Angka penting dan Pengolahan data
Angka penting dan Pengolahan data
Pendahuluan
Pengamatan merupakan hal yang penting dan biasa dilakukan dalam proses
pembelajaran. Seperti ilmu pengetahuan lain, fisika berdasar pada pengamatan
eksperimen dan pengukuran kuantitatif. Tujuan utama dari ilmu fisika adalah
memperoleh sejumlah hukum dasar yang mengatur fenomena alam dan
menggunakannya untuk memperoleh teori yang dapat memperkirakan hasil dari
eksperimen. Hukum dasar yang dipergunakan untuk membangun teori dijabarkan
dalam bahasa matematika, sebuah alat untuk menjembatani antara teori dan
eksperimen.
Pada sebuah eksperimen akan dilakukan pengamatan, pengukuran, pencatatan data
dalam bentuk yang teratur, diikuti dengan analisa data dan diakhiri dengan mengambil
kesimpulan. Tujuan utama dari kerja laboratorium adalah memberikan dasar dalam
ilmu eksperimen sehingga pada akhirnya mahasiswa dapat melakukan penelitian
yang dapat dilakukan sendiri. Tujuan dasar dari kerja laboratorium fisika adalah
membekali siswa agar :
1. Memperoleh pemahaman tentang konsep dan teori dasar ilmu fisika.
2. Terbiasa dengan berbagai jenis peralatan dan belajar bagaimana melakukan
pengukuran yang dapat dipercaya (reliable).
3. Belajar bagaimana melakukan pengukuran yang benar berikut memahami
kesalahan pengukurannya.
4. Belajar bagaimana menganalisis data.
5. Belajar bagaimana membuat grafik dan menganalisa hubungan antara
besaran-besaran fisika.
6. Balajar bagaimana membuat laporan kerja lab yang lengkap, benar dan tepat
7. Belajar bagaimana mengatasi masalah yang timbul di dalam laboratorium
1
Analisa Kesalahan
Bila kita melakukan pembuktian hukum-hukum fisika atau mencari besaran fisis
diperlukan pengukuran. Pembacaan skala pada voltmeter, stopwatch atau batang
penggaris sebagai contoh, dapat diterapkan langsung pada serangkaian analisa
terhadap besaran atau hukum yang sedang dipelajari. Ketidakpastian (uncertainty)
dalam pembacaan, akan menghasilkan ketidakpastian pada hasil akhir. Sebuah
pengukuran yang tanpa disertai ketidakpastian akan mengakibatkan penerapan yang
terbatas. Untuk itu, penting sekali dalam perkuliahan dasar teknik laboratorium untuk
memasukan pembahasan tentang ketidakpastian dalam setiap pengukuran.
Ketidakpastian kadang disebut sebagai kesalahan/ralat (error) eksperimental.
Jenis-jenis Kesalahan Eksperimen
Dalam pengumpulan data, terdapat dua jenis kesalahan eksperimen yaitu kesalahan
sistimatik (systematic error) dan kesalahan acak (random error) yang akan memberi
andil dalam kesalahan pada pengukuran suatu besaran.
Kesalahan sistimatik ditimbulkan oleh sebab yang teridentifikasi dan pada prinsipnya
dapat dihilangkan. Kesalahan sistimatik ada empat jenis, yaitu :
a. Instrumental – contoh: peralatan yang tidak terkalibrasi dengan benar, seperti
termometer yang menunjukan suhu 102°C saat dicelupk an ke dalam air
mendidih atau mununjukan suhu 2°C saat dicelupkan dalam air es pada
tekanan atmosfir.
b. Pengamatan – contoh: paralaks dalam pembacaan skala
c. Lingkungan – contoh: tenaga listrik yang turun sehingga menyebabkan
pengukuran arus menjadi terlalu rendah
d. Teori – disebabkan oleh penyederhanaan dari suatu model atau pendekatan
pada persamaan, contoh: jika gaya gesek bekerja saat eksperimen namun
gaya tersebut tidak dimasukan dalam teori, yang mengakibatkan antara
eksperimen dan teori akan tidak sama.
