Artikel Rukun Santoso dan Sudarno
p-ISSN 1979 – 3693
e-ISSN 2477 – 0647
MEDIA STATISTIKA 10(1) 2017: 47-63
http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika
Metode Nonlinear Least Square (NLS) untuk
Estimasi Parameter Model Wavelet Radial Basis
Neural Network (WRBNN)
Oleh: Rukun Santoso1 dan Sudarno2
1
Departemen Statistika FSM Undip, email: rukunsantoso@undip.ac.id
2
Departemen Statistika FSM Undip, email: dsghani@gmail.com
ABSTRAK
The use of wavelet radial basis model for forecasting nonlinear time series is
introduced in this paper. The model is generated by artificial n eural network
approximation under restriction that the activation function on the hidden layers is
radial basis. The current model is developed from the multiresolution autoregressives
(MAR) model, with addition of radial basis function in the hidden layer s. The power
of model is compared to the other nonlinear model existed before, such as MAR
model and generalized autoregressives conditional heteroscedastic (GARCH) model.
The simulation data which be generated from GARCH process is applied to support
the aim of research. The sufficiency of model is measured by sum squared of error
(SSE). The computation results show that the proposed model has a power as good
as GARCH model to carry on the heteroscedastic process.
Key words: wavelet, radial basis, heteroscedastic model, neural network model
1 Pendahuluan
Aktivitas ekonomi seperti pasar modal, pasar komoditas, dan kurs mata uang memiliki
ukuran kuantitas yang dapat dinyatakan sebagai suatu variabel random. Contoh dari
kuantitas-kuantitas dimaksud adalah keuntungan saham, index harga saham, jumlah produk
komoditas, jumlah permintaan komoditas, harga komoditas, nilai tukar antar mata uang, dan
lain-lain. Jika kuantitas tersebut diukur menurut periode waktu tertentu maka hasil
pengukurannya akan membentuk data runtun waktu. Metode analisis runtun waktu terus
berkembang sejak Box dan Jenkins[3] mengawali pembahasannya dalam Time Series Analysis:
F orecasting and Control (1976). Metode Box-Jenkins dapat bekerja dengan baik jika data
sampel diambil dari proses yang stasioner atau dapat dibawa ke bentuk stasioner [23]. Model yang
terbentuk termasuk dalam kelas model linier.
Pada perkembangannya ditemukan fakta bahwa data ekonomi pada umumnya memiliki
sifat nonlinear serta varian yang berubah dari waktu ke waktu (heteroskedastik). Dalam kondisi
ini metode Box-Jenkins mungkin memberikan jawaban yang kurang memuaskan. Beberapa
metode untuk mengatasi masalah nonlininearitas dalam data antara lain model TAR
(Thr eshold Autor egr essives ), model SETAR (self-exiciting TAR), model STAR (smoth
tr a nsition a outor egr essives ) dan lai-lain. Model TAR dan SETAR antara lain dibahas oleh
Tong (1990)[22] sedangkan model STAR diusulkan oleh Terasvirta (1994)[20]. Engel (1982)[6]
mengusulkan model runtun waktu yang dapat mengakomodasi masalah heteroskedastik dalam
data. Model tersebut diberi nama model ARCH (autoregressives conditional
heteroskedasticity). Generalisasi model ARCH di-usulkan oleh Bolerslev (1986) dan diberi
nama model GARCH (Generalized ARCH). Secara umum model ARCH dan GARCH memiliki
Media Statistika 10(1) 2017: 11-22
47
dua bagian model yaitu model mean dan model varian. Sebagai model parametrik, model
ARCH dan GARCH mengasumsikan bahwa sesatan model berdistribusi normal dengan varian
yang berubah bergantung waktu.
Alternatif lain dari model parametrik adalah model non-parametrik. Model-model nonparametrik yang terkini antara lain model jaringan syaraf tiruan [8], model wa velet [10],[17], model
fuzzy dan model gabungan (hibrid) seperti model wa velet -jaringan syaraf tiruan[16],[19], dan
model wavelet-fuzzy[14]. Metode non-parametrik tidak bergantung pada asumsi distribusi random
variabel tertentu tetapi bekerja berdasarkan data, sehingga analisisnya tidak terlalu rumit.
Kelemahan metode non-parametrik pada umumnya adalah melibatkan perhitungan numerik
yang banyak. Dengan pesatnya perkembangan teknologi komputer hal ini tidak menjadi kendala
yang berarti. Uji keberadaan sifat nonlinear dalam data merupakan bagian awal sebelum
membangun model nonlinear . Uji dimaksud antara lain dibahas oleh Brock, Dechert dan
Scheinkman (1987) yang dikenal dengan uji BDS. Teraesvirta, Lin dan Granger (1993)[21]
mengusulkan suatu uji nonlinearitas dengan pendekatan model jaringan syaraf tiruan. Metode
pendekatan JST juga diusulkan oleh Lee, White dan Granger (1993) [9] dengan nilai awal bobot
random.
Tulisan ini mengusulkan model baru yang diberi nama model Wa velet Radial Basis Neural
Network (WRBNN). Wa velet telah dikenal sebagai alat yang unggul untuk mengurangi gangguan
dalam data[11]. Radia l basis telah dikenal sebagai fungsi pembangkit pendekatan nonlinear yang
dapat mengakomodasi kondisi lokal[12][18]. Jaringan syaraf tiruan telah banyak digunakan untuk
melakukan klasifikasi dan mencari nilai pendekatan fungsi. Keunggulan metode ini adalah
kemampuannya untuk melakukan perbaikan model sehingga dapat dicapai keadaan optimal[8].
Model WRBNN sebagai interaksi wa velet, radial basis dan jaringan syaraf tiruan diharapkan
membentuk model hibrida yang lebih baik. Perangkat lunak komputer yang memadai juga
diperlukan dalam penelitian ini. Hal ini didasarkan atas kebutuhan perhitungan dan analisis data
yang khas, rumit dan banyak. Salah satu perangkat lunak yang memadai adalah paket program
R[15], dan didukung modul tambahan fGarch[24] dan wavelet s[1].
2 Model Runtun Waktu Nonlinear
Box dan Jenkins (1976) adalah pelopor yang memodelkan runtun waktu secara matematis,
dengan nama model Autoregressives Moving Average (ARMA)[3]. Metode Box-Jenkins dapat
bekerja dengan baik pada proses yang stasioner. Model yang terbentuk termasuk dalam
kelompok model linear. Tahapan kerja metode ini meliputi tahap persiapan data, pemilihan
model, pendugaan parameter, pemeriksaan model dan peramalan. Persiapan data termasuk
diferensi dan transformasi dilakukan agar stasioneritas proses terpenuhi. Model umum ARMA
dapat diliaht pada persamaan 1.
(1)
dengan
variabel acak normal dengan rata-rata
dan varian proses
konstan.
Fakta membuktikan bahwa ketergantungan runtun waktu terhadap informasi historis
tidak selalu bersifat linear. Hal ini menjadikan ketertarikan peneliti untuk mengkaji model
runtun waktu nonlinear . Salah satu bentuk hubungan nonlinear yang banyak dikaji adalah adanya
sifat heteroskedastik, yaitu varian proses yang berubah bergantung waktu. Model heteroskedastik
yang pertama diperkenalkan oleh Engle[6] yang diberi nama model ARCH (Autoregressives
Conditional Heteroscedasticity ). Ide dasarnya adalah mengasumsikan bahwa suku sesatan dari
persamaan (1) berpola nonlinear terhadap sesatan yang lampau, seperti dimodelkan pada
persamaan (2).
48
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(2)
dengan vt variabel acak N(0,1) dan
dapat dinyatakan seperti pada persamaan (3).
(3)
[2]
Bollerslev (1986) mengembangkan model ARCH pada persamaan (3) menjadi model
GARCH (Generalized ARCH) seperti pada persamaan (4).
(4)
Keberadaan sifat heteroskedastik dalam data dapat diketahui dengan uji Multiplikator
Lagrange (LM test) yang antara lain dikemukakan oleh Lee[9] sebagai pengembangan dari metode
Breusch dan Pagan. Model nonlinear dapat pula berupa ketergantungan nonlinear terhadap
informasi pengamatan terdahulu, yang secara umum dapat dituliskan dalam persamaan (5).
(5)
dengan Φ fungsi nonlinear seperti fungsi logistik, fungsi eksponensial, fungsi polinomial,dan
fungsi radial basis . Pembahasan khusus dalam hal Φ merupakan fungsi ra dia l basis dapat
ditemukan pada Orr[12] dan Haykin [8].
3 Model Runtun Waktu Berbasis Wa velet
Wavelet atau juga disebut wavelet ibu adalah fungsi gelombang kecil yang dapat
membangun basis orthonormal pada ruang L2 (R)[5]. Setiap jenis wa velet ibu memiliki pasangan
wavelet ayah atau juga disebut fungsi skala yang khas. Biasanya wa velet disimbolkan dengan
sedangkan fungsi skala disimbolkan dengan . Untuk membangun basis pada L 2(R) wavelet
membentuk keluarga wavelet berupa bentuk dilatasi dan translasi seperti yang tertulis pada
persamaan (6)
(6)
Ide pembentukan basis wavelet untuk ruang L2(R) terilhami oleh pembentukan basis
untuk ruang
menggunakan fungsi sines dan kosines[11]. Dalam hal ini setiap
fungsi dalam
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari fungsi sines dan
kosines. Bentuk ini dikenal sebagai deret Fourier. Seperti halnya fungsi sines dan cosines,
wavelet memiliki sifat-sifat yang mendukung sebagai pembangkit basis seperti tertulis
pada persamaan (7).
(7)
Wavelet dan fungsi skala bersama-sama dapat membangun ruang multiresolusi, sehingga setiap
fungsi f ∈ L2 (R) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari wa velet dan fungsi skala seperti
disajikan pada persamaan (8).
49
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(8)
Ruang multiresolusi yang memuat persamaan (8) pada tingkat dapat dituliskan dengan
persamaan (9).
(9)
dengan ⊕ menyatakan operasi jumlahan ortogonal dua ruang vektor. Koefisien-koefisien pada
persamaan (8) dapat dihitung menggunakan persamaan (10).
