Mekanika Terapan Teknika Pelayaran

MEKANIKA TERAPAN

BP2IP TANGERANG | ATT-III | January 1, 2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Esa, atas segala

rahmat dan karunianya sehingga kami dapat menyelesaikan buku Mekanika Terapan Untuk

Teknika ini dengan baik.

Buku ini disusun berdasarkan kurikulum dan silabus dari International Maritime

Organisation sebagaimana termuat dalam IMO Model Course 7.04 tentang Officer in Charge of

. Materi yang disusun dalam buku ini dibuat ringkas tetapi lengkap dan an Engineering Watch

disertai contoh-contoh soal dengan penyelesaiannya supaya memudahkan pembaca untuk

memahami materi.

Semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pengajar, siswa/taruna dan para pembaca untuk

memahami dan menguasai konsep-konsep dasar mekanika maupun penerapannya dalam

kehidupan sehari-hari khususnya dalam mempelajari materi-materi produktif teknika kapal.

Kritik dan saran dibuka seluas-luasnya untuk perbaikan buku ini dalam edisi mendatang.

Penyusun

DAFTAR ISI

..... 1

1.1 Vektor Gaya

1.2 Resultan Gaya

1.3 Komponen Gaya

1.4 Momen Gaya

1.5 Kopel

1.6 Titik Berat dan Centroid

..... 39

2.1 Kecepatan dan Efek Perubahan Arah

2.2 Harga Sesaat

2.3 Perubahan Kecepatan

2.4 Kecepatan Relatif

2.5 Gaya Gesek

..... 67

3.1 Tekanan

3.2 Hukum Pascal

3.3 Prinsip Archimedes

..... 84

4.1 Pengertian Debit

4.2 Persamaan Kontinuitas

4.3 Asas Bernoulli

4.4 Teorema Torricelli

PENGENALAN SATUAN SI DAN FAKTOR KONVERSI Besaran pokok dan satuannya Besaran Pokok Simbol Satuan Simbol

panjang l meter m massa m kilogram kg waktu t sekon s kuat arus Ampere A

suhu T Kelvin K jumlah zat N mol mol intensitas cahaya J kandela cd

Beberapa besaran turunan dan satuannya Besaran Turunan Rumus Satuan dan Simbol dan Simbol

luas (A) m panjang × lebar

volume (V) m panjang × lebar × tinggi

massa massa jenis ( kg/m

) ⁄ volume kecepatan (v) m/s perpindahan

⁄ waktu

m/s percepatan ( kecepatan )

⁄ waktu

gaya (F) kg m/s = Newton (N) massa × percepatan

usaha dan energi (W) kg m /s = Joule (J) gaya × perpindahan

gaya tekanan (P) kg/m.s = Pascal (Pa)

⁄ luas

daya kg m /s = Watt (W) usaha

⁄ waktu impuls dan kg m/s = N.s gaya × waktu momentum

Awalan satuan (Prefix of units) Awalan Simbol Faktor Pengali Contoh

kilo k 10 atau ×1000 kilometer (km)

hekto h 10 atau ×100 hektometer (hm)

deka da 10 atau ×10 dekameter (dam)

satuan

10 atau ×1 meter (m)

desi d 10 atau ×0,1 desimeter (cm)

senti 10 atau ×0,01 sentimeter (cm)

milli m 10 atau ×0,001 millimeter (mm)

1852 3600

 1 are = 43.560 kaki

= 4048 m

 1 dm

= 1 liter

 1 cc (cm

) = 1 milliliter (mL)  1 gal = 3,786 L Kelajuan  1 knot = 1 mil/jam = 1,852 km/jam

 1 km/jam =

1000 3600

m/s = 0,2778 m/s  1 knot = 1 mil/jam =

= 0,5144 m/s Waktu

Awalan Simbol Faktor Pengali Contoh

 1 jam = 60 menit = 3600 sekon Massa  1 ton = 1000 kg  1 kg = 2,204 lbs Massa jenis  1 g/cm

= 1000 kg/m

 1 N = 1 kg.m/s

= 0,2248 pon = 10

dyne Tekanan

 1 Pa (Pascal) = 1 N/m

 1 bar = 10

 1 atm = 101,325 kPa = 1,01325 bar  1 atm = 760 mmHg  1 torr = 1 mmHg = 133,32 Pa Energi

= 10

terra T

atau ×1000000000000 terrameter (Tm) giga G

atau ×1000000000 gigameter (Gm) mega M

atau ×1000000 megameter (Mm) kilo k

atau ×1000 kilometer (km)

satuan 10 atau ×1 meter (m)

milli m

 1 nautical mile = 1,852 km = 1852 m  1 m = 1,0936 yard = 3,281 kaki = 39,37 inci  1 inci = 2,54 cm  1 kaki = 12 inci = 30,48 cm Luas  1 m

Panjang

Faktor Konversi Satuan

atau ×0,000000000001 pikometer (pm)

atau ×0,000000001 nanometer (nm) piko p

atau ×0,000001 mikrometer ( m) nano n

atau ×0,001 millimeter (mm) mikro

2 Volume

3 Gaya

5 Pa

N.m

3 Massa bumi M 5,98 × 10

3 Massa jenis/densitas besi 7.860 kg/m

3 Massa jenis/densitas air laut 1025 kg/m

3 Massa jenis/densitas air tawar 1000 kg/m

2 Massa jenis/densitas udara 1,22 kg/m

2 Percepatan gravitasi bumi 9,81 m/s

/kg

Jenis Konstanta Simbol Nilai Konstanta gravitasi G 6,672 × 10

HP Konstanta-Konstanta penting

1 W = 1,341 x 10

 1 watt = 1 Joule/sec = 0,86 kcal/h  1 daya kuda (HP) = 745,7 W 

J Daya

1 Btu = 1054,35 J  1 erg = 10

 1 Kal = 4,1840 J 

 1 Joule = 0,24 kal

 1 Joule = 1 N.m=1 Watt.sekon

 1 kW h = 3,6 MJ

BAB I STATIKA Statika adalah bahasan dalam fisika yang mempelajari tentang sistem gaya dalam keadaan benar-benar diam.

