Sistem persamaan linear min-plus dan penerapannya pada masalah lintasan terpendek.

(1)

Prosiding dapat diakses:

http://eprints.uny.ac.id/view/subjects/snmpm2013.html

(2)

ISBN

:

978 – 979 – 16353 – 9 – 4

”

P

e

n

g

u

a

t

a

n

P

e

r

a

n

M

a

t

e

m

a

t

i

k

a

d

a

n

P

e

n

d

i

d

i

k

a

n

M

a

t

e

m

a

t

i

k

a

U

n

t

u

k

I

n

d

o

n

e

s

i

a

y

a

n

g

L

e

b

i

h

B

a

i

k

“

Yogyakarta, 9 Novem ber 2013

Jurusan Pendidikan Mat emat ika

Fakult as Mat emat ika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universit as Negeri Yogyakarta

2013

PROSIDING

SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN

MATEMATIKA

Penyelenggara :

Jurusan Pendidikan Mat emat ika

FMIPA UNY

(3)

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN

MATEMATIKA

9 November 2013 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Artikel

‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan

pada

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

pada tanggal

9 November 2013

di Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

Tim Penyunting Artikel Seminar :

1. Prof. Dr. Rusgianto

2. Prof. Dr. Marsigit

3. Dr. Hartono

4. Dr. Jailani

5. Dr. Djamilah BW

6. Dr. Ali Mahmudi

7. Dr. Sugiman

8. Dr. Agus Maman Abadi

9. Dr. Dhoriva UW

Jurusan Pendidikan Mat emat ika

Fakult as Mat emat ika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universit as Negeri Yogyakarta

(4)

PROSIDING

SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2011

”

P

e

n

g

u

a

t

a

n

P

e

r

a

n

M

a

t

e

m

a

t

i

k

a

d

a

n

P

e

n

d

i

d

i

k

a

n

M

a

t

e

m

a

t

i

k

a

U

n

t

u

k

I

n

d

o

n

e

s

i

a

y

a

n

g

L

e

b

i

h

B

a

i

k

“

9 November 2013

Diselenggarakan oleh:

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

Diterbitkan oleh

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

Kampus Karangmalang, Sleman, Yogyakarta

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

UNY, 2013

Cetakan ke – 1

Terbitan Tahun 2013

Katalog dalam Terbitan (KDT)

Seminar Nasional (2013 November 9: Yogyakarta)

Prosiding/ Penyunting: Rusgianto [et.al] – Yogyakarta: FMIPA

Editor : Nur Hadi W [et.al] – Yogyakarta: FMIPA

Universitas Negeri Yogyakarta, 2013

ISBN :

978-979-16353-9-4

978- 979- 16353- 9- 4

Penyuntingan semua tulisan dalam prosiding ini dilakukan

oleh Tim Penyunting Seminar Nasional MATEMATIKA DAN

PENDIDIKAN

MATEMATIKA

2013

dari

Jurusan

Pendidikan

Matematika FMIPA UNY

Prosiding dapat diakses:

(5)

KATA PEN GAN TAR

Puji Syukur ke Hadirat Tuhan Yang M aha Esa atas segala Karunia dan

Rahmat-Nya sehingga prosiding ini dapat diselesaikan. Prosiding ini merupakan

kumpulan makalah dari penelit i, pemerhati dan dosen bidang M atematika dan

Pendidikan

M atematika

berbagai

daerah

di

Indonesia.

M akalah

yang

dipresentasikan meliputi makalah ut ama dan makalah pendamping, terdiri dari

makalah bidang M atematika (Statistika, Geometri, Aljabar, Analisis, M atematika

Terapan, Komputer) dan Pendidikan M atematika.

Seminar Nasional ini diikuti 168 makalah pendamping, dari berbagai Instansi di

Indonesia, seperti UGM , UAD, Univ. Terbuka, UNS, IKIP PGRI Semarang, Univ.Tanjungpura,

ITS, Univ. Sanata Dharma, UNS, UKSW, UPH, UNSOED, UNW M ataram, STKP Siliwangi

Bandung, STKIP PGRI Pacitan, Univ. M uhammadiyah Surakarta, Univet Sukoharjo, UNAIR,

STAIN Purwokerto, UNPATTI Ambon, Univ. Negeri Padang, Universitas Cendrawasih,

UNESA, dan beberapa sekolah seperti SM A Negeri 3 Bantul, SM PN 4 Yogyakarta, SMPN 2

Wonosobo, SM PN 3 Salahutu, SM PN M onta, dan berbagai instansi lain

Sesuai dengan tema seminar, semua makalah menyajikan berbagai ragam kajian

teoritis maupun hasil penelitian matematika dan pembelajaran matematika yang

diharapkan dapat memberikan kontribusi terhadap pembentukan karakter bangsa.

M akalah yang dimuat dalam prosiding ini telah melalui tahap seleksi abstrak, yakni melalui

proses review oleh tim yang nama anggotanya tercantum pada halaman lain di prosiding

ini. M akalah dalam prosiding ini juga dipresentasikan dalam sidang paralel dalam seminar

tanggal 9 November 2013

Pada kesempatan ini panitia mengucapkan terimakasih kepada semua pihak

yang t elah membantu dan mendukung penyelenggaraan seminar ini. Khususnya,

kepada seluruh peserta seminar diucapkan terima kasih at as partisipasinya dan

selamat berseminar, semoga bermanfaat.

Yogyakarta, 9 November 2013

Panitia

(6)

SAM BUTAN DEKAN FM IPAUN Y

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Pertama- tama marilah kit a panjatkan puji syukur ke hadirat Allah SWT yang

telah melimpahkan berbagai kenikmatan kepada kita sekalian. Salah sat u nikmat

yang sekarang kita rasakan adalah nikmat kesehatan sehingga kita dapat

menyelenggarakan seminar nasional ini.

Selanjutnya perkenankan saya menyampaikan penghargaan dan ucapan

terima kasih kepada Ketua Panitia beserta seluruh jajaran kepanitiaan Seminar

Nasional M atematika dan Pendidikan M atematika Tahun 2013 yang telah

mempersiapkan terselenggaranya seminar nasional ini. Secara khusus perkenankan

pula saya sampaikan terima kasih kepada Bapak Prof. Ahmad Fauzy, Ph.D. dan

Bapak Sukirman, M .Pd., yang telah berkenan menjadi pembicara utama pada

seminar nasional ini. Kami juga mengucapkan banyak terima kasih kepada

pengurus IndoM S Jateng dan DIY at as kerjasamanya unt uk mensukseskan acara

seminar ini.

Tema pada seminar nasional kali ini adalah “Penguatan Peran M atematika

dan Pendidikan M atematika untuk Indonesia yang Lebih Baik ”. Tema ini sangat

sejalan dengan visi dan misi Universitas Negeri Yogyakarta, khususnya FM IPA UNY

yang telah berkomitmen unt uk menghasilkan tenaga kependidikan dan non

kependidikan M IPA yang berkualitas unggul di dunia global. Harapan kami

dengan adanya seminar ini adalah terjalinnya kerjasama yang baik antar dosen,

peneliti, maupun guru di seluruh Indonesia untuk mewujudkan masyarakat

Indonesia yang maju, sejahtera dan memiliki karakkter yang unggul. Seminar

nasional ini harus mampu mendorong para dosen, guru dan praktisi bidang

matematika dan pendidikan matematika untuk senantiasa melakukan inovasi demi

kemajuan bangsa Indonesia.

Akhirnya saya mengucapkan terima kasih at as partisipasinya dalam seminar

yang diselenggarakan oleh Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY ini dengan

harapan semoga seminar ini memberikan motivasi bagi para pesert a untuk terus

berkarya. Terimakasih. Selamat mengikuti seminar.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

(7)

SAMBUTAN KETUA PANI TIA

Assalaamu’alaikum w r . w b.

1. Yth. Rektor Univer sitas Neger i Yogyakar ta,

2. Yth. Dekan dan Wakil Dekan FMIPA UNY,

3. Yth. Par a Pembicar a Utama,

4. Yth.Bapak/ Ibu Tamu Undangan,

5. Yth. Par a pemakalah dan peser ta seminar sekalian,

Per tama-tama mar ilah kita panjatkan puji syukur ke hadir at Tuhan Yang Maha Esa,

atas segala kar unia dan r ahmatNya yang telah dilimpahkan kepada kita semua. Atas ijin-Nya

pula, kita pada har i ini dapat ber kumpul di sini, dalam keadaan sehat jasmani dan r ohani,

untuk mengikuti Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika yang

ber temakan penguatan per an Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang

lebih baik.

Pada seminar ini, kami mengundang 2 pembicar a utama yang akan menyampaikan

makalah utama pada sidang pleno, yaitu Pr of. Ahmad Fauzy, M.Si, Ph.D (Jur usan Statistika

FMIPA Univer sitas Islam Indonesia) dan Dr s. Sukir man, M.Pd ( Jur usan Pendidikan

Matematika FMIPA Univer sitas Neger i Yogyakar ta. Atas nama panitia, kami mengucapkan

ter imakasih yang sebesar -besar nya atas kesediaan beliau semua hadir dalam acar a ini. Kedua

pembicar a akan menyampaikan makalah ter kait pener apan matematika dalam meyelesaikan

masalah nyata yang dapat dijumpai dalam bidang industri, pendidikan dan pembelajar an

matematika.

Selain itu panitia juga telah mener ima sekitar 168 makalah pendamping, dar i

ber bagai instansi di Indonesia, seper ti UGM, UAD, Univer sitas Ter buka, UNS, IKIP PGRI

Semar ang, Univer sitas Tanjungpur a, ITS, Univer sitas Sanata Dhar ma, UNS, UKSW, UPH,

UNSOED, UNW Matar am, STKP Siliw angi Bandung, STKIP PGRI Pacitan, Univer sitas

Muhammadiyah Sur akar ta, Univet Sukohar jo, UNAIR, STAIN Purw oker to, UNPATTI Ambon,

Univer sitas Neger i Padang, Univer sitas Cendr aw asih, UNESA, dan beber apa sekolah seper ti

SMA Neger i 3 Bantul, SMPN 4 Yogyakar ta, SMPN 2 Wonosobo, SMPN 3 Salahutu, SMPN

Monta, dan ber bagai instansi lain.

