MATRIKS SOLUSI PERSAMAAN LINEAR

3

MATRIKS &
SOLUSI PERSAMAAN
LINEAR

Pada bab ini dibahas konsep dasar dan metode di dalam menyelesaikan
persamaan linear dengan pendekatan matriks terutama berkaitan dengan kasus-kasus
khusus dalam fisika. Disajikan beberapa metode komputasi numerik, meliputi
metode eliminasi Gauss dengan pivoting, metode Gauss-Seidel, dan matriks
Tridiagonal yang cukup familiar di terapkan dalam masalah nilai eigen dalam fisika
kuantum, sebagai stimulan untuk pemahaman yang lebih intensif terhadap metodemetode yang lain menyangkut solusi fenomena fisis dalam formulasi persamaan
linear.

A. SASARAN UMUM
Sasaran umum dari perkuliahan ini adalah memberikan pemahaman kepada
mahasiswa mengenai proses penyelesaian kasus fisika dalam formulasi persamaan
linear secara komputasi numerik, dan memberikan keleluasaan wawasan tentang
beberapa metode dari sekian banyak metode yang bisa diimplementasikan.

B. SASARAN KHUSUS

Setelah perkuliahan selesai dilaksanakan, mahasiswa diharapkan mampu:
1. Memformulasikan fenomena fisis bentuk persamaan linear ke dalam formula
iteratif komputasi numerik.
2. Menyebutkan beberapa metode komputasi numerik dalam kasus penyelesaian
persamaan linear
3. Menjelaskan perilaku metode eliminasi Gauss, metode Gauss-Seidel dan matriks
Tridiagonal di dalam menanga ni kasus persamaan linear yang ditangani.
4. Mengembangkan pemahaman dengan menggunakan karakteristik metode-metode
komputasi numerik yang lain.

Äfisika-komputasi ⊇

47

5. Meng-implementasikan metode komputasi numerik bercirikan matriks untuk
persamaan linear dalam program komputer.

C. URAIAN MATERI
Tinjau sistem linear Ax=b, yang mempunyai satu dan hanya satu
penyelesaian untuk setiap sisi kanan b, dan batasi perhatian pada sistem yang

mempunyai jumlah persamaan tepat sama dengan jumlah variabelnya, yakni untuk
matriks yang koefisiennya A dan dapat diinvers-kan.
Suatu uji coba yang seringkali dikutip untuk meneliti dapat tidaknya suatu
matriks diinverskan, didasarkan pada konsep determinan. Teorema penting yang
bersangkutan menyatakan bahwa matriks A dapat diinverskan, jika hanya jika
det(A)≠ 0 sebagaimana Dalil Cramer yang menyatakan penyelesaian dari Ax=b
dalam determinan. Nsmun demikian, determinan tidak penting untuk praktek
penyelesaian sistem linear, karena perhitungan determinan biasanya mempunyai
kesulitan yang sama dengan penyelesaian sistem linear. Karena alasan tersebut tidak
digunakan determinan dalam penyelesaian sistem linear dan juga tidak perlu
mendefinisikan determinan itu sendiri.
Metode komputasi numerik untuk penyelesaian sistem persamaan linear
dapat dibagi dalam dua jenis, langsung (direct) dan iterasi(iterative). Metode
langsung adalah metode dengan tidak adanya kesalahan pembulatan atau lainlainnya, akan memberikan penyelesaian yang tepat dalam jumlah operasi aritmetika
elementer yang terbatas banyaknya. Metode dasar yang digunakan adalah eliminasi
Gauss dan ada berbagai pilihan metode yang bervariasi dalam efisiensi dan
kecermatan hitungan. Metode iterasi adalah dimulai dengan pendekatan permulaan
menggunakan algoritma yang sesuai, untuk mendapatkan hasil pendekatan yang
lebih baik. Metode iterasi bervariasi dalam algoritma dan kecepatan konvergensi.
Kelebihan metode iterasi adalah kesederhanaan dan keseragamannya dari operasi

yang dilakukan.
Matriks yang berkaitan dengan sistem linear juga digolongkan dalam padat
(dense) atau longgar (sparse). Matriks padat mempunyai sedikit sekali unsur-unsur
nol, dan orde matriks itu cenderung menjadi relatif kecil– mungkin berorde 100 atau
lebih kecil. Biasanya lebih efisien untuk menangani masalah yang melibatkan
Äfisika-komputasi ⊇

48

matriks semacam itu dengan metode langsung. Matriks longgar mempunyai sedikit
sekali unsur-unsur tak nol. Biasanya timbul dari usaha -usaha untuk menyelesaiakan
persamaan diferensial dengan metode selisih terhingga. Tingkat matriks semacam ini
mungkin besar sekali, dan secara ideal sangat cocok untuk penyelesaian dengan
metode iterasi.
Berikut ini adalah beberapa metode di dalam menyelesaikan persamaan linear
dengan pendekatan matriks, antara lain:
a.

