REPRESENTASI OPERATOR LINEAR PADA RUANG BARISAN TERBATAS l2

ABSTRACT

REPRESENTATION OF LINEAR OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE

by

Muhammad Ibrahim Ali

The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be represented by an infinite matrices. For example, a matrices where

[ ] and { | ∑ | | } is a sequence real

numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence space to sequence space by using a standard basis and it can be proven that the collection all the operators become Banach space.

ABSTRAK

REPRESENTASI OPERATOR LINEAR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

Oleh

Muhammad Ibrahim Ali

Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks

dengan [

] dan { | ∑ | | } merupakan

barisan bilangan real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar dan ditunjukkan bahwa koleksi semua operator membentuk ruang Banach.

REPRESENTASI OPERATOR LINEAR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

Oleh

MUHAMMAD IBRAHIM ALI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDARLAMPUNG 2015

REPRESENTASI OPERATOR LINEAR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

(Skripsi)

Oleh

MUHAMMAD IBRAHIM ALI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDARLAMPUNG 2015

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR SIMBOL ... xiv

I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah ... 1

1.2. Tujuan Penelitian... 2

1.3. Manfaat Penelitian... 2

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Operator ... 4

2.2. Ruang Matriks ... 12

2.3. Ruang Vektor ... 14

2.4. Ruang Bernorma ... 15

2.5. Ruang Banach ... 16

2.6. Barisan ... 16

2.7. Basis ... 22

III. METODE PENELITIAN 3.1. Waktu dan Tempat Penelitian ... 24

3.2. Metode Penelitian ... 24

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Definisi 4.1 ... 27

Teorema 4.1 ... 27 Akibat 4.1 ... 31 Teorema 4.2 ... 31 V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

DAFTAR SIMBOL

A = Operator

= Elemen (anggota)

∑ = Penjumlahan dari sampai tak hingga = Koleksi semua operator (linier dan kontinu) = Nilai limit dari n menuju tak hingga

= Sistem bilangan real = Ruang dual X

BK = Banach Komplit/Lengkap

( ) = Matriks tak hingga dengan baris ke-i dan kolom ke-j | | = Mutlak

‖ ‖ = Norma

= Untuk setiap { } = Barisan

= Vektor nol

= Batas atas terkecil dari nilai k lebih dari sama dengan 1 = Subset

MOTO

“Hai orang

-orang yang beriman, Jadikanlah sabar dan shalatmu Sebagai

penolongmu, sesungguhnya Allah beserta orang-

orang yang sabar”

(Al-Baqarah: 153)

Allah akan meninggikan derajat orang-orang yang beriman diantara kamu

dan orang-orang yang memiliki ilmu pengetahuan.

(Al-Mujadillah:11)

“Barang siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan memudahkan

baginya jalan ke syurga”

(HR. Muslim)

Saat melangkah ke depan (masa depan), berhentilah sejenak untuk menoleh

ke belakang (masa lalu) sebagai pembelajaran dalam mengambil langkah ke

depan (masa depan) yang lebih baik.

(Muhammad Ibrahim Ali)

PERSEMBAHAN

Alhamdulilah, puji syukur kehadirat ALLAH SWT atas segala

rahmat, ridho dan nikmat-Nya sehingga terselesaikannya skripsi ini.

Dari lubuk hati terdalam, ku persembahkan karya sederhana ini

setulus hati teruntuk :

Kedua orang tua ku tercinta, ibunda Asmaniar dan ayahanda

Mustafa Kemal untuk setiap do’a, perhatian dan dukungan melimpah

yang menemani perjalanan hidup ku.

Kedua kakak ku tersayang yang menjadi penyemangat

Keluarga, teman, sahabat, para guru dan dosen yang mengiringi

perjalanan hidup penulis hingga saat ini.

Almamater tercinta, Universitas Lampung

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada tanggal 5 Mei 1992 di Jakarta. Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara, dari pasangan Mustafa Kemal, B.Ac. dan Asmaniar.

Penulis memulai pendidikan formalnya di TK Mutiara yang diselesaikan pada tahun 1998. Lalu menempuh tingkat dasar di SD Negeri 2 Sukamaju Baru dan diselesaikan pada tahun 2004. Kemudian melanjutkan ke tingkat menengah di SMP Negeri 11 Depok dan terselesaikan pada tahun 2007. Selanjutnya, menyelesaikan pendidikan tingkat atas pada tahun 2010 di SMA Negeri 4 Depok.