(10)
3.1 Transformasi Wa velet Diskrit
Transformasi wavelet akan menghasilkan bagian Smooth (S) dan Detil (D). Bagian S
menggambarkan pola utama dari data sedangkan bagian D menggambarkan pola fluktuasinya. Dari
suatu wa velet terdapat sebanyak berhingga genap nilai-nilai dengan sifat istimewa. Himpunan
nilai-nilai dimaksud disebut filter wa velet, yang biasa dituliskan seperti pada persamaan (11)
dengan sifat seperti dituliskan pada persamaan (12)[13].
(11)
yang memenuhi sifat-sifat berikut
(12)
Sebagai pasangan dari filter wavelet terdapat filter skala yang dituliskan sebagai
Antara h dan g terdapat hubungan seperti dituliskan pada persamaan (13).
(13)
Filter yang diulas pada paragraf sebelumnya adalah filter pada tingkat pertama, selanjutnya
. Sebelum membangun filter pada tingkatan yang lebih tinggi terlebih
dinotasikan dengan
dulu dibentuk up-sampled dari filter tingkat sebelumnya yaitu dengan cara menyisipkan 0 di
antara nilai filter yang tidak sama dengan 0. Jadi up-sampled dari (11) adalah seperti tercantum
pada persamaan (14)
(14)
Filter pada tingkat ke-2 dibentuk dengan rumus pada persamaan (15).
(15)
dengan ∗ menyatakan operasi konvolusi. Secara umum filter wavelet dan filter skala pada tingkat
dibentuk dengan rumus pada persamaan (16).
50
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(16)
Filter wavelet dan filter skala secara bersama-sama dapat membangun matriks transformasi
wavelet diskrit. Hal ini berakibat setiap realisasi diskrit dari fungsi dalam
dengan jeda
waktu yang sama dapat didekomposisi (dipecah) ke dalam bagian halus (S) dan bagian-bagian
detil (D). Proses untuk memperoleh S dan D disebut transformasi wavelet diskrit (Discrete Wa velet
Transform = DWT). Misalkan
suatu runtun waktu dengan
dan
untuk
. Transformasi wavelet diskrit pada tingkat
dapat dituliskan seperti pada
suatu
persamaan (17).
(17)
adalah matriks transformasi tingkat ke- berukuran N × N dan D adalah hasil dekomposisi
yang disebut juga sebagai matriks koefisien dengan ukuran N × 1.
Baris pertama samapai dengan baris ke- dari matriks
langkah dari
adalah bentuk periodisai dua
seperti tersaji dalam matriks pada persamaan (18)
(18)
Baris ke-
sampai baris ke-
pada matriks
merupakan bentuk periodisasi dua langkah dari
seperti tertera dalam matriks pada persamaan (19).
(19)
Matriks transformasi
dibangun dengan cara mendekomposisikan (memecah) matriks menjadi
dan
yang masing-masing merupakan bentuk periodisasi 4 langkah dari filter wavelet
matriks
dan filter skala tingkat 2. Proses dapat dilanjutkan sampai dengan tingkat ke- , untuk
.
Dalam hal ini
dan
masing-masing merupakan bentuk periodisasi
langkah dari filter
wa velet dan filter skala tingkat . Lebih lanjut persamaan (17) dapat dituliskan kembali seperti
pada persamaan (20).
(20)
3.2 Transformasi Wavelet Diskrit Tak Menurun
Transformasi wavelet tak menurun ( Undecima ted Wavelet Tr a nsfor m =UDWT)
dipandang memiliki keunggulan dibandingkan dengan DWT untuk analisis data runtun
dan
waktu [6],[13]. Keunggulan tersebut antara lain, ukuran sampel tidak harus berbentuk
banyaknya koefisien wavelet yang didapat pada setiap tingkat dekomposisi adalah tetap yaitu
sama banyak dengan ukuran sampelnya. Diberikan notasi untuk filter wavelet dan filter skala untuk
51
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
UDWT berturut-turut adalah
hubungan sebagai berikut,
dan
. Antara filter DWT dan filter UDWT terdapat
dan
Rumusan UDWT dapat ditulis seperti pada persamaan (21)
(21)
Pada transformasi tingkat
baris pertama dari
matriks
dengan
pada tingkat
diperoleh
sub matriks
dan
berukuran
. Selanjutnya dinotasikan
, N baris berikutnya dengan
, proses dilanjutkan sehingga
, dan N baris terakhir dinotasikan dengan
. Untuk setiap indeks ,
masing-masing merupakan bentuk periodisasi satu langkah filter wavelet
dan filter skala tingkat . Sebagai contoh sub matriks
dapat disajikan dengan persamaan (22)
(22)
sebagai bentuk periodisasi satu langkah dari filter
Dengan cara yang sepadan akan diperoleh
akan terpecah menjadi
dan
yang masingskala. Pada UDWT tingkat 2, sub matriks
masing merupakan bentuk periodisasi satu langkah filter wa velet dan filter skala tingkat 2. Lebih
lanjut cara yang sepadan dengan persamaan (20) untuk menuliskan proses UDWT adalah seperti
tertulis pada persamaan (23).
3.3 Model Peramalan Runtun Waktu dengan UDWT
Pada umumnya peramalan merupakan tujuan utama dari proses pemodelan. Banyak cara
dapat digunakan untuk melakukan peramalan, mulai dari model sederhana ( na ive model) hingga
model yang rumit. Tulisan ini terinspirasi penggunaan hasil transformasi wavelet diskrit untuk
peramalan runtun waktu yang dibahas oleh Murtagh (2004) [10]. Pembahasan yang lain juga
dapat ditemukan dalam Renaud et.al. (2003)[16], dan Ciancio (2007)[4]. Murtagh mengasumsikan
peramalan satu langkah ke depan bergantung kepada hasil UDWT data sebelumnya. Model yang
dihasilkan lazim disebut sebagai model wavelet. Model yang ditawarkan dapat dinyatakan
dengan persamaan (24)
(24)
Tingkat dekomposisi tertinggi dinyatakan dengan . Banyaknya koefisien yang dipilih pada
tingkat
dinyatakan dengan
. Sebagai contoh jika diambil
dan
untuk
maka persamaan (24) dinyatakan sebagai persamaan (25)
52
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(25)
Penduga parameter dari persamaan (25) dapat dihitung dengan metode kuadrat terkecil, dan
jika distribusi diketahui maka dapat dihitung dengan metode likelihood maksimum.
4 Model Wa velet Radial Basis Neural Network
Fungsi radial basis telah digunakan sebagai pengolah pada lapisan tersembunyi dari
jaringan syaraf tiruan. Hal ini antara lain telah dibahas oleh Haykin[8], Samarasinghe[8] dan Orr[12].
Input yang berjarak dekat dengan pusat radial basis akan menghasilkan nilai fungsi yang besar.
Sebaliknya input yang jauh dengan pusat radia l basis akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil.
Hal ini menjadikan fungsi radial basis sebagai pemilah input ke dalam kelompok-kelompok yang
lebih homogen. Jika X adalah variabel yang akan diproses dengan fungsi radial basis , maka
biasanya dinyatakan dalam bentuk baku relatif terhadap parameter lokasi dan parameter
skala seperti pada persamaan (26)
(26)
Beberapa fungsi radial basis dapat dilihat pada persamaan (27), (28), dan (29)
Fungsi Gaussian :
(27)
Fungsi Multiquadric
(28)
Fungsi Multiquadric invers
(29)
Penggunaan fungsi radial basis pada jaringan syaraf tiruan (neural network) sebagai
model nonlinear antara lain dibahas oleh Haykin[8] dan Orr[12]. Hal ini memberikan pemikiran
untuk mengembangkan model pada persamaan (24) menjadi model wa velet radial basis neural
network (WRBNN). Ide dasarnya adalah menggunakan hasil UDWT sebagai variabel input
serta penggunaan fungsi nonlinea r dalam hal ini r a dia l ba sis sebagai fungsi aktivasi pada
lapis tersembunyi. Hal ini untuk mengantisipasi kemungkinan adanya sifat nonlinear pada hasil
transformasi wavelet. Model yang dihasilkan dapat digunakan untuk menyelidiki adanya sifat
nonlinear sekaligus dapat digunakan untuk peramalan.
Tanpa mengurangi keumuman, akan dibangun model WRBNN dengan input koefisien
hasil transformasi wavelet tak menurun pada tingkat
dan
untuk semua level
(lihat persamaan (25)). Tahap-tahap pembentukan model WRBNN dapat dijelaskan seperti tertera
di bawah ini.
ke dalam cluster dengan pusat
,
dan deviasi
1. Mengelompokan
standar
53
. Metode k-means dapat digunakan untuk kepentingan tersebut.
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
2. Melakukan transformasi UDWT terhadap
(diambil tingkat transformasi )
3. Membentuk matrix input dari hasil transformasi yang terpilih seperti pada bagian 3.3.
Elemen baris ke- dari untuk
dapat dituliskan sebagai
4. Merancang model linear
, dengan parameter
5. Merancang model pada hidden unit
, dengan
,
6. Merancang model penduga pada lapis output
dengan
Bentuk rancang bangun model WRBNN dapat ditunjukan dengan Gambar 1. Secara matematis
model populasinya dapat dituliskan selaras dengan hasil langkah ke-6 yaitu
(30)
Gambar 1: Rancang Bangun dari Model WRBNN
Untuk menyederhanakan pembahasan tanpa mengurangi keumuman masalah, akan
ditinjau untuk
dengan fungsi radial basis gaussian sehingga model penaksir yang sesuai
dengan persamaan (30) dengan penyesuaian indeks dapat dituliskan dengan persamaan (31).
(31)
Parameter-parameter model diduga sedemikian hingga meminimumkan fungsi objektif pada
persamaan (32) berikut ini,
(32)
dengan
dianggap sebagai fungsi nonlinear dari
dengan
adalah vektor koefisien pada model penduga.