Kaidah Cramer

b.

ÄEliminasi Gauss (dengan pivoting)
(Stability:– ,Precision:Affected by Round-off error, Breadth of
Application:General, Programming Effort:Moderat)

c.

Gauss Jordan

d.

ÄDekomposisi LU (Matriks Spesial–Tridiagonal)
(Stability:– ,Precision:Affected by Round-off error, Breadth of
Application:General, Programming Effort:Mode rat)

e.

ÄGauss Seidel
(Stability:may not converge if not diagonally dominant,

Precision:Excellent, Breadth of Application:Appropriate only
for diagonally dominant system, Programming Effort:Easy)

3.1 Eliminasi Gauss (dengan pivoting)
Matriks menjadi skema yang efisien ketika semua koefisien sistem linear
Ax=b berada dalam deret berorde Nx(N+1). Koefisien-koefisien b disimpan dalam
kolom N+1 dari deret ( yaitu ai,N+1=bi ). Tiap baris memuat semua koefisien yang
diperlukan untuk menyatakan satu persamaan dalam sistem linear. Matriks lengkap
dinyatakan oleh [A,b] dan sistem linear itu dinyatakan sebagai berikut:

 a11
a
 21
[ A , b ] =  ...

 ...
 a N 1

b1 

a12

...

a1 N

a 22

...

b2 N

b2 

...

...

...

... 

...

...

...

aN 2

...

a NN




... 
b N 

(3.1)

Äfisika-komputasi ⊇

49

Sistem Ax=b, dapat diselesaikan dengan melakukan OBE (operasi-operasi
baris elementer) pada matriks lengkap [A,b]. Var iabel-variabel xk adalah pemegang
posisi untuk koefisien-koefisien dan dapat dihilangkan sampai akhir perhitungan.
Operasi berikut merupakan operasi baris elementar yang dapat diterapkan
pada matriks lengkap dan menghasilkan sistem yang setara, meliputi:
(a) Pertukaran

: urutan dua baris dapat ditukar

(b) Penskalaan

: Perkalian sebuah baris dengan tetapan tidak nol

(c) Penggantian

: Sebuah baris dapat digantikan oleh jumlah baris itu dengan
kelipatan sebarang baris lainnya.

Tumpuan (pivoting) adalah salah satu bentuk penyelesaian eliminasi Gauss
dengan menentukan bilangan akk pada posisi (k,k) untuk mengeliminasi xk dalam
baris k+1,k+2,…,N. Jika akk=0, maka baris k tidak dapat dipakai untuk
menghilangkan elemen-elemen pada kolom k, dan baris k harus ditukar dengan baris
lainnya di bawah diagonal untuk memperoleh elemen tumpuan yang tidak nol. Jika
ini tidak dapat dilakukan maka sistem persamaan tidak mempunyai selesaian tunggal.
Metode eliminasi Gauss memerlukan dua tahap di dalam menyelesaikan
sua tu sistem persamaan linear. Pertama, tahap eliminasi maju (forward elimination)
bertujuan mengubah matriks koefisien menjadi matriks segitiga atas. Kedua, adalah
subtitusi balik (back subtitution).

Contoh 3.1
Sistem persamaan umum dengan n=3, dituliskan sebagai berikut
a11 x1 + a12 x2 + a13 x 3 = b1

P(1)

a21 x1 + a 22 x 2 + a23 x 2 = b 2

P(2 )

a 31 x1 + a 32 x2 + a 33 x 3 = b3

P(3 )

(3.2)

selesaikan persamaan linear silmultan diatas menggunakan metode eliminasi Gauss
Solusi
Tahap Pertama: Eliminasi Maju
langkah pertama, adalah eliminasi xi dari P(2) dan P(3) dengan asumsi a11≠0.
Definisikan P21 =

a21
a11

dan P31 =

a 31
a11

Äfisika-komputasi ⊇

50

lakukan operasi-operasi berikut P(2) – P 21 * P(1) dan P(3) – P 31 * P(1), maka
persamaan linear pada (3.2) menjadi:
a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 = b1

P(1)

a 22 ' x 2 + a 23 ' x2 = b2 '

P(2 )

a 32 ' x2 + a 33 ' x 3 = b 3 '

P(3 )

(3.3)

koefisien-koefisien aij’ didefinisikan oleh
a ij ' = a ij − Pi1 a1 j

i, j = 2 , 3

b i ' = b i − Pi1 b1

i = 2 ,3

Langkah kedua adalah eliminasi x2 dari P(3). Asumsikan bahwa a22’≠ 0
Definisikan P32 =

a 32 '
a22 '

lakukan operasi-operasi berikut P(3) – P32* P(2) maka persamaan linear pada (3.3)
menjadi:
a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 = b1

P(1)

a 22 ' x 2 + a 23 ' x2 = b2 '

P(2 )

a 33 " x 3 = b 3 "

P(3 )