Penulis terdaftar sebagai mahasiswa di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada tahun 2011 melalui jalur SNMPTN tertulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi anggota muda HIMATIKA dan ROIS FMIPA pada tahun 2011. Lalu pada tahun 2012 penulis menjadi anggota bidang akademik dan anggota biro kesekretariatan ROIS FMIPA. Kemudian pada tahun 2013 penulis menjadi Ketua Biro Kesekretariatan ROIS FMIPA

Sebagai bentuk pengabdian mahasiswa kepada masyarakat, penulis telah mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang merupakan mata kuliah wajib strata satu di Desa Lengkukai, Kecamatan Kelumbayan Barat, Kabupaten Tanggamus pada tanggal 21 Januari 2015 sampai dengan 1 Maret 2015. Penulis juga melakukan Kerja Praktik (KP) sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu pada tanggal 27 Maret 2013 sampai dengan 22 Februari 2013 di Kantor Pelayanan Kekayaan Negara dan Lelang (KPKNL) Bandar Lampung.

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat, ridho dan rizki-Nya penulis dapat

menyelesaikan skripsi dengan judul “Representasi Operator Linear Pada Ruang Barisan Terbatas ”. Shalawat serta salam senantiasa disanjungkan kepada baginda Nabi Muhammad SAW, suri tauladan terbaik sepanjang masa.

Pada penulisan skripsi ini, penulis menerima banyak do’a, dukungan, saran serta kritik yang tentunya membangun dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :

1. Kedua orang tuaku, Papa dan Mama yang tak pernah lelah memberikan do’a, nasehat serta semangat sepanjang hidup penulis.

2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku pembimbing pertama yang telah sabar dalam membimbing, mengarahkan serta memberi semangat di sela-sela waktu kesibukan beliau hingga terselesaikannya skripsi ini.

3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembimbing kedua yang telah memberikan pengarahan dan nasehat hingga skripsi ini selesai.

4. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku pembahas yang telah memberi kritik dan saran sehingga skripsi ini terselesaikan dengan baik.

5. Ibu Dra. Wamiliana, M.Si., Ph.D. selaku Pembimbing Akademik yang telah membimbing penulis dari awal perkuliahan.

6. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph,D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.

8. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Unila yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

9. Ete mar, dan kakakku uda faat dan adam atas dukungan serta semangat yang tiada akhir.

10. Sahabat-sahabatku tersayang eko, dewa, inggit, nika, okta dan umi yang selalu memberikan semangat, senyum dan tawa hingga saat ini.

11. Wesly yang meluangkan waktu untuk memberikan ilmunya, nova dan novi yang selalu memberikan dukungannya saat seminar serta teman-teman matematika angkatan 2011 atas saran dan kebersamaan hingga skripsi ini terselesaikan.

12. Keluarga besar ROIS FMIPA UNILA terkhusus periode kepengurusan 2013/2014, presidium, pimpinan dan anggota bidang maupun biro yang mengajarkan makna ukhuwah dan pengalaman berharga.

13. Keluarga besar HIMATIKA FMIPA UNILA atas kebersamaan dan pelajaran yang bermakna.

14. Seluruh pihak yang terlibat langsung maupun tidak langsung, yang tak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, 25 November 2015

Muhammad Ibrahim Ali NPM.1117031036

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga.

Sebagai contoh, suatu matriks dengan [

] dan

{ | ∑ | | } merupakan barisan bilangan real.

Jika maka

[ ] [ ]

2

[ ∑

∑

]

Sehingga timbul permasalahan, syarat apa yang harus dipenuhi supaya . Oleh karena itu, penelitian akan difokuskan pada permasalahan tersebut.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :

1. Mengkaji ruang barisan terbatas .

2. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja pada ruang barisan terbatas .

3. Mencari representasi operator linear pada ruang barisan terbatas .

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear pada ruang barisan ini, diantaranya :

1. Memahami sifat dari operator linear.

2. Memahami masalah operator linear pada ruang barisan terbatas . 3. Mengetahui aplikasi dari operator linear pada ruang barisan terbatas .

3

4. Dapat memberi ide bagi penulis lain yang ingin meneliti lebih lanjut tentang operator.

4

II. TINJAUAN PUSATAKA

2.1 Operator

Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989)

Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator.

Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989)

Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas field yang sama.

a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator.

b. Operator A : X Y dikatakan linear jika untuk setiap X dan setiap skalar berlaku A( x) = Ax dan A( x + y) = Ax + Ay.