Kegiatan Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika tahun 2013 ini

tidak dapat diselengggar akan dengan baik tanpa bantuan dar i ber bagai pihak. Oleh kar ena

itu, kami mengucapkan ter imakasih yang tak ter kir a kepada Bapak Rektor dan jajar annya

selaku Pimpinan di Univer sitas Neger i Yogyakar ta, Dekan FMIPA UNY atas dor ongan,

dukungan dan fasilitas yang disediakan. Ter imakasih kepada par a sponsor dan semua pihak

yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu. Ucapan ter imakasih juga kami sampaikan

kepada teman-teman panitia yang telah beker ja ker as demi suksesnya penyelenggar aan

seminar ini.

Kami juga mengucapkan ter imakasih kepada Bapak, Ibu dan Saudar a peser ta yang

telah ber kenan mengikuti seminar ini hingga selesai nantinya. Atas nama panitia, kami

mohon maaf yang sebesar -besar nya jika dalam kegiatan ini ter dapat kesalahan, kekur angan

maupun hal-hal yang tidak/ kur ang ber kenan di hati Bapak, Ibu dan Saudar a sekali an. Semoga

seminar ini dapat member ikan sumbangan dalam memajukan matematika dan pendidikan

matematika untuk mew ujudkan Indonesia yang lebih baik.

SELAMAT BERSEMINAR!!

Wassalamuallaikum w r . w b ,

(8)

DAFTAR ISI

Cover

Halaman Judul Halaman Penyunting Halaman Penerbitan Kata Pengantar

Sambutan Dekan FM IPA Sambutan Ketua Panitia Daftar Isi

M akalah Utama

Penguatan Peran M atematika Dan Pendidikan M atematika Untuk Indonesia Yang Lebih Baik ( Akhmad Fauzy, Program Studi Statistika, FM IPA Universitas Islam Indonesia)

M U – 1

M akalah Bidang Pendidikan M atematika

Kode Nama Instansi Judul Hal

P – 1 Abdul Mujib1, Erik Suparingga2

1,2

Universitas M uslim Nusantara Al-Washliyah

Upaya M engatasi Kesulitan Siswa Dalam Operasi Perkalian Dengan Metode Latis

M P - 1

P – 2 Ade Kumalasari, Rizky Oktora Prihadini Eka Putri

Pendidikan Pascasarjana Universitas Negeri Yogyakarta

Kesulitan Belajar M atematika Siswa Ditinjau Dari Segi Kemampuan Koneksi M atematika

M P – 7

P – 3 Adhetia M artyanti Prodi Pendidikan M atematika, PPS UNY

M embangun Self-Cofidence Siswa Dalam Pembelajaran M atematika Dengan Pendekatan ProblemSolving

M P – 17

P – 4 Adi ASM Ara Prodi Pendidikan M atematika FKIP UM B

Kecakapan M atematis Siswa M elalui M odel Pembelajaran Problem Posing

M P - 23

P – 5 Agisna Anindya Putri

Pendidikan M atematika, Program Pascasarjana Universitas Negeri Yogyakarta

M eningkatkan Aktivitas Dan Hasil Belajar M atematika Siswa Kelas VII C SM P Anggrek Banjarmasin Melalui M odel Pembelajaran Kooperatif Tipe Student Teams Achievement Divisions (Stad) Dan Scramble

M P - 29

P – 6 Agustinus Sroyer FKIP Universitas Cenderawasih Jayapura

Penalaran Kuantitatif (Quantitative Reasoning) Dalam Pemecahan M asalah M atematika

M P – 39

P – 7 Ahmad Dzulfikar Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia

Studi Literatur: Pembelajaran Kooperatif Dalam Mengatasi Kecemasan

M atematika Dan Mengembangkan Self Efficacy M atematis Siswa

M P – 45

P – 8 Neneng Tita Rosita STKIP Sebelas April Sumedang

Pendekatan Pembelajaran M atematika Realistik Untuk M eningkatkan Kemampuan Pemecahan M asalah M atematis Siswa SD

M P – 55

P – 9 Ali M ahmudi, Sahid, Himmawati P.L., Kuswari Hernawati

Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Interactive Student’s Book Berbasis ICT Untuk M endukung Aktivitas Eksplorasi Konsep-Konsep Geometri

M P – 63

P – 10 Andri Suryana Universitas Indraprasta PGRI Jakarta

Penerapan M odel Pembelajaran Pace

Dalam Meningkatkan Kemampuan M embuktikan M atematis

M P – 71

(9)

Kusno2, Fitrianto Eko Subekti3

M uhammadiyah Purwokerto

Pembelajaran Kooperatif M ata Kuliah Dasar Proses Pembelajaran M atematika M elalui Lesson Study

P – 12 Arief Budi Wicaksono1 M . Saufi2

Pendidikan Matematika, Program Pascasarjana Universitas Negeri Yogyakarta

M engelola Kecemasan Siswa Dalam Pembelajaran M atematika

M P – 89

P – 13 Arjudin1 M ahasiswa S3 Pendidikan M atematika Universitas Negeri M alang

Kajian Buku Siswa M ata Pelajaran M atematika Kelas VII Bab 2 Dalam Kurikulum 2013

M P – 95

P – 14 Asep Ikin Sugandi STKIP Siliwangi Bandung

Pendekatan Kontektual Sebagai Pendekatan Dalam Pembelajaran M atematik Yang Humanis Dalam M eningkatkan Kemandirian Belajar

M P - 103

P – 15 Astri Wahyuni, Ayu Aji Wedaring Tias, Budiman Sani

Program Pascasarjana Universitas Negeri Yogyakarta

Peran Etnomatematika Dalam M embangun Karakter Bangsa

M P - 113

P – 16 Budi M anfaat Zara Zahra Anasha

Jurusan Tadris M atematika Fakultas Tarbiyah IAIN Syekh Nurjati Cirebon

Analisis Kemampuan Berpikir Kritis M atematik Siswa Dengan M enggunakan Graded Response M odels (GRM )

M P - 119

P – 17 Carolin Olivia1, Pinta Deniyanti2, M eiliasari3

1,2,3 Jurusan M atematika FM IPA UNJ

M engembangkan Pemahaman Relasional Siswa M engenai Luas Bangun Datar Segiempat Dengan Pendekatan PMRI

M P – 125

P – 18 Christina Sri Purwanti

SM A Negeri 3 Bantul

M eningkatkan Hasil Belajar M atematika M ateri Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers Menggunakan Pembelajaran M odel Jigsaw Pada Siswa Kelas XI IPS SM A Negeri 3 Bantul

M P - 133

P – 19 Christina Sri Purwanti

SM A Negeri 3 Bantul

Penggunaan Media M odul Pembelajaran Untuk M eningkatkan Efektivitas

Pembelajaran Persamaan Lingkaran Bagi Siswa Kelas XI/ IPA SMA Negeri 3 Bantul

M P – 139

P – 20 Darmadi 1), Agung Lukito 2), Ketut Budayasa 3)

M ahasiswa Program Pascasarjana UNESA; 2) Staf Pengajar Program Pascasarjana UNESA; 3) Staf Pengajar Program Pascasarjana UNESA

Analisis Kesulitan Berpikir Visual Dalam M emahami Definisi Formal Pada Barisan Bilangan Real

M P - 145

P – 21 Demitra Program Studi Pendidikan M atematika FKIP Universitas Palangkaraya

Pengembangan M odul Statistika Dasar Untuk M ahasiswa PG-M IPA-BI

M P - 155

P – 22 Dian Andarwati1), Kuswari Hernawati2)

1), 2) Jurusan Pendidikan M atematika,

Pengembangan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) Berbasis Pendekatan Penemuan Terbimbing Berbantuangeogebra Untuk

(10)

FM IPA UNY M embelajarkan Topik Trigonometri Pada Siswa Kelas X SM A

P – 23 Doni Setiyo Ardiyanto

SM P Negeri 2 Ngablak Kabupaten M agelang

Pembelajaran M atematika Dengan Pendekatan Kontekstual Berbantuan Hands On Problem Solving Untuk M eningkatkan Rasa Ingin Tahu Dan Prestasi Belajar Siswa

M P – 175

P – 24

Rasiman

FPM IPA IKIP PGRI Semarang

Proses Berpikir Kritis Siswa SMA Dalam M enyelesaikan M asalah M atematika Bagi Siswa Dengan Kemampuan M atematika Rendah

M P - 185

P – 25 Edy Tandililing Jurusan PM IPA FKIP UNTAN

Pengembangan Pembelajaran

M atematika Sekolah Dengan Pendekatan Etnomatematika Berbasis Budaya Lokal Sebagai Upaya Untuk M eningkatkan Kualitas Pembelajaran M atematika Di Sekolah

M P - 193

P – 26 Edy Tandililing PM IPA FKIP UNTAN Pontianak

Pengembangan Kemampuan Koneksi M atematissiswa M elalui Pendekatan Advokasi Dengan Penyajian M asalah Open-Ended Pada Pembelajaran M atematika

M P - 203

P – 27 Dwi Astuti, Trisnawati

Pendidikan M atematika PPS UNY

Pengembangan Bahan Ajar M atematika Untuk SM PIN/ B Kelas IX Berdasarkan Standar Isi

M P – 211

P – 28 Edi Irawan Program Studi Pendidikan M atematika STKIP PGRI Pacitan

Analisis Kecenderungan Penelitian Skripsi M ahasiswa Program Studi Pendidikan M atematika STKIP PGRI Pacitan Tahun Akademik 2012/ 2013

M P - 219

P – 29 Eka Kasah Gordah1, Reni Astuti2

1,2

STKIP PGRI Pontianak

M eningkatkan Kemampuan Komunikasi M atematis M ahasiswa M elalui

Pengembangan Bahan Ajar Geometri Dasar Berbasis M odel Reciprocal Teaching Di STKIPPGRI Pontianak

M P -227

P – 30 Ekasatya Aldila Afriansyah1

STKIP Garut Penjumlahan Bilangan Desimal M elalui Permainan Roda Desimal

M P -233

P – 31 Elly Arliani dan Kana Hidayati

Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Penerapan Item Mapping Berdasarkan Teori Respons Butir Dalam Pengukuran Pendidikan M atematika