Agar metode kuadrat terkecil dapat digunakan maka fungsi nonlinear
pada
persamaan (32) diekspansikan ke dalam deret Taylor. Metode ini disebut sebagai metode kuadrat
terkecil nonlinear atau Nonlinear Least Square (NLS). Persamaan (33), (34) dan (35) masingmasing merupakan hasil ekspansi Taylor dari
dan
di sekitar titik awal
yang
dipotong pada suku derajat satu. Pemotongan dilakukan dengan asumsi suku-suku derajat
tinggi pada ekspansi Taylor cukup kecil sehingga dapat diabaikan.
54
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(33)
(34)
(35)
Penjumlahan dari persamaan (33), (34) dan (35) merupakan ekspansi Taylor
di sekitar .
Karena model yang terbentuk linear dalam maka penaksir yang meminimumkan persamaan
(32) dapat dicari dengan metode LSE. Selanjutnya dilakukan perbaikan terhadap setiap
menggunakan persamaan (36)
(36)
5. Hasil Simulasi dan Pembahasan
Data runtun waktu nonlinear diperlukan untuk memberikan gambaran penggunaan metode
WRBNN. Hampir setiap paket library dalam perangkat lunak R menyediakan pilihan contoh data
yang mungkin cocok untuk mengembangkan suatu metode. Biasanya kumpulan data tersebut
telah terseleksi untuk penelitian terkait sifat-sifat tertentu. Cara lain memperoleh data dengan
sifat tertentu adalah melalui pembangkitan data dengan simulsi komputer. Cara simulasi dipilih
dalam pembehasan penerapan metode WRBNN karena lebih menjamin tersedianya sifat nonlinear
dalam data. Pada Bagian 2 telah dibahas bahwa runtun waktu heteroskedastik merupakan salah satu
perwujudan dari sifat nonlinear . Secara simulatif data dimaksud dapat dibangkitkan dengan
library fGarch. Data hasil pembangkitan dari model ARMA-GARCH akan digunakan untuk
membangun model WRBNN. Penentuan model simulatif seperti pada persamaan (37) tidak
memeiliki tujuan lain kecuali menyediakan data runtun waktu heteroskedastik.
Tabel 1: Estimasi Parameter Model ARMA+GARCH
Parameter Estimasi Nilai t
Prob.
55
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
µ
1
α0
α1
1
1 2952.948
0.4951 2229.454
0
2.040
0.1267
3.441
0.7859 11.704
0
0
0.041395
0.000579
0
(37)
dengan
Table 2: Estimasi Parameter Model Wa velet
Variabel Koefisien Nilai t Prob.
0.07472
6.195
0
d1,t
6.569
0
0.08022
d3,t
7.342
0
0.08201
d5,t
0.09631
4.201
0
d7,t
12.025
0
0.06513
c9,t
c10,t−16
0.06513
3.330 0.000925
Table 3: Estimasi Parameter Model WRBNN
Variabel Koefisien Nilai t Prob.
0.502293
6.635
0
d1,t
6.225
0
0.500346
d3,t
0.596003
7.305
0
d5,t
0.317993
3.151 0.00171
d7,t
0.839897
12.345
0
c9,t
c10,t−16
2.494 0.01291
0.167675
Φ1
-0.016140 -2.725
0.00662
Enam ratus titik sampel telah diambil dan hasilnya disajikan pada Lampiran 1.
Input model WRBNN adalah hasil UDWT dari data hasil simulasi. Proses UDWT dapat
dilakukan menggunakan libr a r y wavelet s dalam perangkat lunak R[1]. Hasil estimasi parameter
model ARMA dan GARCH pada persamaan (37) dapat disajikan dalam Tabel 1. Hasil estimasi
parameter model yang tercantum pada Tabel 1 nampak telah mendekati parameter model pada
persamaan (37). Hasil estimasi parameter model wa velet dengan data simulasi untuk persamaan
(37) disajikan dalamTabel 2 yang memuat 6 penduga parameter model wa velet yang signifikan
dari 10 parameter seperti yang tercntum dalam persamaan (25). Hasil estimasi parameter model
WRBNN dengan pencocokan pada data simulasi persamaan (37) disajikan dalam Tabel 3 yang
memperlihatkan bahwa 6 variabel terpilih pada model wavelet masih dapat dipertahankan
sebagai bagian linear dari model WRBNN, meskipun ada penurunan signifikansi pada
dan
. Model yang terbentuk hanya memuat satu fungsi radia l basis sebagai bagian nonlinear
dari model WRBNN. Kode listing program R untuk mendapatkan nilai penduga koefisien model
WRBNN tersaji pada Lampiran 2. Hasil perhitungan jumlah sesatan kuadarat (SSE) dari model
GARCH, Wavelet dan WRBNN serta hasil uji normalitas Kolmogorov-Smirnov disajikan pada
Tabel 4.
56
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
Model
GARCH
Wavelet
WRBNN
Table 4: SSE dan Uji Normalitas K-S
SSE
N
σ2
0.006808593 600
0.000011364
0.006785685 583 0.00001165925
0.006704714 583 0.00001152013
Prob K-S
0.6099
0.4264
0.4567
6 Kesimpulan
Hasil estimasi parameter model GARCH, Wavelet dan WRBNN menunjukkan bahwa ketiganya
memberikan hasil jumlah sesatan kuadrat yang tidak jauh berbeda untuk kasus data
heteroskedastik. Percobaan dengan model yang berbeda-beda mungkin perlu dilakukan untuk
mendapatkan perbandingan yang lebih luas, serta perlu ada kajian lebih jauh menggunakan data
hasil pengamatan nyata. Disamping itu, sebagai tindak lanjut penyelidikan simulatif perlu
dikembangkan penyelidikan aspek teoritik menyangkut sifat matematis dari model Wa velet dan
WRBNN. Aspek teoritik tersebut menyangkut sifat-sifat baik dari penduga parameter yang
terkait dengan model tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Aldrich E 2009 A package of Functions for Computing Wavelet Filters, Wavelet Transforms
and Multiresolution Analyses http://www.ealdrich.com/wa velets/.
[2] Bollerslev T 1986 generalized autoregressive conditional heteroskedasticity J. Of
Econometrics 31 307-27
[3] Box G E P and Jenkins G M 1976 Time Series Analysis: Forecasting and Control (San
Francisco: Holden-Day)
[4] Ciancio A 2007 analysis of time series with wa velet s Int. J. of Wavelets, Multiresolution and
Information Processing 5(2) 241-56
[5] Daubhechies I 1992 Ten Lecture on Wavelets (Philadelphia: SIAM )
[6] Engel R F 1982 autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of
united kingdom inflation, J. Econometrica 50 987-1008
[7] Fugal D L 2009 Conceptual Wavelets in Digital and Signal Processing (Space and Signals
Technologies LLC)
[8] Haykin S 1999 Neural Networks: A Comprehensive Foundation Prentice Hall
[9] Lee, T. H., White, H. dan Granger, J. W. J., 1993. Testing for neglected nonlinearity in time
series models: a comparison of neural network methods and alternative tests. J. of
Econometrics, 56:269–290
[10] Murtagh F, Starck J L and Renaud O 2004 on neuro wavelet modeling Decision Support
System 37 475-90
[11] Ogden, R. T., 1997. Essential wa velet s for statistical applications and data analysis.
Birkhauser, Berlin
[12] Orr, M. J. L., 1996. Introduction to Radial Basis Function Networks. Centre for Cognitive
Science, University of Edinburgh
[13] Percival D B and Walden A T 2000 Wavelet methods for time series analysis (Cambridge: CU
Press )
57
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
[14] Popoola, A. O., 2007. Fuzzy-wa velet method for time series analysis. PhD thesis, Surey
University Disertasi submitted for the degree of doctor of philosophy in Surey University.
[15] R core team., 2016. R: A Language and environment for statistical computing. R Foundation
for Statistical Computing, Vienna, Austria URL: http://www.R- project.org/.
