Integral riemann-darboux - USD Repository
INTEGRAL RIEMANN-DARBOUX
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Oleh:
Maria Asepti Endarwati
NIM: 033114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
RIEMANN-DARBOUX INTEGRAL
THESIS
Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements To Obtain The Sarjana Sains Degree
In Mathematics By:
Maria Asepti Endarwati
Student Number: 033114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTEMENT OF MATEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
2009
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yan telah disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Januari 2009 Skripsi ini kupersembahkan kepada: Orang Tuaku, dan adik-adikku tercinta, Keluarga besarku, dosen-dosenku, dan sahabat-sahabatku.
Pabila cinta datang kepadamu, sambutlah,
Meski dibalik sayap-sayapnya yang lembut,
terdapat pisau tajam yang siap
menghunusmu..
(Khalil Jibran)
Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya … (Pkh 3:11)
ABSTRAK
Integral Riemann adalah suatu jenis integral yang disusun dengan menggunakan konsep partisi dan jumlah Riemann. Integral Riemann yang dimodifikasi menggunakan jumlah atas dan jumlah bawah dikenal sebagai Integral Darboux. Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai Integral Riemann dan Integral Darboux, serta sifat-sifatnya. Khususnya akan diperlihatkan bahwa kedua jenis integral tersebut ekuivalen.
ABSTRACT
Riemann integral is a kind of integral which is constructed using the concept of partition and Riemann summation. Modificated Riemann integral uses upper and lower sum, known as Darboux integral. This thesis discusses Riemann and Darboux integral and also their properties. Particularly, this thesis will show that those two kinds of integral are equivalent.
KATA PENGANTAR
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat yang telah melimpahkan kepada penulis dalam menyusun sampai selesainya penulisan skripsi ini.
Skripsi ini ditulis untuk memenuhi dan melengkapi persyaratan dalam meraih gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari banyak pihak, penulis tidak dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan dengan penuh kesabaran membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2003 yang dengan sabar mendampingi penulis selama kuliah di USD.
4. Petugas Sekretariat FST, terutama Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi dalam urusan perkuliahan kepada penulis.
5. Perpustakaan USD dan Staf/ Karyawan Perpustakaan USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis dalam mencari informasi pendukung penyusunan skripsi ini.
6. Orang tuaku (Bapak Anjar dan Ibu Endah), adik-adikku (Agung dan Chilli), sahabat-sahabatku (Mas Patup, Mas Deeon, Mbak Tika, Mas Anto) yang tanpa henti memberi dukungan semangat dan doa sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
7. Teman-teman angkatan 2003, Eko, Ridwan, Koko, Merry, Dewi, Mekar, Anin, Anggi, Valent dan Ririn, yang bersama-sama menjalani kuliah di USD dalam senang maupun susah.
8. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dan kelemahan. Oleh karena itu, penulis dengan besar hati menerima saran dan kritik serta masukan yang dapat membuat skripsi ini menjadi lebih baik dan dapat menambah pengetahuan para pembaca.
Yogyakarta, Februari 2009 Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i HALAMAN JUDUL (INGGRIS) ...................................................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN ......................................................... v HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ vi ABSTRAK ......................................................................................................... vii ABSTRACT ....................................................................................................... viii PERNYATAAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............................................ ix KATA PENGANTAR ....................................................................................... x DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN
1. Latar Belakang ...................................................................................... 1
2. Perumusan Masalah .............................................................................. 1
3. Tujuan Penulisan ................................................................................... 2
4. Pembatasan Masalah ............................................................................. 2
5. Metode Penulisan .................................................................................. 2
6. Manfaat Penulisan ................................................................................. 3
7. Sistematika Penulisan ............................................................................ 3
BAB II SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL
1. Sistem Bilangan Real ............................................................................ 5
2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real ............................................. 14
3. Limit Fungsi .......................................................................................... 20
4. Fungsi Kontinu ...................................................................................... 23
5. Turunan ................................................................................................. 27
BAB III INTEGRAL DARBOUX
1. Integral Darboux ................................................................................... 32
2. Partisi Penghalus ................................................................................... 44
3. Teorema Darboux ................................................................................. 48
4. Syarat Terintegral Darboux ................................................................... 50
5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux ........ 57
BAB IV INTEGRAL RIEMANN
1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux ............. 75
2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann ...................................................... 86
3. Integral dan Turunan ............................................................................. 94
4. Teorema Fundamental Kalkulus ........................................................... 96
5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral .................................... 103
6. Pengintegralan Parsial ........................................................................... 106
7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann ....................................... 110
8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua ............................................................ 113
BAB V PENUTUP
1. Kesimpulan ........................................................................................... 123
2. Saran ...................................................................................................... 124 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 125
BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Masalah Salah satu konsep penting dalam analisis adalah teori integral. Telah
banyak jenis integral yang berkembang dalam analisis. Salah satu jenis integral yang cukup populer adalah integral Riemann. Integral Riemann tidak hanya digunakan dalam bidang matematika saja tetapi juga digunakan dalam bidang- bidang lainnya, terutama dalam fisika dan ilmu keteknikan.
