Pertemuan 4&5 Aljabar Linier&Vektor
Determinan MATRIKS
Determinan MATRIKS
Aljabar Linier dan Vektor Teknik Informatika – IBI Darmajaya2
1
1
3
1
2
1
2
2
2
1
1
3
1
1
1
2
Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real,
terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut.
Satu nilai real ini disebut determinan4
Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A| A = det( A ) = -7 B = | B | = 25 C =
| C | = 0
determinan ?
5
2
3
2
4
1
3
1
1
- * bagaimana menghitung nilai
cara menghitung determinan definisi determinan sifat-sifat determinan ekspansi minor dan kofaktor kombinasi cara 2 dan 3
Determinan : penjumlahan hasil kali
bertanda dari unsur-unsur matriks yang
berasal dari baris dan kolom yang berbeda A =| A | = ( a
11 a
22 ) +(– a
12 a
21 ) bagaimana menentukan tanda (+) dan (–) tiap suku ? melalui definisi determinan
22
21
12
11 a a a a
a a a
11
12 13
| A | = a a a a – a a a a – + a a a a 11 22
33
11 23 32 12 23 31 12 21 33 a a aA =
21
22
23
+ a a a a a a –
13 - – – a 13 a 22 a 31 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33
21
32 13 22 31
a a a
31
32
33
Produk yg berasal dari baris dan kolom yg berbeda : Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi. a a a 1 1 2 2 3 3 Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 a a a 1 1 2 3 3 2 Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 3 a a a 1 2 2 3 3 1 Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 a a a 1 2 2 1 3 3 Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3 a a a 1 3 2 1 3 2 Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 a a a 1 3 2 2 3 1 perhatikan, tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yg membawa indeks kolom ke urutan natural
11 a a a a a a a a a a a a a a a a
12
21
22
31
32
11 a a a a a a a a a
12
13
21
22
23
31
32
33
12
A = | A | = ? Jumlah dari 4! = 24 suku, dengan tiap suku terdiri dari empat faktor. Catatan : Khusus determinan dimensi 3, bisa pakai aturan SARRUS | A | = + = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21
a
3233
44
43
42
41
34
32
13
31
24
23
22
21
14
11 a a a a a a
7
3 | A | = = 26
4
2 Dengan bantuan sifat determinan,
2
1
3 membantu memudahkan menghitung
1
1 = – 6 | B | =
nilai determinan.
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1 | C | = = 0
1
1
1
1
1
1
Sifat-sifat Determinan T
Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; | A | = | A |
4 7
7
3 T
= 26 | A | = = 26 | A | =
4
2
3
2
Akibatnya : ‣ Semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.
‣ Matriks persegi yang mempunyai baris/kolom nol, determinannya nol (0).
2
1
3
2
2
= 0 | B | =
| C | =
6
5 = 0
7
6
5
7
8
Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris/kolom dikalikan dengan skalar k , maka determinannya berubah menjadi k
8
1
1
2
1
4
2
3
2
12
1
1
3
2
1
4
2
2
3
1
1
2
3
1
1
1
9
A | A | = = 5 Jika baris kedua dikalikan dengan 7 = 35 = 7 | A | Akibat sifat ini : = 7 = 7 (5) = 35 determinan suatu matriks yang salah satu baris/kolom mempunyai faktor yang sama, maka dapat difaktorkan. = 3
1
= 4
4
3
1
2
28
21
1
2
28
21
2
6
4
3
1
2
2
1
1
1
2
1
12
2
Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan
baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula.5 7
2
3 Baris pertama ditukar baris kedua = 31
= – 31
2
3
7
5 Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
1
1
1
7
2 = 0 = 0
2
3
2
3
3
7
2
Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol). | B | = Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, | B | = 0
2
1
2
1
1
1
4
2
1
1
6
1
3
1
2
1
Determinan dari matriks persegi A = (a ) berdimensi n yang baris ke –i (kolom ke-j)
ijterdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka
determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) digantidengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom
ke-j) diganti dengan suku yang kedua.5
4
3
1
8
5
5
3
4
1 = +
9
6
9
6
9
6
9
6
5
3
5
5
5
3
5 = +
5
4
6
5
6
4
6
determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris
(kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain2
3 = 11
1
4 sifat ini sering dipakai untuk
2
9 = 11 Jika k2 + 3k1 menyederhanakan baris (kolom),
1
1 sebelum menghitung nilai determinan
3
1 Jika b1 – b2 = 11
1
4 determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya
3
3
7
2 2
1
3 = (3)(-1)(5) = - 15 = (-3)(-2)(4)(1) = 24
1
1
4
5
gunakan sifat determinan untuk menghitung: b2 + 3b1 b3 – 2 b1 b3 + 3 b2 = (1)(-1)(3) = - 3 gunakan sifat ke 8 , untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9
2
2
2
1
2
3
1
2
2
1
2
3
3
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
3
5
4
2
1
1
matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks A = menghilangkan baris pertama diperoleh : bila menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh :
submatriks / matriks bagian
5
1
5
3
7
5
6
2
1
3
7
8
3
1
2
5
6
2
1
3
7
8
5
3 minor dan kofaktor andaikan A berdimensi n , determinan dari submatriks yg berdimensi ( n-1 ) disebut minor : determinan dari submatriks dengan menghilangkan baris ke b kolom ke k M bk a a a 11 12 13 a a 22 23 misal A =
M = = a a – a a 11 22 33 23 32 a a a 21 22 23 a a 32 33 a a a 31 32 33 a a 11 13 M =
32
= a a – a a 11 23 13 21 a a 21 23 untuk matriks A berdimensi 3 tersebut ada berapa minor ?
kofaktor yang berhubungan dengan minor M
bk adalah C bk = (-1) b+k M bk.
