Program tujuan ganda [Multiple objective programming] - USD Repository

PROGRAM TUJUAN GANDA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Christina Natalia Ika Purbawati

NIM : 02 3114 013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

MULTIPLE OBJECTIVE PROGRAMMING Final Project Presented As Partial Fulfillment Of The Requirements To Obtain The

Sarjana Sains Degree In Mathematics

By : Christina Natalia Ika Purbawati Student Number : 02 3114 013

STUDY PROGRAM OF MATHEMATISC SCIENSE DEPARTEMANT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY

Serahkanlah perbuatanmu itu kepada Tuhan, maka terlaksanalah segala rencanamu.

Dengan penuh kasih dan ucapan syukur Skripsi ini Kupersembahkan untuk: Bapa di Surga juru selamatku, Bunda Maria pelindung, pengharapan, dan penghiburanku

Bapak dan Ibuku yang tersayang: Ignatius Sukardiyo dan Yustina Tri Suharni Adik-adikku tersayang: F.A.Oktora Dwi H dan Damianus Fendy S

Masku yang tercinta: Yulius Sunarsanto Teman-teman angkatan ‘02

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Oktober 2007 Penulis Christina Natalia Ika Purbawati

ABSTRAK

Masalah program tujuan ganda merupakan masalah optimasi yang juga

merupakan modifikasi atau variasi dari program linear. Jika terdapat

permasalahan yang memiliki beberapa tujuan di dalamnya, maka program linear

tidak dapat membantu menyelesaikan permasalahan tersebut. Program linear

hanya terbatas pada analisis tunggal. Maka untuk menyelesaikannya diperlukan

alat analisis yang tepat, yaitu program tujuan ganda. Terdapat beberapa cara untuk

menyelesaikan program tujuan ganda, misalkan menggunakan prinsip efisiensi

dan deviasi. Ide dasar dalam menyelesaikan masalah program tujuan ganda adalah

mengubah beberapa fungsi tujuan menjadi satu fungsi tujuan saja.

Apabila penyelesaian optimal sulit didapatkan, maka dalam menyelesaikannya

dapat digunakan dengan cara mencari beberapa penyelesaian layak. Kemudian

membandingkan dua dari beberapa penyelesaian layak tesebut sehingga diperoleh

penyelesaian yang efisien. Penyelesaian layak disebut efisien jika penyelesaian

tersebut tidak didominasi oleh penyelesaian layak yang lain. Salah satu ide untuk

menyelesaikan masalah program tujuan ganda dengan menggunakan efisiensi

adalah mengalikan setiap fungsi tujuan dengan faktor bobot sesuai dengan

prioritasnya kemudian menambahkan fungsi-fungsi tersebut.

Deviasi adalah jarak batas yang dapat dicapai oleh fungsi tujuan sebagaimana

yang dikehendaki oleh berbagai fungsi kendala. Ide dasar untuk menyelesaikan

masalah program tujuan ganda dengan menggunakan deviasi adalah

menambahkan hasil kali dari setiap deviasi pada fungsi tujuan dengan faktor

bobot. Kemudian permasalahan diselesaikan dengan metode simpleks sama

seperti pada program linear.

ABSTRACT

The problem of multiple objective programming is optimization problem

which is also a modification or variation of linear programming. If there are

problems which have some purpose in them, it turns out that linear programming

cannot help to solve those problems. Linear programming is only limited on the

single analysis. Thus, to solve the problems, it is needed to employ the correct

analysis means, that is, multiple objective programming. There are several ways

to solve the multiple objective programming, for example, by employing

efficiency and deviation principles. The basic idea in solving the problems of

multiple objective programming is changing some purpose functions into one

purpose function only.

If the optimal solution is difficult to obtain, it is required to find some suitable

solutions to solve the problems. Then, the next step is comparing two from several

suitable solutions in order to obtain the most efficient solution. Suitable solution

can be considered efficient if that solution is not dominated by other suitable

solutions. One idea in solving the problems of multiple objective programming

efficiently is multiplying every purpose function with burden factor along with its

priority, and then adding those functions.

Deviation is border distance which can be reached by purpose function as it is

desired by other obstacle functions. The basic idea to solve the problems of

multiple objective programming be employing deviation is adding the multiple

results of each deviation on purpose function with burden factor. Then, the

problems are solved with simplex method, the same with linear programming.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Bapa di Surga dan Bunda Maria yang memberikan

kasih-Nya dan melimpahkan karunia-Nya, memberikan kekuatan, menuntun dan

memberkati penulis secara luar biasa sehingga penulisan skripsi ini dapat

diselesaikan.

Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar

Sarjana Sains di Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Sains

dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal sampai akhir mendapat

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis

menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST, M.Sc., M.A. selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta dan Bapak Ir. Ig.

Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku dosen pembimbing akademik.

2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih selaku Kaprodi Matematika dan dosen

pembimbing yang dengan kesabarannya telah banyak membimbing dan memberikan petunjuk dalam penyusunan skripsi ini.

3. Bapak YG. Hartono, S.Si.,M.Sc dan Bapak St. Eko Parmadi, S.Si.,M.Kom

sebagai dosen penguji atas diskusi dan masukan-masukannya untuk skripsi ini.

4. Bapak dan Ibu dosen serta staf karyawan terima kasih untuk bimbingan dan

bantuan serta sabar mendidik penulis sampai akhir semester.

5. Bapak dan Ibu ku yang dengan penuh kasih setia dan sabar untuk mendidik,

memberi dorongan semangat, pengertian, cinta dan doa serta biaya pada penulis selama menempuh studi.

6. Adik-adikku Tora dan Fendy, terima kasih untuk cinta, doa, dukungan,

pengertian dan motivasinya.

7. Kangmas ku Yulius yang telah menemaniku dalam suka maupun duka.

”Terima kasih mas atas semuanya”, dan “I Love You”.

8. Keluarga besarku di Yogyakarta terima kasih untuk doa dan dukungannya,

“Ulin, makasih atas dukungannya.”

9. Sahabat-sahabatku: Ria, Presti, Nita. Semua anak-anak MUDIKA Santo

Agustinus Purbalingga. Thanks atas dukungannya ya...

10. Teman-teman seperjuanganku di Matematika 2002: Preezk, Archy, Vida,

Lenta, Debby, Lia, Sari, Aan, Tato, Bani, Lili, Taim, Ijup, Markus, Felix, Retno, Galih, Aning, Desy, Rita, Wuri, Deon, Cheea, Nunung, Dani, Palma, dan Asih. Kakak-kakak dan adik-adik angkatan terima kasih untuk bantuan dan keramahannya.

11. Teman-teman kostku: Agnes, Yogi, Sinta, Alin, Moy, Cici, Diah (makasih

atas pinjaman laptopnya ya...), Ata, De Raras (makasih atas bantuannya selama ini dan dukungannya), De Evrin (thanks buat tumpangannya), Nana, Cicil, Ani, Ana, Fery, Anas, Mina, Putri makasih buat kebersamaan dan keceriaan kita selama ini.

12. Teman-teman KKN ku: Simbok, Primus, Kia-Baba, Lyta-Toon, Nana, Anok-

N’dut, Si Bos (makasih bantuannya ya...) dan Awan, thanks ya atas perhatian dan dukungannya.

13. Semua pihak yang telah turut membantu hingga selesainya skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Semoga kasih Tuhan selalu menyertai semua pihak yang telah membantu

dalam penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa penyusunan

ini jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik yang sifatnya membangun

penulis menerima dengan senang hati demi perbaikan skripsi ini. Penulis berharap

semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi setiap orang dan semua pihak.

Yogyakarta, Oktober 2007 Hormat Penulis Christina Natalia Ika Purbawati

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL..................................................................................... i

HALAMAN JUDUL (Inggris)...................................................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN.................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA........................................................ vi

ABSTRAK .................................................................................................... vii

ABSTRACT.................................................................................................. viii

KATA PENGANTAR .................................................................................. ix DAFTAR ISI................................................................................................. xii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah.................................................................

1 B. Perumusan Masalah .......................................................................

2 C. Pembatasan Masalah ......................................................................

3 D. Tujuan Penulisan............................................................................

3 E. Metode Penulisan ...........................................................................

3 F. Manfaat Penulisan.......................................................................... 3 G. Sistematika Penulisan ....................................................................

BAB II PROGRAM LINEAR A. Sejarah Program Linear .................................................................

5 B. Perumusan Program Linear............................................................

6 C. Program Linear dengan Metode Grafik .........................................

12 D. Program Linear dengan Metode Simpleks.....................................

19 E. Dualitas Pada Program Linear........................................................

32 BAB III PROGRAM TUJUAN GANDA A. Faktor Bobot Dalam Masalah Program tujuan Ganda ...................

40 B. Penyelesaian Efisien ......................................................................

45 C. Efisiensi dan Faktor Bobot.............................................................

56 D. Deviasi Dalam Model Program Tujuan Ganda..............................

66 E. Program Tujuan Ganda Dengan Metode Grafik ............................

69 F. Program Tujuan Ganda Dengan Metode Simpleks........................

77 BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan ....................................................................................