Definisi 2.1.3 (Kreyszig, 1989)

Diberikan ( ‖ ‖) dan ( ‖ ‖) masing-masing ruang bernorm.

a. Operaror A : X → Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M R dengan

M ≥ 0 sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖ ‖ ‖.

b. Operator A dikatakan kontinu di jika diberikan bilangan ada bilangan sehingga untuk setiap dengan ‖ ‖

5

c. Jika A kontinu di setiap , A disebut kontinu pada X. Teorema 2.1.1 (Ruckle, 1991)

Jika X dan Y masing-masing ruang Bernorm atas field yang sama maka lc(X, Y)

merupakan ruang linear.

Bukti :

Diambil sebarang dan sebarang untuk setiap diperoleh

Jadi, merupakan operator linear.

Karena A dan B terbatas maka ada bilangan real M1, M2≥ 0 sehingga,

‖ ‖ = ‖ ‖

≤ ‖ ‖ ‖ ‖

= | |‖ ‖ | |‖ ‖

6

= | | | | ‖ ‖

Dengan demikian, terbatas (kontinu).

Jadi

Telah dibuktikan bahwa untuk setiap dan sebarang skalar berlaku . Jadi linear.

Teorema 2.1.2 (Maddox, 1970)

Jika Y ruang Banach maka ruang Banach.

Bukti :

Diambil sebarang barisan Cauchy { } ‖ ‖ .

Jadi untuk setiap bilangan terdapat sehingga jika dengan

berlaku ‖ ‖ .

Misal, untuk setiap dan diperoleh

‖ ‖ = ‖ ‖

≤ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖

Jelas untuk setiap bilangan (dapat dipilh bilangan sehingga ada sehingga untuk setiap dengan berlaku

‖ ‖ ‖ ‖ .

Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy { } dan Y lengkap, dengan kata lain { } konvergen ke

7

Jadi, dan x menentukan suatu operator A sehingga .

Proses di atas dapat diulang untuk tetap, dengan . Jadi diperoleh

dan z menentukan suatu operator A sehingga .

Untuk setiap skalar a dan b, diperoleh ,

dan menentukan suatu operator A

sehingga .

Jadi

=

=

=

=

Jadi operator A bersifat linear.

Untuk diperoleh

‖ ‖ = ‖ ‖

= ‖ ‖

= ‖ ‖ ‖ ‖

8

Karena dan masing-masing terbatas, serta maka A terbatas (kontinu).

Jadi ‖ ‖ dengan kata lain ‖ ‖ ruang Banach.

Definisi 2.1.4 (Kreyszig, 1989)

Diberikan ruang Bernorm X dengan field .

a. Pemetaan disebut fungsi.

b. Himpunan semua fungsi linear kontinu pada X disebut ruang dual X, biasanya ditulis .

Teorema 2.1.3 (Ruckle, 1991)

Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang memetakan X ke Y maka A kontinu.

Bukti : Misal A =

X = ( )

y = dapat dinyatakan

∑

9

∑

Misal , dan

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑

10

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti merupakan fungsi linear pada X.

Selanjutnya akan ditunjukkan kontinu pada X.

Hal ini sama saja membuktikan terbatas pada X.

Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga | | | |

Oleh karena itu :

| | |∑

|

∑| || |

∑| |

Berdasarkan pembuktian di atas, mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x

Maka f juga kontinu pada x.

Karena y ruang BK diperoleh

∑

11 _[ ] [ ] ( ∑ ∑ ) [ ] ∑ ( )

Jika y = Ax maka bukti lengkap

Definisi 2.1.5 (Berberian, 1996)

a. Matriks takhingga adalah matriks dengan dan elemen pada baris dan kolom sebanyak takhingga.

b. Jika dan masing-masing matriks takhingga dan skalar maka ( ) ( ) dan ∑ dengan ∑ . (Cooke, 1955)

12

Definisi 2.1.6 (Fuhrmann, 1987)

Diketahui suatu operator maka disebut operator adjoint operator T jika untuk setiap dan berlaku

.

2.2 Ruang Matriks

Ruang Matriks merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang Matriks merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak pada real line R.