[16] Renaud, O., Starck, J. L., dan Murtagh, F., 2003. Prediction based on a multiscale
decomposition. Int. J. of Wavelets Multiresolution and Information Processing, 1 (2):217–
232
[17] Rukun S, Subanar, Rosadi D, and Suhartono 2011 heteroscedastic time series model by
wavelet transform Proc. of ”The 6th SEAMS-UGM Conference β011”
[18] Samarasinghe S 2006 Neural Network for Applied Science and Engineering (New York:
Auerbach Pub)
[19] Starck J L, Jalal F and Murtagh F 2007 the undicimated wavelet decomposition and its
reconstruction, IEEE on Image Processing 16(2) 297-309
[20] Terasvirta. T., 1996. Power properties of linearity tests for time series, Studies in Nonlinear
Dynamics and Econometrics, 1(1), April 1996
[21] Terasvirta, T., Lin, C. F., dan Granger, C. W. J., 1993. Power of the neural network linearity
test. J. of Time Series Analysis, 14(2):209–220
[22] Tong, H., 1990. Nonlinear Time Series: A Dynamic System Approach. Clarendon Press,
Oxford
[23] Wei William W S 1994 Time Series Analysis: Univariate and Multivariate methods (Canada:
Addison-Wesley)
[24] Wuertz, D. dan Chalabi, Y. 2016 fGarch: Rmetrics Autoregressive Conditional
Heteroskedastic Modelling. R package version 3010.82.1. https://CRAN.Rproject.org/package=fGarch
Lampiran 1
Data Hasil Simulasi
SET DATA
2.003979 2.009791 2.003151 2.006777
1.99751 2.001901 2.003169 1.997668
1.997654 1.998076 2.000357 2.001371
2.002571 2.004215 2.003481 1.999877
2.001703 1.994054 1.990701 1.988522
1.990777 1.992157 1.996347 1.997101
1.998845 1.998855 1.994443 1.998365
2.004624 2.00216 2.001331 2.002566
2.011151 2.013801 2.005247 2.000059
2.000253 2.002933 2.003962 2.00382
2.001338 2.001408 2.000064 1.99677
1.999575 2.00109 1.998542 1.998569
58
2.000278 2.001569
2.001348 1.999821
1.994325 1.99572
1.997553 1.993204
1.995735 1.992752
2.002339 2.000787
2.001895 1.996921
2.004484 2.001101
2.007414 2.000729
2.003723 2.003733
2.00208 1.998999
2.002621 2.004598
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
2.00567 1.997313 1.997494 1.997514
2.003314 2.009795 2.009821 2.007068
2.003146 2.000441 2.002528 2.004314
2.000898 2.003282 2.003188 2.001033
1.998233 1.994196 1.995168 1.995377
1.999412 1.996833 1.999067 2.001789
1.999412 2.000651 2.001979 2.002823
1.996404 1.995316 1.995634 1.995704
1.999649 1.999134 2.002501 2.001442
2.000334 1.996349 1.996949 1.998015
1.996572 2.001929 2.005908 1.999871
1.997057 2.000606 2.004876 2.001986
2.001171 1.995446 1.998991 2.006435
1.988811 1.988509 1.990507 1.999175
2.004599 2.011095 1.998725 2.009788
2.002739 1.998617 2.000001 2.005619
1.99675 1.994934 2.003434 2.005161
1.992812 2.000359 2.002286 2.008452
2.003274 2.003634 2.006132 2.002031
2.002073 1.992945 1.995452 1.999296
2.006565 2.005011 2.005861 2.001891
2.00445 2.000418 2.003668 2.003212
2.001091 2.000331 2.002249 2.00213
1.99827 1.999924 1.996176 1.999274
2.002186 2.000026 2.002937 2.001519
1.993912 1.996818 2.001392 1.999025
1.99637 2.001074 2.001804 2.00382
2.001738 2.004475 2.003603 2.003204
1.998314 2
1.99934 1.999395
2.002967 2.00483 1.999557 1.998567
1.994763 1.992201 1.999429 1.995648
1.997336 1.999563 1.999878 1.996633
1.999421 1.996854 2.002401 2.003366
1.998853 1.995356 1.999147 1.996145
2.004309 2.00814 2.013944 2.011031
2.004295 1.992028 1.996127 2.001164
1.994977 1.9982 2.002721 2.004043
1.996701 2.002743 1.996961 1.997822
2.004894 2.009614 1.999679 2.004011
1.998335 1.99697 1.995972 1.997314
2.002306 1.998799 1.999204 1.999003
2.001211 2.004824 1.99619 1.999824
2.000144 1.999607 2.001008 1.999751
2.005272 2.00369 2.004662 2.003992
2.00128 1.998011 1.9915 2.003845
1.998764 1.992698 2.004105 2.000278
2.000752 2.000009 2.004733 2.002313
1.996233 2.001025 1.999401 1.997556
2.001882 2.001966 2.00094 2.001842
59
2.009385 2.006515
2.005677 2.003296
2.002874 2.002457
1.996621 1.998072
1.998892 2.001334
1.996841 1.998452
2.000785 2.00026
2.003376 2.004232
2.000206 1.997335
1.998297 1.9961
1.996594 2.001016
2.00129 2.001855
2.0066 1.988187
1.991719 2.006724
2.010096 1.993624
2.001921 2.003303
1.999819 1.988216
2.007356 1.999568
2.003404 2.001473
1.996229 2.00271
1.998675 2.002389
2.002962 2.003585
1.999976 1.999213
1.996772 2.002542
2.00212 1.996622
2.00191 1.998497
2.002298 2.002546
1.998765 1.998811
2.002955 2.004624
1.998918 1.997215
1.995155 2.001205
2.002837 2.001915
1.999896 1.998186
2.000264 1.998412
2.009775 2.00401
1.997902 2.001423
2.005261 2.004244
2.000604 2.00676
1.999253 2.006063
1.997492 1.999266
1.995428 1.99751
2.003127 2.002031
1.99708 2.001507
2.000586 1.998483
1.997482 1.988174
2.00389 2.000407
2.003365 2.002463
2.001306 2.002735
2.000554 2.006327
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
2.002486 1.998231 1.997357 2.000018
2.003502 1.997254 1.999694 1.997818
1.996082 1.993262 1.995322 1.993596
1.995617 2.000082 1.998289 2.003718
1.999571 1.995304 1.995783 1.997194
1.999001 1.998847 1.995748 1.994376
2.003651 1.99592 1.99892 1.997478
1.998335 2.005113 2.009299 2.003156
1.996415 2.000197 1.998028 1.992684
1.992993 1.992783 1.999572 1.99911
2.004795 2.001304 2.005245 1.997389
1.997159 1.995299 1.994949 1.998201
1.997494 2.005813 2.005874 2.000943
2.000998 2.003277 1.997716 1.99954
1.996768 1.994228 1.997085 1.999531
2.004045 1.999661 2.001404 1.999214
1.994897 1.997243 1.996666 1.995359
2.001807 1.998456 2.001437 1.99871
2.002598 2.000018 1.998805 2.001239
1.998854 1.996944 1.998646 1.998419
1.997974 1.997271 1.996942 1.995924
2.00115 2.005637 2.004327 1.998696
1.999595 1.995742 1.997123 2.001463
1.999259 2.002475 2.000363 2.003137
1.998649 1.997741 2.00139 1.998881
2.002824 2.000678 1.999597 1.998908
1.998916 1.996481 1.99472 1.995691
1.997796 1.996575 1.99657 1.99891
2.003081 2.003655 2.00334 2.000122
2.001617 2.00052 2.001355 2.00153
2.000236 1.995965 1.996601 1.99876
1.996449 1.997091 1.994698 2.000712
2.001574 1.994913 1.998242 1.999145
1.999145 2.005361 2.003133 1.997775
2.000158 1.996217 1.99724 1.998973
1.996246 1.998994 2.001572 2.00099
1.998324 1.9972 1.999912 1.99866
2.003607 1.999308 1.998588 1.995671
1.99629 1.999209 2.004266 2.003069
2.003465 2.00363
2.00219 1.999303
1.994022 1.997127
2.002577 2.0034
2.000211 2.004591
1.99402 2.00125
1.996381 2.000244
1.998741 1.997239
1.993013 1.990767
1.999201 2.000278
1.99585 1.998841
1.996571 1.99557
2.000823 1.999291
1.998806 1.99883
2.005856 2.004908
1.997999 1.994118
1.996342 1.999396
1.996634 1.999105
2.000017 2.000686
2.001055 1.99757
2.000142 1.996205
1.999576 2.002132
2.000717 2.001202
2.001255 1.996251
1.998132 2.000577
2.002387 2.000421
2.001394 1.994178
2.000892 2.004338
2.001039 2.000449
2.001243 2.003737
2.003424 1.995293
2.006154 2.006613
1.994911 1.997912
2.000651 1.998391
1.997496 1.98977
2.000346 1.999432
1.99751 1.999516
2.000616 1.996972
2.00558 2.000851
LAMPIRAN 2
Listing Program Model WRBNN
#############################
## BEBERAPA KODE LISTING R ##
#############################
rbf.prg=function x,w=’haar’,j=4
{ n=length(x)
60
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
minx=min(x)
maxx=max(x)
x.modwt=modwt(x,w,j)
d1=x.modwt@W$W1
d2=x.modwt@W$W2
d3=x.modwt@W$W3
d4=x.modwt@W$W4
v4=x.modwt@V$V4
m=NULL
for (i in 1:(n-17))
{
m=c(m,d1[i+16],d1[i+14],d2[i+16],d2[i+12],d3[i+16],
d3[i+8],d4[i+16],d4[i],v4[i+16],v4[i])
}
y=x[18:n]
M=matrix(m,nrow=10)
nkol=ncol(M)
Mdist=matdist(M)
ijdist=rep(0,nkol)
tau=2*max(Mdist)
Mz=(Mdist+t(Mdist))/tau
rbf.d=exp(-0.5*Mz^2)
lm.y=lm(y~M[1,]+M[2,]+M[3,]+M[4,]+M[5,]+M[6,]+M[7,]+ M[8,]+M[9,]+M[10,]
sse=sum((lm.y$residuals)^2)
Mres=rep(0,nkol)
for (i in 1:nkol){ lm.y=lm(y~M[1,]+M[2,]+M[3,]+M[4,]+M[5,]+M[6,]+M[7,]+
M[8,]+M[9,]+M[10,]+rbf.d[i,])
sse2= sum((lm.y$residuals)^2)
if (sse-sse2>0) { Mres[i]= sse-sse2
}
}
return(order(Mres, decreasing=T))
}
##################
## Matrik Jarak ##
##################
matdist=function (m)
{
nkol=ncol(m)
nbar=nrow(m)
mdist=matrix(0,nrow=nkol,ncol=nkol)
for(i in 1:nkol){
for ( j in 1:i){
mdist[i,j]=vecdist(m[,i], m[,j])
}
}
return(mdist)
}
61
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
######################
## Jarak dua vektor ##
######################
vecdist=function (a,b)
{
ab=a-b l=vecnorm(ab) return (l)
}
#################
## Norm Vektor ##
#################
vecnorm=function (a)
{ l=sqrt(sum(a^2)) return(l)
}
##########################
## Estimasi Model WRBNN ##
##########################
rbf2.prg=function x,w=’haar’,j=4
{
n=length(x) minx=min(x) maxx=max(x)
x.modwt=modwt(x,w,j) d1=x.modwt@W$W1
d2=x.modwt@W$W2 d3=x.modwt@W$W3
d4=x.modwt@W$W4 v4=x.modwt@V$V4 m=NULL
for (i in 1:(n-17)){
m=c(m,d1[i+16],d1[i+14],d2[i+16],d2[i+12],d3[i+16],
d3[i+8],d4[i+16],d4[i],v4[i+16],v4[i])
}
y=x[18:n] M=matrix(m,nrow=10)
nkol=ncol(M) Mdist=matdist(M)
tau=2*max(Mdist) Mz=(Mdist+t(Mdist))/tau
rbf.d=exp(-0.5*Mz^2) Mres=rep(0,nkol)
lm.y=lm(y~M[1,]+M[2,]+M[3,]+M[4,]+M[5,]+M[6,]+M[7,]+
M[8,]+M[9,]+M[10,]+rbf.d[101,]+rbf.d[106,]+rbf.d[116,]) predx=lm.y$fitted
minx=min(minx, min(predx))
maxx=max(maxx,max(predx))
predx
e-ISSN 2477 – 0647
MEDIA STATISTIKA 10(1) 2017: 47-63
http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika
Metode Nonlinear Least Square (NLS) untuk
Estimasi Parameter Model Wavelet Radial Basis
Neural Network (WRBNN)
Oleh: Rukun Santoso1 dan Sudarno2
1
Departemen Statistika FSM Undip, email: rukunsantoso@undip.ac.id
2
Departemen Statistika FSM Undip, email: dsghani@gmail.com
ABSTRAK
The use of wavelet radial basis model for forecasting nonlinear time series is
introduced in this paper. The model is generated by artificial n eural network
approximation under restriction that the activation function on the hidden layers is
radial basis. The current model is developed from the multiresolution autoregressives
(MAR) model, with addition of radial basis function in the hidden layer s. The power
of model is compared to the other nonlinear model existed before, such as MAR
model and generalized autoregressives conditional heteroscedastic (GARCH) model.
