CATATAN KULIAH Pertemuan IV: Model-model linier dan Aljabar Matriks (2)

  CATATAN KULI AH Pe r t e m u a n I V : M ode l- m ode l lin ie r da n Alj a ba r M a t r ik s ( 2 )

A. M e n ca r i M a t r ik s I n ve r s

• Suatu matriks A (nxn) mempunyai invers bila terdapat suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers
• 1

  matriks A, ditulis A , yang merupakan matriks bujur sangkar berdimensi n.

• Syarat keberadaan dari Matriks Invers adalah jika |A| ≠0 y Kita tertarik untuk mencari invers, karena matriks invers dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier Ax=d, _{- 1} yaitu: x= A d
• Cara mencari Matriks Invers:

  1. Mencari invers melalui transformasi elementer dengan reduksi Gauss (Gaussian Reduct ion). Prosedurnya adalah: a. Menggandengkan matriks A di depan matriks identitas: (A|I).

  b. Lakukan operasi baris elementer sehingga matriks A

• 1

  bertransformasi menjadi matriks identitas (I); di mana A dapat dilihat di sebelah kanan garis vertikal. Contoh:

  3

  7 ⎛ ⎞ A =

  ⎜⎜ ⎟⎟

  2

  5 ⎝ ⎠ ⎛

  3

  7 1 ⎞ Kalikan baris pertama dengan 1/3

  ( A | I ) = ⎜⎜ ⎟⎟

  2

  5

  1 ⎝ ⎠ ⎛

  1 7 /

  3 1 / 3 ⎞ Kalikan baris 1 dgn –2 dan tambahkan ke baris ke-2

  ( A | I ) = ⎜⎜ ⎟⎟

  2

  5

  1 ⎝ ⎠ ⎛

  1 7 /

  3 1 / 3 ⎞ Kalikan baris 2 dengan 3

  ( A | I ) = ⎜⎜ ⎟⎟ 1 /

  3 − 2 /

  3

  1 ⎝ ⎠ ⎛

  1 7 /

  3 1 / 3 ⎞ Kalikan baris 2 dgn –7/3 dan tambahkan dengan

  ( A | I ) = baris pertama

  ⎜⎜ ⎟⎟ 1 −

  2

  3 ⎝ ⎠ ⎛

  1 5 − 7 ⎞ ( A | I ) =

  ⎜⎜ ⎟⎟ 1 −

  2

  3 ⎝ ⎠

  2. Mencari Invers dengan Kofaktor. Prosedurnya adalah:

  a. Tentukan matriks kofaktor A c dari matriks A ⎡ C C C ⎤ _{11 12} " n ₁

  ⎢ ⎥

  C C C _{21 22} " n ₂

  ⎢ ⎥

  A = _C

  ⎢ ⎥ # # #

  ⎢ ⎥

  C C C _{n n " nn}

  ⎢ ^{1 2 ⎥} ⎣ ⎦

  Ingat kembali bahwa: ^{i j} +

  C ≡ 1 ( ) − M _{ij ij}

  Dan matriks M adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j

  ij

  b. Tentukan adjoint matriks A yang merupakan transpose dari

  j T

  A c , sehingga: A j = A c

  c. Invers dari A diperoleh dengan mengalikan adjoint matriks dengan determinan dari A, sehingga didapat:

  1

  − ¹ A adjo A

  = int( )

  A

  Contoh:

• Carilah Matriks Invers dari matriks A dengan metode kofaktor,

  4

  3 ⎛ ⎞

  A

  = ⎜⎜ ⎟⎟

  − 2 −

  1 ⎝ ⎠

• Jika matriks A berukuran (nxn),maka M ij merupakan suatu cubmatriks dari A yang berukuran (n-1) x (n-1), di mana baris ke-i dan kolom ke-j (dari A) dihilangkan.

  4

  3 ⎛ ⎞ A = maka M = − ₁₁ 1 ; M = − ₁₂

  2 ⎜⎜ ⎟⎟ − 2 −

  1 ⎝ ⎠ M = ₂₁ 3 ; M = ₂₂

  4

  | dan kofaktor dari A

• Minor dari suatu matriks A adalah |M ij adalah:
^{i j} +

  C ≡ 1 ( ) _{ij ij} − M ^{1 1}

• Maka:

  C ≡ ( ) − ₁₁ 1 − 1 = 1 .( − 1 ) = −

  1 ^{1 2}

• C

  ( )

  3 3 ). 1 (

• C

  1 ^{2 2} ₂₂ = = − ≡

  4

  1

  4 4 .

