Trigonometri Materi Kuliah Matematika I | Blog Mas'ud Effendi
TRIGONOMETRI
Matematika
FTP – UB
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Sudut
• Rotasi
– Apabila suatu garis lurus dirotasi terhadap
suatu titik, garis tersebut menyapu suatu
sudut yang dapat diukur dalam derajat atau
radian
– Suatu garis lurus yang berotasi satu sudut
penuh dan kembali ke posisi awal dikatakan
telah dirotasi melalui 360 derajat – 360o
– Setiap derajat=60 menit dan setiap menit=60
detik
Matematika
Sudut
• Radian
– Jika garis lurus yang
panjangnya r berotasi pada
salah satu ujungnya sehingga
ujung lain membentuk busur
yang panjangnya r, garis
tersebut dikatakan telah dirotasi
melalui 1 radian – 1 rad
Matematika
Sudut
• Segitiga
– Semua segitiga memiliki
bangun dan ukuran
– Bangun segitiga
ditentukan oleh ketiga
sudutnya dan ukuran
oleh panjang ketiga
sisinya
AB
AC
BC
AB AC BC
Matematika
Sudut
• Rasio Trigonometrik
AB
AC
BC
AB AC BC
so that:
AB AB
AB AB
AC AC
and
and
AC AC
BC BC
BC BC
Matematika
Sudut
• Rasio Trigonometrik
sine of angle
AC
- denoted by sin
AB
cosine of angle
BC
- denoted by cos
AB
tangent of angle
BC
- denoted by tan
AB
Matematika
Sudut
• Rasio kebalikan
1
cosecant of angle
- denoted by cos ec
sin
secant of angle
1
- denoted by sec
cos
1
- denoted by cot
cotangent of angle
tan
Matematika
Sudut
• Teorema Pythagoras
– Kuadrat hipotenusa suatu
segitiga siku-siku sama
dengan penjumlahan dari
kuadrat kedua sisi lainnya
a 2 b2 c2
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga siku-siku sama kaki
Angles measured in degrees:
sin 45 cos 45
1
and tan 45 1
2
Angles measured in radians:
sin / 4 cos / 4
1
and tan / 4 1
2
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga setengah sama sisi
Angles measured in degrees:
1
sin 30 cos 60
2
3
sin 60 cos30
2
1
tan 60
3
tan 30
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga setengah sama sisi
Angles measured in radians:
1
sin / 6 cos / 3
2
3
sin / 3 cos / 6
2
1
tan / 3
3
tan / 6
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Identitas dasar
– Identitas trigonometrik dasar diturunkan dari
teorema Pythagoras
a b c
2
2
that is:
2
so
a 2 b2
1
c2 c2
cos 2 sin 2 1
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Dua identitas lain
– Membagi identitas dasar dengan cos2
cos sin 1
2
2
so that
cos 2 sin 2
1
cos 2 cos 2 cos 2
that is:
1 tan 2 sec 2
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Dua identitas lain
– Membagi identitas dasar dengan sin2
cos sin 1
2
2
so that
cos 2 sin 2
1
sin 2 sin 2 sin 2
that is:
cot 2 1 cosec 2
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Jumlah dan selisih
sudut
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Sudut ganda
cos 2 cos 2 sin 2
cos 2 1 2sin 2
cos 2 2cos 2 1
sin 2 2sin cos
2 tan
tan 2
1 tan 2
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Jumlah dan selisih
rasio
sin sin 2sin
cos
2
2
sin sin 2cos
sin
2
2
cos cos 2cos
cos
2
2
cos cos 2sin
sin
2
2
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Hasilkali rasio
2sin cos sin( ) sin( )
2cos cos cos( ) cos( )
2sin sin cos( ) cos( )
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Rotasi
– Untuk sudut lebih
besar dari nol dan
kurang dari /2 radian,
rasio trigonometrik
didefinisikan dengan
baik dan dapat
diperluas ke fungsi
trigonometrik yang
berlaku untuk
sembarang sudut
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi sinus
• Fungsi cosinus
Matematika
Fungsi Trigonometrik
sin
– Rasio sinus terhadap kosinus tan
cos
• Tangen
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Periode
– Sembarang fungsi yang outputnya berulang
dalam selang teratur inputnya disebut fungsi
periodik, selang teratur input tersebut disebut
periode fungsi tersebut
– Fungsi sinus dan kosinus berulang bentuk
pada setiap 2
– Fungsi tangen berulang dengan periode
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Amplitudo
• Setiap fungsi periodik memiliki satuan