Sebelum adanya integral Riemann, I. Newton (1642-1727) menyusun salah satu teori integral berdasarkan kalkulus, khususnya menggunakan anti derivatif. Kemudian barulah G. F. B. Riemann (1826-1866), pada tahun 1854, menyusun teori integral dengan cara lain, yaitu menggunakan partisi dan jumlah Riemann. Pada tahun 1875, integral Riemann dimodifikasi oleh I. G. Darboux (1842-1917) dengan menggunakan jumlah atas dan jumlah bawah.
Oleh karena itu, dalam skripsi ini akan membahas bagaimana pendekatan integral Riemann menggunakan integral Darboux dan akan diperlihatkan bahwa pada garis real R integral Darboux ekuivalen dengan integral Riemann.
2. Perumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Apakah definisi dan sifat-sifat integral Darboux di R ?
2. Apakah definisi dan sifat-sifat integral Riemann di R ?
3. Bagaimana hubungan antara integral Riemann di R dan integral Darboux di R ?
3. Tujuan Penulisan
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika.
Selain itu, skripsi ini bertujuan untuk: 1. Mengetahui definisi dan sifat-sifat integral Darboux di R.
2. Mengetahui definisi dan sifat-sifat integral Riemann di R.
3. Mengetahui bagaimana hubungan integral Riemann di R dan integral Darboux di R.
4. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini, masalah yang akan dibahas hanyalah mengenai integral Riemann di R dan integral Darboux di R serta hubungan keduanya.
Khususnya hanya dibahas fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval tertutup terbatas di R.
5. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku atau sumber-sumber yang lain yang sudah tersedia sehingga tidak ditemukan hal yang baru.
6. Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diambil dari penulisan skripsi ini adalah memahami konsep integral Riemann di R dan integral Darboux di R serta hubungan keduanya. Selanjutnya, diharapkan nantinya dapat digunakan untuk pengembangan teori di bidang analisis real maupun bidang-bidang yang lain.
7. Sistematika Penulisan
Sistematika yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah:
I. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
2. Perumusan Masalah
3. Tujuan Penulisan
4. Pembatasan Masalah
5. Metode Penulisan
6. Manfaat Penulisan
7. Sistematika Penulisan
II. SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL
1. Sistem Bilangan Real
2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real
3. Limit Fungsi
4. Fungsi Kontinu
5. Turunan
III. INTEGRAL DARBOUX
1. Integral Darboux
2. Partisi Penghalus
3. Teorema Darboux
4. Syarat Terintegral Darboux
5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux
IV. INTEGRAL RIEMANN
1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux
2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann
3. Integral dan Turunan
4. Teorema Fundamental Kalkulus
5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral
6. Pengintegralan Parsial
7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann
8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua
V. PENUTUP
1. Kesimpulan
2. Saran DAFTAR PUSTAKA
BAB II SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL Dalam bab ini akan dibahas materi-materi yang akan digunakan sebagai
landasan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara lain: sistem bilangan real R, barisan bilangan real, limit fungsi real dan fungsi kontinu, serta turunan fungsi real.
1. Sistem Bilangan Real R
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang himpunan bilangan real R serta sifat- sifatnya. Sistem bilangan real R ternyata dibentuk dari sistem bilangan yang lebih sederhana, antara lain sistem bilangan asli N 1 , 2 , 3 , 4 , K yang anggotanya
= { } disebut bilangan asli (positive integer), sistem bilangan cacah N = , 1 , 2 , 3 , 4 , K
{ }
yang anggotanya disebut bilangan cacah (counting number), sistem bilangan bulat Z
= L , − 3 , − 2 , − 1 , , 1 , 2 , 3 , K yang anggotanya disebut bilangan bulat (integer),
{ } m ⎫
⎧ dan sistem bilangan rasional Q : m , n n yang anggotanya = ∈ Z dan ≠
⎨ ⎬
n
⎩ ⎭ disebut bilangan rasional atau pecahan.
