya.

b) Bila pengeluaran untuk iklan sebesar 16 juta rupiah berapakah

b) Bila pengeluaran untuk iklan sebesar 16 juta rupiah, berapakah penerimaan dari hasil penjualan?

Soal 4

17

Seoran g guru m atem atika m en catat lam a waktu (Y, dalam

i )

di

bil d

i

j l

k

k l h k ik

m en it), yan g diam bil dari perjalan an ke sekolah ketika

m en in ggalkan rum ah setelah jam 7 pagi (X , dalam m en it)

pada tujuh pagi hari yan g tercatat

pada tujuh pagi hari yan g tercatat.

X

0

10

20

30

40

50

60

X

0

10

20

30

40

50

60

Y

16

27

28

39

39

48

51

a)

Plot data den gan diagram pen car. Berikan pen jelasan

dari plot tersebut.

b)

Ten tukan persam aan regresi lin ear sederhan a dari dan

m akn an ya.

)

G

b

k

i

i d

i b)

d

b

)

c)

Gam barkan garis regresi dari b) pada gam bar a).

Soal 5

18

Soal 5

Tabel in i m en un jukkan skor tes pen alaran verbal, X ,

j

p

,

,

dan skor tes In ggris, Y, un tuk setiap sam pel acak dari 8

an ak yan g m en gikuti kedua tes tersebut:

Anak A

B

C

D

E

F

G

H

X

112 113 110 113 112 114 109 113

Y

69

65

75

70

70

75

68

76

a)

Plot

data

den gan

diagram

pen car.

Berikan

pen jelasan dari plot tersebut.

a)

Ten tukan persam aan regresi lin ear dugaan dan

berikan m akn an ya

A

SUMSI

-

ASUMSI DALAM ANALISIS

REGRESI LINEAR SEDERHANA

1

MODEL

MODEL REGRESI

REGRESI LINEAR

LINEAR SEDERHANA

SEDERHANA BERGALAT

BERGALAT NORMAL

NORMAL

X

Y

_i

=

β

+

β

X

_i

+

ε

_i

Y

=

β

₀

+

β

₁

+

ε

β

d

β

d l h t

β

0

dan

β

1

adalah parameter

X

i

adalah konstanta yang diketahui nilainya

ε

i

adalah galat yang menyebar N(0,

σ

2

) dan bebas satu sama lain

A

A

SUMSISUMSI

--

ASUMSIASUMSI DALAMDALAM ANALISISANALISIS REGRESIREGRESI LINEARLINEAR SEDERHANASEDERHANA

i

g

y

g

y

( ,

)

|

Galat memiliki ragam yang konstan

|

Galat menyebar normal

|

Galat menyebar normal

|

Galat bersifat saling bebas

ε

i

diduga oleh

!!!

S l

d

b

l

d

l

i i i

Y

Y

e

=

−

ˆ

2

Selanjutnya e

i

disebut sisaan atau nilai dugaan galat.

G

ALAT MEMILIKI RAGAM YANG KONSTAN

ˆ

|

Plot sisaan (e

i

) dengan nilai dugaan ( )

|

Plot sisaan (e

i

) dengan peubah bebas (X

i

)

i

Yˆ

Bila sisaan-sisaan tidak membentuk suatu pola tertentu maka galat memiliki ragam yang konstan.

Galat memiliki ragam

Galat tidak memiliki ragam

3

Galat memiliki ragam

konstan (tidak berpola)

Galat tidak memiliki ragam

konstan (berpola)

G

ALAT MENYEBAR NORMAL

|

Plot peluang normal bagi sisaan yaitu e

i

versus h

i

⎤

⎡

⎛

⎞

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

25

,

0

375

,

0

n

i

z

KTG

h

_i

⎦

⎣

)

/(

n

p

JKG

KTG

=

−

JKG

=

∑

Y

i

−

b

0

∑

Y

i

−

b

1

∑

X

i

Y

i 2

h

i

adalah nilai harapan di bawah asumsi kenormalan

|

Sisaan diurutkan dari kecil ke besar

e_i

Gambar disamping

menunjukkan bahwa galat

menunjukkan bahwa galat

menyebar normal

karena titik-titik (sisaan-sisaan)

mengikuti arah garis diagonal.

4

hi

P

ERHATIKAN

T

ABEL

B

ERIKUT

ŶŶ

= 10 + 2X, KTG = 7,5

i X Y Ŷ e Urutan e terurut h i X_i Y_i Ŷi ei _{naik i} eiterurut hi

1 30 73 70 3

₁

_-3

_-4,24

2 20 50 50 0

2 20 50 50 0

₂

_-2

_-2,74

3 60 128 130 -2

₃

_-2

_-1,79

4 80 170 170 0

4 80 170 170 0

₄

_-2

_-1,02

5 40 87 90 -3

₅

_-1

_-0,33

6 50 108 110 2

₆

₀

_{0 33}

6 50 108 110 -2

₆

₀

_0,33

7 60 135 130 5

₇

₀

_1,02

8 30 69 70 1

₈

₂

_{1 79}

8 30 69 70 -1

₈

₂

_1,79

9 70 148 150 -2

₉

₃

_2,74

10 60 132 130 2

₁₀

₅

_{4 24}

10 60 132 130 2

₁₀

₅

_4,24

5

G

ALAT BERSIFAT SALING BEBAS

|

Bila data tidak diamati secara bersamaan,melainkan

dalam suatu urutan waktu maka buatlah plot sisaan

dalam suatu urutan waktu maka buatlah plot sisaan

(e

i

) terhadap waktu.

|

Tujuan adalah untuk melihat apakah ada korelasi

|

Tujuan adalah untuk melihat apakah ada korelasi

antara suku galat dengan suku galat berikutnya.

|

Bila suku suku galat saling bebas maka

sisaan sisaan

|

Bila suku-suku galat saling bebas, maka

sisaan-sisaan

berfluktuasi secara acak di sekitar nilai o

.

Bila data diamati bersamaan, untuk melihat

keacakan galat percobaan dibuat plot antara nilai

g

p

p

dugaan galat (e

i

) dengan nilai dugaan respons (

Ŷ

i

)

Apabila berfluktuasi secara acak di sekitar nol

6

7

S

OAL

1

Sebuah penelitian mengukur banyaknya gula yang terbentuk

pada berbagai suhu. Data telah dikodekan sebagai berikut:

a) Tentukan persamaan garis regresi linear dugaan

b) Dugalah banyaknya gula yang terbentuk bila suhunya 1,75.

c) Perhatikan gambar berikut, apa yang dapat Anda simpulkan

dari gambar tersebut?