M P - 241

P – 32 Ema Butsi Prihastari Analisis Pembentukan Karakter Cinta Lingkungan Pada M ateri Geometri Di Laboratorium Alam

M P – 249

P - 33 Endro Wibowo SM P Negeri 2 Wonosobo

Implementasi Contextual Teaching And Learning Approach Dan Model Cooperative Learning Number Group Presentation untuk Meningkatkan Sikap Dan Prestasi Belajar Matematika Di Kelas IX-H SMP Negeri 2 Wonosobo Pada Semester I Tahun Pelajaran 2013/ 2014

M P - 255

P – 34 Ernawati Program Studi Pendidikan M atematika Pascasarjana UNY

Implementasi M odel Pembelajaran Kooperatif Tipe Make A Match Pada Pembelajaran M atematika Di Kelas X Administrasi Perkantoran SM KN 1 Banjarmasin Tahun Pelajaran 2011/ 2012

M P – 267

P – 35 Faaso Ndraha SM AN 3

Gunungsitoli, Kota Gunungsitoli,

Proses Berpikir Siswa SM P Mengonstruksi Bukti Informal Geometri Sebagai Prosep

(11)

Sumatera Utara P – 36 Gadis Arniyati

Athar

STAI Ar-Ridho Bagansiapiapi Rokan Hilir

Penerapan Pendekatan Pembelajaran Pendidikan M atematika Realistik (PM R) Dikelas 7 SM P Islamar-Ridha

Bagansiapiapi Rokan Hilir Riau

M P – 285

P – 37 Gregorius Sebo Bito1, Sugiman2

FKIP Universitas Flores Ende-NTT, 2 FM IPA UNY

Investigasi Perkembangan Belajar Siswa Kelas IV Sekolah Dasar Di Kabupaten Ngada, NTT Dalam Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Pecahan

M P – 293

P – 38 Hongki Julie1, St. Suwarsono2, and Dwi Juniati3

1,2

Sanata Dharma University, 3

Surabaya State University

Bahan Belajar Siswa Untuk Siklus Kedua Pengembangan Pembelajaran Pecahan Di Kelas V Sekolah Dasar Dengan Pendekatan M atematika Realistik

M P – 305

P - 39 Ida Nurmila Isandespha

PGSD Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta

Penggunaan Asesmen Portofolio Dalam Pembelajaran M atematika Sekolah Dasar Untuk M eningkatkan Prestasi Belajar Dan Sikap Siswa Terhadap M atematika

M P - 313

P – 40 Ifada Novikasari STAIN Purwokerto Sem iotic Logical Approach M P - 321 P – 41 Ika Kurniasari Prodi Pendidikan

M atematika Jurusan

M atematika Unesa

Identifikasi Kesalahan Siswa Dalam M enyelesaikan Soal Geometri M ateri Dimensi Tiga Kelas XI IPA SMA

M P - 327

P – 42 Ilham Rizkianto FM IPA Universitas Negeri Yogyakarta

Norma Sosiomatematik Dalam Kelas M atematika

M P – 331

P – 43 Jackson Pasini M airing

Prodi Pendidikan M atematika FKIP Universitas Palangka Raya

Pembelajaran Dengan Komputer: Dua Sisi M ata Uang

M P – 341

P – 44 Januar Budi Asmari1, Erika Laras Astutiningtyas2, Agus Efendi3

1,2,3

Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo

Pembelajaran Direct Instruction Dengan M edia Lagu Terhadap Prestasi Belajar M atematika Di SD Se-Kecamatan Laweyan

M P – 349

P – 45 Joko Bekti Haryono1, Herry Agus Susanto2

Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo

M eningkatkan Aktifitas M ahasiswa M elalui Pembelajaran Berbasis M asalah M ata Kuliah Struktur Aljabar

M P – 355

P – 46 Karim FKIP Universitas Lambung M angkurat Banjarmasin M ahasiswa S3 Pendidikan M atematika Universitas Negeri Surabaya

Berpikir Kreatif Siswa M embuat Koneksi M atematis Dalam Pemecahan M asalah

M P - 363

P – 47 Kasman Samin Kamsurya

SM P Negeri 3 Salahutu

Peningkatan Hasil Belajar Siswa Pada M ateri Operasi Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Pembelajaran M atematika Realistik Di Kelas VII-1 SM P Negeri 3 Salahutu

M P – 371

P – 48 La M isu dan Rosdiana

JURUSAN PM IPA UHO KENDARI

Pengembangan Teori Pembelajaran Perilaku Dalam Kaitannya Dengan Kemampuan Pemecahan M asalah M atematik Siswa Di SMA

M P – 379

P – 49 La M oma FKIP UNPATTI Ambon

M enumbuhkan Soft Skills Siswa Dalam Pembelajaran M atematika M elalui Pembelajaran Generatif

(12)

P – 50 Laila Hayati Program Studi Pendidikan M atematika Universitas M ataram

Pembelajaran Pendidikan M atematika Realistik Untuk M engembangkan Kemampuan Berpikir Aljabar Siswa

M P – 397

P – 51 Lia Ardian Sari Universitas Pendidikan Indonesia

Diagnosis Kesalahan Siswa Sekolah M enengah Pertama Dalam

M enyelesaikan M asalah Faktorisasi Bentuk Aljabar

M P – 407

P – 52 Lilik Hidayati1, Ripai2

1,2

FM IPA UNW M ataram

Sistem Komputasi Blackbox

Untuk Optimasi Pengkoreksian Multi Tipe Dan Teknik Skorsing Soal Obyektif

M P – 413

P – 53 M asduki1), M arlina Ratna Subandriah2), Dhiki Yudha Irawan3), Agus Prihantoro4)

Prodi Pendidikan M atematika FKIP UM S

Level Kognitif Soal-Soal Buku Pelajaran M atematika Smp

M P – 421

P – 54 M .F. Atsnan1, Rahmita Yuliana Gazali2

M ahasiswa Pendidikan M atematika Pasca Sarjana UNY

Penerapan Pendekatan Scientific Dalam Pembelajaran M atematika SM P Kelas VII M ateri Bilangan (Pecahan)

M P – 429

P – 55 M ukti Sintawati 1, Ginanjar

Abdurrahman2

- M enumbuhkan Kemampuan Berpikir Kreatif Dan M inat Belajar M atematika M elalui Pendekatan Problem Posing

M P - 437

P – 56 M u n i r i Program Doktor Pendidikan M atematika Universitas Negeri Surabaya

Karakteristik Berpikir Intuitif Siswa Dalam Menyelesaikan M asalah M atematika

M P – 443

P – 57 Nila M areta M urdiyani

Universitas Negeri Yogyakarta

Strategi-Strategi Yang Berbeda Dalam M enyelesaikan M asalah Pengurangan M enggunakan Garis Bilangan

M P – 453

P – 58 Nuriana Rachmani Dewi (Nino Adhi)

Jurusan

M atematika FM IPA Universitas Negeri Semarang

Pengembangan Website Berorientasi

Brain-Based Learning Sebagai Upaya Peningkatan Kemampuan Pemecahan M asalah M atematis M ahasiswa

M P – 457

P – 59 Nurlatifah1, Aris Hadiyan Wijaksana2, Wardani Rahayu3

Universitas Negeri Jakarta,

Universitas Negeri Jakarta

M engembangkan Kemampuan Penalaran Spasial Siswa Smp Pada Konsep Volume Dan Luas Permukaan Dengan

Pendekatan Pendidikan M atematika Realistik Indonesia

M P - 465

P – 60 R. Rosnawati1 1 Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Asesmen Formatif Informal Dalam Pembelajaran M atematika

M P - 473

P – 61 Rahmatya Nurmeidina

M ahasiswa Pendidikan M atematika, Pascasarjana UNY

M engembangkan Karakter Siswa Dalam Pembelajaran M atematika Dengan Pendekatan Kontekstual

M P – 479

P – 62 Ririn Widiyasari Fakultas Ilmu Pendidikan, Jurusan M atematika Universitas

Pengembangan Pembelajaran M atematika Model Eliciting Activities

Untuk M eningkatkan Penguasaan Konsep M atematika Siswa Pada M ateri Segitiga Kelas VII

(13)

M uhammadiyah Jakarta

P – 63 Risnanosanti Program Studi Pendidikan M atematika FKIP UM B

Kemandirian Belajar Dan Kemampuan Pemecahan M asalah M atematis M ahasiswa Program Studi Pendidikan M atematika

M P – 493

P – 64 Ristontowi Prodi Pendidikan M atematika FKIP UM B

Kemampuan Spasial Siswa M elalui Pendekatan Pendidikan M atematika Realistik Indonesia Dengan Media Geogebra

M P – 499

P – 65 Rondha1, Ratna Christianingrum2

1,2

Universitas Pelita Harapan

Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Rasa Takut Akan Kegagalan Dalam Diri M ahasiswa

M P – 505

P – 66 Rosalia Hera Rahayuningrum

SM P Negeri 2 Imogiri Bantul Yogyakarta

M eningkatkan Kemampuan Pemecahan M asalah M atematika Pada M ateri Bangun Ruang Sisi Lengkung Dengan M etode Penemuan Terbimbing Siswa Kelas Ixf Smp Negeri 2 Imogiri Bantul Yogyakarta

M P – 509

P – 67 Saifan Sidiq Abdullah1, Supandi2, Nizaruddin3

1,2,3

Pendidikan M atematika IKIP PGRI Semarang

Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis Konstruktivisme M enggunakan

CD Interaktif Terhadap Karakter Siswa SM P

M P – 517

P – 68 Siska Candra Ningsih

Program Studi Pendidikan M atematika FKIP Universitas PGRI Yogyakarta

Upaya M eningkatkan Pemahaman Konsep M ahasiswa Pada M ata Kuliah M etode Numerik Dengan Pendekatan

Creative Problem Solving

M P – 525

P – 69 Sri Eka Wahyuni1, Pinta Deniyanti2, M eiliasari3

1,2,3 Jurusan M atematika FM IPA UNJ

M engembangkan Kemampuan Berpikir Geometris Pada Pokok Bahasan Segiempat Dengan Teori Van Hiele Dan Pendekatan PM RIi