Definisi 2.2.1 (Kreyszig, 1989)

Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu matriks di X adalah suatu fungsi

[ , sehingga untuk setiap pasangan berlaku :

i. untuk setiap

ii. jika dan hanya jika x = y

iii. untuk setiap (sifat simetri)

iv. untuk setiap (ketidaksamaan

segitiga)

Selanjutnya pasangan (X, d) dengan d adalah Matriks pada X disebut ruang

Matriks. Setiap anggota X disebut titik dan nilai d(x,y) disebut jarak(distance) dari titik x ke titik y atau jarak antara titik x dan titik y.

13

Definisi 2.2.2 (Kreyszig, 1989)

Suatu barisan (xn) dalam ruang Matriks (X, d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk

setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap . Ruang X dikatakan X dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen.

Definisi 2.2.3 (Maddox, 1970)

Suatu ruang Matriks (X, d) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika maka terdapat seningga .

Definisi 2.2.4 (Beberian, 1996)

Misal (X,d) adalah suatu ruang Matriks. Suatu barisan dikatakan konvergen jika terdapat suatu titik sehingga untuk (yaitu untuk setiap ). Titik x adalah unik sebab jika

maka menunjukkan bahwa x = y. Dapat dikatakan xn konvergen ke limit x (dalam X) sehingga dapat ditulis

Lemma 2.2.1 (Kreyszig, 1989)

Jika X = (X,d) adalah ruang Matriks, maka :

i. Suatu barisan konvergen di X adalah terbatas dan limitnya adalah unik. ii. Jika dan di X, maka .

14

Teorema 2.2.1 (Parzynsky dan Zipse, 1987) Setiap barisan Cauchy adalah terbatas.

Bukti :

Jika {an} barisan Cauchy maka untuk ada bilangan asli N sehingga

| | dimana n, m > N. Perhatikan bahwa untuk maka | |

| | | | | | | | untuk setiap n > N. Jika

| | | | | | | | jelas | | untuk setiap bilangan asli N

sehingga barisan {an} terbatas.

2.3 Ruang Vektor

Definisi 2.3.1 (Maddox, 1970)

Ruang vektor adalah suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan fungsi penjumlahan dan fungsi perkalian skalar

sehingga untuk setiap skalar dengan elemen berlaku :

i.

ii.

iii. ada sehingga

iv. ada sehingga

v.

vi.

15

viii.

2.4 Ruang Bernorma

Definisi 2.4.1 (Darmawijaya, 1970)

Diberikan ruang linear X. Fungsi ‖ ‖ yang mempunyai sifat-sifat :

i. ‖ ‖ untuk setiap

ii. ‖ ‖ , jika dan hanya jika , (0 vektor nol)

iii. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap skalar dan .

iv. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap

disebut norma(norm) pada X dan bilangan nonnegatif ‖ ‖ disebut norma vektor x. Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma ‖ ‖ disebut ruang bernorma (norm space) dan dituliskan singkat dengan ‖ ‖ atau X saja asalkan normanya telah diketahui.

Lemma 2.4.1 (Maddox, 1970)

Dalam ruang linier bernorm X berlaku ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap

.

Bukti :

untuk setiap diperoleh :

16

2.5 Ruang Banach

Definisi 2.5.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang Matriks yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen.

2.6 Barisan

Definisi 2.6.1 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)

Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian dengan bilangan real xn tertentu, maka x1, x2,...,xn,... dikatakan barisan.

Definisi 2.6.2 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)

Bilangan-bilangan disebut barisan bilangan tak hingga cn disebut

suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan.

Definisi 2.6.3 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)

Misal L adalah suatu bilangan real dan {xn} suatu barisan, {xn} konvergen ke L

jika untuk setiap bilangan terdapat suatu bilangan asli N, sehingga |

17

Suatu bilangan L dikatakan limit dari suatu barisan takhingga jika ada bilangan real positif sehingga dapat ditemukan bilangan asli N yang tergantung pada sehingga | | untuk setiap , daan suatu barisan dikatakan konvergen jika ia mempunyai nilai limit.

Teorema 2.6.1 (Martono, 1984)

Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas.

Bukti :

Misalkan barisan bilangan real {an} konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat

suatu bilangan real sehinga | | untuk setiap . Karena {an}

konvergen ke a, maka terapat suatu sehingga | | . Akibatnya | | | | | | | | | | untuk setiap .

Ambillah (| | | | | | | | ), maka setiap berlaku

| | , yang berarti bahwa barisan bilangan real {an} terbatas.