94 B. Saran...............................................................................................

95 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam dunia nyata sering dijumpai masalah efisiensi atau alokasi dari sumber yang terbatas yang akan dioptimalkan. Inilah yang disebut masalah optimasi. Optimasi dapat didefinisikan sebagai suatu proses untuk memaksimumkan atau

meminimumkan fungsi yang disebut fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel keputusan berhingga yang saling bebas atau dapat juga berkaitan melalui satu atau lebih kendala. Optimasi dapat diselesaikan dengan menggunakan program linear.

Dunia nyata yang di hadapi saat ini adalah dunia yang penuh dengan berbagai tujuan sebagai target dan sasaran. Dalam keadaan di mana seseorang pengambil keputusan dihadapkan kepada suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan di dalamnya, maka program linear tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Program linear hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal (unidimensional). Oleh karena itu, diperlukanlah alat analisis yang tepat, yaitu program tujuan ganda. Program tujuan ganda dapat bergerak dalam masalah- masalah yang tujuannya unidimensional (tujuan tunggal) maupun

multidimensional (tujuan ganda, dan lebih dari dua). Hal inilah yang melandasi penulisan skripsi ini.

Program tujuan ganda, yang dalam bahasa asing dikenal sebagai multiple variasi khusus dari program linear. Secara umum, dalam program tujuan ganda yang memiliki beberapa tujuan akan dimaksimumkan satu fungsi tujuan baru.

Dalam menyelesaikan program tujuan ganda, tidak mudah untuk mendapatkan penyelesaian yang serentak yang dapat memenuhi semua fungsi tujuan. Maka untuk menyelesaikannya dapat digunakan beberapa cara, misalkan menggunakan prinsip efisiensi dan deviasi. Program tujuan ganda berusaha untuk meminimumkan deviasi di antara berbagai tujuan atau sasaran yang di tetapkan, yaitu meminimumkan jarak batas yang dapat dicapai oleh fungsi tujuan sebagaimana yang dikehendaki oleh berbagai kendala yang mengikat fungsi tujuan tersebut sebagai syaratnya. Dengan analisis program tujuan ganda, akan di coba supaya memuaskan atau memenuhi target (paling tidak mendekati target) yang telah ditentukan.

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi adalah

a. Bagaimana mendapatkan penyelesaian yang efisien dalam program tujuan ganda? b. Bagaimana meminimumkan deviasi di antara beberapa fungsi tujuan yang ditetapkan dalam program tujuan ganda? c. Bagaimana aplikasi atau terapan program tujuan ganda dalam kehidupan sehari-hari?

C. Pembatasan Masalah

Pembahasan masalah program tujuan ganda dalam skripsi ini hanya dibatasi pada kendala yang berbentuk linear, dan dikhususkan untuk pola maksimum saja.

Konsep-konsep dalam aljabar linear juga tidak dijabarkan.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini untuk memahami lebih dalam konsep-konsep program linear yang mendasari program tujuan ganda, serta mengenal, mengerti, dan memahami konsep-konsep yang ada dalam program tujuan ganda.

E. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dikerjakan dengan cara mencari, mempelajari dan memahami materi-materi yang berkaitan dengan program tujuan ganda dari referensi-referensi yang ada di buku, sehingga tidak ditemukan hal baru.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah dapat memberikan kejelasan lebih lengkap mengenai program linear sebagai dasar dari program tujuan ganda, serta bagi pembaca dapat memberikan wawasan mengenai program tujuan ganda.

G. Sistematika Penulisan

Bab pertama adalah pendahuluan, yang berisi tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

Bab kedua adalah landasan teori, pada bab ini diuraikan tentang sejarah program linear, perumusan program linear, penyelesaian masalah program linear menggunakan metode grafik dan metode simpleks, serta masalah dualitas pada program linear.

Bab ketiga adalah program tujuan ganda. Bab ini menguraikan mengenai faktor bobot dalam masalah program tujuan ganda, bagaimana mendapatkan penyelesaian yang efisien, serta masalah program tujuan ganda dengan menggunakan deviasi.

Bab keempat adalah penutup, pada bab ini berisi kesimpulan dan saran berdasarkan hasil pembahasan bab-bab sebelumnya.

BAB II PROGRAM LINEAR A. Sejarah Program Linear Program linear yang dalam bahasa Inggris disebut linear programming, adalah

salah satu teknik analisis dari kelompok teknik riset operasi yang memakai model matematika. Tujuannya adalah untuk mencari, memilih, dan menentukan alternatif yang terbaik dari antara sekian alternatif layak yang tersedia.