Residuals Versus the Fitted Values

(response is Y) Normal Probability Plot of the Residuals(response is Y)

id

ua

l

1.0 0.5

cen

t

99

95 90 80 70 60 50

8

Re

s

0.0 -0.5

Pe

rc

1 5 1 0 0 5 0 0 -0 5 -1 0 -1 5

50 40 30 20 10 5

1

Fitted Value

10.0 9.5 9.0 8.5

8.0 Residual

1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5

S

OAL

2

S

OAL

2

|

Perhatikan gambar berikut :

90 80 70

Scatterplot of Y vs X

20

10

Versus Fits

(response is Y)

99 95 90 80

Normal Probability Plot

(response is Y)

60 50 40 30

Y 0

-10

Re

s

id

u

al

80 70 60 50 40 30 20 10 5

Pe

rc

e

nt

Gambar 1 Plot X dan Y Gambar 2 Plot nilai dugaan vs sisaan Gambar 3 Plot Peluang Normal 55

50 45 40 35 30 20

X

80 70 60 50 40 -20

Fitted Value

30 20 10 0 -10 -20 -30 1

Residual

Gambar 1. Plot X dan Y Gambar 2. Plot nilai dugaan vs sisaan Gambar 3. Plot Peluang Normal

a)

Apa yang dapat Anda simpulkan dari gambar 1, 2 dan 3? Berikan

j l

penjelasannya.

b)

Berdasarkan Gambar 1, apa tanda dari koefisien korelasinya? Berikan

penjelasannya

penjelasannya.

INFERENSI DALAM

INFERENSI DALAM

ANALISIS REGRESI

ANALISIS REGRESI

1. Inferensi tentang

β

1

a Selang Kepercayaan bagi

β

a. Selang Kepercayaan bagi

β

1

b. Uji bagi

β

1

2 I f

i t

t

β

2. Inferensi tentang

β

0

a. Selang Kepercayaan bagi

β

0

b. Uji bagi

β

0

1

Selang

Selang Kepercayaan

Kepercayaan bagi

bagi

ββ

Selang

Selang Kepercayaan

Kepercayaan bagi

bagi

ββ

₁

₁

−

b

β

{ }

( )2

1 1 1

_~

− n

t

b

s

b

β

Tingkat kepercayaan

( )

_{{ }}

β

α( )

α

α

⎟⎟⎠

⎞

=

−

⎜⎜⎝

⎛

₋

_≤

−

_≤

−

− ; 2

1

1 1 1 2

; ₂

2 n

_s

_b

t

n

b

t

P

( )

{ }

1

2

;

1

t

s

b

b

n

±

α

{ }

₍

₎

∑

=

X

KTG

b

s

1 2

2 dengan

{ }

⎠

⎝

s

b

1

( )

2

;

2

n

−

∑

₋

(

∑

)

n

X

X

i i

2

Misalkan diperoleh selang kepercayaan 95% bagi

β

1

1,89 ,8

≤ β

β

11

≤

2,11 ,

Artinya diduga bahwa rata-rata banyaknya jam-orang (Y) naik sekitar antara 1,89 sampai 2,11 satuan untuk setiap kenaikan satu

it k l t (X) unit ukuran lot (X).

2

Uji bagi

β

=0 lawan

β ≠

0

Uji bagi

β

₁

=0 lawan

β

₁

≠

0

Hipotesis

H0: β1=0 (Tidak ada hubungan linear antara X dan Y)

H1: β1≠0 (Ada hubungan linear antara X dan Y)

Sumber

Keragaman db JK KT Fhit Ftabel

1 β1 g

Regresi Galat 1 n-2 JKR JKG KTR=JKR/1 KTG=JKG/n-2

Fhit=KTR/KTG Fα(1,n-2)

Galat n 2 JKG KTG JKG/n 2

Total n-1 JKT

Kriteria keputusan :

H0 ditolak jika Fhit> Fα(1,n-2)

{ }

b

1

t

_hit

=

{ }

b

1

s

t

_hit Kriteria keputusan :

H dit l k jik |t | t H0 ditolak jika |thit|> tα/2(n-2)

3

Perhatikan simpangan total berikut :

i

i

i

i

Y

Y

Y

Y

Y

Y

−

=

ˆ

−

+

−

ˆ

Jumlah kuadrat simpangan-simpangan tersebut :

(

Y

_i

−

Y

)

2

=

∑

( ) ( )

Y

ˆ

_i

−

Y

2

+

∑

Y

_i

−

Y

ˆ

_i

2

∑

JKG

JKR

JKT

=

+

Y X b Y b Y JKG Y n Y JKT i = − =

∑

∑

∑

∑

2 2 2

( )

XY X Y

Y X b Y b Y JKG i i i i i i i i ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ₋ ⎤ ⎡ − − =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

2 2 1 0

( )

(

X

)

X n n Y Y i i i i i i − ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =

∑

∑

∑

∑

∑

2 2 2 2 JKG JKT JKR n i − =

∑

4

Uji Satu Arah Bagi

β

Uji Satu Arah Bagi

β

₁

A

k h

A

k h

ββ

itif

itif tt

tid k

tid k?

?

Apakah

Apakah

ββ

₁

₁

positif

positif atau

atau tidak

tidak?

?

Hipotesis : H

0

:

β

1

≤

0

H

1

:

β

1

> 0

Taraf nyata :

α

Statistik uji : t = b

1

/s{b

1

}

Kriteria Keputusan : H

0

ditolak jika t

hit

> t

α(n-2)

Apakah

Apakah

ββ

₁

₁

negatif

negatif atau

atau tidak

tidak??

Hipotesis : H :

β ≥

0

H :

β

< 0

Hipotesis : H

0

:

β

1

≥

0

H

1

:

β

1

< 0

Taraf nyata :

α

Statistik uji : t = b /

s{b }

Statistik uji : t = b

₁

/

s{b

1

}

Kriteria Keputusan : H

0

ditolak jika t

hit

< -t

α(n-2)

5

Mi

lk

S

t K

t

t

Misalkan a Suatu Konstanta

• Ujilah apakah

β

= a atau tidak?

• Ujilah apakah

β

₁

= a atau tidak?

St ti tik ji

• Statistik uji :

{ }

1

1

b

b

t

=

−

β

{ }

b

1

s

Gant i

β

dengan a

Gant i

β

1

dengan a

Selang

Selang Kepercayaan

Kepercayaan bagi

bagi

ββ

₀

₀

β

_⎟⎞

⎜⎛

≤

0

−

0

≤

1

t

b

t

P

Selang

Selang Kepercayaan

Kepercayaan bagi

bagi

ββ

₀

₀

0 0

−

b

β

( )

_{{ }}

β

α( )

α

α

⎟⎟⎠

=

−

⎜⎜⎝

−

−

≤

≤

; −2

1

0

0 0 2

; ₂

2 n

_s

_b

t

n

t

P

⎤

⎡

{ }

( )2

0 0

0

_~

−

n

t

b

s

β

( )

{ }

0

2

0

t

s

b

b

n

±

α

{ }

₍

₎

_⎥

⎥

⎥

⎤

⎢

⎢

⎢

⎡

+

=

∑

X

KTG

b

s

₂

2 0

2

1

dengan

( )

2

2

n

−

{ }

₍

₎

⎥

⎥

⎦

⎢

⎢

⎣

∑

−

∑

n

X

X

n

i i

2 2

Misalkan diperoleh selang kepercayaan 90% bagi

β

0

5,34

≤ β

0

≤

14,66

Artinya diduga bahwa

rat aan

rat aan banyaknya

banyaknya j am

j am orang

orang sekit ar

sekit ar

Artinya diduga bahwa

rat aan

rat aan banyaknya

banyaknya j am

j am -- orang

orang sekit ar

sekit ar

ant ara

ant ara 5

5,,34

34 sam pai

sam pai 14

14,,66

66 sat uan

sat uan unt uk

unt uk ukuran

ukuran lot

lot sebesar

sebesar 0

0..

Selang

Selang ini

g

g

ini t idak

t idak m em punyai

m em punyai m akna

p

p

y

y

m akna

..