Kesalahan acak merupakan perubahan negatif-positif yang mengakibatkan setengah
dari pengukuran akan terlalu tinggi atau terlalu rendah. Sumber kesalahan acak tidak
selalu dapat diidentifikasi. Sumber kesalahan acak yang mengkin adalah
a. Pengamatan – contoh : kesalahan dalam penilaian seorang pengamat saat
pembacaan skala alat ukur pada bagian-bagian terkecil
b. Lingkungan – contoh : perubahan yang tidak dapat diperkirakan pada
rangkaian tegangan, temperatur atau getaran mekanis dari sebuah peralatan
Kesalahan acak berbeda dengan kesalahan sistimatik dan kesalahan ini dapat
dikuantisasi dengan analisa statistik, sehingga efek kesalahan acak pada besaran dan
hukum fisika pada suatu eksperimen dapat ditentukan. Perbedaan antara kesalahan
acak dan kesalahan sistimatik dapat digambarkan dengan contoh berikut. Misalkan
pengukuran suatu besaran fisis dilakukan sebangak lima kali dalam kondisi yang
sama. Jika hanya terdapat kesalahan acak, maka nilai pengukuran kelimanya akan
tersebar disekitar “nilai benar”, sebagian akan terlalu tinggi atau terlalu rendah seperti
terihat dalam Gbr. 1a. Jika selain kesalahan acak juga terdapat kesalahan sistimatik
maka kelima nilai pengukuran akan tersebar bukan disekitar “nilai benar” namun pada
beberapa nilai yang bergeser seperti pada Gbr. 1b
2
a)
nilai benar
b)
nilai benar
Gbr 1. Data pengukuran (a) dengan kesalahan acak (b) dengan kesalahan acak dan sistimatik.
Setiap tanda menunjukan nilai pengukuran.
Analisa Statistik dari Kesalahan Acak
Jika besaran fisis, seperti pengukuran panjang dengan batang penggaris atau
pengukuran waktu dengan stopwatch dilakukan berulang kali maka sebaran
pembacaan disebabkan karena kesalahan acak. Untuk suatu kumpulan data, nilai
rata-rata atau didefinisikan sebagai
∑
(1)
Dengan xi adalah harga pengukuran ke-i dan n adalah banyaknya pengukuran.
Semua harga pengukuran akan tersebar disekitar nilai rata-rata seperti ditunjukkan
dalam Gbr. 2. (dalam beberapa kasus, mendekati “nilai benar” jika n banyak sekali
dan tidak ada kesalahan sistimatik). Sebaran yang kecil dari nilai pengukuran disekitar
nilai rata-rata menunjukan tingkat presisi yang tinggi.
Gbr.2. Setiap tanda garis menunjukan hasil pengukuran. Nilai terukur tersebar disekitar nilai
rata-rata .
Nilai terbaik dari suatu pengukuran telah ditentukan dengan menghitung rata-rata ( ).
Kita juga harus memperkirakan ketidakpastian atau kesalahan nilai tersebut. Standar
deviasi didefinisikan sebagai
∑
(2)
Jika standar deviasi kecil, maka sebaran nilai terukur di sekitar nilai rata-rata akan
kecil sehingga presisi dalam pengukuran menjadi tinggi. Catat bahwa deviasi standar
selalu positif dan memiliki satuan yang sama dengan nilai terukur.
Kesalahan atau ketidakpastian nilai rata-rata ( ) adalah standar deviasi dari harga
rata-rata (sm) yang didefinisikan sebagai :
√
(3)
3
Dimana s adalah standar deviasi dan n adalah banyaknya pengukuran. Sehingga
dapat dituliskan
∑
(4)
Hasil akhir pengukuran dituliskan sebagai
(5)
Persamaan (5) memiliki makna bahwa kemungkinan nilai terukur akan berkisar dalam
jangkauan,
hingga
.
