ANALISIS PERPINDAHAN PANAS PELAT ELEMEN BAKAR DENGAN METODE ELEMEN HINGGA - e-Repository BATAN
Buletin Pengelolaan Reaktor Nuklir. Vol. 5 No. 1, April 2008 : 1-6
ANALISIS PERPINDAHAN PANAS PELAT ELEMEN BAKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
Alfahari Mardi
ABSTRAK
ANALISIS PERPINDAHAN PANAS PELAT ELEMEN BAKAR DENGAN METODE
ELEMEN HINGGA. Selain metode analitik, Metode Elemen Hingga dapat digunakan untuk
menghitung perpindahan panas atau distribusi suhu elemen bakar berbentuk pelat secara numerik. Sebagai studi kasus, kedua metode tersebut diterapkan untuk menghitung distribusii suhu pada pelat elemen bakar RSG-GAS dalam arah satu dimensi. Perhitungan yang diperoleh menunjukkan hasil yang sama.
ABSTRACT
HEAT TRANSFER ANALYSIS OF FUEL PLATE USING FINITE ELEMENT METHOD.
The Finite Element Method can be used to calculate the heat transfer or fuel plate
temperature distributions, beside that of the analytical method. For the case study, both
methods are implemented to calculate the temperature distributions for RSG- GAS fuel element
in one dimension. The calculations showed that both same results.- a
2
1
1
a a T x x …………(4)
Pada x=0 , T(x) = T(0) = t
1 =│1 0 │{a n
} dan pada x=L , T(x)=T(L)= t
2 =│1 L│{a n
} Dengan demikian persamaan (4) dapat ditu- liskan sebagai :
Analisis Perpindahan Panas.. (Alfahari) PENDAHULUAN
2
1
1
1
2
1
a a L t t
…………(5) atau secara singkat : { t
n } = │P │{ a n
} ……….(6) x
1 2 L
x ………………..( 3 ) atau dalam bentuk matriks ,
2
Persamaan perpindahan panas satu dimensi secara konduksi dapat dinyatakan de- ngan persamaan Poisson sebagai berikut:
Sebagai studi kasus, metode tersebut di- gunakan untuk menghitung distribusi suhu pada elemen bakar RSG- GAS pada daya 30 MW dan sebagai perbandingan disajikan pula distribusi suhu dengan menggunakan metode analitik atau eksak.
Dalam makalah ini dibahas secara singkat suatu metode numerik, yaitu Metode Elemen Hingga. Metode tersebut kemudian diim- plementasikan untuk memformulasikan ben- tuk-bentuk numerik untuk menghitung dis- tribusi suhu pada pelat elemen bakar dengan perpindahan panas satu dimensi.
Perhitungan distribusi suhu atau perpin- dahan panas yang sifatnya sederhana pada umumnya ditentukan dengan menggunakan metode analitik berdasarkan formulasi- for- mulasi yang sudah tersedia yang diturunkan dari persamaan Poisson atau Fourier dan lain- lain. Untuk perhitungan- perhitungan yang lebih rumit, baik dimensi maupun struktur atau konfigurasi dari objek yang akan dihitung, akan lebih mudah bila meng- gunakan metode numerik. Metode numerik ini kemudian dikembangkan dan menjadi dasar untuk pemrograman komputer.
1
3
) Persamaan Poisson tersebut di atas kemudian diturunkan menjadi persamaan elemen hing- ga menggunakan kalkulus variasi. Prinsip variasi yang berkaitan dengan persamaan Poisson yaitu,
TdV Q dV dx dT k x
'' '
2
2
1
….(2) Selanjutnya dipilih suatu elemen dengan tipe elemen garis yang dibatasi oleh dua simpul.
Di mana L adalah panjang elemen dengan dua simpul ( simpul 1 dan 2 ). Bila diasumsikan bahwa distribusi suhu pada elemen tersebut berbentuk linier karena hanya terdiri dari dua simpul, maka T ( suhu ) sebagai fungsi x adalah :
T (x) = a
DASAR TEORI
Teori yang berkaitan dengan perpindahan panas didasarkan atas persamaan Poisson yang kemudian diturunkan ke bentuk numerik menggunakan Metode Elemen Hingga.