1.1 Vektor Gaya

Gaya, simbol F, adalah tarikan atau dorongan yang merubah keadaan benda yang diam atau benda yang bergerak dengan kecepatan tetap. Satuan gaya adalah Newton. Satu Newton adalah gaya yang apabila dikenakan pada benda 1 kg menyebabkan benda tersebut

2 mengalami percepatan sebesar 1 m/s .

Untuk menjelaskan mengenai gaya, besar dan arahnya harus ditentukan. Sehingga gaya termasuk besaran vektor yaitu besaran yang memiliki nilai dan arah. Vektor digambarkan dengan garis panah berskala. Dalam hal vektor gaya panjang garis menyatakan besar gaya dan arah panah menyatakan arah garis kerja gaya.

U 12,5 N

20 N

15 N

Gaya 12,5 N

Gaya 20 N bekerja bekerja dengan

Gaya 15 N dengan arah ke arah ke Barat bekerja dengan Timur Laut arah ke Selatan

Gambar 1.1 Beberapa vektor yang menggambarkan gaya.

1.2 Resultan Gaya

Resultan dari beberapa gaya adalah sebuah gaya yang menghasilkan efek yang sama jika menggantikan gaya-gaya tersebut. Gambar 1.2 menunjukkan tiga gaya yang nilainya 5, 10 dan 8 N menarik benda dengan arah yang sama. Diperoleh resultan gayanya adalah 23 N dalam arah yang sama. Ini adalah kasus sederhana berupa gaya-gaya sejajar yang mana resultan gaya diperoleh dengan penjumlahan aljabar biasa.

8 N

5 N

10 N

5 N Resultan = 8 + 5 + 10 = 23 N

Diagram ruang Diagram vektor

Gambar 1.2 Resultan gaya Diagram ruang menggambarkan sistem gaya, sedangkan diagram vektor menggambarkan vektor-vektor secara berskala dan dihubungkan dari ujung ke ujung. Untuk menghitung resultan dari gaya-gaya yang arahnya tidak sejajar digunakan metode poligon gaya. Setiap vektor digambar dengan skala persis sesuai dengan besar dan arahnya, kemudian pangkal vektor kedua diletakkan pada ujung vektor pertama, pangkal vektor ketiga diletakkan pada ujung vektor kedua, demikian seterusnya. Vektor resultan diperoleh dengan menarik garis dari pangkal vektor pertama dan ujung vektor terakhir.

8 N

10 N

23 °

10 N

5 N

5 N Diagram ruang Diagram vektor

Gambar 1.3 Menentukan resultan gaya

Equilibrant Equilibrant adalah gaya tunggal yang apabila ditambahkan ke suatu sistem gaya akan menyebabkan benda dalam keseimbangan. Dengan kata lain equilibrant akan menetralkan gaya-gaya lain.

8 N

10 N

8 N

10 N

5 N

10 N

5 N Diagram ruang Diagram vektor

Gambar 1.4 Menggambarkan equilibran

Segitiga Gaya Jika tiga gaya bekerja pada suatu titik dalam keadaan setimbang, diagram vektor yang digambarkan dengan skala merepresentasikan gaya dalam nilai dan arah, akan berbentuk segitiga tertutup.

a 60 ° 60 °

50 °

C B A Diagram c 400 N vektor Beban

400 N

50 °

Diagram ruang b

Gambar 1.5 Segitiga gaya

Poligon Gaya Jika beberapa gaya bekerja pada sebuah titik berada dalam kesetimbangan, maka diagram vektor yang digambarkan dengan skala merepresentasikan gaya dalam nilai dan arah, akan berbentuk poligon tertutup.

8 N

10 N

8 N

5 N

10 N

5 N Diagram ruang Diagram vektor

Gambar 1.6 Poligon gaya

Kedua teorema di atas pada dasarnya sama, kecuali bahwa segitiga gaya berlaku hanya untuk sistem tiga gaya sedangkan poligon gaya untuk gaya yang lebih dari tiga. Gaya Concurrent dan Gaya Coplanar Parallel Garis-garis aksi dari 3 gaya coplanar (sebidang) dalam keseimbangan, atau sejumlah gaya dalam kesetimbangan yang mana dapat direduksi menjadi 3 gaya, pasti akan bertemu pada titik yang sama atau paralel satu dengan lainnya.

4 N

6 N

10 N

Gambar 1.7 Gaya concurrent dan gaya coplanar parallel

Notasi Bow Metode ini untuk mendefinisikan gaya dalam sistem gaya dengan memberikan huruf pada ruang dalam diagram ruang dengan huruf kapital A, B, C dst. Sehingga masing-masing gaya dapat dinyatakan oleh dua huruf dari dua ruang yang terpisah gaya, seperti gaya AB, gaya BC dan seterusnya.

c A b B

E C D Diagram d vektor a

Diagram ruang e

Gambar 1.8 Notasi Bow untuk menentukan diagram ruang dan diagram vektor

Vektor masing-masing gaya dalam diagram vektor diberi label dengan huruf kecil pada pangkal dan ujung vektor seperti ab, bc, dst.