amplitudo yang diberikan sebagai selisih
antara nilai maksimum dan nilai rata-rata
output yang diperoleh dalam periode tunggal
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Beda fase
– Beda fase fungsi periodik adalah selang input yang
dengan itu output mendahului atau terlambat
terhadap fungsi acuan
y sin( x /4) leads y sin x by /4 radians
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Jika grafik y = sin x
dicerminkan pada bidang y =
x, akan dihasilkan grafik
invers fungsi sinus
– Fungsi ini bukanlah suatu
fungsi karena terdapat lebih
dari satu nilai y yang
bersesuaian dengan nilai x
yang diketahui
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Pemotongan bagian atas dan bawah grafik
akan menghasilkan fungsi bernilai tunggal
yang disebut fungsi sinus invers
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Dengan cara yang sama dapat diperoleh
fungsi cosinus invers dan fungsi tangen invers
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan trigonometrik
– Persamaan trigonometrik sederhana
merupakan persamaan yang melibatkan
hanya rumusan trigonometrik tunggal
sin3x 0
with solution 3x n
so x n /3, n 0, 1, 2,
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan trigonometrik
– Contoh lain
sin3x
1
2
3
with solution 3x 2n and 3x 2n , n 0, 1, 2,
4
4
so x
2n and x 2n , n 0, 1, 2,
12
4
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
– Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
dapat ditulis ulang
Rsin( x ) R{sin cos x sin x cos } a cos x b sin x c
so that Rsin a and R cos b
c
a
giving R a 2 b 2 and x sin 1 where tan 1
R
b
– Solusi dapat dicari dengan grafik
Matematika
Hasil Pembelajaran
• Mengkonversi sudut-sudut yang diukur
dalam derajat, menit dan detik ke derajat
desimal
• Mengkonversi derajat ke radian dan
sebaliknya
• Membuktikan identitas trigonometrik
• Mengembangkan fungsi trigonometrik dari
rasio trigonometrik
Matematika
Referensi
• Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika
Teknik. Erlangga. Jakarta
Matematika
Matematika
FTP – UB
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Sudut
• Rotasi
– Apabila suatu garis lurus dirotasi terhadap
suatu titik, garis tersebut menyapu suatu
sudut yang dapat diukur dalam derajat atau
radian
– Suatu garis lurus yang berotasi satu sudut
penuh dan kembali ke posisi awal dikatakan
telah dirotasi melalui 360 derajat – 360o
– Setiap derajat=60 menit dan setiap menit=60
detik
Matematika
Sudut
• Radian
– Jika garis lurus yang
panjangnya r berotasi pada
salah satu ujungnya sehingga
ujung lain membentuk busur
yang panjangnya r, garis
tersebut dikatakan telah dirotasi
melalui 1 radian – 1 rad
Matematika
Sudut
• Segitiga
– Semua segitiga memiliki
bangun dan ukuran
– Bangun segitiga
ditentukan oleh ketiga
sudutnya dan ukuran
oleh panjang ketiga
sisinya
AB
AC
BC
AB AC BC
Matematika
Sudut
• Rasio Trigonometrik
AB
AC
BC
AB AC BC
so that:
AB AB
AB AB
AC AC
and
and
AC AC
BC BC
BC BC
Matematika
Sudut
• Rasio Trigonometrik
sine of angle
AC
- denoted by sin
AB
cosine of angle
BC
- denoted by cos
AB
tangent of angle
BC
- denoted by tan
AB
Matematika
Sudut
• Rasio kebalikan
1
cosecant of angle
- denoted by cos ec
sin
secant of angle
1
- denoted by sec
cos
1
- denoted by cot
cotangent of angle
tan
Matematika
Sudut
• Teorema Pythagoras
– Kuadrat hipotenusa suatu
segitiga siku-siku sama
dengan penjumlahan dari
kuadrat kedua sisi lainnya
a 2 b2 c2
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga siku-siku sama kaki
Angles measured in degrees:
sin 45 cos 45
1
and tan 45 1
2
Angles measured in radians:
sin / 4 cos / 4
1
and tan / 4 1
2
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga setengah sama sisi
Angles measured in degrees:
1
sin 30 cos 60
2
3
sin 60 cos30
2
1
tan 60
3
tan 30
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga setengah sama sisi
Angles measured in radians:
1
sin / 6 cos / 3
2
3
sin / 3 cos / 6
2
1
tan / 3
3
tan / 6