2 Q
2
'''
dx T d k x
= 0…………..(1) di mana k
x
= konduktivitas panas dalam arah x dari media ( kW/m
c ) Q``` = anas volumetrik yang dibangkitkan oleh media ( kW/m
o
Buletin Pengelolaan Reaktor Nuklir. Vol. 5 No. 1, April 2008 : 1-6
- 1
besarnya { a { t }
n } = │P│ n …………….(7) d
- 1
dt
adalah inverse matriks dari di mana │P│
1
│P│ yang besarnya adalah :
d
1
1
dt P
2
1 / L 1 / L Sehingga persamaan (15) menjadi :
Substitusi ke persamaan ( 7 ), diperoleh :
T T a t k BdV{t dV
∫∫∫B x n }= ∫∫∫Q```│N│ …..(16)
1
1 1 ………(8)
a
1 / L 1/ L t atau
2 2 │K│ {t } = {q} ……..(17)
n
a dan a disubstitusi ke persamaan (3), maka
1
2
dimana │K│disebut matriks kekakuan elemen , dan T(x) = ( 1- x/L) t + (x/L) t
1 2 …….(9) T T
atau
K B k BdV A B k Bdx x x
T(x) = N t + N t
1
1
2 2 ………(10) L
di mana : 1 / L
N = 1-x/L dan N = x/L
1
2
k 1 / L 1 / L Adx
x
T(x) pada persamaan (9) dideferensiasi ter- L 1 / L
hadap x : 1
1 Ak
x dT ( x )
1
1
dx
2
t t ……..(11) L
1
1
1
2 L
dx L L
1
1 Ak atau
x
dx
2
dT ( x )
1
1 L
1
1 L
t …………(12) n L L dx
1
1 Ak
x K ……..…(18)
1
L
Bila B = │-1/L 1/L │, maka persamaan (12) menjadi , Dari persamaan (17) {q} adalah vektor para- meter dari sumber panas, di mana :
1 2
T
{q} = ∫∫∫ Q``` │N│ dV
dT ( x ) B t
…………..(13)
1 x / L
dx
n
' ' '
q Q A dx
Persamaan (13) dikuadratkan, maka :
L x / L
2 T T
1 Q ' AL ' = B{t } = {t } B B{t }
2
﴾dT/dx﴿ n ﴿ n n ….(14)
q ………….....(19)
2
1 T T
{t } dan B masing- masing adalah trans-
n
Substitusi persamaan (18) dan (19) ke per- pose matriks dari {t } dan B.
n
samaan (17), diperoleh : Persamaan (14) disubstitusi ke persamaan(2), diperoleh :
1 1
t
1 Ak x Q ' ' ' AL
1
T T
…..(20) Ω=∫∫∫(½){t } B .k .B{t }dV- ∫∫∫Q```TdV..(15)
n x n L
1 1 t
2
1
dan t , menghasil- 2 Diferensiasi Ω terhadap t
1
2
kan : Persamaan (20) di atas biasa disebut per- samaan kesetimbangan elemen untuk perpin-
Analisis Perpindahan Panas.. (Alfahari)
dahan panas satu dimensi secara konduksi Metode elemen hingga untuk perpindahan dalam bentuk elemen hingga. panas dapat diturunkan dengan membuat Untuk perpindahan panas secara kon- elemen garis. veksi, maka matriks kekakuan pada konveksi: t t t
1
2
3 T
T
b
│K │= ∫∫ h.│N ││N│ dS…...(21)
h
1
2
3 di mana : h = koefisien perpindahan panas fluida
2 0
(kW/m
C) Gambar 3. Pembagian elemen pada pelat S = luas permukaan yang meliputi aliran elemen bakar panas
Elemen 1 (simpul 1-2) : setengah tebal meat
bahan bakar
K h 1 dS hA h
1
1 Elemen 2 (simpul 2-3) : kelongsong
t : suhu maksimum (bagian tengah) bahan
1 Sedangkan untuk {q} pada aliran konveksi
bakar t : suhu sisi bahan bakar
2 N L )
( x
1 t : suhu sisi kelongsong
3 Q hT A hT ..(23)
h b b
T : suhu bulk fluida pendingin
b N ( x L )
1
2 di mana T adalah suhu bulk fluida pendingin
b Untuk Elemen 1 STUDI KASUS
Mengacu pada persamaan (20), maka persamaan kesetimbangan elemen adalah: Metode elemen hingga seperti yang dije- laskan sebelumnya akan diterapkan untuk
menghitung perpindahan panas khususnya 1 1
Ak t
1 Q ' ' ' Aa
f
1
….(24) distribusi suhu pada elemen bakar RSG-GAS
a
1 1 t
2
1
2 termasuk konveksi pada fluida pendingin. Secara skematis perpindahan panas yang terjadi pada elemen bakar RSG-GAS dapat Pada persamaan tersebut di atas (24), a = digambarkan sebagai berikut: setengah tebal meat bahan bakar dan k
f adalah konduktivitas panas bahan bakar.