M P - 533

P -70 Sri Subarinah Dosen Prodi Pendidikan M atematika, FKIP Universitas M ataram M ahasiswa S3 Pendidikan M atematika Universitas Negeri Surabaya

Profil Berpikir Kreatif Siswa Dalam M emecahkan M asalah Tipe Investigasi M atematik Ditinjau Dari Perbedaan Gender

M P - 541

P – 71 Sri Sudarini S.pd SM P Negeri 4 Yogyakart a

Pendidikan M oral M atematika M P – 549

P – 72 Sri Supiyat i1, M uhammad Halqi2

1,2

STKIP

Hamzanw adi Selong

Pengembangan Perangkat Pembelajaran M atematika SM P Dengan M odel Pembelajaran M atematika Realistik Di Kabupaten Lombok Timur

M P – 557

P – 73 Sudi Prayit no1, ST. Suw arsono2, Tat ag Yuli Eko Siswono3

FKIP Univesit as M at aram, 2 FKIP Univesit as Sanat a Dharma, 3 FM IPA Universit as Negeri Surabaya

Komunikasi M atematis Siswa SM P Dalam M enyelesaikan Soal M atematika

Berjenjang Ditinjau Dari Perbedaan Gender

M P – 565

P – 74 Supandi1, Widya Kusumaningsih2, Lilik Ariyanto3

1,2,3

Pendidikan M at ematika Fpmipa IKIP PGRI Semarang

Pengembangan Perangkat Pembelajaran M atematika Dengan Strategi Think Talk Write Berbasis Blended Learning Untuk M eningkatkan Kemampuan M enulis

(14)

M atematik Siswa SM P

P – 75 Suparni Fakult as Sains dan

Teknologi Uin Sunan Kalijaga Yogyakart a

Pengembangan Kemampuan Berpikir Kritis M ahasiswa Program Studi Pendidikan M atematika M elalui Pendekatan Integrasi Interkoneksi

M P – 579

P – 76 Suryo Widodo Universit as Nusant ara PGRIi Kediri

Variabel-Variabel TersembUNYi Dalam Guru M atematika Kreatif

M P – 587

P – 77 Sut risno1, Supandi2, Widya

Kusumaningsih3, Lilik Ariyanto4

1,2,3,4

Pendidikan M at ematika Fpmipa Ikip Pgri Semarang

Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berkarakter Pada M atakuliah Operasi Riset Berbasis ICT

M P – 595

P – 78 Syukrul Hamdi STKIP Hamzanw adi Selong

M enguatkan Keyakinan Diri Siswa Dalam Pembelajaran M atematika M elalui Pendekatan Multi-Modal Strategy (M M S)

M P – 601

P – 79 Trisnaw ati, S.pd.1, Dw i Ast ut i, S.pd.si2

1,2

Prodi Pendidikan M at ematika Program PPS UNY

Upaya M eningkatkan Kemampuan Komunikasi M atematis Siswa Kelas Vii Dalam Pembelajaran M atematika Dengan Pendekatan Realistic Mathematics Education (RM E) Di SM P Negeri 1 M untilan

M P – 609

P – 80 Urip Tisngat i1, Khoirul Qudsiyah2

1,2

STKIP PGRI Pacit an

Pembelajaran M atematika Berbasis M ultimedia Interaktif M ata Kuliah Teori Bilangan Dengan M odel Reog Untuk M eningkatkan Konsep Dan Efikasi Diri M ahasiswa

M P – 617

P – 81 Usep Kosasih Prodi Pendidikan M at ematika, Universit as Islam Nusant ara, Bandung

Karakteristik Bahan Ajar M atematika Untuk M embangun Karakter

M P – 625

P – 82 Wanda Nugroho Yanuart o

Prodi Pendidikan M at ematika Program PPS UNY

Perbedaan Konsep M atematika Dan Pengetahuan Ditinjau Dari Ras Dan Gender M anusia

M P – 629

P – 83 Yandri Soeyono Universit as Negeri Yogyakart a

M engasah Kemampuan Berpikir Kritis Dan Kreatif Siswa M elalui Bahan Ajar M atematika Dengan Pendekatan Open-Ended

M P – 639

P – 84 Yoppy Wahyu Purnomo

FKIP Universit as M uhammadiyah Prof. Dr. Hamka

Keefektifan Penilaian Formatif Terhadap Hasil Belajar M atematika M ahasiswa Ditinjau Dari M otivasi Belajar

M P – 649

P – 85 Yoppy Wahyu Purnomo

FKIP Universit as M uhammadiyah Prof. Dr. Hamka

Komputasi M ental Untuk M endukung Lancar Berhitung Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Pada Siswa Sekolah Dasar

M P – 657

P – 86 Yuli Sulist yow at i Prodi Pendidikan M at ematika Program PPS UNY

Pengembangan M edia Pembelajaran Interaktif Dengan Pendekatan Contextual Teaching And Learning (Ctl) Pada M ateri Volume Bangun Ruang Kelas Viii

M P – 663

P – 87 Yulia Linguistika1, Endang List yani2, Heri Retnaw ati3

1, 2,3

Prodi Pendidikan M at ematika Program PPS UNY

Peta Penguasaan M ateri M atematika Guru Sma Dan Hubungannya Dengan Prestasi Belajar Siswa

M P – 671

P – 88 Zuli Nuraeni, S.pd Prodi Pendidikan M at ematika Program PPS UNY

(15)

P – 89 Zuraidah1, Salmah Unaizatin2

STAIN Kediri,

SM KN 6 M alang

Aplikasi M etode Pembelajaran Kooperatif M odel Jigsaw Untuk M ateri Sistem Bilangan Pada Siswa Kelas XII RPL 3 SM K Negeri 6 M alang Tahun Pelajaran 2012/ 2013

M P – 691

P – 90 Djamilah Bondan Widjajanti1, Fit riana Yuli Sapt aningt yas2, Dw i Lest ari3

1,2,3

Jurusan Pendidikan M at ematika Fmipa UNY

Efektivitas Bahan Ajar M atematika Diskret Berbasis Representasi Multipel Ditinjau Dari Kemampuan Komunikasi Dan Koneksi M atematis M ahasiswa Calon Guru M atematika

M P – 699

P – 91 Kana Hidayati1, Elly Arliani2

1,2

Jurusan Pendidikan M at ematika FM IPA UNY

M odel-M odel Aligment Antara Penilaian Dan Kurikulum Dalam Pembelajaran M atematika

M P – 701

P – 92 Kuswari Hernawati1, Ali M ahmudi2, Himmawati Puji Lestari3

1,2,3,4

Jurusan Pendidikan M at ematika FM IPA UNY

Pengembangan Perangkat Pembelajaran Geometri Berbasis ICT Untuk

M eningkatkan Komunikasi M atematis M ahasiswa

M P – 713

P – 93 Sugiyono1, Sugiman2, Himmawati Puji Lestari3

1,2,3

Jurusan Pendidikan M at ematika Fmipa UNY

Upaya M eningkatkan Kemampuan

Mathem atical Com m unication M ahasiswa Kelas Internasional Pada Perkuliahan

Analytic Geometry Dengan Pendekatan

Open Ended

M P – 719

P – 94 Faaso Ndraha Guru SMAN 3 Gunungsitoli, Kota Gunungsitoli, Sumatera Utara/ M ahasiswa S3 Pendidikan M atematika Pascasarjana Universitas Negeri Surabaya

Nilai Strategis M emandang Bukti Geometri Sebagai Prosep Dalam Pembelajaran

M P – 727

M akalah Bidang Analisis dan Aljabar A – 1 Anita Nur

M uslimah1 Siswanto2 Purnami Widyaningsih3

Jurusan

M atematika FM IPA UNS

Sistem Linear Dalam Aljabar M aks-Plus M A – 1

A – 2 Evi Yuliza Jurusan

M atematika FM IPA UNSRI

Sifat-Sifat Similar Semu Atas Ring Reguler Stable Diperumum

M A – 9

A – 3 Fitriana Yuli Saptaningtyas

Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Optimasi Pengelolaan Pariwisata Di Diy Dengan M enggunakan Metode Campbell Dudeck Smith (CDS)

M A – 17

A – 4 Harry Nugroho1, Effa M arta R2, Ari Wardayani3

Program Studi M atematika Universitas Jenderal Soedirman

Polinomial atas aljabar max-plus Interval

M A – 23

A – 5 M . Andy Rudhito Program Studi Pendidikan M atematika FKIP Universitas Sanata Dharma

Kampus III USD Paingan

Sistem Persamaan Linear M in-Plus Dan Penerapannya Pada M asalah Lintasan Terpendek

(16)

M aguwoharjo Yogyakarta A - 6 M .V.Any Herawati Program Studi

M atematika Universitas Sanata Dharma

Jumlah Grup Bagian dalam Darab Langsung Grup SiklisBerhingga

M A – 35

A – 7 Siswanto1, Aditya NR2, Supriyadi W3

Jurusan

M atematika FM IPA UNS

Kebebasan Linear Dalam Aljabar M ax-Plus Interval

M A – 45

A – 8 Solikhin1 YD. Sumanto2 Siti Khabibah3

Jurusan M atematika, Fakultas Sains dan M atematika, Universitas Diponegoro

Locally dan Globally Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-Dunford pada [a,b]

M A – 55

A – 9 Yushaila Nur Sajida W.1, Dhoriva Urwatul W. 2, Agus M aman Abadi3

Program Studi M atematika FM IPA UNY

2,3 Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Klasifikasi Fuzzy Untuk Diagnosa Kanker Serviks

M A – 65

M akalah Bidang Geometri G-1 Dwi Pungkas

Haruadi1 Idha

Sihwaningrum2 Ari Wardayani3

Program Studi M atematika Universitas Jenderal Soedirman

Segitiga Siku-Siku pada Trigonometri Rasional di lapangan Himpunan Bilangan Riil dan Lapangan Himpunan Bilangan Bulat Modulo 17

M G - 1

G-2 Husnul Khotimah Pendidikan M atematika, Universitas Negeri Yogyakarata

M eningkatkan Hasil Belajar Geometri Dengan Teori Van Hiele

M G - 9

M akalah Bidang Statistika

S - 1 Adi Setiawan Program Studi M atematika Fakultas Sains dan M atematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