The simulation data which be generated from GARCH process is applied to support
the aim of research. The sufficiency of model is measured by sum squared of error
(SSE). The computation results show that the proposed model has a power as good
as GARCH model to carry on the heteroscedastic process.
Key words: wavelet, radial basis, heteroscedastic model, neural network model
1 Pendahuluan
Aktivitas ekonomi seperti pasar modal, pasar komoditas, dan kurs mata uang memiliki
ukuran kuantitas yang dapat dinyatakan sebagai suatu variabel random. Contoh dari
kuantitas-kuantitas dimaksud adalah keuntungan saham, index harga saham, jumlah produk
komoditas, jumlah permintaan komoditas, harga komoditas, nilai tukar antar mata uang, dan
lain-lain. Jika kuantitas tersebut diukur menurut periode waktu tertentu maka hasil
pengukurannya akan membentuk data runtun waktu. Metode analisis runtun waktu terus
berkembang sejak Box dan Jenkins[3] mengawali pembahasannya dalam Time Series Analysis:
F orecasting and Control (1976). Metode Box-Jenkins dapat bekerja dengan baik jika data
sampel diambil dari proses yang stasioner atau dapat dibawa ke bentuk stasioner [23]. Model yang
terbentuk termasuk dalam kelas model linier.
Pada perkembangannya ditemukan fakta bahwa data ekonomi pada umumnya memiliki
sifat nonlinear serta varian yang berubah dari waktu ke waktu (heteroskedastik). Dalam kondisi
ini metode Box-Jenkins mungkin memberikan jawaban yang kurang memuaskan. Beberapa
metode untuk mengatasi masalah nonlininearitas dalam data antara lain model TAR
(Thr eshold Autor egr essives ), model SETAR (self-exiciting TAR), model STAR (smoth
tr a nsition a outor egr essives ) dan lai-lain. Model TAR dan SETAR antara lain dibahas oleh
Tong (1990)[22] sedangkan model STAR diusulkan oleh Terasvirta (1994)[20]. Engel (1982)[6]
mengusulkan model runtun waktu yang dapat mengakomodasi masalah heteroskedastik dalam
data. Model tersebut diberi nama model ARCH (autoregressives conditional
heteroskedasticity). Generalisasi model ARCH di-usulkan oleh Bolerslev (1986) dan diberi
nama model GARCH (Generalized ARCH). Secara umum model ARCH dan GARCH memiliki
Media Statistika 10(1) 2017: 11-22
47
dua bagian model yaitu model mean dan model varian. Sebagai model parametrik, model
ARCH dan GARCH mengasumsikan bahwa sesatan model berdistribusi normal dengan varian
yang berubah bergantung waktu.
Alternatif lain dari model parametrik adalah model non-parametrik. Model-model nonparametrik yang terkini antara lain model jaringan syaraf tiruan [8], model wa velet [10],[17], model
fuzzy dan model gabungan (hibrid) seperti model wa velet -jaringan syaraf tiruan[16],[19], dan
model wavelet-fuzzy[14]. Metode non-parametrik tidak bergantung pada asumsi distribusi random
variabel tertentu tetapi bekerja berdasarkan data, sehingga analisisnya tidak terlalu rumit.
Kelemahan metode non-parametrik pada umumnya adalah melibatkan perhitungan numerik
yang banyak. Dengan pesatnya perkembangan teknologi komputer hal ini tidak menjadi kendala
yang berarti. Uji keberadaan sifat nonlinear dalam data merupakan bagian awal sebelum
membangun model nonlinear . Uji dimaksud antara lain dibahas oleh Brock, Dechert dan
Scheinkman (1987) yang dikenal dengan uji BDS. Teraesvirta, Lin dan Granger (1993)[21]
mengusulkan suatu uji nonlinearitas dengan pendekatan model jaringan syaraf tiruan. Metode
pendekatan JST juga diusulkan oleh Lee, White dan Granger (1993) [9] dengan nilai awal bobot
random.
Tulisan ini mengusulkan model baru yang diberi nama model Wa velet Radial Basis Neural
Network (WRBNN). Wa velet telah dikenal sebagai alat yang unggul untuk mengurangi gangguan
dalam data[11]. Radia l basis telah dikenal sebagai fungsi pembangkit pendekatan nonlinear yang
dapat mengakomodasi kondisi lokal[12][18]. Jaringan syaraf tiruan telah banyak digunakan untuk
melakukan klasifikasi dan mencari nilai pendekatan fungsi. Keunggulan metode ini adalah
kemampuannya untuk melakukan perbaikan model sehingga dapat dicapai keadaan optimal[8].
Model WRBNN sebagai interaksi wa velet, radial basis dan jaringan syaraf tiruan diharapkan
membentuk model hibrida yang lebih baik. Perangkat lunak komputer yang memadai juga
diperlukan dalam penelitian ini. Hal ini didasarkan atas kebutuhan perhitungan dan analisis data
yang khas, rumit dan banyak. Salah satu perangkat lunak yang memadai adalah paket program
R[15], dan didukung modul tambahan fGarch[24] dan wavelet s[1].
2 Model Runtun Waktu Nonlinear
Box dan Jenkins (1976) adalah pelopor yang memodelkan runtun waktu secara matematis,
dengan nama model Autoregressives Moving Average (ARMA)[3]. Metode Box-Jenkins dapat
bekerja dengan baik pada proses yang stasioner. Model yang terbentuk termasuk dalam
kelompok model linear. Tahapan kerja metode ini meliputi tahap persiapan data, pemilihan
model, pendugaan parameter, pemeriksaan model dan peramalan. Persiapan data termasuk
diferensi dan transformasi dilakukan agar stasioneritas proses terpenuhi. Model umum ARMA
dapat diliaht pada persamaan 1.
(1)
dengan
variabel acak normal dengan rata-rata
dan varian proses
konstan.
Fakta membuktikan bahwa ketergantungan runtun waktu terhadap informasi historis
tidak selalu bersifat linear. Hal ini menjadikan ketertarikan peneliti untuk mengkaji model
runtun waktu nonlinear . Salah satu bentuk hubungan nonlinear yang banyak dikaji adalah adanya
sifat heteroskedastik, yaitu varian proses yang berubah bergantung waktu. Model heteroskedastik
yang pertama diperkenalkan oleh Engle[6] yang diberi nama model ARCH (Autoregressives
Conditional Heteroscedasticity ). Ide dasarnya adalah mengasumsikan bahwa suku sesatan dari
persamaan (1) berpola nonlinear terhadap sesatan yang lampau, seperti dimodelkan pada
persamaan (2).
48
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(2)
dengan vt variabel acak N(0,1) dan
dapat dinyatakan seperti pada persamaan (3).
(3)
[2]
Bollerslev (1986) mengembangkan model ARCH pada persamaan (3) menjadi model
GARCH (Generalized ARCH) seperti pada persamaan (4).
(4)
Keberadaan sifat heteroskedastik dalam data dapat diketahui dengan uji Multiplikator
Lagrange (LM test) yang antara lain dikemukakan oleh Lee[9] sebagai pengembangan dari metode
Breusch dan Pagan. Model nonlinear dapat pula berupa ketergantungan nonlinear terhadap
informasi pengamatan terdahulu, yang secara umum dapat dituliskan dalam persamaan (5).
(5)
dengan Φ fungsi nonlinear seperti fungsi logistik, fungsi eksponensial, fungsi polinomial,dan
fungsi radial basis . Pembahasan khusus dalam hal Φ merupakan fungsi ra dia l basis dapat
ditemukan pada Orr[12] dan Haykin [8].
3 Model Runtun Waktu Berbasis Wa velet
Wavelet atau juga disebut wavelet ibu adalah fungsi gelombang kecil yang dapat
membangun basis orthonormal pada ruang L2 (R)[5]. Setiap jenis wa velet ibu memiliki pasangan
wavelet ayah atau juga disebut fungsi skala yang khas. Biasanya wa velet disimbolkan dengan
sedangkan fungsi skala disimbolkan dengan . Untuk membangun basis pada L 2(R) wavelet
membentuk keluarga wavelet berupa bentuk dilatasi dan translasi seperti yang tertulis pada
persamaan (6)
(6)
Ide pembentukan basis wavelet untuk ruang L2(R) terilhami oleh pembentukan basis
untuk ruang
menggunakan fungsi sines dan kosines[11]. Dalam hal ini setiap
fungsi dalam
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari fungsi sines dan
kosines. Bentuk ini dikenal sebagai deret Fourier. Seperti halnya fungsi sines dan cosines,
wavelet memiliki sifat-sifat yang mendukung sebagai pembangkit basis seperti tertulis
pada persamaan (7).
(7)
Wavelet dan fungsi skala bersama-sama dapat membangun ruang multiresolusi, sehingga setiap
fungsi f ∈ L2 (R) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari wa velet dan fungsi skala seperti
disajikan pada persamaan (8).
49
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(8)
Ruang multiresolusi yang memuat persamaan (8) pada tingkat dapat dituliskan dengan
persamaan (9).
(9)
dengan ⊕ menyatakan operasi jumlahan ortogonal dua ruang vektor. Koefisien-koefisien pada
persamaan (8) dapat dihitung menggunakan persamaan (10).