Bila kesalahan sistimatik dalam suatu pengukuran dapat diperkirakan
ditambahkan ke dalam hasil akhir pengukuran, maka hasil akhir akan menjadi
3
dan
(6)
Dengan u adalah nilai kesalahan sistematik. Bila dilakukan pengukuran tunggal,
dengan harga u sebesar setengah nilai skala
dimana sm = 0, maka nilai
terkecil dari alat ukur.
Perkiraan Kesalahan Acak
Kita dapat memperkirakan kesalahan (error estimate) pengukuran dengan cara
penilaian dan pengalaman. Sebagai contoh, bila sudah diketahui bahwa kesalahan
dalam sebuah alat ukur adalah sama dengan skala terkecil dari alat ukur tersebut,
namun jenis peralatan sangat bervariasi dalam reabilitas skala terkecil sehingga harus
memperhatikan sejumlah penilaian. Jika kita mengukur posisi suatu tanda adalah 92,4
cm dengan menggunakan penggaris dengan skala terjecil dalam millimeter, maka kita
dapat menuliskan hasil pengukuran menjadi 92,4 ± 0,1 cm.
d1
d1
Gbr. 3 Kesalahan d2 lebih besar dari pada d1 karena titik pusat tanda tidak sama
Gbr. 3. menunjukkan suatu cara penilaian yang harus diperhatikan saat
memperkirakan kesalahan sebuah pengukuran. Jarak d1 adalah jarak pisah dari dua
garis vertikal sedangkan d2 adalah jarak antara titik pusat dua buah tanda. Walaupun
kita mengukur d1 dan d2 dengan mistar yang sama (memiliki skala terkecil alat ukur
yang sama), kesalahan d2 akan lebih besar dari pada d1.
Perambatan Kesalahan
Perambatan kesalahan merupakan metode sederhana untuk menentukan kesalahan
sebuah nilai, dimana nilai tersebut dihitung dengan menggunakan dua atau lebih nilai
terukur dan dengan menyertakan perkiraan kesalahan yang diketahui.
4
Penjumlahan dan Pengurangan dalam Pengukuran
Misalkan x, y, dan z adalah tiga nilai terukur dengan perkiraan kesalahan sebesar δx,
δy, dan δz. Hasil dari tiga pengukuran dapat dituliskan dalam bentuk
,
,
(7)
dimana setiap perkiraan kesalahan bisa berupa skala terkecil dari alat ukur. Jika w
merupakan nilai yang akan dihitung dari pengukuran di atas, maka akan didefinisikan
menjadi
!
(8)
Bila perkiraan kesalahan dari x, y, dan z diketahui, maka kesalahan w dapat peroleh
dengan menghitung turunan dari Pers (8)
"!
"
"
"
(9)
Perhitungan dengan analisa statistik menunjukan bahwa δw merupakan akar kuadrat
dari penjumlahan kuadrat dari perkiraan kesalahan :
!
#
(10)
Perkalian dan Pembagian dalam Pengukuran
Luas dari persegi panjang dengan lebar w dan tinggi h adalah $ ! · &. Bila kita
mengukur lebar dan tinggi persegi panjang berikut harga perkiraan kesalahannya,
maka kita akan mengetahui nilai w ± δw dan h ± δh sehingga kita dapat menghitung A
± δA. Untuk menentukan δA, pertama-tama kita dapat menggunakan kalkulus turunan
untuk memperoleh turunan luas dari dA
"$
'(
')
"!
&"!