Kelahiran teknik program linear sebenarnya belum lama. Dr. George Dantzig, seorang ahli matematika bangsa Amerika Serikat dapat disebut sebagai bapak lahirnya pemakaian teknik program linear tersebut, yaitu dengan dikembangkannya metode simpleks pada tahun 1947. Sebelum lahirnya karya Dantzig yang sistematis dan terkenal itu, terdapat pula beberapa ahli matematika lainnya seperti Van Neuman dan Leontief yang melahirkan teknik-teknik penyelesaian masalah dengan memakai pendekatan aljabar linear pada tahun 1930-an (B. D. Nasendi dan Affendi Anwar, 1985 ).

Penerapan program linear untuk pertama kalinya adalah di bidang perencanaan militer, khususnya dalam Perang Dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris. Sejak itulah berbarengan dengan berkembangnya waktu, pembangunan, dan teknologi, tenik-teknik analisis program linear dengan cepat sekali menjalar dan diterapkan dalam berbagai bidang dan disiplin ilmu dalam rangka memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi.

Sebagai contoh, di bidang kehutanan misalnya. Untuk pertama kalinya program linear dipakai sebagai alat perencanaan di tahun 1955, yakni untuk memecahkan masalah produksi dan distribusi kayu lapis, suplai bahan baku dari hutan ke pabrik, kemudian dari pabrik ke pusat-pusat konsumen dan sebagainya.

B. Perumusan Masalah Program Linear Program linear pada hakikatnya merupakan suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisis-analisisnya memakai model matematika dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah, kemudian dipilih mana yang terbaik diantaranya dalam rangka menyusun strategi dan langkah-langkah kebijakan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan atau sasaran yang diinginkan secara optimal.

Penekanannya di sini adalah pada alokasi optimal atau kombinasi optimum, artinya suatu langkah kebijakan yang pertimbangannya telah dipertimbangkan dari segala segi untung dan rugi secara baik, seimbang dan serasi. Artinya yang berdaya guna (efisien) dan berhasil guna (efektif). Alokasi optimal tersebut tidak lain adalah memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang memenuhi persyaratan-persyaratan yang dikehendaki oleh kendala ke dalam bentuk ketidaksamaan linear (Siswanto, 1993).

Model program linear mempunyai 3 unsur utama, yaitu :

1. Peubah keputusan Peubah keputusan adalah peubah persoalan yang akan mempengaruhi nilai peubah keputusan tersebut harus dilakukan terlebih dahulu sebelum merumuskan fungsi tujuan dan kendala-kendalanya. Cara untuk menemukan peubah-peubah ini adalah dengan mengajukan pertanyaan : “keputusan apa yang harus dibuat agar nilai fungsi tujuan maksimum atau minimum”.

2. Fungsi tujuan Dalam model program linear, tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematik linear. Selanjutnya, fungsi itu dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada.

3. Kendala-kendala fungsional Manajemen menghadapi pelbagai kendala dalam mewujudkan tujuannya.

Kendala-kendala tersebut harus dituangkan ke dalam fungsi matematik linear.

Secara umum, model dasar program linear dapat dirumuskan sebagai berikut, maksimumkan (atau minimumkan)

z c x c x L c x

= ₁ ₁ ₂ _{2 n n} + + + dengan kendala :

a x a x + . . . + a x ≤ atau ≥ + b ₁₁ ₁ ₁₂ ₂ _{1 n n} ₁ a x a x + . . . + x ≤ atau + a ≥ b ₂₁ ₁ ₂₂ ₂ _{2 n n} ₂ . . . . .

. . . . . . . . . . _p _{1 p} ₁ + a x a x + . . . + a x ≤ atau ≥ b _{2 pn p} _{2 n} Perumusan di atas dapat diringkas sebagai berikut : _n maksimumkan (minimumkan) z = c x _{j j} _n ∑ _{j =}

₁

dengan kendala a x ≤ atau i = 1, 2, 3, ..., p (2.2.1) ≥ b _{ij j i}

∑ _j ₁ = x ≥ 0 (2.2.2) _j

dengan :

x = peubah pengambilan keputusan ke-j _j

= koefisien peubah pengambilan keputusan ke-j

c _j a = koefisien peubah pengambilan keputusan ke-j dalam kendala ke-i _ij b = nilai sebelah kanan dari kendala ke-i _i z = nilai suatu fungsi tujuan n = banyaknya peubah pengambilan keputusan p = banyaknya kendala

Kendala (2.2.1) disebut kendala utama, sedangkan kendala (2.2.2) disebut kendala tak negatif.