(10)
3.1 Transformasi Wa velet Diskrit
Transformasi wavelet akan menghasilkan bagian Smooth (S) dan Detil (D). Bagian S
menggambarkan pola utama dari data sedangkan bagian D menggambarkan pola fluktuasinya. Dari
suatu wa velet terdapat sebanyak berhingga genap nilai-nilai dengan sifat istimewa. Himpunan
nilai-nilai dimaksud disebut filter wa velet, yang biasa dituliskan seperti pada persamaan (11)
dengan sifat seperti dituliskan pada persamaan (12)[13].
(11)
yang memenuhi sifat-sifat berikut
(12)
Sebagai pasangan dari filter wavelet terdapat filter skala yang dituliskan sebagai
Antara h dan g terdapat hubungan seperti dituliskan pada persamaan (13).
(13)
Filter yang diulas pada paragraf sebelumnya adalah filter pada tingkat pertama, selanjutnya
. Sebelum membangun filter pada tingkatan yang lebih tinggi terlebih
dinotasikan dengan
dulu dibentuk up-sampled dari filter tingkat sebelumnya yaitu dengan cara menyisipkan 0 di
antara nilai filter yang tidak sama dengan 0. Jadi up-sampled dari (11) adalah seperti tercantum
pada persamaan (14)
(14)
Filter pada tingkat ke-2 dibentuk dengan rumus pada persamaan (15).
(15)
dengan ∗ menyatakan operasi konvolusi. Secara umum filter wavelet dan filter skala pada tingkat
dibentuk dengan rumus pada persamaan (16).
50
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(16)
Filter wavelet dan filter skala secara bersama-sama dapat membangun matriks transformasi
wavelet diskrit. Hal ini berakibat setiap realisasi diskrit dari fungsi dalam
dengan jeda
waktu yang sama dapat didekomposisi (dipecah) ke dalam bagian halus (S) dan bagian-bagian
detil (D). Proses untuk memperoleh S dan D disebut transformasi wavelet diskrit (Discrete Wa velet
Transform = DWT). Misalkan
suatu runtun waktu dengan
dan
untuk
. Transformasi wavelet diskrit pada tingkat
dapat dituliskan seperti pada
suatu
persamaan (17).
(17)
adalah matriks transformasi tingkat ke- berukuran N × N dan D adalah hasil dekomposisi
yang disebut juga sebagai matriks koefisien dengan ukuran N × 1.
Baris pertama samapai dengan baris ke- dari matriks
langkah dari
adalah bentuk periodisai dua
seperti tersaji dalam matriks pada persamaan (18)
(18)
Baris ke-
sampai baris ke-
pada matriks
merupakan bentuk periodisasi dua langkah dari
seperti tertera dalam matriks pada persamaan (19).
(19)
Matriks transformasi
dibangun dengan cara mendekomposisikan (memecah) matriks menjadi
dan
yang masing-masing merupakan bentuk periodisasi 4 langkah dari filter wavelet
matriks
dan filter skala tingkat 2. Proses dapat dilanjutkan sampai dengan tingkat ke- , untuk
.
Dalam hal ini
dan
masing-masing merupakan bentuk periodisasi
langkah dari filter
wa velet dan filter skala tingkat . Lebih lanjut persamaan (17) dapat dituliskan kembali seperti
pada persamaan (20).
(20)
3.2 Transformasi Wavelet Diskrit Tak Menurun
Transformasi wavelet tak menurun ( Undecima ted Wavelet Tr a nsfor m =UDWT)
dipandang memiliki keunggulan dibandingkan dengan DWT untuk analisis data runtun
dan
waktu [6],[13]. Keunggulan tersebut antara lain, ukuran sampel tidak harus berbentuk
banyaknya koefisien wavelet yang didapat pada setiap tingkat dekomposisi adalah tetap yaitu
sama banyak dengan ukuran sampelnya. Diberikan notasi untuk filter wavelet dan filter skala untuk
51
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
UDWT berturut-turut adalah
hubungan sebagai berikut,
dan
. Antara filter DWT dan filter UDWT terdapat
dan
Rumusan UDWT dapat ditulis seperti pada persamaan (21)
(21)
Pada transformasi tingkat
baris pertama dari
matriks
dengan
pada tingkat
diperoleh
sub matriks
dan
berukuran
. Selanjutnya dinotasikan
, N baris berikutnya dengan
, proses dilanjutkan sehingga
, dan N baris terakhir dinotasikan dengan
. Untuk setiap indeks ,
masing-masing merupakan bentuk periodisasi satu langkah filter wavelet
dan filter skala tingkat . Sebagai contoh sub matriks
dapat disajikan dengan persamaan (22)
(22)
sebagai bentuk periodisasi satu langkah dari filter
Dengan cara yang sepadan akan diperoleh
akan terpecah menjadi
dan
yang masingskala. Pada UDWT tingkat 2, sub matriks
masing merupakan bentuk periodisasi satu langkah filter wa velet dan filter skala tingkat 2. Lebih
lanjut cara yang sepadan dengan persamaan (20) untuk menuliskan proses UDWT adalah seperti
tertulis pada persamaan (23).
3.3 Model Peramalan Runtun Waktu dengan UDWT
Pada umumnya peramalan merupakan tujuan utama dari proses pemodelan. Banyak cara
dapat digunakan untuk melakukan peramalan, mulai dari model sederhana ( na ive model) hingga
model yang rumit. Tulisan ini terinspirasi penggunaan hasil transformasi wavelet diskrit untuk
peramalan runtun waktu yang dibahas oleh Murtagh (2004) [10]. Pembahasan yang lain juga
dapat ditemukan dalam Renaud et.al. (2003)[16], dan Ciancio (2007)[4]. Murtagh mengasumsikan
peramalan satu langkah ke depan bergantung kepada hasil UDWT data sebelumnya. Model yang
dihasilkan lazim disebut sebagai model wavelet. Model yang ditawarkan dapat dinyatakan
dengan persamaan (24)
(24)
Tingkat dekomposisi tertinggi dinyatakan dengan . Banyaknya koefisien yang dipilih pada
tingkat
dinyatakan dengan
. Sebagai contoh jika diambil
dan
untuk
maka persamaan (24) dinyatakan sebagai persamaan (25)
52
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(25)
Penduga parameter dari persamaan (25) dapat dihitung dengan metode kuadrat terkecil, dan
jika distribusi diketahui maka dapat dihitung dengan metode likelihood maksimum.
4 Model Wa velet Radial Basis Neural Network
Fungsi radial basis telah digunakan sebagai pengolah pada lapisan tersembunyi dari
jaringan syaraf tiruan. Hal ini antara lain telah dibahas oleh Haykin[8], Samarasinghe[8] dan Orr[12].
Input yang berjarak dekat dengan pusat radial basis akan menghasilkan nilai fungsi yang besar.
Sebaliknya input yang jauh dengan pusat radia l basis akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil.
Hal ini menjadikan fungsi radial basis sebagai pemilah input ke dalam kelompok-kelompok yang
lebih homogen. Jika X adalah variabel yang akan diproses dengan fungsi radial basis , maka
biasanya dinyatakan dalam bentuk baku relatif terhadap parameter lokasi dan parameter
skala seperti pada persamaan (26)
(26)
Beberapa fungsi radial basis dapat dilihat pada persamaan (27), (28), dan (29)
Fungsi Gaussian :
(27)
Fungsi Multiquadric
(28)
Fungsi Multiquadric invers
(29)
Penggunaan fungsi radial basis pada jaringan syaraf tiruan (neural network) sebagai
model nonlinear antara lain dibahas oleh Haykin[8] dan Orr[12]. Hal ini memberikan pemikiran
untuk mengembangkan model pada persamaan (24) menjadi model wa velet radial basis neural
network (WRBNN). Ide dasarnya adalah menggunakan hasil UDWT sebagai variabel input
serta penggunaan fungsi nonlinea r dalam hal ini r a dia l ba sis sebagai fungsi aktivasi pada
lapis tersembunyi. Hal ini untuk mengantisipasi kemungkinan adanya sifat nonlinear pada hasil
transformasi wavelet. Model yang dihasilkan dapat digunakan untuk menyelidiki adanya sifat
nonlinear sekaligus dapat digunakan untuk peramalan.
Tanpa mengurangi keumuman, akan dibangun model WRBNN dengan input koefisien
hasil transformasi wavelet tak menurun pada tingkat
dan
untuk semua level
(lihat persamaan (25)). Tahap-tahap pembentukan model WRBNN dapat dijelaskan seperti tertera
di bawah ini.
ke dalam cluster dengan pusat
,
dan deviasi
1. Mengelompokan
standar
53
. Metode k-means dapat digunakan untuk kepentingan tersebut.
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
2. Melakukan transformasi UDWT terhadap
(diambil tingkat transformasi )
3. Membentuk matrix input dari hasil transformasi yang terpilih seperti pada bagian 3.3.
Elemen baris ke- dari untuk
dapat dituliskan sebagai
4. Merancang model linear
, dengan parameter
5. Merancang model pada hidden unit
, dengan
,
6. Merancang model penduga pada lapis output
dengan
Bentuk rancang bangun model WRBNN dapat ditunjukan dengan Gambar 1. Secara matematis
model populasinya dapat dituliskan selaras dengan hasil langkah ke-6 yaitu
(30)
Gambar 1: Rancang Bangun dari Model WRBNN
Untuk menyederhanakan pembahasan tanpa mengurangi keumuman masalah, akan
ditinjau untuk
dengan fungsi radial basis gaussian sehingga model penaksir yang sesuai
dengan persamaan (30) dengan penyesuaian indeks dapat dituliskan dengan persamaan (31).
(31)
Parameter-parameter model diduga sedemikian hingga meminimumkan fungsi objektif pada
persamaan (32) berikut ini,
(32)
dengan
dianggap sebagai fungsi nonlinear dari
dengan
adalah vektor koefisien pada model penduga.