Selang kepercayaan ini tidak selalu memberikang p y informasi yang bermanfaat

7

Uji bagi

β

=0 lawan

β ≠

0

Uji bagi

β

₀

=0 lawan

β

₀

≠

0

Hipotesis

H

₀

:

β

₀

=0

H

0

H

₁

:

β

₀

≠

0

Taraf Nyata :

α

b

Statistik Uji :

Taraf Nyata :

α

{ }

0 0

b

s

b

t

_hit

=

Statistik Uji :

{ }

b

0

s

Kriteria keputusan :

H

₀

ditolak jika |t

_hit

|> t

_α/2(n-2)

8

Soal 1

a

Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilaip p g g ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu).

Nilai ulangan matematika

95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95

L kt 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10

a)Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas

X

dan peubah tak bebas Lama waktu

belajar matematika

18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10

a)Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas

X

dan peubah tak bebas

Y

!

Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. Anggap asumsi asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. b)Tentukan selang kepercayaan 99% bagi

β

₀ dan

β

₁beserta maknanya! c)Ujilah apakah ada hubungan linear antara lama waktu belajar ) j p g j

matematika dan nilai ulangan matematika? Gunakan taraf nyata

α

= 0,01. d)Ujilah apakah

β

₁= 5 lawan

β

₁

≠

5 ? Gunakan taraf nyata

α

= 0,01. e)Ujilah apakah

β

₀ = 0 atau tidak? Gunakan taraf nyata

α

= 0,01. ₉

Soal 2

Suatu tes diberikan pada semua mahasiswa baru. Seseorang yang memperoleh nilai di bawah 35 tidak diizinkan mengikuti kuliah matematika yang biasa tetapi harus mengikuti suatu kelas khusus matematika yang biasa, tetapi harus mengikuti suatu kelas khusus (

remedial class

). Berikut ringkasan data dari nilai tes dan nilai akhir bagi 20 mahasiswa yang mengikuti kuliah matematika yang biasa:

a Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas

X

dan peubah tak a. Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas

X

dan peubah tak

bebas

Y

!

b. Tentukan persamaan regresi dugaan! b u a p a aa g dugaa

c. Bila 60 adalah nilai terendah agar lulus dari pelajaran matematika tersebut, berapakah batas nilai tes terendah di masa mendatang untuk dapat diizinkan mengikuti kuliah tersebut?

Bila model regresi ordo pertama layak digunakan.

d Ujil h k h d h b li i il i d il i khi ? d. Ujilah apakah ada hubungan linier antara nilai tes dan nilai akhir?

Gunakan taraf nyata 0,05.

e Tentukan selang kepercayaan 95% bagi

β

dan

β

beserta maknanya e. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi

β

0dan

β

1beserta maknanya.

10

Soal 3

Suatu percobaan dilakukan pada jenis mobil baru merk tertentu, untuk menentukan jarak yang dibutuhkan untuk berhenti bila mobil tersebut direm pada berbagai kecepatan. Data yang diperoleh sebagai berikut:

Kecepatan (kilometer per jam) 35 50 65 80 95 110

)T t k b h b i b h b b

X

d b h t k

p ( p j )

Jarak sampai berhenti (meter) 16 26 41 62 88 119

a)Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas

X

dan peubah tak bebas

Y

!

b)Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan b)Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan koefisien regresinya!

Anggap asumsi-asumsinya terpenuhi.gg p y p

c)Tentukan selang kepercayaan 95% bagi

β

₁dan berikan maknanya! d)Tentukan selang kepercayaan 95% bagi

β

0dan berikan maknanya!

e)Ujilah apakah ada hubungan linear antara kecepatan dan jarak sampai berhenti? Gunakan taraf nyata

α

= 0,05.

f)Ujilah apakah

β

1positif? Gunakan taraf nyata

α

= 0,05. ₁₁

Sum Square of Errors (SSE)

Sum Square of Errors (SSE)

→

→

JKG

JKG

Sum Square of Errors (SSE)

Sum Square of Errors (SSE)

→

→

JKG

JKG

( )

∑

−

=

2

ˆ

i i

Y

Y

SSE

∑

( )

i i

∑

−

∑

−

∑

+

∑

+

∑

=

Y

i

b

Y

i

b

X

i

Y

i

b

Y

i

b

X

i

Y

i

SSE

0 1 0 1

2

2

2

∑

i 0

∑

i 1

∑

i i 0

∑

i 1

∑

i i

Normal Equation

Normal Equation

13

Data Kredit Konsumen

Data Kredit Konsumen

Hal 204 No. 6.5

Hal 204 No. 6.5

Data di bawah ini menunjukkan bagi sebuah perusahaan kredit

konsumen yang beroperasi di enam kota, banyaknya perusahaan sejenis

b

i di k t it (X) d

b

t t l k dit d l

ib

yang beroperasi di kota itu (X) dan besarnya total kredit dalam ribuan

yang tertunggak (Y):

ii

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

X

i

4

1

2

3

3

4

Y

i

16

5

10

15

13

22

Angga pla h ba hw a m ode l re gre si ordo pe r t a m a la ya k diguna k a n. Angga pla h ba hw a m ode l re gre si ordo pe r t a m a la ya k diguna k a n.

a. Tentukan persamaan regresi dugaannya!

b

Tentukan selang kepercayaan bagi

β

dan

β

beserta

b. Tentukan selang kepercayaan bagi

β

₀

dan

β

₁

beserta

maknanya!

c.

Ujilah apakah besarnya total kredit tertunggak

1 4

j

p

y

gg

berhubungan dengan banyaknya perusahaan sejenis yang

beroperasi di kota itu!

Ukuran

Ukuran Deskriptif

Deskriptif bagi

bagi Hubungan

Hubungan

antara

antara Peubah

Peubah Bebas

u

u

Bebas ( X)

s

s ( )

( X) dan

( ) d

dan

d

Peubah

Peubah Tak

Tak Bebas

Bebas ( Y)

( Y)

dalam

dalam Model

Model Regresi

Regresi

dalam

dalam Model

Model Regresi

Regresi

* Koefisien Determinasi

* Koefisien Determinasi

* Koefisien Korelasi

1

` Perhatikan kembali ` Perhatikan kembali

(

Y

i

Y

)

( ) ( )

Y

ˆ

i

Y

Y

i

Y

ˆ

i

2 2

2

−

+

−

=

−

∑

∑

∑(

)

( ) ( )

JKG

JKR

JKT

i i i

i

=

+

∑

∑

∑

` JKT mengukur keragaman di dalam amatan-amatan Yiatau

ketidakpastian ketika meramalkan Y tanpa menggunakan peubah bebas X ⇒keragamankeragaman totaltotal

bebas ⇒ e agae aga aa o ao a

` JKG mengukur keragaman dalam Yidengan menggunakan model

i t k b h b b X kk

regresi yang menyertakan peubah bebas X ⇒keragamankeragaman yang yang tidak

tidak dapatdapat dijelaskandijelaskan

` JKR mengukur keragaman Yiyang berasal dari garis regresi⇒

keragaman

keragaman Y yang Y yang dapatdapat dijelaskandijelaskan

2

Koefisien

Koefisien Determinasi

Determinasi

`Ukuran untuk mengukur pengaruh X dalam menurunkan keragaman Y adalah

adalah

JKT

JKG

JKT

JKR

JKT

JKG

JKT

r

2

=

−

=

=

1

−

Koefisien

_determinasi

Karena

Karena 0 0 ≤≤JKG JKG ≤≤JKT JKT makamaka 0 0 ≤≤rr22≤≤₁₁

X b b Yˆ= 0+ 1

Y Yˆ=

Gambar 2 Gambar 1

Gambar 1

3

P h k G

b 1 !!