'(
'*
"&
!"&
(11)
Seperti dalam penjumlahan dan pembagian, analisa statistik menunjukan pendekatan
yang lebih baik dari fraksi kesalahan dari luas δA/A adalah
+(
(
,)+)
,*+*
(12)
Penyimpangan
Persentase penyimpangan adalah salah satu metode untuk membandingkan nilai
eksperimen dengan nilai yang diterima atau nilai literatur. Definisi dari persentase
penyimpangan adalah
persentase penyimpangan
:
;< =
Pendahuluan
Pengamatan merupakan hal yang penting dan biasa dilakukan dalam proses
pembelajaran. Seperti ilmu pengetahuan lain, fisika berdasar pada pengamatan
eksperimen dan pengukuran kuantitatif. Tujuan utama dari ilmu fisika adalah
memperoleh sejumlah hukum dasar yang mengatur fenomena alam dan
menggunakannya untuk memperoleh teori yang dapat memperkirakan hasil dari
eksperimen. Hukum dasar yang dipergunakan untuk membangun teori dijabarkan
dalam bahasa matematika, sebuah alat untuk menjembatani antara teori dan
eksperimen.
Pada sebuah eksperimen akan dilakukan pengamatan, pengukuran, pencatatan data
dalam bentuk yang teratur, diikuti dengan analisa data dan diakhiri dengan mengambil
kesimpulan. Tujuan utama dari kerja laboratorium adalah memberikan dasar dalam
ilmu eksperimen sehingga pada akhirnya mahasiswa dapat melakukan penelitian
yang dapat dilakukan sendiri. Tujuan dasar dari kerja laboratorium fisika adalah
membekali siswa agar :
1. Memperoleh pemahaman tentang konsep dan teori dasar ilmu fisika.
2. Terbiasa dengan berbagai jenis peralatan dan belajar bagaimana melakukan
pengukuran yang dapat dipercaya (reliable).
3. Belajar bagaimana melakukan pengukuran yang benar berikut memahami
kesalahan pengukurannya.
4. Belajar bagaimana menganalisis data.
5. Belajar bagaimana membuat grafik dan menganalisa hubungan antara
besaran-besaran fisika.
6. Balajar bagaimana membuat laporan kerja lab yang lengkap, benar dan tepat
7. Belajar bagaimana mengatasi masalah yang timbul di dalam laboratorium
1
Analisa Kesalahan
Bila kita melakukan pembuktian hukum-hukum fisika atau mencari besaran fisis
diperlukan pengukuran. Pembacaan skala pada voltmeter, stopwatch atau batang
penggaris sebagai contoh, dapat diterapkan langsung pada serangkaian analisa
terhadap besaran atau hukum yang sedang dipelajari. Ketidakpastian (uncertainty)
dalam pembacaan, akan menghasilkan ketidakpastian pada hasil akhir. Sebuah
pengukuran yang tanpa disertai ketidakpastian akan mengakibatkan penerapan yang
terbatas. Untuk itu, penting sekali dalam perkuliahan dasar teknik laboratorium untuk
memasukan pembahasan tentang ketidakpastian dalam setiap pengukuran.
Ketidakpastian kadang disebut sebagai kesalahan/ralat (error) eksperimental.
Jenis-jenis Kesalahan Eksperimen
Dalam pengumpulan data, terdapat dua jenis kesalahan eksperimen yaitu kesalahan
sistimatik (systematic error) dan kesalahan acak (random error) yang akan memberi
andil dalam kesalahan pada pengukuran suatu besaran.
Kesalahan sistimatik ditimbulkan oleh sebab yang teridentifikasi dan pada prinsipnya
dapat dihilangkan. Kesalahan sistimatik ada empat jenis, yaitu :
a. Instrumental – contoh: peralatan yang tidak terkalibrasi dengan benar, seperti
termometer yang menunjukan suhu 102°C saat dicelupk an ke dalam air
mendidih atau mununjukan suhu 2°C saat dicelupkan dalam air es pada
tekanan atmosfir.
b. Pengamatan – contoh: paralaks dalam pembacaan skala
c. Lingkungan – contoh: tenaga listrik yang turun sehingga menyebabkan
pengukuran arus menjadi terlalu rendah
d. Teori – disebabkan oleh penyederhanaan dari suatu model atau pendekatan
pada persamaan, contoh: jika gaya gesek bekerja saat eksperimen namun
gaya tersebut tidak dimasukan dalam teori, yang mengakibatkan antara
eksperimen dan teori akan tidak sama.