Definisi 2. 1. 1.
Pada sistem bilangan real R untuk setiap pasangan terurut
a, b ∈ R, terdefinisi
elemen a b
- dan ab dari R berturut-turut disebut penjumlahan dan perkalian dari a dan b, dan memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini:
- c b a c b a + = + + , untuk semua ∈ c b a , , R ( Sifat asosiatif terhadap
1.
∈
∈
b
a,
R ( Sifat komutatif terhadap perkalian ) 8.
( ) ( ) bc a c ab
= , untuk semua
, c b a ,
R ( Tertutup pada perkalian ) 7. ba ab
R ( Sifat asosiatif terhadap perkalian ) 9. terdapat elemen tunggal ∈
1 R sehingga a a a = = 1 1 untuk semua ∈ a R (Elemen identitas untuk perkalian)
10. untuk setiap ∈ ≠ a a , R terdapat elemen tunggal ∈
−1 a R sehingga
1 1 =
− aa ( Elemen invers untuk perkalian )
11. ( ) bc ac c b a + = + , untuk semua ∈ c b a , , R ( Sifat distributif ) Definisi 2. 1. 2.
= , untuk semua
ab
∈
( ) ( )
b
a,
R maka ∈ + b
a
R ( Tertutup pada penjumlahan ) 2. a b b a + = + , untuk semua ∈ b
a, R (Sifat komutatif terhadap
penjumlahan) 3.
penjumlahan ) 4. terdapat elemen tunggal ∈ R sehingga a a a = + = + , untuk semua
R maka ∈
∈
a
R ( Elemen identitas untuk penjumlahan ) 5. untuk masing-masing ∈ a R terdapat elemen tunggal ∈ − a R sehingga
( ) ( )
= + − = − + a a a a (Elemen invers untuk penjumlahan ) 6. ∈
b
a,
Diberikan himpunan bilangan real R. Terdapat himpunan bagian tak kosong P dari R, yang disebut himpunan dari bilangan real positif, yang memenuhi: 1. jika ∈ b a , P maka ∈ + b a P
2. jika
a, b ab
∈ P maka ∈ P 3. jika a ∈ R maka tepat satu yang terpenuhi dari:
a a ,
∈ P, = − a P ( Sifat trikotomi ) ∈ Definisi 2. 1. 3.
R. Misal a , b
∈
a. Jika a − b ∈ P, maka dapat ditulis a > atau b b < . a P
b. Jika a − b ∈ ∪ , maka dapat ditulis a ≥ atau b b ≤ . a
{ } Teorema 2. 1. 5.
Jika a , , b c ∈ R, maka berlaku
a. jika a b b c a c < dan < , maka < b.
a < maka b a c < b c
c. a < dan b c > , maka ca < cb
d. a b c , maka ca cb < dan < > Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.7.
Teorema 2. 1. 4. 2 a. Jika a a , maka a .
∈ R, dan ≠ > b.
1 > c. Jika n ∈ N, maka n > . Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.8.
Teorema 2. 1. 5.
Jika a , untuk setiap , maka a .
∈ R dan ≤ a < ε ε > = Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.9.
Teorema 2. 1. 6.
Jika , maka berlaku
ab >
a. a > dan b > , atau b. a dan. b .
< < Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.10.
Akibat 2. 1. 7.
Jika ab , maka berlaku <
a. a < dan b > , atau b. a dan. b .
> < Bukti.
Lihat Bartle[1], Akibat 2.1.11.
Definisi 2. 1. 8. Nilai mutlak atau modulus dari bilangan real x, yang disimbolkan dengan x , didefinisikan sebagai
x , jika x
≥ ⎧
x =
⎨ x , jika x .
− < ⎩ Teorema 2. 1. 9.
Jika x , y ∈ R, maka 2 2 2
1. x = x = − x 2. xy = x ⋅ y
x
3. x = , dengan y ≠
y y Bukti.
Lihat Malik[4], Teorema 6, halaman 28.
Teorema 2. 1. 10. (Ketidaksamaan Segitiga) x, y
Untuk semua ∈ R, berlaku 1. x y x y , dan
≤ + + 2. x y x y . − ≥ − Bukti.