Perhatikan Gambar 1 !!

Jika semua amatan terletak pada garis regresi maka JKG = 0 dan r2_{= 1.}

Peubah bebas X berhasil menjelaskan semua keragaman di dalam Peubah bebas X berhasil menjelaskan semua keragaman di dalam amatan-amatan Yi.

Perhatikan Gambar 2 !!

Jika kemiringan garis regresi adalah b1= 0 sehingga

maka JKG = JKT dan r2_{= 0}

Y

Yˆ

maka JKG = JKT dan r2_{= 0.}

Tidak ada hubungan linear antara X dan Y.

Peubah bebas X dalam bentuk regresi linear tidak bisa membantu

k li d l k k d l t t Y

Y

Y

≡

sama sekali dalam menurunkan keragaman dalam amatan-amatan Yi.

Semakin dekat pada 1 semakin tinggi tingkat

hubungan linear antara X dan Y.

hubungan linear antara X dan Y.

4

Makna

Makna koefisien

koefisien determinasi

determinasi

`Misalkan ingin mengetahui hubungan antara jarak tempuh kendaraan (X) dengan tingkat emisinya (Y) suatu mobil ? kendaraan (X) dengan tingkat emisinya (Y) suatu mobil ?

`Diperoleh r2 _{= 89,9% , artinya sekitar 89,9% keragaman dari}

tingkat emisi suatu mobil yang dapat dijelaskan oleh jarak tempuhnya.

atau atau

Keragaman tingkat emisi suatu mobil berhasil diturunkan 89,9% dengan disertakan peubah jarak tempuh.

5

Hubungan

Hubungan antara

antara b

b

₁

₁

dan

dan rr

(

)

⎛

⎞

∑

(

Y

Y

)

2

(

−

)

=

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

−

=

∑

∑

X

Y i

i

s

s

r

X

X

Y

Y

r

b

_{1 2}

(

)

⎝

⎠

∑

X

_i

X

X

dalam hal ini

(

)

2

−

=

∑

Y

Y

s

_Y i

(

₁

)

2

−

−

=

∑

n

X

X

s

X i

1

−

n

Y

n

1

Koefisien

Koefisien Korelasi

Korelasi

2

r

r

=

±

Tanda plus atau minus tergantung pada kemiringan garis regresinya positif atau negatif.g y p g

-1 _≤r _≤1

0

>

β

₀

β

<

0

1

>

β

β

1

<

0

7

Rumus

Rumus Hitung

Hitung bagi

bagi rr

(

)(

)

[

−

−

]

=

∑

X

X

Y

Y

r

i i

(

) (

)

[

2 2

]

12

−

−

=

∑

∑

∑

∑

∑

Y

X

Y

Y

X

X

r

i i i i

(

)

( )

12

2 2

⎤

⎡

_⎜⎛

_⎟⎞

_⎜⎛

_⎟⎞

−

=

∑

∑

∑

∑

∑

Y

X

n

Y

X

Y

X

i i

i i

(

)

2

( )

2

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

∑

∑

∑

∑

n

Y

Y

n

X

X

i

i i i

Bila hubungan linear antara X dan Y sempurna maka r = ± 1 r = 1 hubungan sempurna dan searah r 1 hubungan sempurna dan searah r = -1 hubungan sempurna dan berlawanan arah

Korelasi hanya dapat mengukur hubungan linear !!!

Korelasi hanya dapat mengukur hubungan linear !!!

8

Koefisien

Koefisien Korelasi

Korelasi antara

antara X

X dan

dan Y

Y

Koefisien korelasi populasi dinyatakan denganρ.

U t k ji k h d h b li t X d Y d

Untuk menguji apakah ada hubungan linear antara X dan Y pada model Y=β0+β1X+εdapat pula dengan menguji

H00: ρρ= 0 lawan H11: ρ ≠ρ 0

Jika regresi Y atas X merupakan garis lurus maka koefisien korelasi pada populasi adalahρatau ρXY

pada populasi adalah ρatau ρXY

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

XY

Y

E

X

E

XY

E

Y

V

X

V

Y

X

Cov

σ

σ

ρ

=

,

=

−

( ) ( )

X

Var

Y

X Y

Var

σ

σ

( )

(

∑

−

∑

∑

∑

)

(

∑

∑

−

( )

∑

)

−

= ₂

2 2

2 _{X n Y Y}

X n

Y X XY n rXY

Koefisien

Koefisien

korelasi

korelasi sampel

sampel

(

_∑

_{( )}

_∑

)

(

_∑

_{( )}

_∑

)

9

Pengujian

Pengujian hipotesis

hipotesis tentang

tentang

k

fi i

k

fi i

k

k

l

l

i

i

koefisien

koefisien korelasi

korelasi

Hipotesis Hipotesis

1) H0: ρ= 0 (Tidak ada hubungan linear antara X dan Y)

H1: ρ ≠0 (Ada hubungan linear antara X dan Y)

2) H0: ρ ≥0 3) H0: ρ ≤0

H1: ρ< 0 H1: ρ> 0

T f t

Taraf nyata : α Statistik uji :

2

1

2

r

n

r

t

−

−

=

Kriteria Keputusan : 1) H0ditolak jika | thit| > tα/ 2,n-2

1 r

−

2) H0ditolak jika thit< - tα,n-2

3) H0ditolak jika thit> tα,n-2

10

Hipotesis

1) H :ρ= k 2) H :ρ ≥k 3) H :ρ ≤k 1) H0: ρ= k 2) H0: ρ ≥k 3) H0: ρ ≤k

H1: ρ ≠k H1: ρ< k H1: ρ> k

Taraf nyata : α Statistik Uji :

1 1 ln 1 1 ln

− + − − +

k k r r

Kriteria Keputusan : 3 1

1 1

− − − =

n k r Z

Kriteria Keputusan : 1) H0ditolak jika | Zhit| > Zα/ 2

2) H) 00ditolak jika Zj hithit< -Zαα 3) H0ditolak jika Zhit> Zα

11

Soal

Soal 11

Data

Data nilai

nilai mutu

mutu rata

rata-- rata

rata

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xi 5,5 4,8 4,7 3,9 4,5 6,2 6,0 5,2 4,7 4,3

Yi 3,1 2,3 3,0 1,9 2,5 3,7 3,4 2,6 2,8 1,6

i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Xi 4,9 5,4 5,0 6,3 4,6 4,3 5,0 5,9 4,1 4,7

Yi 2,0 2,9 2,3 3,2 1,8 1,4 2,0 3,8 2,2 1,5 Keterangan

Keterangan: :

Y : nilai mutu rata-rata (NMR) pada akhir tahun pertama X : nilai ujian masuk

X : nilai ujian masuk

Anggap model regresi linear cocok digunakan.

a)

a) TentukanTentukan koefisienkoefisien determinasideterminasi dandan maknanyamaknanya b)

b) TentukanTentukan koefisienkoefisien korelasikorelasi

12

b)

b) TentukanTentukan koefisienkoefisien korelasikorelasi c)