Kesalahan acak merupakan perubahan negatif-positif yang mengakibatkan setengah
dari pengukuran akan terlalu tinggi atau terlalu rendah. Sumber kesalahan acak tidak
selalu dapat diidentifikasi. Sumber kesalahan acak yang mengkin adalah
a. Pengamatan – contoh : kesalahan dalam penilaian seorang pengamat saat
pembacaan skala alat ukur pada bagian-bagian terkecil
b. Lingkungan – contoh : perubahan yang tidak dapat diperkirakan pada
rangkaian tegangan, temperatur atau getaran mekanis dari sebuah peralatan
Kesalahan acak berbeda dengan kesalahan sistimatik dan kesalahan ini dapat
dikuantisasi dengan analisa statistik, sehingga efek kesalahan acak pada besaran dan
hukum fisika pada suatu eksperimen dapat ditentukan. Perbedaan antara kesalahan
acak dan kesalahan sistimatik dapat digambarkan dengan contoh berikut. Misalkan
pengukuran suatu besaran fisis dilakukan sebangak lima kali dalam kondisi yang
sama. Jika hanya terdapat kesalahan acak, maka nilai pengukuran kelimanya akan
tersebar disekitar “nilai benar”, sebagian akan terlalu tinggi atau terlalu rendah seperti
terihat dalam Gbr. 1a. Jika selain kesalahan acak juga terdapat kesalahan sistimatik
maka kelima nilai pengukuran akan tersebar bukan disekitar “nilai benar” namun pada
beberapa nilai yang bergeser seperti pada Gbr. 1b
2
a)
nilai benar
b)
nilai benar
Gbr 1. Data pengukuran (a) dengan kesalahan acak (b) dengan kesalahan acak dan sistimatik.
Setiap tanda menunjukan nilai pengukuran.
Analisa Statistik dari Kesalahan Acak
Jika besaran fisis, seperti pengukuran panjang dengan batang penggaris atau
pengukuran waktu dengan stopwatch dilakukan berulang kali maka sebaran
pembacaan disebabkan karena kesalahan acak. Untuk suatu kumpulan data, nilai
rata-rata atau didefinisikan sebagai
∑
(1)
Dengan xi adalah harga pengukuran ke-i dan n adalah banyaknya pengukuran.
Semua harga pengukuran akan tersebar disekitar nilai rata-rata seperti ditunjukkan
dalam Gbr. 2. (dalam beberapa kasus, mendekati “nilai benar” jika n banyak sekali
dan tidak ada kesalahan sistimatik). Sebaran yang kecil dari nilai pengukuran disekitar
nilai rata-rata menunjukan tingkat presisi yang tinggi.
Gbr.2. Setiap tanda garis menunjukan hasil pengukuran. Nilai terukur tersebar disekitar nilai
rata-rata .
Nilai terbaik dari suatu pengukuran telah ditentukan dengan menghitung rata-rata ( ).
Kita juga harus memperkirakan ketidakpastian atau kesalahan nilai tersebut. Standar
deviasi didefinisikan sebagai
∑
(2)
Jika standar deviasi kecil, maka sebaran nilai terukur di sekitar nilai rata-rata akan
kecil sehingga presisi dalam pengukuran menjadi tinggi. Catat bahwa deviasi standar
selalu positif dan memiliki satuan yang sama dengan nilai terukur.
Kesalahan atau ketidakpastian nilai rata-rata ( ) adalah standar deviasi dari harga
rata-rata (sm) yang didefinisikan sebagai :
√
(3)
3
Dimana s adalah standar deviasi dan n adalah banyaknya pengukuran. Sehingga
dapat dituliskan
∑
(4)
Hasil akhir pengukuran dituliskan sebagai
(5)
Persamaan (5) memiliki makna bahwa kemungkinan nilai terukur akan berkisar dalam
jangkauan,
hingga
.