1.3 Komponen Gaya

Gaya dapat diuraikan menjadi komponen vertikal dan horizontal

F adalah komponen gaya horisontal, sejajar sumbu x

F adalah komponen gaya vertikal, sejajar sumbu y

Gambar 1.9 Komponen horisontal dan vertikal gaya

= cos = sin Contoh:

o Sebuah benda ditarik dengan gaya 100 N yang kemiringannya 60 terhadap horisontal.

Tentukan komponen-komponen rectanguler gaya! 100 N

60°

Penyelesaian: = cos = 100 × cos 60 = 100 × 0,5 = 50 = sin = 100 × sin 60 = 100 × 0,866 = 86,6

Penjumlahan Dua Vektor Dengan Aturan Cosinus

A R B A B R

Gambar 1.10 Resultan dua gaya dengan metode jajaran genjang

Dua buah gaya A dan B bekerja pada satu titik membentuk sudut

, maka resultan gaya R dapat diperoleh dengan persamaan,

= √ + 2. . . cos + Aturan Segitiga Sinus

c A B a b

Gambar 1.11 Aturan segitiga sinus

Sebuah segitiga memiliki sisi

A, B dan C, berhadapan dengan sudut a, b dan c, maka berlaku prinsip segitiga sinus sebagai berikut: sin = sin = sin Contoh Penerapan 1.

Tali Sling

Dua buah tali disambung kemudian kedua ujung tali dipasang pada suatu atap, kemudian diberi beban 400 N seperti gambar di bawah. Jika tali membentuk sudut

o o

50 dan 60 terhadap vertikal, hitunglah besar gaya tarikan pada masing-masing tali! Jawab: Pertama kita gambarkan dalam diagram ruang kemudian kita buat diagram vektornya dengan Notasi Bow.

a 60 ° 60 °

50 °

C B A Diagram c 400 N vektor Beban

400 N

50 °

Diagram ruang b

Gambar 1.12 Diagram ruang dan diagram vektor pada tali sling

Untuk menghitung gaya-gaya, kita hitung terlebih dahulu sudut acb (di depan vektor gaya 400 N)

Sudut acb = 180

– (60 + 50) = 70 Kemudian menggunakan aturan segitiga sinus kita hitung gaya pada tali ac,

400 = sin 50 sin 70

400 × 0,766 =

0,9397 = 326

Gaya pada tali bc, 400

= sin 60 sin 70 400 × 0,866

= 0,9397

= 368,6 Jadi gaya pada tali AC = 326 N, dan gaya pada tali BC = 368,6 N.

2. Jib Crane

Sudut antara jib dan tiang vertikal (vertical post) pada JIB Crane adalah 42 , dan

antara tie dan jib sudutnya 36 . Hitunglah gaya pada jib dan tie ketika benda

bermassa 3,822 . 10 kg dibebankan pada kepala crane!

Tie Jib Post

Gambar 1.13 JIB crane

Kita gambarkan diagram ruang dan diagram vektor dengan Notasi Bow,

Gambar 1.14 Diagram ruang dan diagram vektor dengan

Notasi Bow pada jib crane.

Berdasarkan diagram vektor, Sudut cab = 180

° - (42° + 36°) = 102° Menggunakan aturan segitiga sinus, Gaya pada JIB 37,5

= sin 102° sin 36° 37,5 × 0,9781

Gaya pada JIB = 0,5878

= 62,38 kN Gaya pada TIE 37,5

= sin 42° sin 36° ⁄

= 42,69 kN Gaya pada TIE = (37,5 × 0,6691) 0,5878 3.

Mekanisme Torak Mesin (Reciprocating Engine Mechanism)

Connecting rod dan crank pada torak mesin mengkonversi gerak bolak-balik pada piston menjadi gerak rotasi pada sumbu crank. Berdasarkan gambar di bawah dan dengan melihat pertemuan gaya pada crosshead, bagian bawah lengan piston menekan secara vertikal turun pada crosshead. Dorongan connecting road muncul sebagai gaya hambat ke atas dengan kemiringan

, dan gaya pada guide merupakan sebuah gaya horisontal untuk menyeimbangkan komponen horisontal dari dorongan connecting road.

Gambar 1.15 Sistem gaya pada thorak mesin

Karena gaya piston selalu bekerja secara vertikal, dan gaya guide selalu horisontal. Vektor diagram gaya-gaya pada crosshead selalu berbentuk segitiga yang menyudut ke kanan. Catat bahwa sudut antara Top Dead Centre (pusat garis mesin) dan connecting road adalah dalam diagram ruang, adalah sama dengan sudut antara gaya piston dan gaya dalam connecting road dalam diagram vektor.

Contoh Soal: Piston pada torak mesin mendorong dengan gaya 160 kN pada crosshead ketika

crank 35 dari Pas Top Dead Centre. Jika langkah pada piston adalah 900 mm dan panjang connecting road adalah 1,65 m, hitunglah gaya pada crosshead guide dan gaya pada connecting rod! Penyelesaian: Berdasarkan diagram ruang, Panjang crank = ½ × langkah = 0,45 m Panjang connecting rod = 1,65 m Sudut crank terhadap Top Death Center (TDC) =

= 35° Menggunakan aturan segitiga sinus

0,45 1,65 sin = sin 35° 0,45 × 0,5736 sin =

1,65 = 0,1564

−1

= sin 0,1564 = 9°

Berdasarkan diagram vektor, = 9° tan = = 160 × tan 9°

= 25,34 cos = 160

= cos 9° = 162

1.4 Momen Gaya Gaya tidak hanya cenderung untuk menggerakan benda tetapi juga untuk memutar benda.

Ukuran keefektifan sebuah gaya yang bekerja pada suatu benda untuk memutar benda tersebut terhadap suatu poros tertentu disebut momen gaya atau torsi.