Data

Data Pemeliharaan

Pemeliharaan Kalkulator

Kalkulator

Soal

Soal 22

Data

Data Pemeliharaan

Pemeliharaan Kalkulator

Kalkulator

ii 11 22 33 44 55 66 77 88 99 X

X 77 66 55 11 55 44 77 33 44 X

Xii 77 66 55 11 55 44 77 33 44

Y

Yii 9797 8686 7878 1010 7575 6262 101101 3939 5353

ii 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 X

Xii 22 88 55 22 55 77 11 44 55

Y

Yii 3333 118118 6565 2525 7171 105105 1717 4949 6868

(

)

16504,

(

)

74.5,

(

)(

)

1098 ,

81 ,

1152 = − 2= − 2= − − =

=

_∑

_∑

∑

Yi

∑

Xi

∑

Yi Y Xi X , Xi X Yi Y

Xiadalah banyaknya kalkulator yang diservis

Yiadalah lamanya waktu untuk memperbaiki kalkulator

A d l i li d h k di k

(

)

,

(

)

,

(

)(

)

,

,

∑

∑

∑

i

∑

i

∑

i i i i

Anggap model regresi linear sederhana cocok digunakan.

Hitunglah

Hitunglah koefisienkoefisien determinasideterminasi! ! BerikanBerikan maknanyamaknanya!! Hitunglah

Hitunglah koefisienkoefisien korelasinyakorelasinya!! Hitunglah

Hitunglah koefisienkoefisien korelasinyakorelasinya!! Apakah

Apakah ρ≠ρ≠0? 0? LakukanLakukan pengujianpengujian hipotesishipotesis dengandenganαα=0,01.=0,01. ₁₃

Soal

Soal 33

Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu).

Nilai ulangana u a ga 95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95 matematika

95 00 00 80 0 55 50 5 55 60 65 95

Lama waktu belajar matematika

18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10

a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas dan peubah tak bebas! Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi belajar matematika

Anggap asumsi asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi.

b)Tentukan koefisien determinasi dan maknanya c)Tentukan koefisien korelasi

d)Ujilah apakah ada hubungan linier antara lama waktu belajar matematika dan nilai ulangan matematika? Gunakan uji korelasi populasi dengan taraf nyata 0 05

dengan taraf nyata 0,05.

14

Soal

Soal 44

Suatu tes diberikan pada semua mahasiswa baru. Seseorang yang memperoleh nilai di bawah 35 tidak diizinkan mengikuti kuliah memperoleh nilai di bawah 35 tidak diizinkan mengikuti kuliah matematika yang biasa, tetapi harus mengikuti suatu kelas khusus (remedial class). Berikut ringkasan data dari nilai tes dan nilai akhir bagi 20 mahasiswa yang mengikuti kuliah matematika yang biasa:

20 mahasiswa yang mengikuti kuliah matematika yang biasa:

a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas Xdan peubah tak bebas Y!

Bila model regresi ordo pertama layak digunakan. Bila model regresi ordo pertama layak digunakan.

b)Tentukan koefisien determinasi dan maknanya c)Tentukan koefisien korelasi

d)Apakahρ= 0,85? Lakukan pengujian hipotesis denganα= 0,01.

15

K it i k

fi i

k

l

i

Kriteria koefisien korelasi

(Sarwono:2006):

– 0 : Tidak ada korelasi antara dua variabel

– 0 : Tidak ada korelasi antara dua variabel

– >0 – 0,25: Korelasi sangat lemah

– >0,25 – 0,5: Korelasi cukup

– >0,5 – 0,75: Korelasi kuat

– >0,75 – 0,99: Korelasi sangat kuat

– 1: Korelasi sempurna

– 1: Korelasi sempurna

ANALISIS VARIANSI

ANALISIS VARIANSI

ANALISIS VARIANSI

ANALISIS VARIANSI

UJI F UNTUK KETIDAKCOCOKKAN

UJI F UNTUK KETIDAKCOCOKKAN

MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA

MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA

1

UJI F UNTUK KETIDAKCOCOKKAN

UJI F UNTUK KETIDAKCOCOKKAN

MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA

MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA

MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA

MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA

•

Uji ini mengasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan

Y untuk suatu X tertentu bersifat bebas, tersebar

normal, memiliki ragam yang sama.

•

Uji ini menghendaki adanya pengamatan berulang pada

satu atau lebih nilai X.

2

Formula

Formula Hipotesis

Hipotesis

p

p

Hipotesis Hipotesis

H0: E{ Y} = β0+ β1X H1: E{ Y} ≠ β0+ β1X Atau

H0: Tidak ada ketidakcocokan model regresi linear sederhana dengan data

dengan data

H1: Ada ketidakcocokan model regresi linear sederhana dengan data Atau

H0: Model regresi linear sederhana cocok H1: Model regresi linear sederhana tidak cocok

3

Jumlah

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Ketidakcocokkan

Ketidakcocokkan Model

Model

(JKKM)

(JKKM)

(JKKM)

(JKKM)

JKG = JKGM + JKKM

JKG = JKGM + JKKM

Perhatikan :

ˆ

ˆ

ij

j

j

ij

ij

ij

Y

Y

Y

Y

Y

Y

−

ˆ

=

−

+

−

ˆ

Simpangan galat

Simpangan ketidakcocokan

d l Simpangan

galat murni g

model g

(

Y

_ij

−

Y

ˆ

_ij

)

2

=

∑∑

(

Y

_ij

−

Y

_j

)

2

+

∑∑

(

Y

_j

−

Y

ˆ

_ij

)

2

∑∑

(

)

(

)

(

)

JKKM

JKGM

JKG

ij j j

ij ij

ij

=

+

∑∑

∑∑

∑∑

4

Statistik

Statistik Uji

Uji

(

k

)

KKM

J

2

jj

(

)

(

n

k

)

JKGM

k

KKM

J

F

−

−

=

₍

2

₎

(

)

2

∑∑

−

=

Y

Y

JKGM

=

∑∑

(

Y

_ij

−

Y

_j

)

JKGM

i i i

i

b

Y

b

X

Y

Y

JKG

=

∑

∑

2

−

₀

∑

∑

−

₁

∑

∑

JKGM

JKG

JKKM

=

−

2

)

(

;

)

(

;

2

)

(

G

=

n

−

db

GM

=

n

−

k

db

KM

=

k

−

db

(

G

)

n

2

;

db

(

GM

)

n

k

;

db

(

KM

)

k

2

db

5

Soal

Soal 1

1,

lakukan uji kecocokan model regresi linear

sederhana gunakan taraf nyata 0 05

i Xi Yi

sederhana, gunakan taraf nyata 0,05.

Xi Yij ⎯Yj

1 125 160

2 100 112

3 200 124

75 28

42 35 100 112 124

3 200 124

4 75 28

5 150 152

136 125 160 150

155

5 150 152

6 175 156

7 75 42

150 150 152 152 175 156 140

8 175 124

9 125 150

10 200 104

124 200 124 104

114

10 200 104

11 100 136

The regression equation is Ŷ

ΣXiYi=186200, ΣXi=1500, ΣYi=1288, ΣYi2=170696

Ŷi= 50,72251+ 0,48670 Xi

Soal

Soal 2. Data

2. Data Konsentrasi

Konsentrasi Larutan

Larutan

i Xi Yi

1 9 0.07

2 9 0 09 a. Tentukan persamaan regresi linear _d

2 9 0.09

3 9 0.08

4 7 0.16

dugaannya.

b. Lakukan uji F untuk memeriksa apakah ada ketidakcocokan model bila

5 7 0.17

6 7 0.21

ada ketidakcocokan model bila digunakan model regresi linear

sederhana, gunakanα= 0.05.