Bila kesalahan sistimatik dalam suatu pengukuran dapat diperkirakan
ditambahkan ke dalam hasil akhir pengukuran, maka hasil akhir akan menjadi
3
dan
(6)
Dengan u adalah nilai kesalahan sistematik. Bila dilakukan pengukuran tunggal,
dengan harga u sebesar setengah nilai skala
dimana sm = 0, maka nilai
terkecil dari alat ukur.
Perkiraan Kesalahan Acak
Kita dapat memperkirakan kesalahan (error estimate) pengukuran dengan cara
penilaian dan pengalaman. Sebagai contoh, bila sudah diketahui bahwa kesalahan
dalam sebuah alat ukur adalah sama dengan skala terkecil dari alat ukur tersebut,
namun jenis peralatan sangat bervariasi dalam reabilitas skala terkecil sehingga harus
memperhatikan sejumlah penilaian. Jika kita mengukur posisi suatu tanda adalah 92,4
cm dengan menggunakan penggaris dengan skala terjecil dalam millimeter, maka kita
dapat menuliskan hasil pengukuran menjadi 92,4 ± 0,1 cm.
d1
d1
Gbr. 3 Kesalahan d2 lebih besar dari pada d1 karena titik pusat tanda tidak sama
Gbr. 3. menunjukkan suatu cara penilaian yang harus diperhatikan saat
memperkirakan kesalahan sebuah pengukuran. Jarak d1 adalah jarak pisah dari dua
garis vertikal sedangkan d2 adalah jarak antara titik pusat dua buah tanda. Walaupun
kita mengukur d1 dan d2 dengan mistar yang sama (memiliki skala terkecil alat ukur
yang sama), kesalahan d2 akan lebih besar dari pada d1.
Perambatan Kesalahan
Perambatan kesalahan merupakan metode sederhana untuk menentukan kesalahan
sebuah nilai, dimana nilai tersebut dihitung dengan menggunakan dua atau lebih nilai
terukur dan dengan menyertakan perkiraan kesalahan yang diketahui.
4
Penjumlahan dan Pengurangan dalam Pengukuran
Misalkan x, y, dan z adalah tiga nilai terukur dengan perkiraan kesalahan sebesar δx,
δy, dan δz. Hasil dari tiga pengukuran dapat dituliskan dalam bentuk
,
,
(7)
dimana setiap perkiraan kesalahan bisa berupa skala terkecil dari alat ukur. Jika w
merupakan nilai yang akan dihitung dari pengukuran di atas, maka akan didefinisikan
menjadi
!
(8)
Bila perkiraan kesalahan dari x, y, dan z diketahui, maka kesalahan w dapat peroleh
dengan menghitung turunan dari Pers (8)
"!
"
"
"
(9)
Perhitungan dengan analisa statistik menunjukan bahwa δw merupakan akar kuadrat
dari penjumlahan kuadrat dari perkiraan kesalahan :
!
#
(10)
Perkalian dan Pembagian dalam Pengukuran
Luas dari persegi panjang dengan lebar w dan tinggi h adalah $ ! · &. Bila kita
mengukur lebar dan tinggi persegi panjang berikut harga perkiraan kesalahannya,
maka kita akan mengetahui nilai w ± δw dan h ± δh sehingga kita dapat menghitung A
± δA. Untuk menentukan δA, pertama-tama kita dapat menggunakan kalkulus turunan
untuk memperoleh turunan luas dari dA
"$
'(
')
"!
&"!
'(
'*
"&
!"&
(11)
Seperti dalam penjumlahan dan pembagian, analisa statistik menunjukan pendekatan
yang lebih baik dari fraksi kesalahan dari luas δA/A adalah
+(
(
,)+)
,*+*
(12)
Penyimpangan
Persentase penyimpangan adalah salah satu metode untuk membandingkan nilai
eksperimen dengan nilai yang diterima atau nilai literatur. Definisi dari persentase
penyimpangan adalah
persentase penyimpangan
:
;< =