( )

Dalam perumusan program linear di atas, kendala memuat hubungan ≤ , atau

( ) ≥ , atau ( ) = . Jika perumusan program linear berbentuk _n

maksimumkan z = c x _{j j}

∑ _j ₁ _n =

dengan kendala a x b i = 1, 2, 3, ..., p ≤

∑ ij j i _j ₁ = maka bentuk di atas disebut pola maksimum baku. Tetapi jika perumusan program linear berbentuk _n minimumkan z c x

= _{j j} ∑ _j ₁ _n =

dengan kendala a x ≥ b i = 1, 2, 3, ..., p

∑ ij j i _j ₁ = x ≥ _j maka bentuk di atas disebut pola minimum baku.

Ada 2 metode untuk menyelesaikan permasalahan program linear, yaitu :

1. Metode grafik 2. Metode secara aljabar, dalam hal ini memakai algoritma simpleks.

Sebelum membahas kedua metode ini, akan diberikan beberapa definisi sebagai berikut.

Definisi 2.2.1

Penyelesaian layak adalah pasangan ( x , , x ) yang memenuhi semua _{1 n} kendala, baik kendala utama maupun kendala tak negatif.

Definisi 2.2.2 Daerah layak adalah himpunan semua penyelesaian layak yang memenuhi

Definisi 2.2.3 Penyelesaian optimal adalah penyelesaian layak yang membuat optimum fungsi tujuan.

Definisi 2.2.4 Penyelesaian basis adalah penyelesaian yang memenuhi kendala utama. Definisi 2.2.5 Penyelesaian layak basis adalah penyelesaian basis dan memenuhi kendala tak negatif.

Definisi 2.2.6 Bentuk kanonik dari masalah program linear dapat didefinisikan sebagai

berikut : (i) Jika permasalahan menginginkan untuk meminimumkan fungsi tujuan. Maka perumusan menjadi _n minimumkan z = c x _{j j} _n ∑ _{j =} ₁ dengan kendala a x ≥ b i = 1, 2, 3, ..., p _{ij j i}

∑ _j ₁ = x ≥ _j

Untuk mengubahnya menjadi bentuk kanonik, perlu ditambahkan peubah pengetat, yaitu peubah surplus t , dan peubah semu v . Peubah pengetat _{i i} adalah peubah yang digunakan pada ruas kiri supaya ruas yang semula longgar menjadi ketat sehingga nilainya sama dengan ruas yang lainnya. Banyaknya peubah surplus harus sama dengan banyaknya kendala pada model program linear yang bersangkutan. Setiap peubah surplus dalam fungsi tujuan koefisiennya adalah 0. Peubah semu digunakan supaya tablo awal memuat

penyelesaian basis yang layak. Bila ada peubah semu v yang masuk, maka _i

disusun fungsi tujuan baru yaitu f = f Mv (M positif besar). Maka bentuk _i kanonik untuk masalah meminimumkan adalah _n _{p p} minimumkan z c x . t Mv = _{j j i i}

∑ ∑ ∑ _j _{1 i} _{1 i} ₁ _n = = =

dengan kendala a x - + t v = b i = 1, 2, 3, ..., p

∑ ij j i i i

_j ₁ = t ≥ v ≥ x ≥ _{i i j}

Dalam hal ini _n = 0 jika = i = 1, 2, 3, ..., p

t a x b _{i ij j i} ∑ _j ₁ _n = t > 0 jika a x > b i = 1, 2, 3, ..., p _{i ∑ ij j i} _j ₁

(ii) Jika permasalahan menginginkan untuk memaksimumkan fungsi tujuan. Maka perumusan menjadi _n maksimumkan z c x

= _{j j} ∑ _j ₁ _n =

= ^p _i _i ⁿ _j _{j j}

s ≥ _j x

C. Program Linear Dengan Metode Grafik Metode analisis grafik suatu persoalan program linear memfokuskan diri hanya pada perpotongan garis-garis dengan memakai pendekatan dua dimensi.

= ⁿ ^j ^ij a ₁

_i b

s ∑

> 0 jika < i = 1, 2, 3, ..., p _i

= ⁿ ^j ^ij a ₁

_i b

s ∑

Dalam hal ini = 0 jika = i = 1, 2, 3, ..., p _i

≥ _i

≥ _j

∑ = ⁿ ^j ^ij a ₁ _j x _i s _i b

dengan kendala + = i = 1, 2, 3, ..., p

s x c z ₁ ₁ .