7 5 0.49

8 5 0.58

9 5 0 53

c. Buatlah diagram pencar antara X dan Y, mengindikasikan model regresi apa yang cocok? Jelaskan

9 5 0.53

10 3 1.22

11 3 1.15

yang cocok? Jelaskan.

Seorang kimiawan mempelajari hubungan

12 3 1.07

13 1 2.84

g p j g

konsentrasi suatu larutan (Y) dengan waktu (X).

14 1 2.57

15 1 3.10 7

Soal

Soal 3

3

Bagaimana

Bagaimana uji

uji kecocokan

kecocokan model

model regresi

regresi

linear

linear sederhana

sederhana dilakukan

dilakukan

bila

bila tidak

tidak ada

ada

linear

linear sederhana

sederhana dilakukan

dilakukan

bila

bila tidak

tidak ada

ada

pengamatan

pengamatan berulang

berulang pada

pada nilai

nilai X?

X?

Berikan

PENDEKATAN

PENDEKATAN MATRIKS

MATRIKS TERHADAP

TERHADAP

ANALISIS

ANALISIS REGRESI

REGRESI LINEAR

LINEAR SEDERHANA

SEDERHANA

1

Perhatikan

Perhatikan kembali

kembali model

model regresi

regresi linear

linear sederhana

sederhana:

:

Y

Y

ββ

+

+

ββ

X

X +

+

Y

Y

ii

=

=

ββ

00

+

+

ββ

11

X

X

ii

+

+

εε

ii

X Y1=

β

0+

β

1 1+

ε

1

X Y2=

β

0+

β

1 2+

ε

2

M

n n

n X

Y =

β

0+

β

1 +

ε

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ + ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ X X Y Y εε β 2 1 0 2 1 2 1 1 1

ε

β

+

=

X

Y

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢

⎣Yn Xn εn

β M M M M 1 1

ε

β

+

=

X

Y

n×1 n×2 2×1 n×1

2

Perhatikan bahwa adalah vektor nilai-nilai harapan

b

i

t

t

Y

b b E{Y }

β

+

β

X

β

X

bagi amatan-amatan Y

_i

sebab E{Y

_i

}=

β

₀

+

β

₁

X

_i

S h

E

{ }

Y

X

β

Sehingga :

E

{ }

Y

=

X

β

n×1 n×2 2×1

S

d l h

ε

k

b h

b h k

l

Syarat : adalah suatu vektor peubah-peubah acak normal

yang bebas dengan dan

ε

E

{ }

ε

=0 2

{ }

2I

σ

ε

σ

=

Persamaan normal regresi linear sederhana

∑

∑

=

+b Xi Yi

nb0 1

Y X b X

Xt = t

ditulis dalam notasi matriks

∑

∑

∑

=

+ i ii

i b X XY

X b 2 1 0 ⎤ ⎡ ⎤

⎡1 X Y

( )

X X XY b Y X b X X t t −1

= ⇒ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ n n Y Y Y X X X b b X X X X X

X K M

K M M K K 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢

⎣1 Xn Yn

3

Perhatikan

Perhatikan !!!

!!!

Perhatikan

Perhatikan !!!

!!!

4

Uji

Uji terhadap

terhadap

ββ

₁₁

Uji

Uji terhadap

terhadap

ββ

₁₁

• Untuk menguji apakah ada hubungan linear antara Y dengan

X dil k k

ji

b ik t

X, dilakukan pengujian berikut :

Hipotesis :

H :

β

= 0

H

0

:

β

1

= 0

H

1

:

β

1

≠

0

Taraf nyata :

α

Taraf nyata :

α

Statistik Uji :

)

/(

)

1

/(

p

n

JKG

p

JKR

KTG

KTR

F

−

−

=

=

Y

J

Y

n

Y

Y

JKT

/

1

⎟

/

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

p : banyaknya parameter

JKR = JKT-JKG

)

(

p

Y

X

b

Y

Y

JKG

=

/

−

/ /

n

⎠

⎝

Kriteria Keputusan :

H

0

ditolak jika F

hit

> F

α(p-1,n-p)

5

Perhatikan

Perhatikan !!!

!!!

Perhatikan

Perhatikan !!!

!!!

1

⎞

⎛

_Y

_J

_Y

n

Y

Y

JKT

/

1

⎟

/

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎥

⎤

⎢

⎡

1

1

M

M

M

L

n

⎠

⎝

∑

′

2

Y

Y

Y

⎥

⎥

⎥

⎦

⎢

⎢

⎢

⎣

=

1

1

L

M

M

M

J

n × n

∑

=

Y

i

Y

Y

⎢⎣

1

1

⎥⎦

( )

2

∑

=

′

i

Y

Y

J

Y

( )

∑

_i

REGRESI NON LI NEAR

REGRESI NON LI NEAR

REGRESI NON LI NEAR

REGRESI NON LI NEAR

1

2

Model

Model Kuadratik

Kuadratik

Model

Model Kuadratik

Kuadratik

Persamaan regresi dugaan :

Y

ˆ

=

b

0

+

b

1

X

+

b

2

X

2

Persamaan normal :

i i

i b X Y

X b

nb +

∑

+

∑

2=

∑

2

1

0

_x

=

_X

−

_X

i i i i i Y X X b X b X b Y X X b X b X b

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= + + = + + 2 4 3 2 3 2 2 1 0

X

X

x

=

Data :

i i i i

i b X b X X Y

X

b0

∑

+ 1

∑

+ 2

∑

=

∑

2 5467 , 0 498 , 9 761 , 1

ˆ _{X X}

Y=− + −

3 3

Model

Model Kubik

Kubik

Model

Model Kubik

Kubik

Persamaan regresi dugaan :

Y

ˆ

=

b

₀

+

b

₁

X

+

b

₂

X

2

+

b

₁

X

3

Persamaan normal :

i i i

i b X b X Y

X b

nb+

∑

+

∑

+

∑

3=

∑

3 2 2 1

0

x

=

X

−

X

i i i i i i i i i i i i Y X X b X b X b X b Y X X b X b X b X b

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= + + + = + + + 2 5 3 4 2 3 1 2 0 4 3 3 2 2 1 0

X

X

x

=

Data : i i i i i

i b X b X b X XY

X

b

∑

+

∑

+

∑

+

∑

6=

∑

3

3 5 2 4 1 3 0 3 2 _0,0344 115 , 1 13 , 12 805 , 4

ˆ X X X

Y=− + − +

4

Model Eksponensial

Model Eksponensial

X

b

b

Yˆ

Model Eksponensial

Model Eksponensial

Persamaan regresi dugaan :

X

b

b

Y

=

0 1

( )

b

X

b

Y

ˆ

ln

ln

ln

=

+

Mencari b

₀

dan b

₁

:

ln

Y

=

ln

b

0

+

( )

ln

b

1

X

( )

X b Y

b

∑

ln i l

∑

i

l 1

(

) ( )(

( )