Karakteristik Inflasi Bulanan Kota-Kota di Indonesia Tahun 2009 – 2013

M S – 1

S - 2 Adi Setiawan Program Studi M atematika Fakultas Sains dan M atematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

Inferensi Parameter Simpangan Baku Populasi Normal dengan Metode Bayesian Obyektif

M S – 9

S - 3 Agus Budhi Santosa1, Nur iriawan2, Seiawan3, M ohammad Dokhi4

1,2,3

Jurusan Statistika FM IPA-ITS, 4 STIS

Pemodelan Seemingly Unrelated Regression dengan Pendekatan Bayesian pada Sektor Utama di Jawa Timur

M S – 17

S - 4 Astutik, S.1, Solimun2, Widandi3

1,2

Program Studi Statistika, Jurusan

Identifikasi Data Rata-Rata Curah Hujan per-jam di Beberapa Lokasi

(17)

M atematika FM IPA, Universitas Brawijaya, M alang, 3

Jurusan Teknik Pengairan, Fakultas Teknik, Universitas Brawijaya, M alang S - 5 Budi Pratikno1,

Yuliatri Wirawidya Haryono2

Jurusan M IPA M atematika Unsoed Purwokerto

Pengujian Intercep untuk Tests Terkait

N on-Sam ple Prior Information pada Hipotesis Satu Arah

pada Regresi Linier Sederhana Ketika Variansi Diketahui

M S – 29

S - 6 Dadan Kusnandar1, M uhlasah

Novitasari M ara2, Yundari3, Neva Satyahadewi4, Naomi Nessyana Debataraja5

1,2,3,4,5 Jurusan M atematika, FM IPA Universitas Tanjungpura,

M engatasi Missing Data Hasil Pengukuran Satelit Altimetri Topex, Jason 1 dan Jason 2 dengan M etode Kalman Filter

M S – 37

S - 7 Dadan Kusnandar1, Naomi Nessyana Debataraja2

1,2

Jurusan M atematika, FM IPA Universitas Tanjungpura

Penerapan Analisis Komponen Utama dalam M enilai M odel Pembelajaran di Sekolah

M S – 41

S - 8 Dian Cahyawati S., Susi Yohana, Putera B.J. Bangun

Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya

Aplikasi M etode Chaid dalam

M enganalisis Keterkaitan Faktor Risiko Lama Penyelesaian Skripsi M ahasiswa (Studi Kasus di Jurusan M atematika Fmipa Universitas Sriwijaya)

M S – 47

S - 9 Djoni Hatidja1, Sri H. Abdullah2, dan Deiby T. Salaki3

1,2,3

Program Studi M atematika FM IPA Unsrat, M anado

Pergeseran Pangsa Pasar Kartu Seluler Pra Bayar Gsm M enggunakan Analisis Rantai M arkov

(Studi Kasus: M ahasiswa Fmipa Unsrat M anado)

M S – 55

S - 10 Eka Septiana1 , Retno Subekti, M .Sc2

1,2 Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Aplikasi M etode Full Inform ation Maxim um Likelihood (Fiml) pada

Penyelesaian Sistem Persamaan Simultan (Studi Kasus : Data Stok Uang, PDRB, dan Konsumsi Rumah Tangga di DIY)

M S – 63

S - 11 Endang Pudji Purwanti1, Ferihan Pilarian2,

Politeknik Perkapan Negeri Surabaya, 2 PT.Alhas Jaya Group

Optimasi Parameter Proses Pemotongan Stainless Steel Sus 304 untuk Kekasaran Permukaan dengan Metode Response Surface

M S – 73

S - 12 Eni Nurhayati1 , Jaka Nugraha2

M ahasiswa Program Studi Statistika, FM IPA UII Yogyakarta 2

Pengajar Program Studi Statistika, FM IPA UII Yogyakarta

Pengelompokkan Stasiun Pos Hujan Kabupaten Pati Berbasis M etode Ward dalam Peta Analisis Kerawanan Banjir

M S – 89

S - 13 Helida Nurcahayani1,

M ahasiswa M agister Statistika,

Pemodelan Spasial Kemiskinan dengan

Mixed Geographically Weighted Poisson

(18)

Purhadi2 Institut Teknologi Sepuluh

Nopember 2

Dosen Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Regression dan Flexibly Shaped Spatial Scan Statistic

(Studi Kasus: Jumlah Rumah Tangga Sangat M iskin di Kabupaten Kulonprogo)

S - 14 Irwan1, Devni Prima Sari2

1,2

Jurusan

M atematika FM IPA Univ. Negeri Padang

Pemodelan Regresi Poisson, Binomial Negatif dan pada Kasus Kecelakaan Kendaraan Bermotor

di Lalu Lintas Sumatera Barat

M S – 107

S - 15 M uhlasah Novitasari M ara1, Neva Satyahadewi2, Ryan Iskandar3

Jurusan M atematika, FM IPA, Universitas Tanjungpura

Efektifitas M etode Jackknife dalam M engatasi M ultikolinearitas dan Penyimpangan Asumsi Normalitas pada Analisis Regresi Berganda

M S – 123

S - 16 Neva Satyahadewi1, Naomi Nessyana Debataraja2

1,2 Jurusan M atematika, FM IPA, Universitas Tanjungpura

Kajian Penataan PKL Berdasarkan Preferensi PKL dan Persepsi M asyarakat di Kawasan Pasar Sudirman Pontianak

M S – 127

S - 17 Indriya Rukmana Sari1, Dewi Retno Sari Saputro2, Purnami Widyaningsih3

M ahasiswa Jurusan

M atematika FM IPA UNS

2,3

Staf Pengajar Jurusan

M atematika FM IPA UNS

M odel Geographically Weighted Regression Penderita Diare di Provinsi Jawa Tengah dengan Fungsi Pembobot Kernel Bisquare

M S – 135

S - 18 Irma Nur Afifah1, Sony Sunaryo2

M ahasiswa S2 Jurusan Statistika-FM IPA ITS, Surabaya 2

Dosen Jurusan Statistika-FM IPA ITS, Surabaya

Analisis Structural Equation Modelling

(Sem) dengan Finite Mixture Partial Least Suare (Fimix-Pls)

(Studi Kasus : Struktur M odel Kemiskinan di Provinsi Jawa Tengah Tahun 2011)

M S – 143

S - 19 Janse Oktaviana Fallo 1, Adi Setiawan2, Bambang Susanto3

1,2,3

Program Studi M atematika Fakultas Sains dan M atematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No. 52-60, Salatiga

Uji Normalitas Berdasarkan M etode Anderson-Darling, Cramer-Von M ises dan Lilliefors Menggunakan M etode Bootstrap

M S – 151

S - 20 Komang Dharmawan

Jurusan M atematika, FM IPA Universitas Udayana

Estimasi Nilai Var M enggunakan Simulasi Proses Lévy

M S – 159

S - 21 M arisa Rifada1, Nur Chamidah2 , Toha Saifudin3

1,2,3

Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Pemodelan Kejadian Gizi Buruk pada Balita di Surabaya Berdasarkan Pendekatan Regresi Spasial Semiparametrik

(19)

Universitas Airlangga Kampus C, Unair Jln. Mulyorejo, Surabaya

S - 22 Nila Widhianti1, Dhoriva Urwatul Wutsqa2

1,2

Program Studi M atematika FM IPA UNY

Peramalan Banyak Penumpang Kereta Daerah Operasi di Yogyakarta

M enggunakan M odel Time Series dengan Variasi Kalender Islam Regarima

M S – 181

S - 23 Nuraini

Kusumawati1 dan Retno Subekti, M .Sc2

1,2 Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Aplikasi Pembentukan Portofolio Saham Lq-45 M enggunakan M odel Black Litterman dengan Estimasi Theil M ixed

M S – 191

S - 24 Oki Dwipurwani Jurusan

M atematika FM IPA Universitas Sriwijaya

Aplikasi M odel Persamaan Struktural (M PS) dalam M enganalisis Faktor-Faktor yang Berpengaruh terhadap Loyalitas Penghuni Rumah Susun M ahasiswa Universitas Sriwijaya

M S – 199

S - 25 Preatin1, Iriawan N.2, Zain I.3 Hartanto W. 4

1,2,3 Jurusan Statistika, Fakultas M IPA, ITS

Surabaya, 4BKKBN Jakarta

Pemodelan Data M igrasi

M enggunakan M odel Poisson Bayesian

M S – 207

S - 26 Ratna

Christianingrum

Universitas Pelita Harapan

Keluarga dan Ketaatan Beribadah Terhadap Sikap Remaja dalam

M enghindari Seks Bebas dengan Analisis Jalur pada Data Kategori

M S – 213

S - 27 Rukini1, Suhartono2

1,2

Jurusan Statistika Fakultas

M atematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh

Nopember (ITS) Surabaya

M odel Arimax dan Deteksi Garch untuk Peramalan Inflasi Kota Denpasar

M S – 219

S - 28 Stevvileny Angu Bima 1,

Adi Setiawan 2, Tundjung M ahatma 3

M ahasiswa Program Studi M atematika ,2), 3) Dosen Program Studi M atematika Fakultas Sains dan M atematika, Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

Pembentukan Sampel Baru yang M emenuhi Syarat Valid dan Reliabel dengan Teknik Resampling pada Data Kuisioner Tipe Yes/ N o Questions

M S - 229

S - 29 Suyono1,

Widyanti Rahayu2, Bambang Irawan3

1,2,3

Jurusan M atematika FM IPA UNJ

M odel Stokastik untuk Perawatan Sistem Seri

(20)

S - 30 Tanti Nawangsari Prodi Pendidikan M atematika FKIP UNIROW Tuban Jl. M anunggal 61 Tuban

Perbandingan Berganda Sesudah Uji Kruskal-Wallis

M S – 247

S - 31 Yuliana Susanti 1, Hasih Pratiwi 2, Sri Sulistijowati H.3

1,2,3 Jurusan M atematika FM IPA, Universitas Sebelas M aret, Surakarta

Optimasi M odel Regresi Robust untuk M emprediksi Produksi Kedelai di Indonesia

M S – 253

M akalah Bidang Komputer Dan Terapan T-1 Abraham1

M ahmudi2

Program Studi M atematika FM IPA Universitas Cenderawasih 2

Program Studi M atematika Fak. Sain dan Teknologi UIN Jakarta

Pemodelan M atematika untuk

M ensimulasikan Efek Populasi Karantina Terhadap Penyebaran Penyakit Hiv/ Aids di Papua