  ( )

  1 ^{1 2} ₂₁ − = − = − ≡

  3

• Maka:

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  80

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛ = ⎟⎟

  ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟

  ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = +

  = +

  80

  80

  4

  2

  2

  3

  4

  A . x = b ⎟⎟ ⎠ ⎞

  2

  80

  2

  3

  2

  1

  2

  1

  2

  1 x x x x x x

  A A

x

^j _j

  =

  |A|≠0, maka untuk mencari solusi digunakan metode determinan di mana: Dimana |A j |= determinan matriks A dengan kolom ke–j diganti vektor b.

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − −

  4

  = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − − =

  −

  2

  1 2 / 3 2 /

  1 ) det(

  1 Maka | 2 | Determinan

  4

  2

  3

  1 Adjoint Matriks

  3

  − − = =

  2

  1 Kofaktor

  1

  2

  3

  4

  1 _j

^T

^{c j c} A A A A A A A A

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  − − = =

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟⎟ ⎠ ⎞

B. At u r a n Kr a m e r ( Cr a m e r ’s Ru le )

• Pendekatan lain untuk mencari solusi bagi x dari SPL Ax = b : ATURAN CRAMER.
• Misalkan sistem persamaan linear Ax = b, apabila diasumsikan
• Contoh pecahkan sistem persamaan linear berikut ini:
Jawab:

  80

  2

  80

  4 ∆

  1

  x = = = ₁

  20 ∆

  3

  2

  2

  4

  3

  80

  2

  80 ∆

  2

  x = = = ₂

  10 ∆

  3

  2

  2

  4 C. Aplik a si pa da M ode l Pa sa r da n Pe n da pa t a n N a sion a l

• Aplikasi dalam Model Pasar dan Pendapatan Nasional akan dipecahkan dengan mudah menggunakan aturan Cramer atau matriks invers.
• Model Pasar (Market Model)

  Model dua komoditi dapat ditulis sebagai suatu sistem dua persamaan linear, sbb: _{1 1} + c P c P = − c _{2 2 o} γ + P γ P = − γ _{1 1 2 2 o}

  Akan dipecahkan dengan metode matriks Invers:

  c c P − c ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ o ⎤ _{1 2 1} =

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  γ γ P − γ _{1 2 2 o}

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ c c _{1 2} A = = c γ − c γ _{1 2 2 1}

  γ γ _{1 2} γ − γ γ − c

  ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{2 1 2 2} A = adjA = _C ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − c c − γ c _{2 1 1 1} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  P γ − c − c ⎡ ⎤ ₁ 1 ⎡ ⎤ ⎡ o ⎤ _{2 2} =

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ P c − c − γ c − γ _{2 1} γ γ o _{2 2 1 1 1}

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Model Pendapatan Nasional Y= C + I + G (a>0, 0<b<1) C= a + b Y

  Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi) Parameter = a, b Variabel eksogen = I (investasi),G (pengeluaran pemerintah) Nilai ekuilibrium pendapatan nasional Ye dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce) akan dicari dengan Aturan Cramer.

  1 −

  1 Y

  I G

  ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ + ⎤ =

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − b

  1 C a ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  Dengan Aturan Cramer:

• I G −

  1

  a

  1 I G a + +

  Y = = _e

  1 −

  1 1 − b − b

  1

  I G

• 1

  −

  b a a b (

  I G ) C = = _e

  1 −

  1 1 − b − b

  1 Model Pendapatan Nasional dengan Pajak y Y=C+I +G

  1Y - 1C – 1G = I y C=a+b*(Y-T ) -bY + 1C + 0G = a-bT y G=g*Y -gY + 0C +1G = 0

  Y

  I

  1

  1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − ⎡ ⎤

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  ⎢ ⎥ C a bT

  −

  b

  1 − =

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  ⎢ ⎥

  ⎢ G ⎥ ⎢ ⎥

  ⎢ − g 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  Carilah nilai Y, C, G dengan (a) Matriks Invers (b) Aturan Cramer

  a. Dengan Matriks Matriks

  − − ⎡

  1

  1 1 ⎤ ⎢ ⎥ A b

  = −

  1 ⎢ ⎥ ⎢ − g ⎥

  1 ⎣ ⎦

  1 − 1 −

  1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 =

  1 − ( b g ) + A = − b ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − g

  1 ⎣ ⎦ b g

  1

  1

  1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  A = b

  1 − g b

  A g g _C =

  1 1 − j ⎢ ⎥

  ⎢ ⎥ ⎢ g g b ⎥ 1 −

  b b

  ⎢

  1 1 − ⎥ ⎣ ⎦

  ⎣ ⎦ Maka:

  Y

  1

  1

  1 I ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  C = b 1 − g b a − bT ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 − b − g ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  G g g 1 − b ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  Sehingga:

  I a bT

  − +

  Y =

  1 − ( )

• b g

  ( )( ) + bI

  1 − g a − bT

  C =

  1 b g ) − ( +

  I a − bT )

• g (

  G =

• 1 − ( b g )

  b. Dengan Aturan Cramer

  1 − 1 −

  1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

  A = − b 1 = 1 − ( + b g ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  − g

  1 ⎣ ⎦ I − 1 −

  1 ⎡ ⎤

• A _Y I a − bT

  ⎢ ⎥ ^* _Y 1 = I a − bT Y = = + A = a − bT ⎢ ⎥ 1 − ( b g ) + A ⎢ ⎥

  1 ⎣ ⎦

1 I −

  1 ⎡ ⎤

• A bI (

  1 − g )( a − bT ) ⎢ ⎥

• ^{C *}

  A = − b a − bT = bI ( _C 1 − g )( a − bT ) C = = ⎢ ⎥

  A 1 ( b g ) − + ⎢ ⎥ − g

  1 ⎣ ⎦ 1 −

  1 I ⎡ ⎤ A _{* G} g a bT ( − + I )

  ⎢ ⎥ A b _G = − + 1 a − bT = g ( a − bT I ) G = =

• Model Input-Output (I-O) menjawab pertanyaan: “Berapa tingkat output dari setiap industri n yang harus diproduksi dalam perekonomian, sehingga memenuhi total permintaan produk tersebut?”
• Susunan Model I-O adalah: Dengan: x i = tingkat output industri i a

  2 ^{2 1 1 2 2 2 22 1 21 2 1 1 2 12 1 11 1} ( ) ( )

  A d I x _i ^{1 * −}

  [ ] [ ] _{i ij}

  1 [ ]

  1

  1

  # # " ₂ ¹ ₂ ¹ _{2 1 2 22 21} ^{1 12 11}

  − − − − − _{n n nn n n n n} d d d x x x a a a a a a a a a

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −

  ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥

  = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  "

  # "

• =
• =

  − = = + = + ^{n n nn n n n n n n n} d x a x a x a x d x a x a x a x d x a x a x a x

  A x d x = − = −

  I A x x I d I d x A x

  I A d x x

  A d x

  [ ] [ ] [ ] _{i i ij} ^{i i ij i i ij i i i i i ij i i i ij}

  [ ] [ ] [ ]

  [ ] [ ] [ ][ ]

  [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

  d i = permintaan akhir untuk output ke-i y Selanjutnya dapat diturunkan solusi untuk Model I-O dengan Matriks invers sbb:

  ij = input komoditi ke-i untuk menghasilkan output ke-j.

  D . Aplik a si pa da M ode l I - O

• = "

  − =

• Contoh Model I-O dalam numerik Misal : .

  15 .

  25 ⎡ ⎤

  A =

  ⎢ ⎥ . 20 .

  05 ⎣ ⎦

  Maka Model I-O menjadi:

  15 . 25 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ¹ + ¹ = ¹ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . 20 . 05 x d x _{2 2 2}

  x d x ⎡ .

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

  15 . 25 x d 1 x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{1 1 1} = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . 20 . 05 x d _{2 2} 1 x ₂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ d 1 x . 15 . 25 x

  ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{1 1 1} = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ d ₂ 1 x . ₂ 20 . 05 x ₂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x d 1 .

  15 .

  25 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{1 1 1}

  − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  x x d 1 . ₂ 20 .

  05 _{2 2} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  − − x d ⎡ 1 . 15 . 25 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{1 1} =

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x d

  − − .

  20 1 .

  05 ⎣ ⎦ ⎣ ^{2 ⎦ ⎣}

^{2 ⎦}

− ¹ x .

  85 − . 25 d ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{1 1}

  = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  ⎢ ⎥ x − . ₂ 20 . 95 d ₂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x . 95 . 25 350 1000 ⎡ ⎤ ₁ 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

  = = ⎢ ⎥

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x . 7575 . ₂ 20 . 85 1700 2000 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  La t ih a n

  1. Diberikan SPL sbb :

  2X

  1 + 3X 2 – X 3 = 0

  X + X + X = 4

  1

  2

  3

  3X

  1 – 2X 2 + X 3 = 5

  Tentukanlah solusi bagi X , X , X dengan aturan cramer dan

  1

  2

  3

  matriks invers