)

ln ln

lnb =n

∑

Xi Yi −

∑

Xi

∑

Yi

Data :

( )

b _n n

b0=

∑

−ln1

∑

ln ln1 2

( )

2

∑

∑

Xi− Xi

n b

Data :

X

e

Y

ˆ

(

11

240

)(

0,159

)

5

e

Y

=

(

11

,

240

)(

,

)

Model Geometrik (

Model Geometrik (

Pow er

Pow er

))

_ˆ

b

Model Geometrik (

Model Geometrik (

Pow er

Pow er

))

Persamaan regresi dugaan :

1 0 b

X

b

Y

=

X

b

b

Y

ˆ

ln

ln

ln

+

Mencari b

₀

dan b

₁

:

ln

Y

=

ln

b

0

+

b

1

ln

X

X b Y

b

∑

ln i

∑

ln i

ln 1

(

) (

₍

)(

₎

)

ln ln ln

ln

∑

∑

∑

−

=n Xi Yi Xi Yi

b

Data

n b n

b = −

ln 0 1 1 _ln2

(

_ln

)

2

∑

∑

Xi− Xi

n b

Data

286 , 0

)

495

377

(

ˆ

_X

−

Y

,

)

495

,

377

(

=

X

Y

6

Model Logistik

Model Logistik

X

b b Yˆ= 1

Model Logistik

Model Logistik

Persamaan regresi dugaan :

_{( )}

X

b

b

ln

ln

1

ln

⎜⎛

⎟⎞

=

+

X b b₀₁

Mencari b

₀

dan b

₁

:

ln

⎜

⎝

Y

ˆ

⎟

⎠

=

ln

b

0

+

( )

ln

b

1

X

( ) ( )

X

b Y

b

∑

i

∑

i

ln 1 ln

ln l n

(

∑

Xiln( )1Yi

) ( )

−

∑

Xi

(

∑

ln( )1Yi

)

b

Data :

( )

b _n n

b0=

∑

−ln1

∑

ln

(

( )

) ( )

(

( )

)

( )

2 2 1 ln

∑

∑

∑

∑

∑

− = i i i i i i X X n b

Data :

X Yˆ= 1

7 X ) 853 , 0 )( 089 , 0 (

Model Hiperbola

Model Hiperbola

Yˆ= 1

Model Hiperbola

Model Hiperbola

Persamaan regresi dugaan :

X b b Y 1 0+ = ˆ 1

Mencari b

₀

dan b

₁

:

ˆ ,jika 0

1

1

0+ ≠

=b bX Y

Y

( )₁

(

∑

2

) ( )(

∑

∑

)

∑

Yi Xi − Xi XiYi

b

(

∑

) (

∑

)

∑

( )

Data :

( )

(

) ( )(

)

( )

2 2 0

∑

∑

∑

∑

∑

∑

− = i i i i i i i X X n

b

(

) (

)

( )

(

)

2 2 1 1

∑

∑

∑

∑

∑

− − = i i i i i i X X n Y X Y X n b

Data :

120 140 160 60 80 100 120 Y Y Yduga 0 20 40

0 500 1000 1500 2000

Yˆ= 1

8 X X Y 000013 , 0 0066 , 0 + =

Soal 1

Soal 1

Suatu perusahaan yang mengalami kemunduran ditunjukkan oleh

h il j l d i h k h b i b ik

merosotnya hasil penjualan dari tahun ke tahun sebagai berikut:

T h 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Tahun 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Kode Tahun 1 2 3 4 5 6 7 Hasil Penjualan 83 60 54 21 22 13 13

D k d l k d tik t t k b dik i

Hasil Penjualan (dalam jutaan rupiah)

83 60 54 21 22 13 13

Dengan menggunakan model kuadratik, tentukan berapa prediksi hasil penjualan untuk tahun 2008 dan 2009? Gambarkan grafik Y

danŶdalam satu gambar.

9

Soal 2

Soal 2

X : harga barang per unit dalam ribuan rupiah Y : hasil penjualan barang tersebut dalam jutaan rupiah

X 20 35 60 100 150 300 500 800 X 20 35 60 100 150 300 500 800 Y 150 125 105 100 92 77 62 58

Dengan menggunakan model eksponensial, berapa prediksi hasil

j l k l X 900? G b k fik Y d Ŷd l t

penjualan kalau X = 900? Gambarkan grafik Y dan Ŷ dalam satu

gambar.

10

Soal 3

Soal 3

X = kecepatan (dalam km) ketika rem mulai diinjak

Y = jarak (dalam m) yang masih ditempuh mobil dihitung mulai

Y jarak (dalam m) yang masih ditempuh mobil dihitung mulai

rem diinjak hingga berhenti.

Pemeriksaan jarak berhenti sejak mobil direm pada tiap kecepatan tidak dilakukan hanya sekali melainkan berulang ulang atau tidak dilakukan hanya sekali melainkan berulang-ulang atau terhadap beberapa mobil. Hasilnya seperti berikut:

X 10 20 30 40 50 60 70 80 Y 9,2 8,7 16,4 15,2 27,3 28,2 41,8 40,2 62,4 63,1 88,5 86,2 120,0 119,1 141,8 140,1 , 9,0 8,9 , 16,7 , 26,8 27,0 , , 60,9 , , 120,4 , 138,9

Selidikilah model regresi mana yang lebih tepat diantara:

a. Eksponen c. Logistik e. Kubik

b. Geometrik d. Hiperbola ₁₁

Soal 4

Soal 4

Perkembangan industri rumah tangga dari suatu daerah selama 6

h d l h b i b ik

tahun, adalah sebagai berikut:

Tahun 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Kode Tahun 2 3 4 5 6 7

Dengan menggunakan model logistik, berapa prediksi banyaknya

industri rumah tangga pada tahun 2010 Gambarkan grafik Y danŶ

Banyaknya industri 4 8 12 18 18 20

industri rumah tangga pada tahun 2010. Gambarkan grafik Y dan Ŷ

dalam satu gambar.

Soal 5

Soal 5

Suatu penelitian yang bertujuan untuk menentukan model regresi

li d i k ki i d l li

yang paling tepat dari empat kemungkinan yaitu, model linear,

model kuadrat, model akar serta model logaritmik dalam

mengetahui pengaruh dari beberapa faktor yang berpengaruh terhadap produktivitas tenaga kerja di suatu industri kecil. Jumlah observasi ada 168. Data produksi per orang per minggu diperoleh

dari industri kecil tersebut meliputi produktivitas (Y), lama bekerjap p ( ), j

(X₁), umur (X₂), pendidikan (X₃).

T t k d l i t b ik d i b b d l

• Tentukan model regresi yang terbaik dari beberapa model yang

telah dicobakan dengan memperhatikan nilai thitung, koefisien

determinasi (R2_{) dan nilai F}

hitungg pada tabel diatas. Gunakan taraf nyata 0,05 bila diperlukan melakukan pengujian.