A = C 11 = (-1) 1+1 M 11 = (-1) 2= 1 (7) = 7
1
1
1
1
2
3
2
1
1
4
2
1
3
4
1
C 12 = (-1) 1+2 M 12 = (-1) 3 = (-1) (9) = -9 C 13 = (-1) 3+1 M 13 = (-1) 4
= (1) (5) = 5
C 21 = (-1) 2+1 M 21 = (-1) 3= (-1) (0) = 0
2
1
1
1
3
4
2
1
1
C 22 = M 22 = 0 C 22 = M 22 = 0 C 23 = - M 23 = 0 C 23 = - M 23 = 0 C 31 = M 31 = 7 C 31 = M 31 = 7 C 32 = - M 32 = - 9 C 32 = - M 32 = - 9 C 33 = M 33 = 5 C 33 = M 33 = 5
1
A = menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : ekspansi melalui baris pertama : | A | = a
11 a a a a a a a a a
21
22
23
31
32
33
32 dan seterusnya
11 + a
13
12
11 C
31 C
33 atau ekspansi melalui kolom ke dua : | A | = a
33 C
32 + a
32 C
31 + a
13 atau ekspansi melalui baris ketiga : | A | = a
13 C
12 + a
12 C
12 C
22 + a
22 C
12 + a
32 C
dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan :
1
2
1
B =
3
1
1
1
1 4 andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua :
2
1 21 21 22 22 + | B + | = b C b C b C 23 23 = 9 C = - M = - 21 21
1
4 | B | = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3) C = M = 3 22 22 | B | = 33
C = - M = -3 23 23 atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : + | B | = b C + b C b C 13 13 23 23 33 33 C = M = 2 13 13 C = - M = - 3 23 23 | B | = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7) strategi menghitung determinan ‣
gunakan kombinasi beberapa metode (sifat,
ekspansi kofaktor)‣
pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang
paling sederhana
‣ gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur
pada baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol‣ ulangai langkah 1, dan seterusnya
Hitung determinan dari : E = dengan ekspansi melalui baris ke dua : | E | = K2 + K1 K3 – K1 | E | = e
1
1
1
3
1
2
2
9
5
1
3
5
3
2
7
9
5
1
5
3
2
1
4
21 C
21 + e
22 C
22 + e
23 C
23 | E | = e
21 + 0 + 0 | E | = (1) (-24) = - 24 C
21 = - M
21 = - ((3)(-7) – (-5)(9)) = -
24
2
2
4
5
1
1
1
3
1
2
21 C
Berapakah determinan dari F = Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : | F | = B3 + B1 | F | = F 11 C 11
= (1) (6) = 6
5
3
2
4
5
2
4
1
3
2
4
1
1
2
1
3
2
4
5
1
1
2
1
Berapakah | G | ? ekspansi melalui kolom ke tiga : | G | = B2 + B1 B3+B1 | G | = g 13 C 13 = g 13 M 13 = (-1) B3 – B2 (-1) | G | = (-1) g 21 C 21 = (-1) g 21 (- M 21 ) = g 21 M 21 = (3) ((4)(-5) – (7)(-5))
3
3
4
3
2
1
2
4
1
1
3
4
7
1
2
7
3
1
7
7
3
3
4
5
5
4
3
1
3
4
3
2
1
2
1
1
3
| G | = (3) (15) = 45
1
2
1
1
3
2
3
4
1
2
1
1
3
2
1
1
2
2
1
2
1
1
3
3
2
1
4
1
2
1
1
3
4
matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks A = C 11 = M 11 = -5 C 12 = - M 12
= - 4
C 21 = - M 21 = - 2 C 22 = M 22 = 3 jadi matriks kofaktor dari A adalah : K = = matriks adjoint transpose dari matriks kofaktor Adj ( A ) = K T = = matriks kofaktor4
21
12
22
5
2
4
3
5
2
3
11 C C C C
12
21
22
3
2
4
5
11 C C C C
Hitung adjoint dari matriks A , dan determinan matriks A A = C 11 = M 11 = 2 C 12 = - M 12 = - 5 C 13 = M 13 = - 1 C 21 = - M 21 = 4 C 22 = M 22 = -1 C 23 = - M 23 = -2 C 31 = M 31 = -1 C 32 = - M 32 = 7 C 33 = M 33 = 5
3
2
1
1
1
2
2
1
4
1
5
1
7
1
2
2
2
1
1
9
9
9
4
1
5
1
7
1
2
5
5
(a) adj( A ) = K T = = = (b) | A | = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 c 13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9
1
C C C C C C C C C
1 T
2
3
2
1
32
1
2
I = 9
A x adj( A ) = = = | A | .
33
31
13
11 C C C C C C C C C
21
31
12
22
32
23
23
33
11
12
13
21
22
1
Adj( A ) x A = ? = = 9 = | A | .
1
1
1
1
2
3
2
9
9
9
1
1
1
2
I Sifat :
) x
A = det( A ) .I 2. adj( AB ) = adj( B
) x adj(
A )
5
2
2
1
7
1
5
1
4