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Identitas dasar
– Identitas trigonometrik dasar diturunkan dari
teorema Pythagoras
a b c
2
2
that is:
2
so
a 2 b2
1
c2 c2
cos 2 sin 2 1
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Dua identitas lain
– Membagi identitas dasar dengan cos2
cos sin 1
2
2
so that
cos 2 sin 2
1
cos 2 cos 2 cos 2
that is:
1 tan 2 sec 2
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Dua identitas lain
– Membagi identitas dasar dengan sin2
cos sin 1
2
2
so that
cos 2 sin 2
1
sin 2 sin 2 sin 2
that is:
cot 2 1 cosec 2
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Jumlah dan selisih
sudut
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Sudut ganda
cos 2 cos 2 sin 2
cos 2 1 2sin 2
cos 2 2cos 2 1
sin 2 2sin cos
2 tan
tan 2
1 tan 2
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Jumlah dan selisih
rasio
sin sin 2sin
cos
2
2
sin sin 2cos
sin
2
2
cos cos 2cos
cos
2
2
cos cos 2sin
sin
2
2
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Hasilkali rasio
2sin cos sin( ) sin( )
2cos cos cos( ) cos( )
2sin sin cos( ) cos( )
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Rotasi
– Untuk sudut lebih
besar dari nol dan
kurang dari /2 radian,
rasio trigonometrik
didefinisikan dengan
baik dan dapat
diperluas ke fungsi
trigonometrik yang
berlaku untuk
sembarang sudut
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi sinus
• Fungsi cosinus
Matematika
Fungsi Trigonometrik
sin
– Rasio sinus terhadap kosinus tan
cos
• Tangen
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Periode
– Sembarang fungsi yang outputnya berulang
dalam selang teratur inputnya disebut fungsi
periodik, selang teratur input tersebut disebut
periode fungsi tersebut
– Fungsi sinus dan kosinus berulang bentuk
pada setiap 2
– Fungsi tangen berulang dengan periode
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Amplitudo
• Setiap fungsi periodik memiliki satuan
amplitudo yang diberikan sebagai selisih
antara nilai maksimum dan nilai rata-rata
output yang diperoleh dalam periode tunggal
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Beda fase
– Beda fase fungsi periodik adalah selang input yang
dengan itu output mendahului atau terlambat
terhadap fungsi acuan
y sin( x /4) leads y sin x by /4 radians
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Jika grafik y = sin x
dicerminkan pada bidang y =
x, akan dihasilkan grafik
invers fungsi sinus
– Fungsi ini bukanlah suatu
fungsi karena terdapat lebih
dari satu nilai y yang
bersesuaian dengan nilai x
yang diketahui
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Pemotongan bagian atas dan bawah grafik
akan menghasilkan fungsi bernilai tunggal
yang disebut fungsi sinus invers
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Dengan cara yang sama dapat diperoleh
fungsi cosinus invers dan fungsi tangen invers
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan trigonometrik
– Persamaan trigonometrik sederhana
merupakan persamaan yang melibatkan
hanya rumusan trigonometrik tunggal
sin3x 0
with solution 3x n
so x n /3, n 0, 1, 2,
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan trigonometrik
– Contoh lain
sin3x
1
2
3
with solution 3x 2n and 3x 2n , n 0, 1, 2,
4
4
so x
2n and x 2n , n 0, 1, 2,
12
4
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
– Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
dapat ditulis ulang
Rsin( x ) R{sin cos x sin x cos } a cos x b sin x c
so that Rsin a and R cos b
c
a
giving R a 2 b 2 and x sin 1 where tan 1
R
b
– Solusi dapat dicari dengan grafik
Matematika
Hasil Pembelajaran
• Mengkonversi sudut-sudut yang diukur
dalam derajat, menit dan detik ke derajat
desimal
• Mengkonversi derajat ke radian dan
sebaliknya
• Membuktikan identitas trigonometrik
• Mengembangkan fungsi trigonometrik dari
rasio trigonometrik
Matematika
Referensi
• Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika
Teknik. Erlangga. Jakarta
Matematika