Lihat Malik[4], Teorema 7, halaman 29.
Definisi 2. 1. 11. Jarak antara bilangan a dan b dalam bilangan real R didefinisikan sebagai
a b − .
Misal a . Persekitaran ∈ R dan ε > ε dari a adalah himpunan
R V a x : x a .
( ) = ∈ − < ε { } Teorema 2. 1. 12.
R Diberikan a . Jika x berada pada persekitaran
V a untuk setiap , maka
∈ ( ) ε >
x a = . Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.2.8.
Definisi 2. 1. 13.
Himpunan bagian tak kosong A dari R dikatakan:
1. Terbatas ke atas jika terdapat elemen K ∈ R sehingga
x ≤ K , untuk semua x ∈ . A
Elemen K tersebut merupakan batas atas dari A.2. Terbatas ke bawah jika terdapat elemen k ∈ R sehingga
x k semua A x ≥ , untuk ∈ .
Elemen k tersebut merupakan batas bawah dari A.
3. Terbatas jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.
4. Tidak terbatas jika tidak terbatas ke atas atau tidak terbatas ke bawah.
Definisi 2. 1. 14. di R dan ditulis
batas atas terkecil ( supremum )
M sup A ,
= jika terdapat elemen M ∈ R sehingga a. M adalah batas atas untuk A, yaitu x ≤ M , untuk semua x ∈ , A
b. Tidak ada batas atas yang lebih kecil dari M, yaitu Jika M ′ < M , maka terdapat x ∈ sehingga A x > M ′ ,
Atau dengan kontrapositifnya, Jika M ′ adalah batas atas untuk A, maka M M ′ .
≤ Lemma 2. 1. 15.
Batas atas u dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan supremum jika dan hanya jika untuk setiap > terdapat s ∈ S sehingga u − < .
ε ε s
ε ε Bukti.
Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.
Definisi 2. 1. 16.
Misal A adalah himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan A mempunyai
batas bawah terbesar ( infimum ) di R dan ditulis
m = inf A ,
jika terdapat elemen m ∈ R sehingga
a. m adalah batas bawah dari A, yaitu m ≤ , untuk semua x x ∈ , A
b. tidak ada batas bawah yang lebih besar dari m, yaitu jika m′ adalah batas bawah dari A, maka m ′ m .
Lemma 2. 1. 17.
Batas bawah v dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan infimum jika dan hanya jika untuk setiap terdapat b S sehingga u .
ε > ∈ − ε b >
ε ε Bukti.
Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.
Definisi 2. 1. 18.
Setiap himpunan real R disebut lengkap jika setiap himpunan bagian tak kosong yang terbatas ke atas mempunyai batas atas terkecil (supremum) pada R.
Sejalan dengan hal di atas, dapat juga disebut lengkap jika himpunan bagian tak kosong yang terbatas ke bawah mempunyai batas bawah terbesar (infimum).
Teorema 2. 1. 19.
a. Misal S adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas ke atas, dan a ∈ R, maka sup a S a sup S .
( ) + +
=
b. Misal A dan B adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang memenuhi:
a b untuk semua a A b B
≤ , ∈ dan ∈ maka sup A ≤ inf B .
c. Misal f dan g adalah fungsi bernilai real yang terbatas dengan domainnya R.
D ⊆ sup f x g x . x ∈ D x ∈ D ( ) ≤ sup ( ) ii) Jika f x ≤ g y , untuk semua x , y ∈ D , maka
( ) ( ) sup f ( ) x ≤ inf g ( ) y . x ∈ D y ∈ D Bukti.
Lihat Bartle[1], Contoh 2.4.1. dan Contoh 2.4.2.
Teorema 2. 1. 20.
Himpunan A
x A
⊂ R disebut Archimedean jika untuk setiap ∈ , maka terdapat bilangan n x n . x x ∈ N sehingga < Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.3.
Teorema 2. 1. 21. (Teorema Kepadatan)
Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan x < , maka terdapat bilangan y Q rasional r ∈ sehingga x < r < y .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.8.
Teorema 2. 1. 22.
Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan x < , maka terdapat bilangan y Q irasional z sehingga x z y . ∈ < <
Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.9.
2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang barisan bilangan real dan limit barisan beserta sifat-sifatnya yang akan digunakan pada bab selanjutnya.
Definisi 2. 2. 1.