Agar metode kuadrat terkecil dapat digunakan maka fungsi nonlinear
pada
persamaan (32) diekspansikan ke dalam deret Taylor. Metode ini disebut sebagai metode kuadrat
terkecil nonlinear atau Nonlinear Least Square (NLS). Persamaan (33), (34) dan (35) masingmasing merupakan hasil ekspansi Taylor dari
dan
di sekitar titik awal
yang
dipotong pada suku derajat satu. Pemotongan dilakukan dengan asumsi suku-suku derajat
tinggi pada ekspansi Taylor cukup kecil sehingga dapat diabaikan.
54
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
(33)
(34)
(35)
Penjumlahan dari persamaan (33), (34) dan (35) merupakan ekspansi Taylor
di sekitar .
Karena model yang terbentuk linear dalam maka penaksir yang meminimumkan persamaan
(32) dapat dicari dengan metode LSE. Selanjutnya dilakukan perbaikan terhadap setiap
menggunakan persamaan (36)
(36)
5. Hasil Simulasi dan Pembahasan
Data runtun waktu nonlinear diperlukan untuk memberikan gambaran penggunaan metode
WRBNN. Hampir setiap paket library dalam perangkat lunak R menyediakan pilihan contoh data
yang mungkin cocok untuk mengembangkan suatu metode. Biasanya kumpulan data tersebut
telah terseleksi untuk penelitian terkait sifat-sifat tertentu. Cara lain memperoleh data dengan
sifat tertentu adalah melalui pembangkitan data dengan simulsi komputer. Cara simulasi dipilih
dalam pembehasan penerapan metode WRBNN karena lebih menjamin tersedianya sifat nonlinear
dalam data. Pada Bagian 2 telah dibahas bahwa runtun waktu heteroskedastik merupakan salah satu
perwujudan dari sifat nonlinear . Secara simulatif data dimaksud dapat dibangkitkan dengan
library fGarch. Data hasil pembangkitan dari model ARMA-GARCH akan digunakan untuk
membangun model WRBNN. Penentuan model simulatif seperti pada persamaan (37) tidak
memeiliki tujuan lain kecuali menyediakan data runtun waktu heteroskedastik.
Tabel 1: Estimasi Parameter Model ARMA+GARCH
Parameter Estimasi Nilai t
Prob.
55
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
µ
1
α0
α1
1
1 2952.948
0.4951 2229.454
0
2.040
0.1267
3.441
0.7859 11.704
0
0
0.041395
0.000579
0
(37)
dengan
Table 2: Estimasi Parameter Model Wa velet
Variabel Koefisien Nilai t Prob.
0.07472
6.195
0
d1,t
6.569
0
0.08022
d3,t
7.342
0
0.08201
d5,t
0.09631
4.201
0
d7,t
12.025
0
0.06513
c9,t
c10,t−16
0.06513
3.330 0.000925
Table 3: Estimasi Parameter Model WRBNN
Variabel Koefisien Nilai t Prob.
0.502293
6.635
0
d1,t
6.225
0
0.500346
d3,t
0.596003
7.305
0
d5,t
0.317993
3.151 0.00171
d7,t
0.839897
12.345
0
c9,t
c10,t−16
2.494 0.01291
0.167675
Φ1
-0.016140 -2.725
0.00662
Enam ratus titik sampel telah diambil dan hasilnya disajikan pada Lampiran 1.
Input model WRBNN adalah hasil UDWT dari data hasil simulasi. Proses UDWT dapat
dilakukan menggunakan libr a r y wavelet s dalam perangkat lunak R[1]. Hasil estimasi parameter
model ARMA dan GARCH pada persamaan (37) dapat disajikan dalam Tabel 1. Hasil estimasi
parameter model yang tercantum pada Tabel 1 nampak telah mendekati parameter model pada
persamaan (37). Hasil estimasi parameter model wa velet dengan data simulasi untuk persamaan
(37) disajikan dalamTabel 2 yang memuat 6 penduga parameter model wa velet yang signifikan
dari 10 parameter seperti yang tercntum dalam persamaan (25). Hasil estimasi parameter model
WRBNN dengan pencocokan pada data simulasi persamaan (37) disajikan dalam Tabel 3 yang
memperlihatkan bahwa 6 variabel terpilih pada model wavelet masih dapat dipertahankan
sebagai bagian linear dari model WRBNN, meskipun ada penurunan signifikansi pada
dan
. Model yang terbentuk hanya memuat satu fungsi radia l basis sebagai bagian nonlinear
dari model WRBNN. Kode listing program R untuk mendapatkan nilai penduga koefisien model
WRBNN tersaji pada Lampiran 2. Hasil perhitungan jumlah sesatan kuadarat (SSE) dari model
GARCH, Wavelet dan WRBNN serta hasil uji normalitas Kolmogorov-Smirnov disajikan pada
Tabel 4.
56
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
Model
GARCH
Wavelet
WRBNN
Table 4: SSE dan Uji Normalitas K-S
SSE
N
σ2
0.006808593 600
0.000011364
0.006785685 583 0.00001165925
0.006704714 583 0.00001152013
Prob K-S
0.6099
0.4264
0.4567
6 Kesimpulan
Hasil estimasi parameter model GARCH, Wavelet dan WRBNN menunjukkan bahwa ketiganya
memberikan hasil jumlah sesatan kuadrat yang tidak jauh berbeda untuk kasus data
heteroskedastik. Percobaan dengan model yang berbeda-beda mungkin perlu dilakukan untuk
mendapatkan perbandingan yang lebih luas, serta perlu ada kajian lebih jauh menggunakan data
hasil pengamatan nyata. Disamping itu, sebagai tindak lanjut penyelidikan simulatif perlu
dikembangkan penyelidikan aspek teoritik menyangkut sifat matematis dari model Wa velet dan
WRBNN. Aspek teoritik tersebut menyangkut sifat-sifat baik dari penduga parameter yang
terkait dengan model tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Aldrich E 2009 A package of Functions for Computing Wavelet Filters, Wavelet Transforms
and Multiresolution Analyses http://www.ealdrich.com/wa velets/.
[2] Bollerslev T 1986 generalized autoregressive conditional heteroskedasticity J. Of
Econometrics 31 307-27
[3] Box G E P and Jenkins G M 1976 Time Series Analysis: Forecasting and Control (San
Francisco: Holden-Day)
[4] Ciancio A 2007 analysis of time series with wa velet s Int. J. of Wavelets, Multiresolution and
Information Processing 5(2) 241-56
[5] Daubhechies I 1992 Ten Lecture on Wavelets (Philadelphia: SIAM )
[6] Engel R F 1982 autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of
united kingdom inflation, J. Econometrica 50 987-1008
[7] Fugal D L 2009 Conceptual Wavelets in Digital and Signal Processing (Space and Signals
Technologies LLC)
[8] Haykin S 1999 Neural Networks: A Comprehensive Foundation Prentice Hall
[9] Lee, T. H., White, H. dan Granger, J. W. J., 1993. Testing for neglected nonlinearity in time
series models: a comparison of neural network methods and alternative tests. J. of
Econometrics, 56:269–290
[10] Murtagh F, Starck J L and Renaud O 2004 on neuro wavelet modeling Decision Support
System 37 475-90
[11] Ogden, R. T., 1997. Essential wa velet s for statistical applications and data analysis.
Birkhauser, Berlin
[12] Orr, M. J. L., 1996. Introduction to Radial Basis Function Networks. Centre for Cognitive
Science, University of Edinburgh
[13] Percival D B and Walden A T 2000 Wavelet methods for time series analysis (Cambridge: CU
Press )
57
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
[14] Popoola, A. O., 2007. Fuzzy-wa velet method for time series analysis. PhD thesis, Surey
University Disertasi submitted for the degree of doctor of philosophy in Surey University.
[15] R core team., 2016. R: A Language and environment for statistical computing. R Foundation
for Statistical Computing, Vienna, Austria URL: http://www.R- project.org/.