Definisi 2.6.4 (Maddox, 1970)

Suatu barisan dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan sehingga | | . Himpunan dari semua barisan terbatas dilambangkan dengan

Definisi 2.6.5 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)

Suatu barisan {xn} dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan

18

(atau | | ) artinya jika L adalah limit dari {xn} maka

xn mendekati L jika n mendekati tak hingga.

Definisi 2.6.6 (Martono, 1984)

Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan yang tak konvergen dinamakan barisan divergen.

Definisi 2.6.7 (Soeparna, 2007)

Diberikan yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi :

{ ̅ { } }

a. Untuk setiap bilangan real p dengan didefinisikan

{ { } ∑| |

} dan norm pada yaitu

‖ ‖ ∑| |

b. Untuk didefinisikan

{ ̅ { }

| | }

dan norm pada yaitu

‖ ‖

| |

Definisi 2.6.8 (Darmawijaya, 2007)

19

( ) ∑| | ‖ ‖ ‖ ‖

Teorema 2.6.2 (Darmawijaya, 2007)

merupakan ruang bernorma terhadap norm ‖ ‖ .

Bukti :

a) Akan dibuktikan bahwa merupakan ruang bernorm terhadap ‖ ‖ . Untuk setiap skalar ̅ { } { } diperoleh

‖ ̃‖

| | | |

‖ ̃‖

| | | | ̃ { } ̃

‖ ̃‖

| | | | ‖ ‖

| | ‖ ̃‖ ‖ ‖ ̃

‖ ̃ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃ ̃‖ ̃ ̃

berdasarkan i), ii) dan iii) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan ‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ‖ ‖ ruang bernorma.

b) Untuk diambil sebarang ̃ { } ̃ { } dan skalar . Diperoleh :

‖ ̃‖ {∑| |

20 ‖ ̃‖ {∑| | } | | ̃ { } ̃ ‖ ̃‖ {∑| | } | | {∑| | } | |‖ ‖

jelas bahwa ‖ ‖

‖ ̃ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃‖ {∑| |

} {∑| |

}

Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan ‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorm.

Teorema 2.6.3 (Darmawijaya, 2007)

Jika bilangan real p dengan , maka ( ‖ ‖ ) merupakan ruang banach.

Bukti :

Telah dibuktikan bahwa ( ‖ ‖ ) merupakan ruang bernorm Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap.

Dibuktikan dahulu untuk diambil sebarang barisan Cauchy { ̃ } dengan

a) ̃ { ̃ } ( ̃ ̃ ̃ )

Untuk sebarang terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap dua bilangan asli berlaku

21

Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli diperoleh | | untuk setiap k. Dengan kata lain diperoleh barisan

Cauchy untuk setiap k. Jadi terdapat bilangan sehingga

atau | | . Berdasarkan b) diperoleh

untuk berlaku | | | | . Selanjutnya dibentuk barisan ̃ { }. Menurut ketidaksamaan minkowski.

c) {∑ | | } {∑ | | }

{∑| | } {∑| | } {∑| | }

Yang berarti ̃ { } . Berdasarkan pertidaksamaan a) diperoleh untuk berlaku

d) ‖ ̃ ̃ ‖ {∑ | | } {∑ | | }

Maka barisan { ̃ } konvergen ke ̃. Berdasarkan hasil c) dan d), terbukti bahwa barisan Cauchy { ̃ } konvergen ke ̃ { } atau terbukti bahwa ( ‖ ‖ ), merupakan ruang banach.

Definisi 2.6.9 (Ruckle, 1991)

22

jika X merupakan ruang banach dan pemetaan koordinatnya

kontinu.

Contoh ruang BK (Banach lengkap) adalah ruang barisan , .

2.7 Basis

Definisi 2.7.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor-vektor sehingga [ ]. Dalam keadaan seperti itu { } disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.

Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika ada vektor-vektor sehingga untuk setiap vektor ada skalar-skalar sehingga

Secara umum, jika dan V terbangkitkan oleh B, jadi | | atau B pembangkit V, maka untuk setiap terdapat vektor-vektor dan skalar sehingga

∑

23

Definisi 2.7.2 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor V. Himpunan dikatakan bebas linear jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear.

Definisi 2.7.3 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor V atas lapangan . Himpunan disebut basis (base) V jika B bebas linear dan | | .

Contoh :

Himpunan { ̌ ̌ ̌ }, dengan ̃ vektor di dalam yang komponen ke-k sama dengan 1 dan semua komponen lainnya sama dengan 0, merupakan basis ruang vektor .

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016 di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain :

1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar { } dengan ( ).