Bahan kelongsong
Untuk Elemen 2
bakar Elemen 2 adalah kelongsong, tidak ada panas yang dibangkitkannya, sehingga Q=0. Oleh pendingin karena itu persamaan (20) dapat dituliskan sebagai berikut :
Arah aliran panas x
1 1
t
Ak
1
c 2ac c
….(25)
1 1 t
c
2 Gambar 2. Skema perpindahan panas satu di mana dimensi pada pelat elemen bakar RSG-GAS. c = tebal kelongsong dan k = konduktivitas panas kelongsong
c
Buletin Pengelolaan Reaktor Nuklir. Vol. 5 No. 1, April 2008 : 1-6
panas atau perhitungan distribusi pada
Pada Fluida Pendingin Pada fluida pendingin terjadi perpindahan elemen bakar diselesaikan.
panas secara konveksi sesuai dengan persamaan (22) dan (23). HASIL DAN PEMBAHASAN Pada elemen 2 (kelongsong), selain terjadi aliran panas konduksi, kemudian diikuti Untuk menghitung perpindahan panas, dengan aliran konveksi pada fluida pen- khususnya untuk distribusi suhu pada elemen dingin, sehingga matriks kekakuan elemen bakar RSG- GAS, sesuai dengan persamaan pada elemen 2 adalah : (29) dibutuhkan beberapa data, yaitu: fluks panas (Q``), setengah tebal meat bahan bakar
(a),tebal kelongsong (c), konduktivitas panas
1
1 Ak
c
bahan bakar (k ), konduktivitas panas
K hA ……(26 f c c
1
1
1 kelongsong (k ), koefisien perpindahan panas
c fluida (h), suhu masuk pendingin fluida (T ).
atau
b
Berdasarkan LAK RSG- GAS Revisi 9
Ak Ak c c
Vol. I, Mei 2006 diperoleh data untuk daya
c c nominal reaktor 30 MW sebagai berikut: K ……(27) c Ak Ak c c
hA Bahan Bakar c c
Jenis bahan bakar : U Si Al
3
2 Tebal zona meat bahan bakar ,2ª : 0,54 mm
Persamaan kesetimbangan untuk elemen 2 (a = 0,027 mm) atau pada kelongsong adalah : Lebar zona meat bahan bakar, w : 62,75 mm Panjang zona meat bahan bakar, p: 600 mm
t k k
A c c
2
2 Fluks panas, Q`` : 66,516 W/cm
….(28)
o hT A c k k hc t
Konduktivitas panas, k : 1,07 W/cm K
f c c b
3 Selanjutnya diadakan penggabungan
Kelongsong
atau superposisi dari persamaan –persamaan Bahan: Al Mg
2
yang berkaitan dengan elemen 1 dan 2 yang Tebal kelongsong,c: 0,38 mm ( 0,038 cm ) disebut sebagai persamaan kesetimbangan
o
Konduktivitas panas, k : 2,16 W/cm K
c sistem. k k f f Fluida Pendingin
Koefisien perpindahan panas , h: 1,9364
a a
t
2 o
Q " /
2
W/cm C
1 o k k
Suhu bulk ( rerata ) ,T : 44,5 C
k k b f f c c A t A Q " /
2 Data tersebut kemudian dimasukkan ke
2 a a c c
dalam persamaan 29, di mana : hTb t
3 k k c c k
1 ,
07 h f
a)
39 , 6296 c c a , 027 k 2 ,
16 c
b)
56 , 8421
…..29
c , 038
Ruas kanan dan kiri persamaan di atas
c) h = 1,9364 mengandung faktor A sehingga dapat d) T = 44,5 dihilangkan dan Q```a = Q`` ( fluks panas ). b e) Q``/2 =66,516/2=33,258
Dari persamaan inilah persoalan perpindahan
f) h T =1,9364x44,5= 86,1698
b
Analisis Perpindahan Panas.. (Alfahari)
Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts, 1982 tt t
Method , Lecture Notes, University of
Cincinati, 1998