M T – 1

T - 2 Andini Putri Ariyani1 Kus Prihantoso Krisnawan2

Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Bifurkasi Pitchfork Superkritikal pada Sistem Flutter

M T – 7

T - 3 Bambang Sumarno HM

Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Penyesuaian Bagan Pada Flowchart Sebagai Upaya M enjaga Konsistensi Dan

Kejelasan Algoritma Pemrograman Komputer

M T – 13

T - 4 Beni Utomo1, Turahyo2,

Bagus Priyo Tomo3

STITEK Bontang Pembelajaran Anak Berkebutuhan Khusus Berdasarkan M odel Pengenalan Suara M enggunakan M atlab Dan

M ikrokontroler Atmega16

M T – 25

T - 5 Debby Agustine Jurusan M atematika, Universitas Negeri Jakarta, Indonesia

M odel M atematika Penyakit Diabetes dengan Pengaruh Transmisi Vertikal

M T – 33

T - 6 Devy Lestari1 Nur Hadi Waryanto2

Indikator User Satisfaction dalam Layanan E-learning

M T – 39

T - 7 Dr. Nanang, M . Pd. Program Studi Pendidikan M atematika STKIP Garut

Wolfram-Alpha pada Teori Bilangan M T – 51

T - 8 Dwi Lestari Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

M odel M atematika Terapi Gen Untuk Perawatan Penyakit Kanker

M T – 59

(21)

M atematika, Fakultas M atematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sebelas M aret Surakarta

Routing

T - 10 Endang Sri Kresnawati

Jurusan

M atematika FM IPA Universitas Sriwijaya

Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Berjangka dengan Faktor Penebusan

M T – 73

T - 11 Felin Yunita1, Purnami Widyaningsih2, Respatiwulan3

1,2,3 Jurusan M atematika Fakultas M atematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sebelas M aret Surakarta

M odel Stokastik Susceptible Infected Recovered (SIR)

M T – 79

T - 12 Fika Hanna M ayasari1, Kus Prihantoso K, M . Si.2

1,2

Universitas Negeri Yogyakarta

Penentuan Harga Opsi Tie Eropa M enggunakan Constant Elasticity of Variance (CEV)

M T – 87

T - 13 Hanna Arini Parhusip

Program Studi M atematika, FSM -UKSW

Algoritma Particle Swarm (APS) untuk Optimasi dengan Domain Fungsi Parametrik

untuk Beberapa Fungsi Tujuan

M T – 93

T - 14 Imam

Ekowicaksono, S.Si.1,

Dra. Farida Hanum, M .Si.2, Dr. Ir. Amril Aman, M .Sc.3

1,2,3

Departemen M atematika, Fakultas FM IPA Institut Pertanian Bogor, Indonesia

M asalah Penentuan Koridor Bus dalam M eminimumkan Biaya Operasional

M T – 101

T - 15 M aftuhah Qurrotul Aini

Jurusan M atematika Fakultas M atematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sebelas M aret Surakarta

M odel Epidemi Routing M T – 107

T - 16 M arsudi1, M arjono2 1,2Jurusan

M atematika FM IPA Universitas Brawijaya

Analisis Sensitivitas Dampak Skrining dan Terapi HIV pada Penyebaran HIV dalam Populasi

M T – 113

T - 17 M eidina Fitrianti1, Amril Aman2, Prapto Tri Supriyo3

Alumnus dari Program Studi Sarjana M atematika, Fakultas

(22)

M atematika dan IPA Institut Pertanian Bogor, 2,3

Dosen Program Studi Sarjana, Institut Pertanian Bogor,

T - 18 M uhamad Galang Isnawan, S.Pd.

M ahasiswa S-2 Pendidikan M atematika, Pascasarjana UNY

Bilangan Prima: Bukti Kesempurnaan Al-Qur’an

M T – 133

T - 19 M uhammad M anaqib1,

Eminugroho Ratna Sari2

M ahasiswa S2 M atematika UGM , 2

Program Studi M atematika UNY

Penyelesaian Vehicle Routing Problem

dengan Pendekatan Goal Programm ing

M T – 141

T - 20 Nur Hadi Waryanto Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Prosedur Forensik dalam Digital Forensics M T – 149

T - 21 Nurul Hidayat1, Ranida Pradita2

1,2

Jurusan M atematika, FM IPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Pengembangan Sistem Pendukung Keputusan Pemilihan Guru Berprestasi dengan M enggunakan Metode

Promethee

M T – 157

T - 22 Nurul Hidayat1, Ricky Kurniadi 2

1,2

Jurusan M atematika, FM IPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Aplikasi M etode Filter Bank Gabor pada Pengembangan Sistem Identifikasi Telapak Tangan

M T – 165

T - 23 Ratna Widayati 1, Eminugroho Ratna Sari 2

M ahasiswa Program Studi M atematika, FM IPA Universitas Negeri Yogyakarta 2

Jurusan Pendidikan M atematika, FM IPA Universitas Negeri Yogyakarta

Analisa Kestabilan M odel Seirs untuk Penyebaran Penyakit Flu Singapura

M T – 175

T - 24 Retno Budiarti1, I Gusti Putu Purnaba2

1,2

Departemen M atematika, Fakultas M atematika dan Imu Pengetahuan Alam,

Institut Pertanian Bogor

M anajemen Risiko dengan Menggunakan

Levy Copula

M T – 185

T - 25 Rizky Kartika Putri1, M . Iqbal2,

Hanim M aria Astuti3,

1,2,4 Jurusan M atematika, FM IPA, Institut Teknologi Sepuluh

Penerapan Algoritma Klasifikasi Berbasis

Association Rule pada Data Meteorologi

(23)

Imam Mukhlash4 Nopember (ITS) 3

Jurusan Sistem Informasi, FTIF, Institut Teknologi Sepuluh

Nopember (ITS) T - 26 Ruth Kristianingsih

, Hanna Arini Parhusip 2,

Tundjung M ahatma 3

M ahasiswa Program Studi M atematika FSM UKSW

2,3

Dosen Program Studi M atematika Fakultas Sains dan M atematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No. 52-60, Salatiga

Penggunaan Algoritma Genetik dalam M engoptimalkan Kandungan Karbohidrat dan Protein Pada M ocorin

M T – 207

T - 27 Sielvy Evtiana1, Agus M aman Abadi2

Program Studi M atematika Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA Universitas Negeri Yogyakarta 2

Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA Universitas Negeri Yogyakarta

Prediksi Harga Emas dengan M enggunakan

M odel Neuro-Fuzzy

M T – 215

T - 28 Silvia Kristanti1, Sri Kuntari2,

Respatiwulan3

1,2,3 Jurusan M atematika Fakultas M atematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sebelas M aret Surakarta

M odel Epidemi Stokastik Susceptible Infected Susceptible (SIS)

M T – 225

T - 29 Sri Ayu Subekti 1, Lilik Linawati 2, Adi Setiawan 3

M ahasiswa Program Studi M atematika FSM UKSW

2,3

Dosen Program Studi M atematika Fakultas Sains dan M atematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No. 52-60, Salatiga

Penggunaan Metode Fuzzy Mamdani

untuk M embuat Keputusan dalam Analisis Kredit

M T – 231

(24)

Agus M aman Abadi2

M atematika Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA Universitas Negeri Yogyakarta 2

Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA Universitas Negeri Yogyakarta

M emprediksi

Suhu Udara di Yogyakarta

T - 31 Veronica Suryaningsih1, Hanna Arini Parhusip2, Tundjung M ahatma3

M ahasiswa Program Studi M atematika FSM UKSW

2, 3

Dosen Program Studi M atematika FSM UKSW Fakultas Sains dan M atematika, Universitas Kristen Satya Wacana

Kurva Parametrik dan Transformasinya untuk Pembentukan M otif Dekoratif

M T – 249

T – 32 Nikenasih Binatari Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

Gelombang Yang Dibangkitkan Oleh Pergerakan Bawah Laut

(25)

PROSIDING

ISBN : 978 – 979 – 16353 – 9 – 4

M akalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional M atematika dan Pendidikan M atematika dengan tema ”Penguatan Peran M atematika dan Pendidikan M atematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan M atematika FM IPA UNY

A-5

SISTEM PERSAMAAN LINEAR MIN-PLUS DAN

PENERAPANNYA PADA MASALAH LINTASAN TERPENDEK

M. Andy Rudhito

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma

Kampus III USD Paingan Maguwoharjo Yogyakarta

e-mail: arudhito@yahoo.co.id

Abstrak

Artikel ini membahas tentang sistem persamaan linear min-plus dan

penerapannya pada masalah lintasan terpendek. Pembahasan merupakan hasil kajian

teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program

MATLAB. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa jaringan dengan bobot waktu

tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dapat dinyatakan

dengan matriks atas aljabar min-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dapat

dilakukan melaui operasi star pada matriks bobot jaringannya. Lintasan terpendek

dapat ditentukan dengan memodifikasi metode PERT-CPM pada analisis lintasan

kritis pada jaringan proyek. Dengan memodelkan waktu tempuh perjalanan pada

jaringan ke dalam suatu sistem persamaan (SPL) linear iteratif min-plus. Dari

penyelesaian SPL min-plus ini, dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu

paling akhir, untuk masing-masing titik. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat

dan waktu paling akhir yang sama akan membentuk lintasan terpendek pada jaringan.

Kata kunci: Aljabar Min-Plus, Sistem Persamaan Linear, Lintasan Terpendek.

A. PENDAHULUAN

Aljabar max-plus (himpunan

R



{



}, dengan

R

adalah himpunan semua bilangan real,

yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan) telah digunakan untuk memodelkan

dan menganalisis sistem produksi sederhana, dengan fokus analisa pada masalah input-output

sistem (Baccelli et.al, 2001 dan Rudhito, 2003). Pemodelan dan analisis sifat-sifat suatu jaringan

antrian juga telah dilakukan dengan pendekatan aljabar max-plus, seperti dalam Krivulin (2000)

dan Rudhito (2011). Penerapan aljabar max-plus pada masalah analisis lintasan kritis juga telah

dibahas dalam Rudhito (2010). Pemodelan dan analisa suatu jaringan dengan pendekatan aljabar

max-plus ini dapat memberikan hasil analitis dan lebih mudah pada komputasinya.