∑ ∑ = =

maksimumkan

Untuk mengubahnya menjadi bentuk kanonik, perlu ditambahkan peubah pengetat yaitu, peubah slack . Banyaknya peubah slack harus sama dengan banyaknya kendala pada model program linear yang bersangkutan. Setiap peubah slack dalam fungsi tujuan koefisiennya adalah 0. Maka perumusan menjadi ⁱ

Meskipun dalam praktek masalah program linear jarang yang hanya memuat dua peubah, tetapi metode grafik mempermudah orang dalam memahami pengertian- pengertian yang timbul dalam program linear. Untuk masalah program linear yang lebih dari tiga dimensi, analisis dilakukan dengan cara aljabar yakni algoritma simpleks.

Jika melakukan cara analisis grafik untuk suatu permasalahan program linear, ada empat langkah yang harus ditempuh. Langkah-langkah tersebut adalah :

Langkah 1

Rumuskan permasalahan program linear ke dalam model matematika sesuai dengan peraturan dan syarat-syarat yang diperlukan oleh suatu model program linear, yaitu harus ada fungsi tujuan, kendala, dan syarat ikatan non-negatif.

Langkah 2

Gambarkan grafik dua dimensi yang menunjukkan dimensi dua peubah pengambilan keputusan. Kemudian kendala-kendala yang ada di tempatkan pada grafik dua dimensi tersebut, sesuai dengan persyaratan ketidaksamaannya.

Langkah 3

Gambarkan fungsi tujuan, sehingga diperoleh garis selidik, yakni garis lurus dari fungsi tujuan yang menggambarkan pasangan-pasangan x , L , x yang

( ) _{1 n}

memberikan nilai z yang sama. Kemudian pilihlah garis mana yang menyinggung titik sudut optimal.

Langkah 4 Buat kesimpulannya dan hitung berapa jumlah yang optimal.

Untuk lebih memahaminya, akan diberikan sebuah contoh permasalahan program linear.

Contoh 2.3.1

Sebuah industri berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk X dan Y. Produk-produk tersebut dapat dijual dengan harga dasar sebesar Rp 3.000,00 per unit untuk produk X dan Rp 3.000,00 juga per unit untuk produk Y. Kedua macam produk ini memerlukan bahan baku yang sama dalam jumlah yang sama pula per unit. Di dalam proses produksi diperlukan tiga jenis mesin yang lama waktu pemakaian mesin berbeda untuk tiap-tiap produk.

Produk

X memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksi pada mesin A, 2

jam pada mesin B, dan 4 jam pada mesin C. Sedangkan produk Y memerlukan waktu 1 jam pada mesin A, 3 jam pada mesin B, dan 3 jam pada mesin C.

Lamanya waktu mesin-mesin tersebut untuk beroperasi sangat terbatas. Dari tiga jenis mesin terdapat 3 unit mesin tipe A yang beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian terdapat 6 unit mesin tipe B yang beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, dan terdapat pula 9 unit mesin tipe C yang beroperasi selama 8 jam per hari per mesin.

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, akan digunakan 4 langkah yang telah dipaparkan di muka. Apabila permasalahan tersebut disusun dalam bentuk tabel, maka akan diperoleh keadaan seperti berikut :

Sumber daya yang dibutuhkan

2 Produk Produk Jumlah Lama Total waktu

X Y mesin operasi operasi Mesin 2 1 3 10 30

Sumber Tipe A Daya Mesin 2 3 6 10 60 yang

Tipe B Tersedia

Mesin 4 3 9 8

72 Tipe C Harga jual 3 3 Maksimumkan

(dalam ribuan)

Tabel 2.3.1 Tabel perumusan permasalahan untuk Contoh 2.3.1

1 Lama operasi dalam jam per hari per mesin

2 Total waktu operasi adalah jumlah mesin lama operasi Langkah 1 Rumuskan permasalahan program linear tersebut ke dalam model matematika.

maksimumkan z = 3 x + 3 y (dalam ribuan) dengan kendala 2 x + y

≤ 30 2 x + 3 y ≤ 60 4 x + 3 y ≤ 72

x 0 ; y 0 ≥ ≥ Langkah 2

Gambarlah sebuah grafik dua dimensi, dengan nilai produk X merupakan nilai pada sumbu horisontal (absis), dan nilai produk Y pada sumbu vertikal (ordinat).

Lalu gambar pertidaksamaan kendala pada grafik dua dimensi tersebut. Sehingga diperoleh sebagai berikut :

30 Kendala 1

24 A Kendala 2

20 B C Kendala 3 Daerah Layak

D E

18 Gambar 2.3.1 Daerah layak untuk Contoh 2.3.1

Dari perpotongan-perpotongan pertidaksamaan linear pada Gambar 2.3.1, didapatkan daerah layak ABCDE yang merupakan perpaduan dari ketiga garis tadi. Daerah layak ABCDE tersebut merupakan kombinasi dari berbagai titik produk jenis X dan produk jenis Y yang memenuhi kendala yang diminta.