(3.4)

koefisien-koefisien yang baru didefinisikan oleh
a 33 "= a 33 ' −P32 a 23 '

i, j = 2 , 3

b 3 " = b2 ' −P32 b2

i = 2 ,3

Tahap Kedua: Subtitusi Balik
Dengan subtitusi balik, secara beruntun didapatkan x1 ,x2 dan x3 :
x 3 = b 3 " / a 33 "
x 2 = (b2 ' − a23 ' x 3 ) / a 22 '

(3.5)

x1 = (b1 − a12 x2 − a13 x 3 ) / a11

Contoh 3.2
Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan
3 x1 − 0 ,1 x 2 − 0 ,2 x 3 = 7, 85

P(1)

0 ,1 x1 + 7 x 2 − 0 , 3 x 3 = −19 , 3

P(2 )

0 , 3 x1 − 0, 2 x2 + 10 x 3 = 71 , 4

P(3 )

(3.6)

bawa 6 angka signifikan selama komputasi
Äfisika-komputasi ⊇

51

solusi
Tahap Pertama: Eliminasi Maju
Operasi-operasi eliminasi adalah P(2)–0,1/3*P(1) dan P(3)–0,3/3*P(1) akan
memberikan perubahan pada persamaan 3.6 menjadi:
3 x1 − 0 ,1 x2 − 0, 2 x 3 = 7, 85

P(1)

7, 00333 x 2 − 0 , 293333 x 3 = −19 , 5617

P(2 )

− 0 ,190000 x 2 + 10 ,0200 x 3 = 70 ,6150

P(3 )

(3.7)

Untuk melengkapi eliminasi maju, x2 harus dihilangkan dari P(3) dengan operasi
P(3)–0,19000/7,00333*P(2), sehingga sistem tereduksi menjadi bentuk segitiga atas
sebagai berikut:
3 x1 − 0,1 x 2 − 0 ,2 x 3 = 7,85

P(1)

7, 00333 x 2 − 0 ,293333 x 3 = −19 , 5617

P(2 )

10 , 0200 x 3 = 70 , 0843

P(3 )

(3.8)

Tahap Kedua: Subtitusi Balik
x3 =
x2 =
x1 =

70 . 0843
10 , 0200

= 7, 00003

− 19 , 5617 + 0 ,293333 (7, 00003 )
7, 00333

= −2 , 50000

7,85 + 0 ,1(−2 , 50000 ) + 0 ,2 (7, 00003 )
3

= 3, 00000

Langkah-langkah untuk n=3 pada contoh 3.1 dan 3.2 secara mudah dapat
diimplementasikan untuk sistem n persamaan linear yang tidak singular, dimana
matriks segitiga atas karena proses eliminasi dituliskan,
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + ... + a1 n x n = b1
a 22 ' x 2 + a23 ' x 2 + ... + a 2 n ' x n = b2 '
a33 " x 3 + ... + a 3 n " x n = b 3 "

(3.9)

...
...
a nn ( n −1 ) x n = b n ( n −1 )

dan persamaan subtitusi balik,

Äfisika-komputasi ⊇

52

xn =

b n ( n −1 )

(3.10)

( n −1 )

a nn

Hasilnya kemudian disubtitusi balik pada persamaan yang ke (n–1). Prosedurenya
akan berulang untuk mengevaluasi nilai-nilai x, dengan formula:
bi

( i −1 )

−

n

∑a

j = i +1

xi =

a ij

( i −1 )

ij

xj

( i −1 )

untuk i = n − 1, n − 2,...,1

(3.11)

Algoritma Eliminasi Gauss
Pseudocode untuk implementasi eliminasi Gauss dan proses subtitusi balik
disajikan dibawah ini:
DO k=1,n– 1
DO i=k+1,n
factor=a i k/a k,k
DO j=k+1 to n
a i,j=a i,j–factor.a k,j
END DO
b i=b i–factor.bk
END DO
END DO
xn=b n/an,n
DO i=n–1,1,–1
sum=0
DO j=i+1,n
sum=sum+ai,j.xj
END DO
xi=(bi–sum)/a i,j
END DO

Contoh 3.3
Buatlah program untuk menyelesaikan set persamaan simultan dalam bentuk matriks
berikut dengan eliminasi Gauss !

0
− 2

− 2

−1
2
4

2

0

− 1 0 
3 1 

Solusi
Äfisika-komputasi ⊇

53

/* Eliminasi Gauss */
#include
#include
#include
#define TRUE 1
/*
a[i][j] : elemen matriks, a[I,j]
n
: orde matriks
*/
main()
{
int i, j, _i, _r;
static n=3;
static float a_init[10][11]= { { 0, –1, 2, 0},
{–2, 2, –1, 0},
{–2, 4, 3, 1} };
double a[10][11];
void gauss();
static int _aini = 1;
printf ( “ Eliminasi Gauss \n\n”);
printf (“ Elemen Matriks\n”);
for ( i=1; i