O A 90°

Gambar 1.16 Torsi atau momen gaya Perhatikan gambar di atas! Sebuah gaya digunakan untuk memutar sebuah batang pada jarak dari sumbu putar O. Arah gaya tegak lurus lengan gaya . Maka besarnya momen gaya tergantung pada besar gaya dan panjang lengan momen , dirumuskan dengan persamaan

Momen gaya = gaya × lengan momen = .

Lengan momen ( ) merupakan panjang garis yang ditarik dari titik poros O sampai memotong tegak lurus garis kerja vektor gaya

. Terkadang gaya disimbolkan juga dengan huruf P, maka momen gaya kadang dirumuskan = .

Torsi termasuk besaran vektor yang memiliki nilai dan arah. Arah momen gaya mengikuti aturan putaran tangan kanan.

ℎ ℎ

Gambar 1.17 Arah momen gaya mengikuti aturan putaran tangan kanan

Dilihat dari atas, jika arah putaran keempat jari/arah gaya berlawanan arah putaran jarum jam, maka torsi bertanda positif (+), sebaliknya jika arah putaran keempat jari searah jarum jam, maka torsi bertanda negatif ( - ). Momen gaya total pada suatu benda yang disebabkan oleh dua buah gaya atau lebih yang bekerja terhadap suatu poros, dirumuskan sebagai berikut

Σ = + ⋯ + +

Keseimbangan Rotasi ( Rotational Equilibrum)

Ketika sebuah benda dikenai beberapa gaya berada dalam kesetimbangan rotasi, jumlah momen gaya searah jarum jam terhadap suatu titik adalah sama dengan jumlah momen gaya berlawanan arah jarum jam terhadap titik yang sama.

Sebagai contoh perhatikan gambar berikut!

2 O

4 A

Gambar 1.18 Sebuah benda dikenai beberapa gaya berada dalam kesetimbangan rotasi

Perhatikan gaya-gaya sebidang , , dan bekerja bersama-sama pada sebuah benda

dan menjaga benda tetap pada kesetimbangan. AA adalah sumbu yang mana benda dapat berputar. , , dan adalah jarak masing-masing gaya tegak lurus terhadap O.

4 Momen gaya dari gaya-gaya tersebut adalah:

Momen gaya adalah , searah jarum jam (-) = ×

1 Momen gaya adalah , berlawanan arah jarum jam (+)

= ×

2 Momen gaya adalah , searah jarum jam (-)

= ×

3 Momen gaya adalah , berlawanan arah jarum jam (+)

= ×

4 Resultan momen-momen gaya ini adalah sama dengan penjumlahan aljabar dari semua momen gaya disekitar O.

Momen gaya resultan

Σ = + +

= − −

4 Karena benda berada dalam keseimbangan rotasi, maka berdasarkan prinsip momen, momen resultan pastilah nol.

− − = 0 + +

= + +

4 Jika sistem berada pada keseimbangan rotasi maka:

Jumlah momen gaya berlawanan arah jarum jam = jumlah momen gaya searah jarum jam

∑ = ∑ Kondisi Kesetimbangan Untuk Benda-Benda di Bawah Pengaruh Gaya-Gaya Sebidang Non-Concurrent (Tidak Bertemu pada Satu Titik) Ketika sebuah benda di bawah pengaruh sistem gaya sebidang non-concurrent, maka benda mungkin akan berputar ke arah resultan momen sistem gaya, atau mungkin benda akan bergerak secara horisontal atau vertikal ke arah komponen gaya vertikal dan horisontal. “Benda dapat berada dalam kesetimbangan jika jumlah aljabar semua gaya luar dan momen gaya terhadap suatu titik pada bidang tersebut adalah nol

”. Secara matematik, kondisi kesetimbangan dapat dinyatakan sebagai berikut:

∑ = 0 (jumlah semua komponen gaya horisontal nol) ∑ = 0 (jumlah semua komponen gaya vertikal nol) ∑ = 0 (jumlah semua momen gaya nol)

Ketika gaya-gaya sebidang bertemu pada suatu titik, sistem gaya disebut dengan sistem gaya sebidang concurrent. Sistem ini akan setimbang jika memenuhi kondisi ∑ = 0 dan ∑ = 0.

Ketika gaya-gaya sebidang tidak bertemu pada suatu titik sistem disebut dengan sistem gaya sebidang non-concurrent. Sistem ini akan seimbang jika semua dari ketiga kondisi kesetimbangan terpenuhi ∑ = 0, ∑ = 0 dan ∑ = 0. Kondisi

∑ = 0 dan ∑ = 0 meyakinkan bahwa sistem tidak direduksi menjadi gaya tunggal dan kondisi ∑ = 0 meyakinkan bahwa sistem tidak berubah menjadi sebuah kopel.

Pada kasus sistem gaya sebidang non-concurrent ∑ bisa sama dengan nol tetapi sistem belum tentu setimbang karena titik dimana momen gaya diambil mungkin berada pada garis aksi dari resultan gaya. Maka pada kasus ini, semua dari tiga kondisi kesetimbangan harus terpenuhi.