13

Tabel Model Regresi

Tabel Model Regresi

Model _{P i d il i ji t d l k R}2_F

regresi Persamaan regresi dugaan, nilai uji t dalam kurung, R

2_{, F}

Linear

(1,62) (0,33) (0,14) (9,00)

22 , 225 72 , 19 33 , 25 77 , 15457 ˆ

3 2

1 X X

X Y= + + +

( ) ( ) ( ) ( ) R2 _{= 0,018; F = 1,01}

Kuadrat

(2,18) (2,75) (0,89) (1,48) (2,80) (1,02) (5,79)

10 , 119 00 , 18 90 , 61 20 , 784 20 , 1107 30 , 846 70 , 30783

ˆ 2

3 2 2 2 1 3 2

1 X X X X X

X

Y= + − − − + +

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) R2 _{= 0,174; F = 2,13}

Akar

(2 44) (2 77) (0 36) (2 94) (2 72) (0 20) (3 63)

3886 21770 1896 1534 2005 232 7 , 72602

ˆ 12

3 2 1 2 2 1 1 3 2

1 X X X X X

X

Y= − + + + − −

(2,44) (2,77) (0,36) (2,94) (2,72) (0,20) (3,63)

R2 _{= 0,173; F = 2,15}

Logaritmik

(0 25) (0 54) (0 22) (27 7)

ln 002 , 0 ln 068 , 0 ln 013 , 0 90 , 9 ˆ

lnY= + X1− X2+ X3 (0,25) (0,54) (0,22) (27,7)

R2 _{= 0,006; F = 0,32}

REGRESI LOGISTIK

REGRESI LOGISTIK

REGRESI

 

LOGISTIK

REGRESI

 

LOGISTIK

1

Latar Belakang

• Regresi logistik adalah bagian dari analisis regresi yang

di k k ik b h d d ( ) k

digunakan ketika peubah dependen (respons) merupakan peubah dikotomi. Peubah dikotomi biasanya hanya terdiri atas dua nilai yang mewakili kemunculan atau tidak adanya suatu dua nilai, yang mewakili kemunculan atau tidak adanya suatu kejadian yang biasanya diberi angka 0 atau 1.

2

Model Regresi Linear Sederhana→Peubah respons biner Yi= β0+ β1Xi + εi, Yi = 0, 1

Karena E(ε_i) = 0 maka E(Y_i) = β₀+ β₁X_i

Y_imerupakan peubah acak Bernoulli, sehingga fungsi peluangnya Yi Peluang

1 P(Y_i= 1) =π_i

d k l b h Y 1 d 1 k

1 P(Y_i  1)   π_i 0 P(Y_i= 0) = 1‐π_i

denganπ_imenyatakan peluang bahwa Y_i= 1, dan 1‐π_imenyatakan

peluang bahwa Yi= 0.  ₃

• Nilai Harapan bagi Yi E(Y_i) = 1(π_i) + 0(1‐π_i) = π_i Sehingga 0 ≤E(Y_i) ≤1.

4

Model

 

Model

 

Regresi

Regresi Logistik

Logistik Sederhana

Sederhana

• Model regresi logistik sederhana: Y_i= E(Y_i) + ε_i, dengan Y_i  mer pakan pe bah acak Berno lli dengan E( ) 0 merupakan peubah acak Bernoulli dengan E(εi) = 0.

( )

(

₍

i

)

₎

i i

X X Y

E 0 1

exp 1

exp

β β β β π = ₊ +₊ =

• Peubah X diasumsikan konstanta yang diketahui.

• Y_imerupakan peubah acak Bernoulli dengan fungsi peluang

(

0 1Xi

)

exp

1+ β +β

Y_i merupakan peubah acak Bernoulli dengan fungsi peluang

5

• Karena pengamatan Y_i  saling bebas, maka fungsi peluang bersama d l h

adalah

• Untuk mempermudah estimasi parameter dengan metode maksimum likelihood maka

• Sehingga fungsi likelihood adalah sebagai berikut

• Selanjutnya diturunkan terhadap masing‐masing parameter dan dimaksimumkan Sehingga diperoleh penduga bagiβ yaitu b dan dimaksimumkan. Sehingga diperoleh penduga bagiβ0 yaitu b0dan penduga bagiβ₁ yaitu b₁.

• Fungsi respons logistik dugaan adalahg p g g

7

Data

 

Tugas Pemrograman (Hal

 

566)

• Peubah bebas adalah pengalaman pemrograman dalam bulan.  Peubah tak bebas (peubah respons) adalah kesuksesan program,  dengan 1 = sukses, 0 = gagal.

• Dengan estimasi maksimum likelihood diperoleh

( 3,0597 0,1615X) exp

ˆ= − +

π

Fungsi respons logistik dugaan

• Misalkan seseorang selama 14 bulan berpengalaman dalam

( )

( 3,0597 0,1615X) exp

1+ − +

= π

• Misalkan seseorang selama 14 bulan berpengalaman dalam pemrograman maka peluang suksesnya adalah ………..

8

9

Rasio

Rasio Odds

Odds

 

 

(

(Odds

Odds

 

 

Ratio

Ratio))

• Secara umum, rasio peluang (odds ratios) merupakan sekumpulan peluang yang dibagi oleh peluang lainnya. Rasio peluang bagi peluang yang dibagi oleh peluang lainnya. Rasio peluang bagi prediktor (peubah bebas) diartikan sebagai jumlah relatif dimana peluang hasil meningkat (rasio peluang > 1) atau turun (rasio

l 1) k ik il i b h dik i k b 1 i

peluang < 1) ketika nilai peubah prediktor meningkat sebesar 1 unit.

• Pada data tugas pemrograman, diperoleh rasio odds

• Peluang menyelesaikan tugas naik sebesar 17 5% = (117 5‐100)% (0,1615) 1,175

exp =

=

∧

OR

• Peluang menyelesaikan tugas naik sebesar 17,5% = (117,5‐100)% untuk setiap kenaikan 1 bulan pengalaman pemrograman.

10

Regresi Logistik dg

 

SPSS

11

Soal

Soal (Data

(Data

 

 

kemampuan

kemampuan bekerja

bekerja)

)

 

 

Seorang psikologi ingin mengetahui hubungan antara stabilitas emosi Seorang psikologi ingin mengetahui hubungan antara stabilitas emosi karyawan (X) dan kemampuan karyawan bekerja dalam kelompok (Y). Stabilitas emosi diukur dengan uji tertulis dengan semakin tinggi skor

k bili i ki i i K b k j d l

menyatakan stabilitas emosi semakin tinggi. Kemampuan bekerja dalam kelompok (Y = 1 jika dapat, Y = 0 jika tidak dapat) dievaluasi oleh supervisor. Berikut data dari 27 karyawan :

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Xi 474 432 453 320 356 532 587 423 552 403 502 321 453 579

Yi 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0

i 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Xi 537 402 592 320 337 589 513 413 572 422 562 506 600

Dimisalkan model regresi logistik dapat digunakan. a. Tentukan fungsi respons dugaan.

b. Buatlah plot pencar dari data dan fungsi respons logistik dugaannya. Apakah fungsi respons dugaan cocok? c. Tentukan exp(b₁) dan berikan maknanya.

d l b h k d k bili i

d. Berapa peluang bahwa karyawan dengan skor stabilitas emosi 550  akan dapat bekerja dalam kelompok?

13

Model

 

Model

 

Regresi

Regresi Logistik

g

g

Logistik Berganda

g

g

Berganda

g

g

• Yi merupakan peubah acak Bernoulli

S hi il i h d i Y d l h

• Sehingga nilai harapan dari Y_iadalah

• Dengan estimasi maksimum likelihood diperoleh fungsi respons logistik dugaan adalahg g