Langkah 3

Telitilah kelima titik ABCDE yang dapat memenuhi kriteria pengambilan keputusan, yaitu yang menyebabkan pendapatan maksimum. Pendapatan akan maksimum jika garis selidik menyinggung titik atau puncak tertinggi dari daerah layak tersebut atau dengan kata lain garis selidik harus digeser ke kanan.

Untuk memilih garis selidik yang menyinggung titik optimal dapat didukung dengan menentukan kelima titik pada daerah layak. Yang perlu di analisis

1. Analisis titik B. Titik B merupakan perpotongan antara persamaan 2 x + 3 y = 60 dan 4 x + 3 y = 72

Jika kedua persamaan tersebut ditulis dalam matriks, maka menjadi

2 3 x

60 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

4 3 y

72 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x − −

⎡ ⎤ 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 ⎡ ⎤ = =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

y −

6 − − 6 − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Jadi,

6 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

16 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Dari hasil di atas dapat terlihat bahwa nilai x = 6 dan y = 16. Jadi, titik B terletak pada (6,16).

2. Analisis titik C. Titik C merupakan perpotongan antara persamaan 2 x + y = 30 dan 4 x + 3 y = 72 Jika kedua persamaan tersebut ditulis dalam matriks, maka menjadi

2 1 x

30 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

4 3 y

72 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 −

18 ⎡ ⎤ 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 ⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 −

24 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Jadi,

9 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

12 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Dari hasil di atas dapat terlihat bahwa nilai x = 9 dan y = 12. Jadi, titik B terletak pada (9,12).

20 A B C Daerah Layak Titik Optimal

15 D E

30 ₃ l l ₁ l l ₂ l ⁴ Gambar 2.3.2. Garis selidik untuk Contoh 2.3.1

Dari Gambar 2.3.2 terlihat bahwa setelah garis selidik digeser ke kanan, pada daerah layak didapat garis selidik yang menyinggung titik optimal yaitu garis . ₂

l Langkah 4

Titik Produk X Produk Y Nilai Pendapatan

(dalam ribuan) (z = 3 x + 3 y)

A 0 20 z = 3.0+3.20 = 60 B 6 16 z = 3.6+3.16 = 66 C 9 12 z = 3.9+3.12 = 63 D 15 0 z = 3.15+3.0 = 45

E 0 0 z = 3.0+3.0 = 0 Berdasarkan Gambar 2.3.2 dan Tabel 2.3.2, dapat disimpulkan bahwa titik B merupakan titik optimal karena titik B menghasilkan nilai pendapatan tertinggi sebesar Rp 66.000. Sedangkan kombinasi produksi yang efisien dan efektif adalah 6 unit produk X dan 16 unit produk Y.

D. Program Linear Dengan Metode Simpleks Seperti diuraikan sebelumnya, permasalahan program linear tidak hanya dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi dapat juga diselesaikan dengan metode simpleks.

Perumusan program linear dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut :

minimumkan z = c x (2.4.1) dengan kendala A x = b (2.4.2)

x 0

≥ dengan b ≥ 0.

Misalkan x adalah penyelesaian layak basis, yang terdiri dari peubah basis x _B dan peubah nonbasis x maka _N

x ⎡ ⎤ _N x =

(2.4.3)

⎢ ⎥ x _B

⎣ ⎦ T

Misalkan c adalah koefisien dari x pada fungsi tujuan yang terdiri dari koefisien _{T T} peubah basis c dan koefisien peubah nonbasis c . Maka fungsi tujuan dapat _{B N} ditulis sebagai berikut : ^{T T} +

z = c x c x (2.4.4) _{N N B B}

A = N B (2.4.5) [ ]

dengan B adalah matriks koefisien dari peubah pengetat untuk x serta B _B mempunyai invers dan N adalah matriks koefisien dari peubah pengambilan keputusan untuk x . Maka kendala A x b dapat dinyatakan sebagai berikut _N =

x ⎡ ⎤ ^N +

A x = N B = N x B x = b (2.4.6) [ ]

_{N B}

⎢ ⎥ x _B

⎣ ⎦

Dari persamaan (2.4.6) didapat persamaan

N B = _{N B}

x x b (2.4.7)

atau B x = b − N x (2.4.8) _{B N} maka peubah basis dapat ditulis sebagai berikut ₁ ₁