Teorema Varignon “Jumlah aljabar dari momen dua gaya terhadap titik manapun pada bidang mereka sama dengan momen gaya dari resultan 2 gaya tersebut terhadap suatu titik

”. Contoh: Kasus 1: Ketika dua gaya bertemu pada satu titik.

Gambar 1.19 Gaya P dan Q bekerja pada titik AGambar 1.19 menunjukkan gaya P dan Q bekerja pada titik A. besarnya P dinyatakan oleh

AB dan Q dinyatakan oleh AD. Dengan metode jajaran genjang diperoleh AC yang menyatakan resultan R dari P dan Q. Ambil titik manapun O pada bidang gaya P dan Q dan dalam garis CD sebagaimana pada gambar. Gabungkan OB dan OA

Momen gaya P terhadap O = 2 ∆OAB Momen gaya Q terhadap O = 2 ∆OAD Momen gaya R terhadap O = 2 ∆OAC

Tetapi luas ∆OAB = luas ∆ABC = luas ∆ACD Penjumlahan aljabar momen gaya dari gaya P dan Q

= 2 ∆OAB + 2 ∆OAD = 2 ∆ACD + 2 ∆OAD

(Substitusi ∆ACD untuk + ∆OAB yang sama) = 2 ∆ACD + 2 ∆OAD = 2 (∆ACD + ∆OAD) = 2 ∆OAC = momen gaya R terhadap O

Catatan: berdasarkan gambar 1.20 tinjau gaya P yang dapat dinyatakan dalam besar dan arah oleh garis AB. Tentukan O menjadi titik yang mana momen gaya dari gaya ini ditentukan.

Gambar 1.20 Momen gaya dari gaya P terhadap titik O adalah AB × OM = 2 ∆AOB

Gambar OM tegak lurus terhadap AB dan gabungkan OA dan OB. Sekarang momen gaya dari gaya P terhadap O = P × OM

=AB × OM Tetapi AB × OM adalah sama dengan dua kali luas segitiga OAB karena secara geometri luas segitiga ini sama dengan (AB × OM)/2 Jadi momen gaya dari gaya P terhadap titik O adalah AB ×

OM = 2 ∆AOB Kasus 2: ketika dua gaya sejajar satu sama lain.

Ambil P dan Q menjadi dua gaya sejajar sebagaimana gambar 1.21.

Gambar 1.21 Gaya P dan Q menjadi dua gaya sejajar Gambar garis AB tegak lurus terhadap gaya P dan Q sehingga bertemu pada titik A dan B.

Letakkan titik sembarang O pada bidang kedua gaya pada garis AB. Resultan gaya P dan Q akan menjadi R yang mana sama dengan jumlah gaya P dan Q. Buatlah resultan ini bekerja melalui sebuah titik C pada AB sehingga Q × CB = P × CA Jumlah momen dari gaya P dan Q terhadap O

= P × OA + Q × OB = P(OC + CA) + Q(OC-CB) = (P + Q) OC + P × CA - Q × CB ingat karena Q × CB = P × CA, maka: = (P + Q) OC = Momen gaya R terhadap O

Catatan: Teorema Varignon dapat diaplikasikan pada kasus dimana dua gaya menghasilkan resultan tunggal dan tidak dapat diaplikasikan ketika gaya membentuk kopel karena resultan gaya pada kopel adalah nol.

1.5 Kopel

Kopel adalah pasangan dua gaya yang besarnya sama namun arahnya berlawanan bekerja pada sebuah benda dengan syarat bahwa garis aksi kedua gaya tidak pada satu garis lurus.

Gambar 1.22 Kopel

Efek ketika kopel bekerja pada benda tegar adalah benda akan berotasi tanpa berpindah pada sumbunya. Jarak tegak lurus antara garis aksi dari dua gaya pembentuk kopel disebut lengan kopel. Kemudian pada gambar 1.22 dua gaya yang besarnya sama P dan Q bekerja pada titik A dan B dalam arah berlawanan membentuk kopel dengan AB sebagai lengan kopel. Momen dari sebuah kopel atau sering disebut torque sama dengan perkalian salah satu gaya pembentuk kopel dengan lengan kopel.

Berikut adalah contoh-contoh kopel dalam kehidupan sehari-hari

1. Pembuka dan penutup keran air. Dua gaya pembentuk kopel seperti ditunjukkan pada gambar 1.23

2. Pemutar tutup pen

3. Membuka tutup botol

4. Pembuka mur baut

5. Stir mobil (seperti ditunjukkan pada gambar 1.24)

Gambar 1.23 Keran air Gambar 1.24 Roda stir mobil

Sifat Kopel 1.

Penjumlahan aljabar momen-momen gaya pembentuk kopel terhadap titik manapun pada bidang yang sama selalu tetap.

Perhatikan dua gaya sejajar dan berlawanan arah dengan besar P masing-masing membentuk kopel P × AB dimana titik A dan B adalah titik dimana gaya P dan P bekerja. Perdasarkan gambar 1.25 (a)

Gambar 1.25 Penjumlahan aljabar momen-momen gaya pembentuk kopel terhadap titik manapun pada bidang yang sama selalu tetap

Momen gaya terhadap O = P × OB - P × OA = P(OB - OA) = P × AB

Berdasarkan gambar 1.25 (b) Momen gaya terhadap O = P × OB + P × OA

= P(OB + OA) = P × AB

Berdasarkan Gambar 1.25 (c) Momen gaya terhadap O = P × OA - P × OB

= P(OA - OB) = P × AB

Pada semua dari ketiga kasus, kita temukan bahwa jumlah momen pada masing-masing kasus tidak tergantung pada letak titik O, dan hanya tergantung pada konstanta lengan kopel, sehingga “jumlah aljabar momen gaya pembentuk kopel terhadap titik manapun pada bidang yang sama adalah tetap

”.