2. Mengkonstruksikan norma operator A

3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach 4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan

pada barisan ke ruang barisan dengan basis standar { } dengan ( ).

V. KESIMPULAN

Operator linear dan kontinu merupakan operator-SM jika dan hanya jika terdapat suatu matriks ( ) yang memenuhi :

(i) {∑ } untuk setiap ( ) , (ii) ∑ ∑ | | ,

(iii) ∑ |∑ | .

Koleksi semua operator SM yang dinotasikan dengan membentuk ruang Banach.

DAFTAR PUSTAKA

Berberian, S. K. 1996. Fundamentals of Real Analysis. Springer, Texas.

Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.

Fuhrmannn, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hilbert Space. Mc Graw Hill and Sons, New York.

Kreyszig, E. 1989. Introductory Function Analysis with Application. Willey Classic Library, New York.

Maddox, I.J. 1970. Element of Functional Analysis. Cambridge Univercity Press, London.

Martono, K. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung.

Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982. Calculus and Analytic Geometry. Wadsworth Publishing Company Belmont, California.

Parzynski and Zipse. 1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill International Edition, Singapore.

Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company, Boston.

Yahya, Y., Suryadi, D. H. S. dan Agus, S. 1990. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.

21

Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli diperoleh | | untuk setiap k. Dengan kata lain diperoleh barisan

Cauchy untuk setiap k. Jadi terdapat bilangan sehingga

atau | | . Berdasarkan b) diperoleh

untuk berlaku | | | | . Selanjutnya dibentuk barisan ̃ { }. Menurut ketidaksamaan minkowski.

c) {∑ | | } {∑ | | }

{∑| | } {∑| | } {∑| | } Yang berarti ̃ { } . Berdasarkan pertidaksamaan a) diperoleh untuk berlaku

d) ‖ ̃ ̃ ‖ {∑ | | } {∑ | | }

Maka barisan { ̃ } konvergen ke ̃. Berdasarkan hasil c) dan d), terbukti bahwa barisan Cauchy { ̃ } konvergen ke ̃ { } atau terbukti bahwa ( ‖ ‖ ), merupakan ruang banach.

Definisi 2.6.9 (Ruckle, 1991)

22

jika X merupakan ruang banach dan pemetaan koordinatnya kontinu.

Contoh ruang BK (Banach lengkap) adalah ruang barisan , .

2.7 Basis

Definisi 2.7.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor-vektor sehingga [ ]. Dalam keadaan seperti itu { } disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.

Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika ada vektor-vektor sehingga untuk setiap vektor ada skalar-skalar sehingga

Secara umum, jika dan V terbangkitkan oleh B, jadi | | atau B pembangkit V, maka untuk setiap terdapat vektor-vektor dan skalar sehingga

∑

23

Definisi 2.7.2 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor V. Himpunan dikatakan bebas linear jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear.

Definisi 2.7.3 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor V atas lapangan . Himpunan disebut basis (base) V jika B bebas linear dan | | .

Contoh :

Himpunan { ̌ ̌ ̌ }, dengan ̃ vektor di dalam yang komponen ke-k sama dengan 1 dan semua komponen lainnya sama dengan 0, merupakan basis ruang vektor .

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016 di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain :

1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar { } dengan ( ).

2. Mengkonstruksikan norma operator A

3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach 4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan

pada barisan ke ruang barisan dengan basis standar { } dengan ( ).

V. KESIMPULAN

Operator linear dan kontinu merupakan operator-SM jika dan hanya jika terdapat suatu matriks ( ) yang memenuhi :

(i) {∑ } untuk setiap ( ) ,

(ii) ∑ ∑ | | , (iii) ∑ |∑ | .

Koleksi semua operator SM yang dinotasikan dengan membentuk ruang Banach.

DAFTAR PUSTAKA

Berberian, S. K. 1996. Fundamentals of Real Analysis. Springer, Texas.

Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.

Fuhrmannn, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hilbert Space. Mc Graw Hill and Sons, New York.

Kreyszig, E. 1989. Introductory Function Analysis with Application. Willey Classic Library, New York.

Maddox, I.J. 1970. Element of Functional Analysis.Cambridge Univercity Press, London.

Martono, K. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung.

Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982. Calculus and Analytic Geometry. Wadsworth Publishing Company Belmont, California.

Parzynski and Zipse. 1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill International Edition, Singapore.

Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company, Boston.

Yahya, Y., Suryadi, D. H. S. dan Agus, S. 1990. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.