Grup Permutasi dan Grup Siklis

  Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari

  Grup Permutasi

• Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya sendiri.

  Definisi Fungsi Suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu

aturan yang memetakan setiap elemen

A ke tepat satu elemen B, ditulis: f : A → B

  Jika f memetakan a ∈ A ke b ∈ B, ditulis f(a) = b

  A B f a

  ) b a ( f  Fungsi satu-satu dan onto

  1. Fungsi f : A → B dikatakan satu-satu, jhj, jika f(a)=f(b), maka a=b.

  2. Fungsi f : A → B dikatakan onto, jhj, untuk setiap b∈B, ada a∈A sedemikian sehingga b = f(a) f f

  A B A B

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  3

  3

  3

  3 Fungsi Komposisi Jika f dan g adalah fungsi-fungsi dengan f : A

  → B dan g : B → C, maka ada fungsi dari A ke C.

  Fungsi dari A ke C adalah fungsi komposisi yang terdiri dari f diikuti g, ditulis: (g⃘f)(a) = g(f(a)) = c, dengan a ∈ A dan c ∈ C.

  gambar :

  A B C g f a

   c g ( f ( a )) f ( a ) Definisi Permutasi Suatu permutasi pada A adalah fungsi dari A ke A yang sekaligus satu-satu dan onto, ditulis

  A A : f

  1

  1

    

   onto Contoh 1 Diberikan A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. f adalah permutasi yang digambarkan sebagai: atau f ditulis dalam notasi baku sebagai berikut :

  1

  1

  f

  4

  3

  2

  1

  5

  4

  3

  2

  

  5

    

  1 

  4

  2

  2

  3

  5

  4

  3

5 A A

  1

  2

  3

  4

  5  

  Dari: dapat diartikan bahwa: f   

  4

  2

  5

  3

  1   f(1) = 4 f(2) = 2 f(3) = 5 f(4) = 3 f(5) = 1 Komposisi Permutasi (Teorema) Jika f dan g permutasi-permutasi pada

  A, maka f ⃘g juga permutasi pada A.

  1 

  1

  f  g : A    A

  ( ) onto

  Contoh 2 Misalkan dan Maka f

  4

  5

  2

  4

  5

  4

  3

  2

  1   

    

  1

  2

  5

  1

  3

  5

  4

  3

  2

  1 

  

  5

  4

  3

  2

  3

    

  ⃘ g = sehingga (f⃘g)(1) = f(g(1)) = f(3) = 5 (f ⃘g)(5) = f(g(5)) = f(1) = 4, dsb.

  2

    

    

  

  1

  3

  5

  2

  4

  5

  4

  3

  1 f   

  1 g   

    

  

  1

  2

  4

  5

  3

  5

  4

  3

  2

  1

GRUP SIMETRIK

  Diberikan A adalah himpunan berhingga {1,2,3, …,n}.

  Grup semua permutasi untuk A disebut grup simetrik pada n huruf, dan ditunjukkan dengan S . n

  Perhatikan bahwa S mempunyai n! = n

  Teorema 2.4.2

Karakteristik atau orde dari grup S adalah n!.

n

  Contoh: Diberikan himpunan A = {1,2,3}.

  Contoh grup simetri A(S) = S , order A(S) 3! = 6

  3 elemen.

  Didaftar permutasi-permutasi untuk A sbb:

  1

  2

  3

  1

  2

  3    

    ,      

  o

  1

  1

  2

  3

  1

  3

  2    

  1

  2

  3

  1

  2

  3    

    ,      

  1

  2

  2

  3

  1

  3

  2

  1     Dapat ditunjukkan

  ⃘ α α ¹ α ² β ¹ β ² β ³ α α α ¹ α ² β ¹ β ² β ³ α ¹ α ¹ α ² α β ³ β ¹ β ² α ² α ² α α ¹ β ² β ³ β ¹ β ¹ β ¹ β ² β ³ α α ¹ α ² β ² β ² β ³ β ¹ α ² α α ¹ β ³ β ³ β ¹ β ² α ¹ α ² α Perhatikan bahwa grup simetrik tersebut di atas tidaklah komutatif (contoh grup berhingga yang tidak komutatif) Jadi S mempunyai tingkat (order) minimal

  3 untuk sembarang grup yang tidak komutatif.