2. Setiap ada dua kopel yang momen dan arahnya sama, pada bidang yang sama efek-efek mereka adalah ekuivalen. ( Any two couples of equal moments and sense, in the same plane are equivalent in their effect).

3. Dua kopel bekerja pada sebuah tempat di atas benda tegar yang mana momen-momennya sama tetapi arahnya berlawanan, setimbang satu sama lain. ( Two couple acting in one place upon a rigid body whose moments are equal but opposite in sense, balance each other).

4. Sebuah gaya bekerja pada benda tegar dapat diganti dengan gaya yang sama seperti gaya yang bekerja pada titik lain dan sebuah kopel yang mana momennya sama dengan momen gaya terhadap titik dimana gaya yang sama bekerja. ( A force acting on a rigid body can be replaced by an equal like force acting at any other point and a couple whose moment equals the moment of the force about the point where the equal like force is acting).

5. Beberapa kopel sebidang adalah ekuivalen dengan sebuah kopel single yang momennya sama terhadap jumlah aljabar momen-momen dari setiap kopel. ( Any number of coplanar couples are equivalent to a single couple whose moment is equal to the algebraic sum of the moments of the individual couples).

Aplikasi Teknik Momen Gaya Beberapa aplikasi teknik penting dari momen-momen diantaranya adalah:

1. Tuas/ Pengungkit

2. Timbangan

3. Tower Crane

4. Lever Safety Valve (Tuas Katup Pengaman) 1.

Tuas/Pengungkit

Tuas didefinisikan sebagai besi tegar, lurus atau melengkung yang dapat berputar disekitar titik tetap yang disebut titik tumpu. Tuas bekerja berdasarkan prinsip momen bahwa ketika tuas berada dalam keseimbangan, jumlah aljabar momen-momen gaya terhadap titik tumpu adalah nol.

Gambar 1.26 Prinsip tuasGambar 1.27 Prinsip tuas menggambarkan sebuah besi linggis digunakan untuk memindahkan kayu berat

Berdasarkan gambar 1.26: Lengan kuasa adalah jarak antara titik tumpu dengan garis aksi gaya kuasa. Lengan beban adalah jarak antara titik tumpu dengan titik dimana beban bekerja. Prinsip momen dapat diaplikasikan ketika tuas berada dalam keseimbangan.

Momen terhadap titik F × = ×

Keuntungan mekanis tuas =

= = × = ×

Ini disebut prinsip tuas. Gambar 1.27 menggambarkan sebuah besi linggis digunakan untuk memindahkan kayu berat dengan menggunakan kuasa yang kecil dengan meletakkan titik tumpu pada tempat yang tepat. Contoh: Seorang pria dan anak mengangkat beban 300 N dengan menggunakan batang yang panjangnya 2 m dan beratnya 100 N. pria dan anak mengangkat pada ujung-ujung batang, sedangkan beban diletakkan diantara pria dan anak. Dimana beban harus diletakkan supaya pria memikul beban dua kali beban yang dipikul anak? Penyelesaian:

Gambar 1.29 Berdasarkan gambar 1.29. berat batang bekerja pada pusat G. Ambil beban yang dipikul W dan beban yang dipikul pria 2W.

Ketika berat 300 N bekerja pada jarak x meter dari pria.

Σ = 0

2 = 300 + 100 = 400

= 133,3 Dengan mengambil momen gaya terhadap titik A (anak) 2 × 2 = 300(2 − ) + 100 × 1

4 = 600 − 300 + 100 4 × 133,3 = 700 − 300 533,2 = 700 − 300 300 = 166,8

= 0,556 Contoh: Hitunglah kuasa yang diperlukan pada ujung batang besi yang beratnya 100 N dan panjang 6 meter untuk mengangkat beban 1500 N pada ujung lain. Titik tumpu dijaga berada pada jarak 4,5 m dari ujung dimana kuasa diberikan. Penyelesaian: Berdasarkan gambar 1.33. ini adalah tuas tipe 1 dimana titik tumpu berada diantara W dan P.

Gambar 1.33 Dengan mengambil momen gaya terhadap titik tumpu F

× 4,5 + 100 × 1,5 = 1500 × 1,5 × 4,5 + 150 = 2250

= 466,6 2.

Tuas Katup pengaman (Lever Safety Valve)

Tuas katup pengaman adalah sebuah pengganjal boiler yang tujuannya untuk menjaga tekanan dalam boiler tetap berada pada tingkat yang aman dan untuk melepaskan tekanan udara ketika tekanan meningkat melewati batas aman.

Gambar 1.28 Lever safety valve

Berdasarkan gambar 1.28. ini terdiri dari katup V kuat yang terhubung dengan tuas FA, yang mana titik tumpu adalah pada F. Pada ujung A, sebuah beban w digantung yang mana akan memberikan momen pada katup untuk menjaganya tetap berada pada tempatnya melawan tekanan uap dari bawah, yang mana memberikan momen yang berlawanan terhadap titik tumpu F. Segera setelah momen akibat tekanan uap meningkat, katup terangkat ke atas dari dudukannya dan melepaskan tekanan uap ke atmosfir. Ketika tekanan uap di dalam boiler turun menuju nilai aman katup otomatis menempati dudukannya dan menghentikan keluarnya uap lebih lanjut.