[16] Renaud, O., Starck, J. L., dan Murtagh, F., 2003. Prediction based on a multiscale
decomposition. Int. J. of Wavelets Multiresolution and Information Processing, 1 (2):217–
232
[17] Rukun S, Subanar, Rosadi D, and Suhartono 2011 heteroscedastic time series model by
wavelet transform Proc. of ”The 6th SEAMS-UGM Conference β011”
[18] Samarasinghe S 2006 Neural Network for Applied Science and Engineering (New York:
Auerbach Pub)
[19] Starck J L, Jalal F and Murtagh F 2007 the undicimated wavelet decomposition and its
reconstruction, IEEE on Image Processing 16(2) 297-309
[20] Terasvirta. T., 1996. Power properties of linearity tests for time series, Studies in Nonlinear
Dynamics and Econometrics, 1(1), April 1996
[21] Terasvirta, T., Lin, C. F., dan Granger, C. W. J., 1993. Power of the neural network linearity
test. J. of Time Series Analysis, 14(2):209–220
[22] Tong, H., 1990. Nonlinear Time Series: A Dynamic System Approach. Clarendon Press,
Oxford
[23] Wei William W S 1994 Time Series Analysis: Univariate and Multivariate methods (Canada:
Addison-Wesley)
[24] Wuertz, D. dan Chalabi, Y. 2016 fGarch: Rmetrics Autoregressive Conditional
Heteroskedastic Modelling. R package version 3010.82.1. https://CRAN.Rproject.org/package=fGarch
Lampiran 1
Data Hasil Simulasi
SET DATA
2.003979 2.009791 2.003151 2.006777
1.99751 2.001901 2.003169 1.997668
1.997654 1.998076 2.000357 2.001371
2.002571 2.004215 2.003481 1.999877
2.001703 1.994054 1.990701 1.988522
1.990777 1.992157 1.996347 1.997101
1.998845 1.998855 1.994443 1.998365
2.004624 2.00216 2.001331 2.002566
2.011151 2.013801 2.005247 2.000059
2.000253 2.002933 2.003962 2.00382
2.001338 2.001408 2.000064 1.99677
1.999575 2.00109 1.998542 1.998569
58
2.000278 2.001569
2.001348 1.999821
1.994325 1.99572
1.997553 1.993204
1.995735 1.992752
2.002339 2.000787
2.001895 1.996921
2.004484 2.001101
2.007414 2.000729
2.003723 2.003733
2.00208 1.998999
2.002621 2.004598
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
2.00567 1.997313 1.997494 1.997514
2.003314 2.009795 2.009821 2.007068
2.003146 2.000441 2.002528 2.004314
2.000898 2.003282 2.003188 2.001033
1.998233 1.994196 1.995168 1.995377
1.999412 1.996833 1.999067 2.001789
1.999412 2.000651 2.001979 2.002823
1.996404 1.995316 1.995634 1.995704
1.999649 1.999134 2.002501 2.001442
2.000334 1.996349 1.996949 1.998015
1.996572 2.001929 2.005908 1.999871
1.997057 2.000606 2.004876 2.001986
2.001171 1.995446 1.998991 2.006435
1.988811 1.988509 1.990507 1.999175
2.004599 2.011095 1.998725 2.009788
2.002739 1.998617 2.000001 2.005619
1.99675 1.994934 2.003434 2.005161
1.992812 2.000359 2.002286 2.008452
2.003274 2.003634 2.006132 2.002031
2.002073 1.992945 1.995452 1.999296
2.006565 2.005011 2.005861 2.001891
2.00445 2.000418 2.003668 2.003212
2.001091 2.000331 2.002249 2.00213
1.99827 1.999924 1.996176 1.999274
2.002186 2.000026 2.002937 2.001519
1.993912 1.996818 2.001392 1.999025
1.99637 2.001074 2.001804 2.00382
2.001738 2.004475 2.003603 2.003204
1.998314 2
1.99934 1.999395
2.002967 2.00483 1.999557 1.998567
1.994763 1.992201 1.999429 1.995648
1.997336 1.999563 1.999878 1.996633
1.999421 1.996854 2.002401 2.003366
1.998853 1.995356 1.999147 1.996145
2.004309 2.00814 2.013944 2.011031
2.004295 1.992028 1.996127 2.001164
1.994977 1.9982 2.002721 2.004043
1.996701 2.002743 1.996961 1.997822
2.004894 2.009614 1.999679 2.004011
1.998335 1.99697 1.995972 1.997314
2.002306 1.998799 1.999204 1.999003
2.001211 2.004824 1.99619 1.999824
2.000144 1.999607 2.001008 1.999751
2.005272 2.00369 2.004662 2.003992
2.00128 1.998011 1.9915 2.003845
1.998764 1.992698 2.004105 2.000278
2.000752 2.000009 2.004733 2.002313
1.996233 2.001025 1.999401 1.997556
2.001882 2.001966 2.00094 2.001842
59
2.009385 2.006515
2.005677 2.003296
2.002874 2.002457
1.996621 1.998072
1.998892 2.001334
1.996841 1.998452
2.000785 2.00026
2.003376 2.004232
2.000206 1.997335
1.998297 1.9961
1.996594 2.001016
2.00129 2.001855
2.0066 1.988187
1.991719 2.006724
2.010096 1.993624
2.001921 2.003303
1.999819 1.988216
2.007356 1.999568
2.003404 2.001473
1.996229 2.00271
1.998675 2.002389
2.002962 2.003585
1.999976 1.999213
1.996772 2.002542
2.00212 1.996622
2.00191 1.998497
2.002298 2.002546
1.998765 1.998811
2.002955 2.004624
1.998918 1.997215
1.995155 2.001205
2.002837 2.001915
1.999896 1.998186
2.000264 1.998412
2.009775 2.00401
1.997902 2.001423
2.005261 2.004244
2.000604 2.00676
1.999253 2.006063
1.997492 1.999266
1.995428 1.99751
2.003127 2.002031
1.99708 2.001507
2.000586 1.998483
1.997482 1.988174
2.00389 2.000407
2.003365 2.002463
2.001306 2.002735
2.000554 2.006327
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
2.002486 1.998231 1.997357 2.000018
2.003502 1.997254 1.999694 1.997818
1.996082 1.993262 1.995322 1.993596
1.995617 2.000082 1.998289 2.003718
1.999571 1.995304 1.995783 1.997194
1.999001 1.998847 1.995748 1.994376
2.003651 1.99592 1.99892 1.997478
1.998335 2.005113 2.009299 2.003156
1.996415 2.000197 1.998028 1.992684
1.992993 1.992783 1.999572 1.99911
2.004795 2.001304 2.005245 1.997389
1.997159 1.995299 1.994949 1.998201
1.997494 2.005813 2.005874 2.000943
2.000998 2.003277 1.997716 1.99954
1.996768 1.994228 1.997085 1.999531
2.004045 1.999661 2.001404 1.999214
1.994897 1.997243 1.996666 1.995359
2.001807 1.998456 2.001437 1.99871
2.002598 2.000018 1.998805 2.001239
1.998854 1.996944 1.998646 1.998419
1.997974 1.997271 1.996942 1.995924
2.00115 2.005637 2.004327 1.998696
1.999595 1.995742 1.997123 2.001463
1.999259 2.002475 2.000363 2.003137
1.998649 1.997741 2.00139 1.998881
2.002824 2.000678 1.999597 1.998908
1.998916 1.996481 1.99472 1.995691
1.997796 1.996575 1.99657 1.99891
2.003081 2.003655 2.00334 2.000122
2.001617 2.00052 2.001355 2.00153
2.000236 1.995965 1.996601 1.99876
1.996449 1.997091 1.994698 2.000712
2.001574 1.994913 1.998242 1.999145
1.999145 2.005361 2.003133 1.997775
2.000158 1.996217 1.99724 1.998973
1.996246 1.998994 2.001572 2.00099
1.998324 1.9972 1.999912 1.99866
2.003607 1.999308 1.998588 1.995671
1.99629 1.999209 2.004266 2.003069
2.003465 2.00363
2.00219 1.999303
1.994022 1.997127
2.002577 2.0034
2.000211 2.004591
1.99402 2.00125
1.996381 2.000244
1.998741 1.997239
1.993013 1.990767
1.999201 2.000278
1.99585 1.998841
1.996571 1.99557
2.000823 1.999291
1.998806 1.99883
2.005856 2.004908
1.997999 1.994118
1.996342 1.999396
1.996634 1.999105
2.000017 2.000686
2.001055 1.99757
2.000142 1.996205
1.999576 2.002132
2.000717 2.001202
2.001255 1.996251
1.998132 2.000577
2.002387 2.000421
2.001394 1.994178
2.000892 2.004338
2.001039 2.000449
2.001243 2.003737
2.003424 1.995293
2.006154 2.006613
1.994911 1.997912
2.000651 1.998391
1.997496 1.98977
2.000346 1.999432
1.99751 1.999516
2.000616 1.996972
2.00558 2.000851
LAMPIRAN 2
Listing Program Model WRBNN
#############################
## BEBERAPA KODE LISTING R ##
#############################
rbf.prg=function x,w=’haar’,j=4
{ n=length(x)
60
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
minx=min(x)
maxx=max(x)
x.modwt=modwt(x,w,j)
d1=x.modwt@W$W1
d2=x.modwt@W$W2
d3=x.modwt@W$W3
d4=x.modwt@W$W4
v4=x.modwt@V$V4
m=NULL
for (i in 1:(n-17))
{
m=c(m,d1[i+16],d1[i+14],d2[i+16],d2[i+12],d3[i+16],
d3[i+8],d4[i+16],d4[i],v4[i+16],v4[i])
}
y=x[18:n]
M=matrix(m,nrow=10)
nkol=ncol(M)
Mdist=matdist(M)
ijdist=rep(0,nkol)
tau=2*max(Mdist)
Mz=(Mdist+t(Mdist))/tau
rbf.d=exp(-0.5*Mz^2)
lm.y=lm(y~M[1,]+M[2,]+M[3,]+M[4,]+M[5,]+M[6,]+M[7,]+ M[8,]+M[9,]+M[10,]
sse=sum((lm.y$residuals)^2)
Mres=rep(0,nkol)
for (i in 1:nkol){ lm.y=lm(y~M[1,]+M[2,]+M[3,]+M[4,]+M[5,]+M[6,]+M[7,]+
M[8,]+M[9,]+M[10,]+rbf.d[i,])
sse2= sum((lm.y$residuals)^2)
if (sse-sse2>0) { Mres[i]= sse-sse2
}
}
return(order(Mres, decreasing=T))
}
##################
## Matrik Jarak ##
##################
matdist=function (m)
{
nkol=ncol(m)
nbar=nrow(m)
mdist=matrix(0,nrow=nkol,ncol=nkol)
for(i in 1:nkol){
for ( j in 1:i){
mdist[i,j]=vecdist(m[,i], m[,j])
}
}
return(mdist)
}
61
Rukun Santoso (Metode Nonlinear Lesat Square)
######################
## Jarak dua vektor ##
######################
vecdist=function (a,b)
{
ab=a-b l=vecnorm(ab) return (l)
}
#################
## Norm Vektor ##
#################
vecnorm=function (a)
{ l=sqrt(sum(a^2)) return(l)
}
##########################
## Estimasi Model WRBNN ##
##########################
rbf2.prg=function x,w=’haar’,j=4
{
n=length(x) minx=min(x) maxx=max(x)
x.modwt=modwt(x,w,j) d1=x.modwt@W$W1
d2=x.modwt@W$W2 d3=x.modwt@W$W3
d4=x.modwt@W$W4 v4=x.modwt@V$V4 m=NULL
for (i in 1:(n-17)){
m=c(m,d1[i+16],d1[i+14],d2[i+16],d2[i+12],d3[i+16],
d3[i+8],d4[i+16],d4[i],v4[i+16],v4[i])
}
y=x[18:n] M=matrix(m,nrow=10)
nkol=ncol(M) Mdist=matdist(M)
tau=2*max(Mdist) Mz=(Mdist+t(Mdist))/tau
rbf.d=exp(-0.5*Mz^2) Mres=rep(0,nkol)
lm.y=lm(y~M[1,]+M[2,]+M[3,]+M[4,]+M[5,]+M[6,]+M[7,]+
M[8,]+M[9,]+M[10,]+rbf.d[101,]+rbf.d[106,]+rbf.d[116,]) predx=lm.y$fitted
minx=min(minx, min(predx))
maxx=max(maxx,max(predx))
predx