− − x = B b − B N x (2.4.9) _{B N}

Jika persamaan (2.4.9) disubstitusikan ke persamaan (2.4.4) maka akan didapat ^{T −} ^{1 −} ^{1 T}

z = c B b − B N x c x (2.4.10) _{B N N N}

( )

−

atau c b c x c x (2.4.11)

z = B − B N ^T _{B B N N N} ^{1 T −} ^{1 T} +

atau z = c B b c − c B N x (2.4.12) _{T T} _{1 T} ^T _{B ( N B ) N} ^{1 T T} _{1 T} _T ¹

− −

− − −

Misalkan y = c B atau y = c B = B c , maka persamaan (2.4.12) _{B ( B ) B} menjadi ^{T T T} +

y b c y x (2.4.13) z = − N

( N ) N Peubah y disebut peubah pengali simpleks. Nilai-nilai untuk peubah basis dan fungsi tujuan didapat dengan menentukan x = 0, sehingga diperoleh _{1 T} ₁ _N

− −

ˆ ˆ x = b = B b dan z = c B b . _{B B} _{T T T} ₁

−

ˆ ˆ Misalkan c adalah eleman peubah c ≡ c − c B N yang bersesuaian _{j N N B}

( ) dengan . Koefisien disebut nilai tereduksi untuk . x cˆ x _{j j j} _T _{1 T T T} ₁

− −

Misalkan z ˆ c B b dan c ˆ c c B N maka dari persamaan (2.4.12) = ≡ − _{B N ( N B )} dapat diperoleh

z = z c x (2.4.14) _{N N} ^T

ˆ ˆ

Untuk menguji keoptimalannya, akan diselidiki apa yang terjadi pada fungsi tujuan (2.4.14) jika setiap peubah nonbasis ditingkatkan dari nol.

ˆ (i) Jika c > 0 maka fungsi tujuan akan meningkat, _j (ii) Jika c ˆ = 0 maka fungsi tujuan tidak berubah, _j (iii) Jika < 0 maka fungsi tujuan akan menurun. cˆ _j

Jika basis yang sekarang belum optimal ( x < ) maka peubah x (x ∈ x ) _{B t t n} ˆ dengan dapat dipilih menjadi basis baru. c < _t

Jika peubah baru x telah dipilih, maka harus ditentukan seberapa besar x _t _t dapat ditingkatkan sebelum kendala tak negatif dilanggar. Ini akan menentukan peubah yang mana (jika ada) akan meninggalkan basis.

Untuk penyelesaian basis, x = 0. Dengan demikian, kendala A x = b dapat _N disederhanakan menjadi x b . Pada persamaan (2.4.9), terkecuali x , semua

B = _B _t

ˆ ˆ _{1 −} x = b − A x (2.4.15) _{B t t} ₁ −

ˆ ˆ dengan b = B b , A adalah peubah B A dengan A adalah kolom ke-t dari A. _t _{t t}

Untuk menentukan nilai x , persamaan (2.4.15) akan diuji menurut _t komponennya, yaitu

ˆ x b a ˆ x (2.4.16)

( ) = − _{B t i it t}

dengan aˆ komponen ke-i dari A dan bˆ adalah komponen ke-i dari . bˆ _{it t i} (i) Jika aˆ > 0, maka ( ) x akan berkurang akibat peubah x (yang masuk _{it B t} _i menjadi basis) bertambah besar, dan ( ) x akan sama dengan nol jika _B _i

b _i x _t = ,

a _it

(ii) Jika aˆ < 0, maka x akan bertambah besar, _{it B i} ( ) (iii) Jika aˆ = 0, maka ( ) x tidak berubah. _{it B i} Dengan demikian peubah x dapat ditingkatkan sepanjang semua peubah tidak _t negatif, yaitu sampai mencapai nilai

ˆ ⎧ ⎫

⎪ i ⎪

x : a ˆ (2.4.17) _{t it} = >

⎨ ⎬

min _{1 ≤ i ≤ m a} ˆ _it

⎪⎩ ⎪⎭ Persamaan (2.4.17) merupakan uji rasio. Nilai minimum dari uji rasio mengidentifikasi peubah nonbasis baru, sehingga dapat ditentukan penyelesaian layak basis baru, dengan x adalah peubah basis barunya. _t Bentuk

ˆ ˆ ˆ Dapat digunakan untuk menentukan nilai baru dari fungsi tujuan dan peubah basis di dalam basis yang baru. Peubah x merupakan pendekatan dari nilai x ; peubah _{t t} nonbasis yang lain masih bernilai nol.

Program tujuan ganda [Multiple objective programming] - USD Repository