TAP.COM - TEORI ANTRIAN. Teori Antrian

Pendahuluan

Teori Antrian

Prihantoosa
pht854@yahoo.com
toosa@staff.gunadarma.ac.id

Last update : 14 November 2009 | version 1.0

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:1

Tujuan
●

Tujuan : Meneliti kegiatan dan fasilitas pelayanan dalam
rangkaian kondisi acak dari suatu sistem antrian yang

terjadi

●

Tinjauan pengukuran logis :
–
–

Berapa lama pelanggan harus menunggu sebelum akhirnya
mendapatkan pelayanan
Berapa persenkah dari waktu yang disediakan untuk
memberikan pelayanan suatu fasilitas pelayanan dalam
kondisi menganggur/iddle

●

Elemen dasar : Pelanggan dan Pelayan

●

Waktu pelayanan harus dapat dihitung, kemudian waktu
pelanggan datang dan waktu pelayanan dapat dinyatakan
dalam distribusi probabilitas

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:2

Struktur Sistem Antrian

1
2
Pelanggan
masuk ke
dalam sistem
antrian

Garis tunggu atau

antrian

3
n

Fasilitas
pelayanan

Pelanggan
keluar dari
sistem

Sistem antrian
http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:3

Kejadian Antrian

●

Kendaraan yang menunggu jalan di trafic light

●

Pembeli yang antri di kasir supermarket

●

Pasien yang sedang menunggu di periksa di klinik

●

Program komputer yang menunggu di proses oleh processor

●

Tumpukan surat yang harus diketik oleh seorang sekretaris

●

dll

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:4

Faktor Sistem Antrian
●

Distribusi Kedatangan

●

Distribusi Waktu Pelayanan

●

Fasilitas Pelayanan

●

Disiplin Pelayanan

●

Ukuran dalam antrian

●

Sumber pemanggilan

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:5

Faktor Sistem Antrian (2)
●

Distribusi Kedatangan
–
–

●

Distribusi waktu pelayanan
–
–

●

Kedatangan secara individu (single arrivals)
Kedatangan secara berkelompok (bulk arrivals)
Pelayanan secara individual (single services)
Pelayanan secara kelompok (bulk services)

Fasilitas Pelayanan
–
–
–

Bentuk series dalam satu garis lurus atau garis melingkar
Bentuk paralel dalam beberapa garis lurus yang sejajar
Bentuk jaringan/network station yang dapat di desain secara
series dengan pelayanan lebih dari satu pada setiap stasiun
atau secara paralel dengan stasiun yang berbeda-beda

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:6

Proses Antrian
●

Masukan (Input) :
–
–

●

Pola kedatangan yang dapat dinyatakan dalam distribusi
peluang seperti poisson dan eksponensial
Pola kedatangan yang tidak dapat dinyatakan dalam
distribusi peluang

Keluaran (Output) :
–
–

Setelah mendapatkan pelayanan dengan baik, pelanggan
akan segera meninggalkan fasilitas pelayanan
Proses pelayanan pada umumnya menggunakan distribusi
peluang eksponensial negatif dan poisson

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:7

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:8

Notasi Dalam Sistem Antrian
●
●
●

●

●
●
●

●

●

●

●
●
●

n = jumlah pelanggan dalam sistem
Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem
λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan
waktu
μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan
waktu
Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan
L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam
sistem
Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam
sistem
W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam
sistem
Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama
menunggu dalam antrian
1/ μ = waktu rata-rata pelayanan
1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan
S = jumlah fasilitas pelayanan

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p:9

Single Channel Model
(M/M/1)
●

M pertama: rata-rata kedatangan yang mengikuti
distribusi probabilitas Poisson

●

M kedua: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi
probabilitas Poisson

●

1: jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satu
saluran

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 10

Asumsi M/M/1
●

Populasi input tidak terbatas

●

Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti
distribusi Poisson

●

Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS

●

Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal

●

Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ <
μ)

●

Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas

●

Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 11

Contoh Soal
UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin
dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat
kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson
yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25
kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian
yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:
1)
2)
3)
4)
5)

Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan
Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan
dalam sistem
Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu
dalam antrian
Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan
selama dalam sistem (menunggu pelayanan)
Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan
untuk menunggu dalam antrian

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 12

Jawaban Soal

Diketahui: λ = 20, μ = 25
p = λ / μ = 20/25 = 0.80
Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan
selama 80% dari waktunya, sedangkan
20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat
L = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau
L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4
Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat
mengharapkan 4 kendaraan yang berada
dalam sistem

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 13

Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2
Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani
dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan
W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit
Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam
sistem selama 12 menit
Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau
9.6 menit
Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam
antrian selama 9.6 menit

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 14

Pelayanan Tunggal (Single Server)
(M / M / 1) ; ( GD / ∞ /∞ )
Unlimited Queue
Distribusi Poisson
For Arrival
Distribusi Poisson/Expo
For Service

●

●

First Come First Serve

Single Server

Asumsi : Tidak ada hubungan/ketergantungan antara proses
kedatangan dengan proses layanan
Notasi : λ rasio kedatangan (banyak antrian / waktu); µ rasio
layanan (banyak yang sedang antri / waktu ); ρ utilisasi
sistem : λ / µ = Pr < 1
http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 15

Notasi
Pr : Prob. Sistem dalam keadaan sibuk (ρ)
Po : Prob. Sistem dalam keadaan idle (Po = 1-Pr)
Pn : Prob ada n pelanggan dalam sistem
Ls : Jumlah yang diharapkan berada di dalam sistem (queue &
serve) = /−
Lq : Jumlah yang diharapkan dalam antrian = 2 / −
Ws : Expected time dalam sistem = 1/−
Wq : Expected time dalam queue = /−
Wn : Expected time dalam queue untuk non empty queue =
1/−

Ln : Expected number dalam queue = /−

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 16

Latihan Soal
●

Sebuah Airport dapat menerima 2 pesawat dalam kurun
waktu 3 menit dengan variasi mengikuti distribusi poisson.
Rata-rata waktu tunggu mempunyai distribusi exponential
sebesar 5 menit
–
–
–

Berapa rata-rata waktu antar kedatangan pesawat ?
Berapa peluang sistem dalam keadaan sibuk guna melayani
pesawat-2 tersebut ?
Berapa jumlah rata-rata pesawat yang dapat dilayani dalam
sistem ?

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 17

Kronologis Simulasi Antrian

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 18

Tab A. 8.1 Waktu Antar Kedatangan
(menit)
Customer

Antar Kedatangan

Jam Waktu
Kedatangan

1

0

0

2

2

2

3

4

6

4

1

7

5

2

9

6

6

15

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 19

Tabel A. 8.2 Waktu Service (menit)

Customer
1
2
3
4
5
6

http://openstat.wordpress.com

Waktu Pelayanan
2
1
3
2
1
4

Teori Antrian : Intro

p : 20

Tabel A.8.3 Hasil Simulasi

Nomor
Customer

Awal
Pelayanan
(Jam)
0

Waktu
Pelayanan
(durasi)
2

Akhir Pelayanan
(Jam)

1

Waktu
Kedatangan
(Jam)
0

2

2

2

1

3

3

6

6

3

9

4

7

9

2

11

5

9

11

1

12

6

15

15

4

19

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

2

p : 21

Tabel A.8.4 Kronologis Urutan
Kejadian
Tipe Kejadian

Nomor Pelanggan

Waktu (Jam)

Kedatangan

1

0

Keberangkatan

1

2

Kedatangan

2

2

Keberangkatan

2

3

Kedatangan

3

6

Kedatangan

4

7

Keberangkatan

3

9

Kedatangan

5

9

Keberangkatan

4

11

Keberangkatan

5

12

Kedatangan

6

15

Keberangkatan

6

19

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 22

Contoh 1. Antrian
• Perusahaan A sedang mencoba menentukan
rata-rata customer menunggu dalam sistem , jika
customer rata-rata menunggu lebih dari 10
menit maka pihak perusahaan akan menambah
kasir dan memberikan bonus. Data yang didapat
pada tabel A.8.5 dan tabel A.8.6 Kasir buka jam
9 pagi.