  Soal latihan

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  4

1.    

f  dan g 

     

  2

  1

  4

  3

  3

  1

  4

  2     Hitunglah komposisi sebagai berikut:

• 1

  a) f g b) g f c) f

• 1 -1 -1
• –1

  d) g

  e) f g

  f) (f g)

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  4    

  2. f  dan g 

     

  3

  4

  1

  2

  4

  3

  1

  2     Hitung

• 1 -1 -1

  a) f g b) g f

  c) (g f )

  2

  2 Perkalian Langsung

• Apabila terdapat dua buah grup G

  1 dan G

  2

maka dapat dibentuk grup baru dari kedua

grup tersebut

• • produk Cartesius dari dua himpunan A dan B

  yang dinyatakan dengan AxB = {(a

  i , b i

  

) / a

i

   A, b i B}.

  Teorema 2.5.2 Bila G dan H dua buah grup maka produk Cartesius G x H dengan operasi : ( g , h ) (g , h ) = (g g , h h ) i i j j i j i j untuk setiap (g , h ) dan (g , h )  G x H i i j j maka G x H merupakan grup dan disebut perkalian langsung (direct product) dari G dan H.

• Perhatikan operasi dalam grup
• Contoh: 1 Dalam perkalian langsung Z x Z karena Z merupakan grup terhadap operasi + maka operasi dalam Z x Z berlaku sama. Misalkan (a,b) dan (c,d) unsur dalam Z x Z maka (a,b)(c,d) = (a + c,b + d)  Z x Z.

  Contoh 2: Misal grup ( Z , + ) dan grup permutasi (S ,

  )

  3

  2 Z x S = { (1,i), (2,i), (3,i), (1,(1 2)),(2,(1 2)),(3,(1 2))}

  3

  2

sedang operasi unsur-unsurnya sebagai berikut:

Misal,

• Apabila G dan H dua grup berhingga , maka orde dari G x H yaitu G x H = G.H

  

Latihan soal

  

1. Bila grup G mempunyai unsur identitas i dan

grup H mempunyai unsur identitas e buktikan {( g , e) / g  G } dan { (i, h ) h  H i i i i

  } merupakan subgrup dari G x H

2. Tuliskan semua unsur dari grup S x Z dan

  3

  2 tentukan subgrup yang mungkin dalam Latihan soal

  3. Hitunglah perkalian unsur-unsur sebagai berikut a. ((123),2)((23),3) dalam S x Z

  3

  5

  

b. (2,3)(-1,5) dalam Q x Q* dimana Q* adalah

himpunan bilangan rasional tanpa unsur nol.

GRUP SIKLIS

  Himpunan dengan anggota-anggota berbentuk i

  a , i  , 1 , 2 , 3 ,  , n  1 dengan

  n i j i  j

  a  a  e , dan a  a  a , jika i  j  n

  i j i j n  

  a  a  a , jika i  j  n

  membentuk suatu grup siklik, a sebagai elemen pembangun atau penghasil atau

GRUP SIKLIS

  Definisi 2.6.1 Suatu grup G dan suatu unsur g  G, jika grup G dapat dinyatakan sebagai G = { g n

  / n  Z }, maka g dikatakan pembangun dari grup G

dan grup G disebut grup siklis, biasanya

dinotasikan G = <g>

  

Perlu diingat...

n definisi grup siklis G = { g / n  Z } digunakan operasi perkalian, tetapi apabila grup G

dengan operasi penjumlahan, maka definisi

grup siklis menjadi G = { n g / n

   Z } = <g > Contoh:

  1. Misalnya untuk n = 6, grup itu ialah

  2

  3

  4

  5 G = { e , a , a , a , a , a }

  Grup semacam ini biasa dinyatakan dengan C , yaitu

  6

  grup siklis berorder 6, ( |G| = 6 ) Grup siklis berorde n dinyatakan dengan C .

  n

  2. Himpunan bilangan-bilangan bulat modulo n dengan operasi penjumlahan modulo n merupakan suatu grup siklis.

  ‣ Misalkan G = Z

  5 = 5.

  4

  5

  = 5 + 5 + 5 = 3,

  3

  5

  = 5 + 5 = 4,

  2

  5

  = 5,

  1

  5

  ‣ dapat juga dibangun oleh 5, G = <5>, sebab: 5 = 0,

  1

  6

  = 2,

  2

  1

  = 4,

  4

  1

  = 1,

  1

  1

  = 3,

  3

  1

  = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, adalah grup siklik dengan elemen pembangunnya 1, G = <1>, sebab: 1 = 0,

  = 5 + 5 + 5 + 5 = 2,

  3. (Z,+) adalah grup siklis dengan unsur pembangun 1 dan -1.