Ambil = berat tuas (bekerja pada pusat gravitasi G) = berat katup

= berat beban di ujung A = intensitas aman tekanan uap

dimana adalah diameter katup) ⁄

= luas katup (= 4 Untuk menghitung besarnya beban w yang mana akan pertama menjaga katup pada dudukannya melawan tekanan uap, mari kita ambil momen terhadap titik tumpu F,

× + × + × = × ×

( × − × ) −

= Karena semua besaran kecuali w dan AF diketahui, maka w dapat dihitung kemudian. Dan reaksi pada

= × − − − . Reaksi ini akan bekerja ke arah bawah ketika tekanan uap adalah lebih besar dan ke arah atas ketika ini lebih kecil dari pada gaya-gaya ke bawah lainnya. Resultan Sistem Gaya Coplanar (Sebidang), Non-Concurrent Non-Paralel (i) Besar, arah dan letak resultan sistem gaya sebidang, non-concurrent, non-paralel dapat diperoleh secara analitis dengan persamaan

= √(Σ ) + (Σ ) Dimana:

Σ = jumlah aljabar komponen horisontal semua gaya Σ = jumlah aljabar komponen vertikal semua gaya

(ii) Arah resultan gaya ditentukan dengan menggunakan persamaan Σ tan =

Σ (iii) Letak resultan ditentukan dengan mengambil momen dari semua komponen tegak lurus gaya terhadap sebuah titik pada bidangnya dan persamaan jumlah aljabar momen-momen dari semua gaya dengan resultan menggunakan persamaan.

Momen gaya resultan R terhadap titik = jumlah aljabar komponen tegak lurus dari semua gaya.

Contoh: Gaya 1P, 3P, -4P masing-masing bekerja pada sisi-sisi segitiga samasisi dengan sisi 20 mm digambar pada lapisan tipis padat. Hitunglah besar, arah dan letak resultan gaya-gaya tersebut. Penyelesaian: Berdasarkan gambar dibawah

Penyelesaian gaya-gaya horisontal: ∑ = −1 cos 60° + 3 + 4 cos 60° = −0,5 + 3 + 2 = 4,5

Penyelesaian gaya-gaya vertikal: ∑ = −1 sin 60° − 4 sin 60° = −4,33

Resultan gaya,

= √(∑ ) + (∑ ) = √(4,5 ) + (−4,33 ) = 6,24 Arah resultan

, ∑ −4,33 tan =

∑ = 4,5 = −0,962

−1

= tan (−0,962) = −43,9° terhadap horisontal Letak resultan gaya, Ambil x = jarak tegak lurus antara B dan garis gaya resultan. Sekarang, ambil momen disekitar B, kita peroleh

∑ ∶ 6,24 × = × 0 + 3 × 0 + 4 × sin 60 ∘ = 11,1

∑ (+) ∑ (−) mengindikasikan bahwa sudut terletak pada kuadran ke-4 Contoh: Empat gaya yang nilainya 10 N. 20 N, 30 N dan 40 N garis gayanya bekerja sepanjang keempat sisi persegi ABCD, seperti gambar 3.33. hitunglah besar, arah dan posisi resultan gaya.

Gambar 1.30

Penyelesaian: Besarnya resultan gaya R Penyelesaian semua komponen gaya horisontal

Σ = 10 − 30 = −20 Dan penyelesaian semua komponen vertikal

Σ = 20 − 40 = −20 Sekarang, resultan gaya

= √(Σ ) + (Σ )

= √(−20) + (−20) = 28,28

Untuk menghitung arah resultan gaya

Gambar 1.31

Ambil = sudut yang dibentuk resultan terhadap horisontal

Σ −20 tan = Σ = −20 = 1

= 45° Karena terletak antara sudut 180° dan 270° Jadi sudut aktual

= 180° + 45° = 225° Posisi resultan gaya: Ambil x = jarak tegak lurus antara A dan garis resultan gaya.

Sekarang dengan mengambil momen gaya terhadap A, kita peroleh Σ : 28,28 × = 10 × 0 + 20 × 1 + 30 × 1 + 40 × 0 = 50

50 =

28,28 = 1,768

Gambar 1.32

1.6 Pusat Gravitasi (Titik Berat) dan Centroid (Pusat Geometri)

Centroid dari sebuah luasan terletak pada pusat geometri. Pada masing-masing gambar 1.34, titik G menyatakan centroid. Titik berat pada benda homogen terletak pada pusat geometrinya (centroid).

Gambar 1.34 Centroid/pusat geometri dari beberapa benda

Letak centroid beberapa bidang geometri:

Pusat gravitasi/titik berat suatu benda dapat didefinisikan sebagai titik dimana berat benda tersebut diasumsikan bekerja. Pusat gravitasi benda atau obyek biasanya disimbolkan dengan c.g atau lebih sederhana dengan G. Letak pusat gravitasi tergantung pada bentuk benda.

Menentukan Pusat Gravitasi/Titik Berat

Pusat gravitasi beberapa benda dapat diketahui dengan penyeimbangan obyek pada suatu titik. Sebagai contoh untuk mengetahui titik berat batang maka kita gantung batang dengan tali, kemudian kita atur letak ikatan tali hingga kondisi batang menjadi vertikal. Maka letak pusat gravitasi terletak pada ikatan tali tersebut.

