pertemuan 3 teori antrian

TEORI ANTRIAN
Pertemuan 3, Rantai Markov pada teori antrian

Nikenasih Binatari
nikenasih@uny.ac.id

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

PRESENTATION PARTS
1
2
3
4

• Rantai Markov Berhingga ***
• Proses Poisson
• Rantai Markov waktu kontinu
• Proses Kelahiran dan kematian

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

I. Rantai Markov Berhingga
Definisi 1.
Diberikan T suatu himpunan dan t  T suatu
parameter, pada kasus ini merupakan waktu.
Misalkan X(t) variabel random tT, himpunan
variabel random {X(t),tT} disebut dengan proses
stokastik.
Interpretasi :
X(t) state proses stokastik pada saat t.

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

Jenis Stokastik Proses
• Jika T terhitung, stokastik proses dikatakan
proses waktu diskrit.
• Jika T merupakan interval [0,), stokastik proses
dikatakan proses waktu kontinu.
Himpunan nilai X(t) kemudian disebut state space.

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

Definisi 2.
Suatu stokastik proses {X(n), n N} disebut rantai
markov jika untuk setiap waktu n N dan untuk
setiap states (i0,i1,...,in) berlaku
� � =

� =

,� =

=� � =

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

�

−

,…,�
=

−

−

=

−

http://fmipa.uny.ac.id

Definisi 3.
Peluang bersyarat

� � = |�

−

=

, , ∈�

disebut dengan peluang transisi dari state i ke state
j, dan dinotasikan dengan � � .

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

Definisi 4.
Rantai markov dikatakan homogen terhadap waktu
jika � � tidak bergantung atas n. Dengan kata
lain,
� � = |�

−

=

=� �

+

untuk m  N dan m ≥ - ( n – 1).

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

= |�

+ −

=

http://fmipa.uny.ac.id

Berikutnya,
• diasumsikan rantai markov homogen terhadap
waktu.
• dinotasikan peluang transisi dari state i ke state j
adalah � . State yang mungkin 1,2, ..., N.

Definisi 5.
Matriks transisi P adalah matriks berukuran N x N
dengan entri ke (i,j) Pij adalah pij.

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

Matriks transisi dari rantai markov harus merupakan
matriks stokastik. Dengan kata lain, entri matriks
transisi harus memenuhi 2 syarat :
1. ≤ � ≤ , ≤ , ≤ �
2. �= � = , ≤ ≤ �

Selanjutnya, dimisalkan distribusi peluang mulamula (initial probability distribution) diketahui.

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

Misalkan  distribusi peluang mula-mula dengan
� � = , = , , … , �.

Definisi 6.
Peluang n-langkah � adalah peluang berada pada
state j dengan n langkah dari state i. Dengan kata

lain,
� = � � = |� = = � � + = |� =

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

Darisini diperoleh bahwa
� � =

=

=

� � = |� =

∈�

�

∈�

�

�

,

dengan S adalah state space.

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

Sifat 7.
Peluang transisi n-langkah �
(i,j) dari matriks Pn.
Akibatnya,
� �=�

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

merupakan entri ke-

+

http://fmipa.uny.ac.id

Misalkan distribusi peluang mula-mula
dinyatakan dalam vektor
�= �
,�
,…,� � ,

maka distribusi pada saat waktu n, �
� � = :
� =� �

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

dapat

=

http://fmipa.uny.ac.id

Referensi
Constantin, Hannah. Markov Chains and Queueing
Theory. 2011
dapat diakses di alamat website
http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE
2011/REUPapers/Constantin.pdf

TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id

THANK YOU
Nikenasih Binatari
nikenasih@uny.ac.id
Karangmalang Sleman Yogyakarta
TAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

http://fmipa.uny.ac.id