2.Yerri Susanto, Dasar- Dasar Metode Elemen Hingga, Penerbit ANDI Yogyakarta, 2004
3.Desai,C.S. dan Sri Jatno Wirjosoedarno, Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga, Penerbit Erlangga, 1996
4.Irwan Katili, Aplikasi Metode Elemen Hingga pada Rangka-Balok-Grid-Portal, UI, Teknik Sipil, ISBN : 979-9385-00-8, 2000
5.El. Wakil,M.M., Nuclear Heat Transport, International Texbook Company, 1971
6.Anonim, Laporan Analisis Keselamatan
Revisi 9, Volume 1, Mei 2006
7.Lamarsh,J.R., Introduction to Nuclear
Engineering
, 2
nd
1
Metode Elemen Hingga merupakan salah satu cara untuk menghitung perpindahan panas secara numerik, khususnya untuk perhitungan distribusi suhu. Pada perhitungan satu dimensi untuk kasus distribusi suhu pelat elemen bakar RSG- GAS diperoleh hasil yang sama dengan perhitungan menggunakan metode analitik atau eksak.
= T
m
t
2
= T
s
T t
3
= T
c
T
b
bahan bakar x kelongsong
1.Yijun Liu, Introduction to Finite Element
KESIMPULAN
Maka persamaan menjadi :
Gambar 4. Distribusi suhu elemen bakar dengan perhitungan analiik dan elemen hingga
3
2
1 7785 , , 58 8421
56 8421 , , 56 4717 , 96 6296
39 6296 , , 39 6296
39 t t t
=
1698 ,
86 258 , 33 258 ,
33 .........(30)
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Salah satu cara yaitu dengan metode eliminasi Gauss. Jumlahkan baris ke 1 dengan baris ke 2 dan kemudian jumlahkan baris ke 2 dengan baris ke 3. Dari sini dapat diperoleh: Suhu tengah bahan bakar, t
1
= 80,86 C Suhu sisi luar bahan bakar, t
2
= 80,02 C Suhu sisi luar kelongsong, t
3
= 78,85 C Sebagai perbandingan dilakukan perhi- tungan dengan metode analitik atau eksak
(lihat Lampiran) dan menghasilkan: Suhu tengah bahan bakar, T
m
= 80,86 C Suhu sisi luar bahan bakar, T
s
= 80,02 C Suhu sisi luar kelongsong, T
c
= 78,85 C Dari kedua metode menghasilkan distribusi suhu yang sama.
DAFTAR PUSTAKA
RSG- GAS,
Buletin Pengelolaan Reaktor Nuklir. Vol. 5 No. 1, April 2008 : 1-6
Analisis Perpindahan Panas.. (Alfahari)
Lampiran
PERHITUNGAN PERPINDAHAN PANAS SATU DIMENSI
PADA PELAT ELEMEN BAKAR RSG-GAS SECARA ANALITIK
Secara analitik atau eksak persamaan Poisson dapat diturunkan untuk menghitung perpindahan panas sebagai berikut: (1) T - T = q`` b
s c
k
c
di mana T = suhu sisi luar bahan bakar
s
T = suhu sisi luar kelongsong
c
q`` = fluks panas b = tebal kelongsong k = konduktivitas kelongsong
c
(2) T - T = q`` a
m s
2k
f
di mana T = suhu bagian tengah bahan bakar
m
k = konduktivitas bahan bakar
f
a = setengah tebal bahan bakar (3) q`` = h ( T – T )
c b
di mana h = koefisien perpindahan panas fluida pendingin T = suhu bulk pendingin
b
Dengan memasukkan data untuk q``, a, b, k , k , dan T diperoleh :
c f b o o o
T = 80,86
C, T = 80,02 C dan T = 78,85 C.
m s c
Buletin Pengelolaan Reaktor Nuklir. Vol. 5 No. 1, April 2008 : 1-6
Analisis Perpindahan Panas.. (Alfahari)
Buletin Pengelolaan Reaktor Nuklir. Vol. 5 No. 1, April 2008 : 1-6