  

4. 3Z merupakan subgrup siklis yang dibangun

oleh 3, sehingga 3Z = <3>

  5. Himpunan operasi simetri dari bangun kitiran ini terdiri dari rotasi dengan titik pusat O, dengan

  o o o

  sudut rotasi 90 , 180 , 270 , dan

  o

  360 O

  o

  Jika )=S, maka (O,90

  o 2 o

  3

  )=S , )=S , (O,180 (O,270

  o

  dan )=I (O,360

  2

3 Jadi G = { I , S , S , S } merupakan grup siklis dengan

  pembangun S, G = <S>, dan order G sama dengan 4

  2

  3 Tentukan order dan invers dari S, S , dan S .

6. Perhatikan segi-5 beraturan dengan pusat O dan

  2

  , S

  4

  } merupakan suatu grup siklis dengan order 5.

  Tampak pula, bahwa |S| = 5, |S

  2

  | = 5, |S

  3

  | = 5, |S

  4

  | = 5 Disamping S, maka S

  , S

  , S

  3

  , dan S

  4

  dapat menjadi O

  o

  72

  1

  2

  3

  4

  5

  3

  sudut-sudut rotasi 72

  o

  o

  , 144

  o

  , 216

  o

  , 288

  o

  , dan 360

  o .

  Jika (O,72

  o

  )=S, maka (O,144

  )=S

  )=I Sehingga { I , S , S

  2

  , (O,216

  o

  )=S

  3

  , (O,288

  o

  )=S

  4

  , dan (O,360

  o

  2

  

Orde dari grup siklis

Bila G grup siklis dibangun oleh unsur g, maka

orde

   G  adalah sama dengan orde dari unsur pembangunnya yaitu ( g )

  Lemma 2.6.2 Bila G suatu grup , g  G maka n

  H = { g / n  Z } merupakan subgrup terkecil dalam G yang dibangun oleh unsur g

  Lemma 2.6.3

  Lemma 2.6.5 Subgrup dari grup siklis adalah siklis Lemma 2.6.7

Dua grup siklis dengan orde yang sama akan berkorespondensi 1 - 1 jika didefinisikan

  f: Z  3Z n  Z, berlaku f(n) = 3n  3Z, maka

  Contoh

• • Z =<1> = <-1> dan 3Z subgrupdari Z dengan 3Z

  = <3> = <-3>.

• f bersifat pada, karena bila diambil sebarang x  3Z haruslah x = 3m, untuk suatu m  Z.

  Ini berarti ada m  Z sedemikian hingga f(m) = x = 3m atau f pemetaan pada.

• • f juga pemetaan 1-1, karena bila diambil unsur

  f(n) = f(m) maka diperoleh 3n = 3m atau n=m.

• • Mengingat f pemetaan pada dan 1-1, maka f

  korespondensi 1-1.

  Lemma 2.6.8 Bila G suatu grup sebarang, g  G dan n misalkan n , m

  = 1 dan juga  Z sehingga g m d g = 1, maka g = 1 di mana d = (m, n). s

  Khususnya bila g = 1 untuk suatu s  Z, maka orde dari g membagi s. Dalam hal ini d = (m,n) dimaksudkan d merupakan pembagi

  Lemma

2.6.9 Misalkan G = < g > dengan n unsur, dan

  s misalkan h = g , s  Z adalah unsur dalam G,

maka h akan membangun subgrup siklis H

dalam G yang berorde n/d, di mana d membagi persekutuan terbesar dari n dan s atau d = (n , s ).

  Contoh ,+) adalah grup siklis dan

• Grup (Z

12 FPB dari 3 dan 12

  Z =&lt;1&gt;=&lt;5&gt; =&lt;7&gt;=&lt;11&gt;

  12 , karena 3 = (3,12) maka

• misal diambil 3  Z

  12 H=&lt;3&gt;={0,3,6,9} subgrup dari Z dengan orde

  12 12/3 = 4 , karena 4 = (4,12) maka

• misal diambil 4  Z

  12 H=&lt;4&gt;={0,4,8} subgrup dari Z dengan orde

  12 12/4 = 3 Menentukan unsur pembangun

Apabila g membangun grup siklis berhingga G

berorde n, maka pembangun lainnya dari G

s

adalah unsur-unsur berbentuk g , di mana s

relatif prim dengan n, atau (s,n) = 1.

  Contoh

• Tentukan semua subgrup yg mungkin dari Z

  18 Diperoleh: adalah 1,5,7,11

• Unsur pembangun Z

  18

• • Subgrup dengan orde terbesar dibangun oleh

  unsur 2, dengan orde 18/2 =9, sehingga

  &lt;2&gt; = {0,2,4,6,8,10,12,14,16}