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 23

Tabel 8.6 Waktu Kedatangan

Waktu Antar
Kedatangan
0
1
2
3
4
5

http://openstat.wordpress.com

Probability
(Frequensi)
0.10
0.35
0.25
0.15
0.10
0.05

Teori Antrian : Intro

p : 24

Tabel 8.5 Waktu Pelayanan

Waktu Pelayanan

Probabilitas Frequensi

0

0.00

1

0.25

2

0.20

3

0.40

4

0.15

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 25

Tabel A.8.7 Interval Bilangan Acak

Kedatangan

Pelayanan

Antar
Kedatangan

Kumulatif
Probablitas

Interval
Bilangan Acak

Waktu
Pelayanan

Kumulatif
Probablitas

Interval
Bilangan Acak

0

0.10

1 - 10

0

0.00

-

1

0.45

11 - 45

1

0.25

1 - 25

2

0.70

46 - 70

2

0.45

26 - 45

3

0.85

71 - 85

3

0.85

46 - 85

4

0.95

86 - 95

4

1.00

86 - 99

5

1.00

99

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 26

Bilangan acak untuk service dan
kedatangan

No

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Pely

52

37

82

69

98

96

33

50

88

90

50

27

45

81

66

Dtg

50

28

68

36

90

62

27

50

18

36

61

21

46

01

14

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 27

Pertanyaan
●

Apakah perlu menambah kasir dengan simulasi 15 kali ?

●

Customer ke berapa yang mendapatkan bonus ?

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 28

Penyelesaian :
Tabel A. 8.8 Antar Kedatangan dan Waktu
Pelayanan
No. Cust

Bil Acak Kedatangan

Antar Kedatangan

Bil Acak Service

Waktu Service

1

50

2

52

3

2

28

1

37

2

3

68

2

82

3

4

36

1

69

3

5

90

4

98

4

6

62

2

96

4

7

27

1

33

2

8

50

2

50

3

9

18

1

88

4

10

36

1

90

4

11

61

2

50

3

12

21

1

27

2

13

46

2

45

2

14

01

0

81

3

15

14

1

66

3

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 29

Tabel A. 8.9 Perhitungan Antrian
No.
Cust

Antar
Kedatangan

Waktu Kedatangan

Waktu
Service

Awal
Service

Akhir
Service

Waktu
Tunggu

Waktu dlm
sistem

Waktu Idle

1

2

9.02

3

9.02

9.05

0

3

2

2

1

9.03

2

9.05

9.07

2

4

0

3

2

9.05

3

9.07

9.10

2

5

0

4

1

9.07

3

9.10

9.13

4

7

0

5

4

9.10

4

9.13

9.17

3

7

0

6

2

9.12

4

9.17

9.21

5

9

0

7

1

9.13

2

9.21

9.23

8

10

0

8

2

9.15

3

9.23

9.26

8

11

0

9

1

9.16

4

9.26

9.30

10

14

0

10

1

9.17

4

9.30

9.34

13

17

0

11

2

9.19

3

9.34

9.37

15

18

0

12

1

9.20

2

9.37

9.39

17

19

0

13

2

9.22

2

9.39

9.41

17

19

0

14

0

9.22

3

9.41

9.44

19

21

0

15

1

9.23

3

9.44

9.47

21

124

0

162

188

2

45

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 30

Perhitungan
Rata-rata waktu menunggu :
162 / 15 = 10,7 menit
Maka perlu menambah kasir
Customer yang dapat bonus :
no: 10, 11 , 12 , 13 , 14 dan 15

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 31

Rangkuman
●

Setiap masalah antrian diuraikan dalam 3 karateristik,
yaitu : kedatangan , antrian dan pelayanan

●

Mensimulasikan sistem antrian dengan metode Monte
Carlo

http://openstat.wordpress.com

Teori Antrian : Intro

p : 32