Selain aljabar max-plus, dalam Baccelli et.al. (2001), Gondran and Minoux (2008) dan John

and George (2010) telah disinggung beberapa varian aljabar yang serupa dengan aljabar

max-plus, seperti aljabar min-plus (dengan operasi minimum dan penjumlahan) dan aljabar

max-min (dengan operasi maximum dan minimum). Diberikan pula dalam referensi di atas,

beberapa gambaran singkat mengenai ilustrasi penerapannya yang terkait dengan

masalah-masalah dalam teori graf, seperti masalah lintasan terpendek dan masalah kapasitas

maksimum suatu lintasan dalam jaringan. Seperti halnya dalam aljabar max-plus, dengan

pendekatan aljabar yang serupa diharapkan masalah-masalah yang terkait dapat dimodelkan dan

perhitungan-perhitungan masalah-masalah yang terkait dapat dilakukan secara lebih analitis.

Makalah ini akan membahas tentang sistem persamaan linear iteratif min-plus dan

penerapannya pada masalah penentuan lintasan terpendek pada suatu jaringan graf berarah

berbobot. Pembahasan sistem persamaan linear iteratif min-plus akan dilakukan dengan

membandingkan hasil yang telah diperoleh pada eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem

persamaan linear max-plus (Baccelli et.al, 2001 dan Rudhito, 2011). Sedangkan pembahasan

pada masalah penentuan lintasan terpendek akan dilakukan dengan membandingkan hasil pada

(1)

A-5

SISTEM PERSAMAAN LINEAR MIN-PLUS DAN

PENERAPANNYA PADA MASALAH LINTASAN TERPENDEK

M. Andy Rudhito1

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma Kampus III USD Paingan Maguwoharjo Yogyakarta

e-mail: arudhito@yahoo.co.id

Abstrak

Artikel ini membahas tentang sistem persamaan linear min-plus dan penerapannya pada masalah lintasan terpendek. Pembahasan merupakan hasil kajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program MATLAB. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa jaringan dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dapat dinyatakan dengan matriks atas aljabar min-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dapat dilakukan melaui operasi star pada matriks bobot jaringannya. Lintasan terpendek dapat ditentukan dengan memodifikasi metode PERT-CPM pada analisis lintasan kritis pada jaringan proyek. Dengan memodelkan waktu tempuh perjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan (SPL) linear iteratif min-plus. Dari penyelesaian SPL min-plus ini, dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir, untuk masing-masing titik. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan membentuk lintasan terpendek pada jaringan.

Kata kunci: Aljabar Min-Plus, Sistem Persamaan Linear, Lintasan Terpendek. A. PENDAHULUAN

Aljabar max-plus (himpunan R {}, dengan R adalah himpunan semua bilangan real,

yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan) telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis sistem produksi sederhana, dengan fokus analisa pada masalah input-output sistem (Baccelli et.al, 2001 dan Rudhito, 2003). Pemodelan dan analisis sifat-sifat suatu jaringan antrian juga telah dilakukan dengan pendekatan aljabar max-plus, seperti dalam Krivulin (2000) dan Rudhito (2011). Penerapan aljabar max-plus pada masalah analisis lintasan kritis juga telah dibahas dalam Rudhito (2010). Pemodelan dan analisa suatu jaringan dengan pendekatan aljabar max-plus ini dapat memberikan hasil analitis dan lebih mudah pada komputasinya.

Selain aljabar max-plus, dalam Baccelli et.al. (2001), Gondran and Minoux (2008) dan John and George (2010) telah disinggung beberapa varian aljabar yang serupa dengan aljabar max-plus, seperti aljabar min-plus (dengan operasi minimum dan penjumlahan) dan aljabar max-min (dengan operasi maximum dan minimum). Diberikan pula dalam referensi di atas, beberapa gambaran singkat mengenai ilustrasi penerapannya yang terkait dengan masalah-masalah dalam teori graf, seperti masalah lintasan terpendek dan masalah kapasitas maksimum suatu lintasan dalam jaringan. Seperti halnya dalam aljabar max-plus, dengan pendekatan aljabar yang serupa diharapkan masalah-masalah yang terkait dapat dimodelkan dan perhitungan-perhitungan masalah-masalah yang terkait dapat dilakukan secara lebih analitis.

Makalah ini akan membahas tentang sistem persamaan linear iteratif min-plus dan penerapannya pada masalah penentuan lintasan terpendek pada suatu jaringan graf berarah berbobot. Pembahasan sistem persamaan linear iteratif min-plus akan dilakukan dengan membandingkan hasil yang telah diperoleh pada eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear max-plus (Baccelli et.al, 2001 dan Rudhito, 2011). Sedangkan pembahasan pada masalah penentuan lintasan terpendek akan dilakukan dengan membandingkan hasil pada

(2)

analisis lintasan kritis jaringan proyek dengan pendekatan aljabar max-plus (Rudhito, dkk. 2010) Untuk memudahkan dalam perhitungan numeriknya, akan disusun pula suatu program komputer

dengan menggunakan MATLAB. Dari hasil pembahasan makalah ini diharapkan sebagai langkah

awal untuk ke masalah berikutnya yang lebih kompleks, seperti menentukan aliran (flow) maksimum dalam suatu jaringan.

B. PEMBAHASAN

Pada bagian awal akan dibahas konsep-konsep dasar aljabar min-plus dan matriks atas aljabar min-plus, serta konsep dasar dalam teori graf yang terkait. Aljabar min-plus ini mempunyai struktur yang isomorfis dengan aljabar max-plus (Gondran and Minoux, 2008, Baccelli et.al, 2001).

Diberikan R := R฀{} dengan  : = +. Pada R฀didefinisikan operasi berikut: a,b 

R,

ab := min(a, b) dan ab : = ab.

Dapat ditunjukkan bahwa (R, , ) merupakan semiring komutatif idempoten dengan elemen

netral  = + dan elemen satuan e = 0. Lebih lanjut (R, , ) merupakan semifield, yaitu bahwa

(R, , ) merupakan semiring komutatif di mana untuk setiap a  R terdapat a sehingga berlaku a (a) = 0. Kemudian (R, , ) disebut dengan aljabar min-plus, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan Rmin. Relasi“m” yang didefinisikan pada Rminsebagai berikut x m y

jika xy = y,merupakan urutan parsial pada Rmin.Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total

pada Rmin. Pangkat k elemen x R dilambangkan dengan k

x didefinisikan dengan x0:= 0,

x := x  xk1. Didefinisikan pula0: = 0 , untuk k = 1, 2, ... εk: =  .

Operasi  dan  pada Rmin dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks dalam n m min

R , di

mana Rm_minn: = {A = (Aij)AijRmin, untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}. Untuk A, B n m max

R didefinisikan A  B, dengan (A  B)ij = Aij  Bij . Untuk matriks A 

p m min

R , B R_minpn

didefinisikan A  B, dengan (A  B)ij = ik kj

A 



_

. Didefinisikan pula matriks E Rn_minn,

dengan (E )ij :=











j

i

ε

j

i

jika

,

jika

,

0

dan matriks Rm_minn , ()ij :=  untuk setiap i dan j . Pangkat k

matriks A Rn_minn didefinisikan dengan A0 = En dan k

A = A Ak1 untuk k = 1, 2, ... . Suatu graf berarahG didefinisikan sebagai suatu pasangan G = (V, A) dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik dan A adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik di V. Anggota A disebut busur. Suatu lintasan dalam graf berarah G

adalah suatu barisan berhingga busur (i1, i2), (i2, i3), ... , (il1, il) dengan (ik, ik+1) A untuk suatu l

N , di mana N = himpunan semua bilangan asli, dan k = 1, 2, ... , l  1. Lintasan di atas dapat direpresentasikan dengan i1i2  ... il. Titik i1 disebut titik awal lintasan dan titik il disebut titik akhir lintasan. Panjang suatu lintasan didefinisikan sebagai banyak busur yang menyusun lintasan tersebut. Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Suatu graf berarah G = (V, A) dengan V = {1, 2,, ... , n} dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap i, j V, i  j , terdapat suatu lintasan dari i ke j. Suatu graf yang memuat sirkuit disebut graf siklik,

sedangkan suatu graf yang tidak memuat sirkuit disebut graf taksiklik.

Diberikan graf berarah G = (V, A) dengan V = {1, 2, ... , p}. Graf berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur ( j, i ) A dikawankan dengan suatu bilangan real Aij. Bilangan real A disebut bobot busur (j, i ), dilambangkan dengan w( j, i ). Bobot suatu lintasan

didefinisikan

(3)

didefinisikan sebagai lintasan dengan bobot minimum. Graf preseden dari matriks A  nmaxn  R adalah graf berarah berbobot G(A) = (V, A) denganV = {1, 2, ... , n}, A = {( j, i ) | w( i, j ) = Aij  ,  i, j }. Sebaliknya untuk setiap graf berarah berbobot G = (V, A) selalu dapat didefinisikan suatu matriks A Rn_minn dengan Aij =

  

 

. ) ( jika

) ( jika ) (

A , ,

i j

i j i

j w

 , yang disebut matriks bobot graf

G. Dalam kaitannya dengan teori graf, untuk ARn_minn dan k  N, unsur matriks

st k

A )

( 

merupakan bobot minimumsemua lintasan dalam G(A) dengan panjang k, dengan t sebagai titik

awal dan s sebagai titik akhirnya.

Suatu matriks A Rn_minn dikatakan semi-definit jika semua sirkuit dalamG(A) mempunyai

bobot takpositif dan dikatakan definit jika semua sirkuit dalamG(A) mempunyai bobot negatif.