Gambar 1.35 Pusat gravitasi beberapa benda dapat diketahui dengan penyeimbangan obyek pada suatu titik

Pusat gravitasi sebuah massa yang digantung dari sebuah titik tunggal terletak pada garis vertikal di bawah titik gantung (gambar 1.36a). Pusat gravitasi sebuah massa yang ditunjang oleh sebuah titik tunggal terletak secara vertikal di atas titik penunjang (gambar 1.36b).

G G

(a) (b)

Gambar 1.36

Menentukan Titik Berat Benda yang Bentuknya Tidak Teratur Benda yang bentuknya tidak teratur titik beratnya dapat diketahui dengan langkah- langkah sebagai berikut: a. Benda digantung b. Tarik garis vertikal segaris dengan tali.

c. Ulangi untuk ujung penggantung yang berbeda, kemudian Tarik garis vertikal segaris dengan tali.

d. Perpotongan kedua garis tersebut merupakan titik berat benda.

Gambar 1.37 Menentukan letak titik berat benda yang bentuknya tidak teratur

2 Partikel-partikel pada gambar di bawah ini masing-masing mempunyai gaya berat w , w , n

...., w dengan resultan gaya berat w. Resultan dari seluruh gaya berat benda yang terdiri atas bagian-bagian kecil benda dinamakan gaya berat. Titik tangkap gaya berat tersebut yang disebut titik berat.

Gambar 1.38 Titik berat

Pusat massa merupakan tempat massa benda terpusat. Apabila benda mengalami rotasi maka titik pusat massa menjadi pusat rotasi.

Letak Pusat Gravitasi Benda Pejal Teratur Tabel di bawah memberikan letak pusat gravitasi benda-benda pejal teratur.

Menentukan Titik Berat Dari Gabungan Beberapa Benda Yang Bentuknya Teratur

a. Titik berat benda homogen satu dimensi (garis)

Gambar 1.39 Titik berat benda homogen satu dimensi (garis)

Perhatikan gambar 1.39, dua benda 1 dimensi (warna hijau), titik berat masing-masing benda berada di pusat geometri (titik hijau). Untuk benda-benda berbentuk memanjang seperti kawat, massa benda dianggap diwakili oleh panjangnya (satu dimensi) dan titik beratnya dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:

l = panjang garis 1

= koordinat sumbu x titik berat benda 1 x

y = koordinat sumbu y titik berat benda 1

l = panjang garis 2

x = koordinat sumbu x titik berat benda 2

= koordinat sumbu y titik berat benda 2 y

2 Contoh:

Tentukanlah letak titik berat benda homogen satu dimensi seperti gambar berikut ini!

Bentuk benda homogen berbentuk garis (1 dimensi) dan letak titik beratnya.

b. Titik berat benda-benda homogen berbentuk luasan (dua dimensi)

Gambar 1.40 Titik berat benda-benda homogen berbentuk luasan (dua dimensi) Jika tebal diabaikan maka benda dapat dianggap berbentuk luasan (dua dimensi), dan titik berat gabungan benda homogen berbentuk luasan dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

2 A 1 = luas bidang 1

2 = luas bidang 2 1 = absis titik berat benda 1

2 = absis titik berat benda 2

1 = ordinat titik berat benda 1

y = ordinat titik berat benda 2 Contoh: Tentukan lokasi titik berat luasan berikut ini! Penyelesaian: Bagi luasan menjadi 3 bagian.

Data yang diperlukan: A

1 = 20 x 50 = 1000

1 = 10 1 = 25

2 = 30 x 20 = 600

A x

2 = 35

2 = 40 3 = 20 x 10 = 200

3 = 30

3 = 15

= =

1000(10) + 600(35) + 200(30) 1000(25) + 600(40) + 200(15) =

= 1000 + 600 + 200 1000 + 600 + 200 = 20,56 = 28,89

Jadi letak koordinat titik berat bangun tersebut adalah (20,56 ; 28,89) Titik berat benda homogen berbentuk luasan yang bentuknya teratur terletak pada sumbu simetrinya. Untuk bidang segi empat, titik berat diperpotongan diagonalnya, dan untuk lingkaran terletak dipusat lingkaran. Titik berat bidang homogen diperlihatkan pada tabel berikut:

Titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga

Gambar 1.41 Titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga Letak titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga dapat ditentukan dengan persamaan:

2 1 =volume benda 1

2 = volume benda 2

1 = absis titik berat benda 1

x x

2 = absis titik berat benda 2

1 = ordinat titik berat benda 1 2 = ordinat titik berat benda 2

SOAL LATIHAN

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1. Sebuah dorongan vertikal ke atas 90 N dikenakan pada sebuah benda dan pada waktu yang bersamaan gaya 120 N menarik benda tersebut dalam arah horisontal.

Hitunglah besar dan arah resultan dari kedua gaya tersebut!

2. Dua buah gaya bekerja pada suatu benda, gaya pertama menarik benda secara horisontal ke kanan besarnya 20 N, gaya kedua 17 N menarik vertikal ke bawah.

Hitunglah besar dan arah gaya ketiga yang akan menetralkan efek dari kedua gaya tersebut!

3. Tiga buah gaya menarik benda sehingga dalam kesetimbangan. Gaya pertama

mengarah ke selatan. Gaya kedua mengarah ke 75 ke timur dari utara. Dan gaya

ketiga mengarah 40 ke barat dari utara. Jika besar gaya yang mengarah ke selatan adalah 35 N. Hitunglah besar gaya yang lainnya.

Mekanika Terapan Teknika Pelayaran