Barisan bilangan real S adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan
{ } n
bilangan asli N dan daerah hasilnya ( range) termuat dalam himpunan bilangan real R. dan disimbolkan dengan S N : → R.
Contoh 2. 2. 2.
a. Jika b b b , b , b , K yang anggotanya adalah bilangan b ∈ R, barisan { } { = } n semua, biasa disebut barisan konstanta b.
b. Barisan Fibonacci f , barisan didefinisikan sebagai berikut:
{ } n
( ) 1 2 n 1 n −
1 ; f = 1 ; f = f f , n ≥ + f = 2 .
- 1 n Definisi 2. 2. 3.
Barisan S dikatakan konvergen ke bilangan real l ∈ R atau l adalah limit dari
{ } n { } S jika untuk setiap > , terdapat bilangan bulat m > sehingga n ε
S − l < ε , untuk semua n ≥ . m n Barisan yang mempunyai limit disebut barisan konvergen dan jika tidak mempunyai limit atau tidak konvergen disebut divergen.
Definisi 2. 2. 4.
Barisan S dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real K > sehingga
{ } n
S ≤ K , untuk semua n ∈ N.
n Teorema 2. 2. 5.Setiap barisan real yang konvergen pasti terbatas.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.2.
Teorema 2. 2. 6.
a. Jika
X dan Y adalah dua barisan yang berturut-turut konvergen ke x { } { } n n
X Y ,
X Y ,
X Y , dan
∈ { } { − } { } n n n n n n
- R dan y, dan misal c , maka barisan
{ } − n
- cX berturut-turut konvergen ke x y , x y , xy dan cx .
b. Jika
X konvergen ke x dan Z adalah barisan bilangan real tak nol { } { } n n
⎧
X ⎫ n
yang konvergen ke z dan jika z ≠ , maka barisan konvergen ke ⎨ ⎬
Z n
⎩ ⎭
x . z Bukti.
Teorema 2. 2. 7.
Jika
X adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x dan jika X , { } n n ≥
N untuk semua n , maka x = lim
X ≥ .
∈ { } n Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.4.
Teorema 2. 2. 8.
Jika
X dan Y adalah dua barisan yang konvergen dan X ≤ , untuk Y { } { } n n n n
N semua n , maka ∈ lim
X ≤ lim Y .
{ } { }
n n Bukti.Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.5.
Teorema 2. 2. 9.
Misalkan
X , Y , dan Z adalah barisan bilangan real dengan { } { } { } n n n
N
X ≤ Y ≤ Z , untuk semua n ∈ ,
n n ndan lim { }
X = lim { } Z , maka { } Y konvergen dan n n n .
lim { }
X = lim { } Y = lim { } Z
n n n Bukti.Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.7.
Teorema 2. 2. 10.
Misal barisan S konvergen ke s, maka barisan nilai mutlak S konvergen
{ } n { } n ke s . Dengan kata lain jika s = lim S , maka s = lim S .
{ } n { } n Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.9.
Definisi 2. 2. 11.
Misal adalah barisan bilangan real. Barisan dikatakan monoton naik
{ } S { } S n n
jika memenuhi ketidaksamaan
S S S L S S L .
1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 3 n n +1 Barisan S dikatakan monoton turun jika memenuhi ketidaksamaan{ } n
S S S L S S L ..
1 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 2 3 n n +1Barisan S dikatakan monoton jika barisan itu monoton naik ataupun monoton
{ } n turun.
Teorema 2. 2. 12.
Barisan bilangan real yang monoton akan konvergen jika dan hanya jika barisan itu terbatas. Lebih lanjut: a. Jika S adalah barisan naik terbatas , maka
{ } n
N lim S = sup S : n ∈ .
{ } { }
n n
b. Jika S adalah barisan turun terbatas , maka
{ } n
N lim S inf S : n .
{ } = { ∈ }
n n
Bukti.Lihat Bartle[1], Teorema 3.3.2.
Definisi 2. 2. 13.
Misal S adalah barisan bilangan real dan n < n < n < L < n < L adalah
{ } n 1 2 k
barisan naik tegas dari bilangan asli. Barisan S yang didefinisikan dengan
{ } n k
K L
S , S , , S ,
{ }
n n n 12 k
disebut dengan subbarisan dari S .{ } n Teorema 2. .2. 14.
Jika barisan S konvergen ke bilangan real s, maka sebarang subbarisan S
{ } n n { } k juga konvergen ke s.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.2.
Teorema 2. 2. 15.
Diberikan barisan bilangan real S . Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen:
{ } n
R a. Barisan S tidak konvergen ke x ∈ .
{ } n
N
b. Terdapat bilangan > sehingga untuk sebarang k ∈ , terdapat
ε
N n ∈ sehingga n ≥ dan k S − s ≥ . k k n
k ε c. Terdapat bilangan dan subbarisan S sehingga S s
ε > { } − ≥ ε n n k k
N untuk semua k . ∈ Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.4.
Definisi 2. 2. 16.
Jika barisan bilangan real S memenuhi salah satu pernyataan di bawah ini,
{ } n maka S divergen. { } n
a. S mempunyai dua subbarisan S dan S yang konvergen tetapi
{ } { } { } n n r k k limitnya tidak sama.
b. { } S tak terbatas. n Teorema 2. 2. 17.
S S
Jika { } adalah barisan bilangan real, maka terdapat subbarisan dari { } yang n n monoton.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.7.
Definisi 2. 2. 18.
Barisan S dikatakan barisan Cauchy atau barisan fundamental jika untuk
{ } n
N setiap 0 , terdapat bilangan real H sehingga ε > ∈
S S , untuk semua m , n H .
Teorema 2. 2. 19. (Kriteria Cauchy)
Barisan bilangan real konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut adalah barisan Cauchy.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.5.5.
3. Limit Fungsi Pada subbab ini akan dipaparkan tentang limit pada fungsi bilangan real. Definisi 2. 3. 1.
Fungsi f dikatakan mendekati limit l untuk x mendekati c jika untuk setiap ε > terdapat sehingga untuk x c mengakibatkan f x , dan
δ > < − < δ ( ) − l < ε ditulis lim f x = l . x → c
( )
Definisi 2. 3. 2.Diberikan fungsi f. Jika fungsi f mendekati limit l untuk x mendekati c dari sisi kiri disebut limit kiri dari f pada c, dan ditulis lim f x l , x → c − ( ) = jika diberikan terdapat sehingga untuk c x mengakibatkan
ε > δ > < − < δ f x .
( ) − l < ε Jika fungsi f mendekati limit l untuk x mendekati c dari sisi kanan disebut limit
kanan dari f pada c, dan ditulis
lim f x = l ,
( )
- x → c
jika diberikan terdapat sehingga untuk x c mengakibatkan ε > δ > < − < δ f x .
( ) − l < ε Teorema 2. 3. 3.
Fungsi f dikatakan mempunyai limit pada titik c jika dan hanya jika limit kanan dan limit kiri pada titik c ada dan nilai keduanya sama, atau ditulis lim f ( ) x = l jika dan hanya jika lim f ( ) x = l = lim f ( ) x . x →
- c x → c − x → c Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 4.3.2.
Definisi 2. 3. 4.
Jika fungsi f mempunyai limit l pada titik c, maka dapat dikatakan bahwa f konvergen ke l pada c, dan jika f tidak mempunyai limit pada titik c, maka dapat dikatakan f divergen pada titik c.
Teorema 2. 3. 5.
Jika f dan g adalah fungsi yang terdefinisi pada daerah sekitar titik c sehingga lim f x = l dan lim g x = m , x → c x → c
( ) ( ) maka a. lim f g x lim f x lim g x l m , x → c x → c x → c ( ± )( ) = ( ) ± ( ) = ± b. lim fg x = lim f x ⋅ lim g x = lm , x → c x → c x → c ( )( ) ( ) ( ) lim f x
( )
⎛ f ⎞ l x → c c. lim x = = , jika m ≠ .
( ) x → c ⎜⎜ ⎟⎟ g lim g ( ) x m
⎝ ⎠ x → c
Bukti: Lihat Malik[4], Teorema 1, halaman 158.
Teorema 2. 3. 6. (Kriteria Cauchy untuk Limit berhingga)
Fungsi f mendekati limit berhingga untuk x mendekati c jika dan hanya jika untuk setiap terdapat persekitaran N dari c sehingga ε >
f x ′ f x ′′ , untuk semua x ′ , x ′′ ∈ N ; x ′ , x ′′ ≠ c .
( ) ( ) − < ε Bukti: Lihat Malik[4], Teorema 2, halaman 164.
Teorema 2. 3. 7.
Jika f mempunyai titik limit c R, maka f terbatas pada persekitaran titik c.
∈ Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 4.2.2.
Definisi 2. 3. 8.
Diberikan fungsi f dan titik c ∈ I ⊆ R. Fungsi f dikatakan mendekati ke x → , dan ditulis c
∞ untuk lim f , x → c = ∞ jika untuk setiap sehingga untuk semua x
I
α R terdapat ∈ δ > ∈ dengan x c , maka f x . < − < ( ) > α
δ Fungsi f dikatakan mendekati ke - x c
→ , dan ditulis
∞ untuk
lim f , x → c = −∞ jika untuk setiap sehingga untuk semua x
I
β R terdapat ∈ δ > ∈ dengan x c , maka f x . < − < ( ) <
δ β Definisi 2. 3. 9.
Fungsi f dikatakan mendekati l untuk x , dan ditulis → ∞ lim f l atau lim f x l , x → ∞ x → ∞ = ( ) = jika diberikan sebarang akan terdapat K sehingga untuk sebarang
ε > > x K f x . > berlaku ( ) − l < ε
4. Fungsi Kontinu
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang fungsi bilangan real yang kontinu beserta sifat-sifatnya.
Definisi 2. 4. 1.
Fungsi f dikatakan kontinu pada titik c dengan a c b , jika < < lim f x f c , x → c ( ) = ( ) dengan kata lain, fungsi f kontinu pada titik c jika untuk setiap terdapat ε >
> sehingga δ
f x − c f < , di mana x − c < .
( ) ( ) ε δ
Definisi 2. 4. 2.Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup
a, b jika f kontinu pada setiap [ ] titik pada interval tersebut.
Fungsi f dikatakan diskontinu pada titik c jika f tidak kontinu pada titik tersebut, dan titik c disebut sebagai titik diskontinuitas dari fungsi f.
Teorema 2. 4. 3.
Jika fungsi f dan g adalah dua fungsi yang kontinu pada titik c dan d adalah
- sebarang bilangan real, maka fungsi f g , f − g , fg , df juga kontinu pada titik c
f dan jika g c , maka fungsi juga kontinu pada titik c.
( ) ≠ g Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 5.2.2.
Teorema 2. 4. 4.
Fungsi f yang terdefinisi pada interval I kontinu pada titik c ∈ jika dan hanya
I
jika untuk setiap barisan { } c pada I yang konvergen ke c, didapat n n → ∞ lim f ( ) c = f ( ) c . n
Lihat Malik[4], Teorema 4, halaman 167.
Definisi 2. 4. 5.
Fungsi f dikatakan terbatas pada interval tertutup
a, b jika terdapat konstanta [ ]
M sehingga
>
f x M , untuk semua x a , b .
( ) ≤ ∈ [ ]
Teorema 2. 4. 6. (Teorema Keterbatasan)
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup
a, b , maka f terbatas pada interval [ ] tersebut.
Bukti: Lihat Malik[4], Teorema 5, halaman 174.
Teorema 2. 4. 7. (Teorema Lokasi Akar)
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup
a, b dan jika f a < 0 < f b , atau [ ] ( ) ( )
jika f a > 0 > f b , maka terdapat bilangan ∈ a, b sehingga f = .
( ) ( ) α ( ) ( ) α Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 5.3.5.
Teorema 2. 4. 8. (Teorema Nilai Tengah)
Jika fungsi f kontinu pada
a, b dan f a ≠ f b , maka fungsi f mencapai semua [ ] ( ) ( ) nilai di antara f ( ) a dan f ( ) b .
Bukti: Lihat Malik[4], Teorema 9, halaman 177-178.
Akibat 2. 4. 9. (Teorema Nilai Ektrim)
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup
a, b , maka fungsi f mencapai semua [ ] nilai di antara batas-batasnya.
Bukti: Lihat Malik[4], Akibat, halaman 178.
Teorema 2. 4. 10. (Teorema Titik Tetap)
Jika fungsi f kontinu pada
a, b dan f x ∈ a , b , untuk setiap x ∈ a , b , maka f [ ] ( ) [ ] [ ]
mempunyai titik tetap, yaitu terdapat titik c ∈ a , b sehingga f c = . c
[ ] ( ) Bukti: Lihat Malik[4], Teorema 10, halaman 178-179.
Definisi 2. 4. 11.
Fungsi f terdefinisi pada
a, b dikatakan memenuhi sifat nilai menengah pada [ ]
a, b jika untuk setiap x , x ∈ a , b dengan x < x dan untuk setiap A yang
[ ] [ ] 1 2 1 2