Diberikan A Rn_minn. Dengan cara yang analog dengan kasus di aljabar max-plus (Baccelli et.al, 2001), dapat ditunjukkan bahwa jika A semi-definit, maka p n, Ap



m EA ... 

 n

A . Selanjutnya untuk matriks semi-definit A Rn_minn, dapat didefinisikan A* : = E A ...  n

A

  An1 ... . Didefinisikan Rn_min:= { x = [ x1, x2, ... , xn] T

| xi Rmin, i = 1, 2, ... , n}.

Untuk setiap x, y Rn_min dan  Rmin berturut-turut didefinisikan operasi penjumlahan dan

operasi perkalian skalar sebagai berikut : x y = [x1y1, x2 y2, ... , xnyn] T

dan x = 

x = [x1, x2, ... , xn ] T

. Perhatikan bahwa Rn_mindapat dipandang sebagaiR_minn1 . Dapat ditunjukkan bahwa Rn_max merupakan semimodul atas semified Rmin. Unsur-unsur dalam Rn_max

disebut vektor atas Rmin.

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear iterarif min-plus analog dengan hasil pada eksistensi dan ketunggalan sistem persamaan linear iteratif max-plus seperti yang dibahas dalam Baccelli et.al (2001). Diberikan A Rn_minn dan b Rn_min. Jika A semi-definit, maka vektor x*= A*bmerupakan suatu penyelesaian sistem x = A x b. Lebih lanjut jika A definit, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.

Selanjutnya dibahas masalah lintasan terpendek. Pembahasan diawali dengan meninjau beberapa pengertian dasar, dilanjutkan dengan memberikan pemodelan dan analisa dengan pendekatan aljabar min-plus dan memberikan contoh perhitungannya.

Definisi 1

Suatu jaringan lintasan searah S adalah suatu graf berarah berbobot terhubung kuat taksiklik S

= (V, A), dengan V = {1, 2,, ... , n} yang memenuhi: jika (i, j) A, maka i < j.

Dalam jaringan proyek ini, titik menyatakan persimpangan,busur menyatakan suatu jalan,

sedangkan bobot busur menyatakan waktu tempuh, sehingga bobot dalam jaringan selalu positip.

Selanjutnya dilakukan pemodelan dan analisis lintasan terpendek, yaitu lintasan dengan waktu

tempuh minimum. Pembahasan diawali dengan menentukan waktu awal paling cepat (earliest

start time) untuk setiap persimpangan titik i dapat dilalui. Pembahasan dilakukan dengan

mengadopsi dan memodifikasi teknik perhitungan maju (forward) seperti pada PERT-CPM,

dengan menggunakan pendekatan aljabar-min-plus.

Misalkan x_ie = menyatakan waktu awal paling cepat titik i dapat dilalui, Aij =

  

 



 . ) ( jika ), (

) ( jika , titik ke titik dari uh waktu temp

A A

j, i i j, i

j 

(4)

Dalam pembahasan ini diasumsikan bahwa perjalanan dalam jaringan dimulai pada titik 1 pada

saat waktu tempuh sama dengan nol, yaitu x₁e= 0, diasumsikan pula tidak ada waktu singgah di

persimpangan, sehingga dapat dituliskan

e x_i =

   

 

 

 ( ) ,jika 1. min

1 jika , 0

1 A x i

i e

j ij n j

Dengan menggunakan notasi aljabar min-plus persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

e x_i =

   

 





 

1 jika , ) (

1 jika , 0

. i x

i e j ij n j

(1)

Misalkan A adalah matriks yang bersesuaian dengan graf berarah berbobot jaringan tersebut,

xe= [x₁e,xe₂, ... , xen] T

dan be= [0, , ... , ]T, persamaan (1) dapat dituliskan ke dalam suatu sistem persamaan linear min-plus berikut

xe = A xebe (2)

Karena jaringan lintasan searah merupakan graf berarah taksiklik, maka tidak terdapat sirkuit, sehingga semua sirkuit dalam jaringan mempunyai bobot takpositif. Dengan demikian

xe = A*be (3)

merupakan penyelesaian sistem (2) di atas. Karena jumlah titik dalam jaringan proyek ini adalah

n, maka panjang lintasan terpanjangnya tidak akan melebihi n 1. Dengan demikian dalam hal ini

persamaan (3) dapat ditulis menjadi

xe = A*be = (E A ...  An1 ) be

yang merupakan vektor waktu paling awal setiap titik i dapat dilalui.

Perhatikan bahwa (A*)n1 merupakan bobot minimum lintasan dari titik awal hingga titik akhir

proyek, sehingga x_ne merupakan waktu tempuh minimal untuk melintasi jaringan.

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan dalam Teorema 1 berikut. Teorema 1

Diberikan suatu jaringan lintasan searah dengan n titik dan A adalah matriks bobot graf berarah

berbobot jaringan tersebut. Vektor waktu awal paling cepat titik i dilalui diberikan oleh

xe = (E A ...  An1 ) be

di mana be= [0, , ... , ]T. Lebih lanjut xen merupakan waktu tercepat untuk melintasi jaringan. Bukti: (lihat uraian di atas) . ■

Selanjutnya setelah diketahui waktu tercepat untuk melintasi jaringan (x_ne) akan ditentukan

lintasan mana yang dilalui. Pembahasan dilakukan dengan mengadopsi dan memodifikasi teknik

perhitungan mundur (backward) seperti pada PERT-CPM, dengan menggunakan pendekatan

aljabar-min-plus.

Misalkan x_il = waktu paling akhir perjalanan meninggalkan titik i,

Bij =

  

 



 . ) ( jika ), (

) ( jika , titik ke titik dari uh waktu temp

A A

j, i i j, j



Diasumsikan bahwa x_nl = xne, kemudian dapat dituliskan l

x_i =    

 



 

 ( ) ,jika 1. max

jika ,

1 B x i

n i x

l j ij n j

e n

(5)

 l x_i =

   

 

 



 ( ) ,jika 1. min

jika ,

1 B x i

n i x

l j ij n j

e n

(5)

Perhatikan bahwa matriks B = AT, dengan A adalah matriks bobot graf berarah berbobot jaringan

tersebut. Misalkan z = [z1, z2, ... , zn] T

= xl= [ l x1

 , l x2

 , ... , l

n x

 ]T dan bl= [, , ... , xe_n]T, persamaan (5) dapat dituliskan menjadi

z = ATz bl . (6) yang penyelesaiannya adalah

z = (AT)* bl.

Dengan demikian diperoleh vektor waktu paling akhir perjalanan adalah xl = z. Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan dalam Teorema 2 berikut.

Teorema 2

Diberikan suatu jaringan lintasan searah dengan n titik dan A adalah matriks bobot graf berarah

berbobot jaringan tersebut. Vektor waktu paling akhir perjalanan diberikan oleh

xl =  ( (AT)* bl) di manabl= [, , ... , x_ne]T.

Bukti: (lihat uraian di atas) . ■

Dari hasil pada Teorema 1 dan Teorema 2 di atas, dapat ditentukan lintasan terpendek pada jaringan lintasan searah. Mengingat waktu singgah pada persimpangan adalah nol, dan telah

diketahui bahwa xne merupakan waktu tercepat untuk melintasi jaringan, maka persimpangan

yang dilalui lintasan terpendek yang dicari adalah titik-titik i di mana xil = e i

x . Berikut diberikan

contoh suatu jaringan lintasan searah dan perhitungannya. Contoh 1

Perhatikan jaringan lintasan searah seperti yang diberikan pada Gambar 1 berikut :

Matriks bobot graf berarah berbobot pada jaringan proyek di atas adalah matriks A di bawah ini.

Dengan menggunakan program yang disusun dengan menggunakan MATLAB dengan input

matriks A berikut, diperoleh output program sebagai berikut.

4

5

3

6

7

1

7 2

6 5 7

2

(6)

A =                                                             6 5 7 7 3 0 2 3 2 3 2

, A*=

                      0 6 5 5 7 7 9 0 7 3 6 5 7 0 0 2 2 4 0 3 2 4 0 3 0 2 0                      

, xe =

                      9 7 4 4 3 2 0

dan xl =

                      9 3 4 4 2 2 0 .

Dari hasil di atas nampak bahwa waktu tempuh minimal untuk melintasi lintasan adalah 9 dan lintasan terpendek yang diperoleh adalah lintasan : (1, 2), (2, 4), (4, 5), (6, 7).

C. SIMPULAN

Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa jaringan lintasan searah dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dapat dinyatakan dengan matriks atas aljabar min-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dapat dilakukan melaui operasi star (*) pada matriks bobot jaringannya. Lintasan terpendek dapat ditentukan melalui penentuan waktu awal paling cepat untuk melewati titik dan waktu paling akhir meninggalkan titik, untuk masing-masing titik pada jaringan. Hal ini dapat dilakukan terlebih dahulu memodelkan waktu tempuh perjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan (SPL) linear iteratif min-plus. Selanjutnya menyelesaikan SPL min-plus dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir tersebut. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan membentuk lintasan terpendek pada jaringan.

Lebih lanjut dapat dilakukan penelitian mengenai kelebihan dan kelemahan metode di atas dibandingan dengan metode-metode lintasan terpendek yang telah ada, analisis algoritma dan pendekatan aljabar min-plus untuk masalah-masalah yang terkait dengan lintasan terpendek lebih lanjut.

D. DAFTAR PUSTAKA

Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. and Quadrat, J.P. 2001. Synchronization and Linearity. New

York: John Wiley & Sons.

John S. Baras and George Theodorakopoulos. 2010. Path Problems in Networks. Synthesis

Lectures on Communication Networks. Morgan & Claypool Publishers.

Gondran, M and Minoux, M. 2008. Graph, Dioids and Semirings. New York: Springer.

Krivulin, N.K., Algebraic Modelling and Performance Evaluation of Acyclic Fork-Join Queueing

Networks. Advances in Stochastic Simulation Methods, Statistics for Industry and Technology. Birkhauser, Boston, 63-81, 2000

Rudhito MA, 2003, Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant, Tesis: Program Pascasarjana

Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta

Rudhito MA, Wahyuni S, Suparwanto A, dan Susilo F. 2010. Analisis Lintasan Kritis Jaringan

Proyek dengan Pendekatan Aljabar Max-Plus. Jurnal Matematika Vol 12 No. 3. pp. 128-133

Rudhito, Andy. 2011. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah