Pertemuan 6 Ukuran Kemencengan dan Keruncingan
STATISTIK 1
Pertemuan 6: Ukuran Kemencengan dan
Keruncingan
Dosen Pengampu MK:
Evellin Lusiana, S.Si, M.Si
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
Ukuran kemencengan kurva adalah derajat
atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu
distribusi data
Ukuran kemencengan kurva daapat dihitung
dengan rumus-rumus berikut:
1. Rumus Pearson
2. Rumus Momen
3. Rumus Bowley
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS PEARSON)
Mean > Median > Modus
Kurva Condong ke Kanan
Mean = Median = Modus
Kurva Normal
Mean < Median < Modus
Kurva Condong ke Kiri
Positive Skew
Negative Skew
Data Lebih Kecil
Data Lebih Besar
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
Kelas
KURVA
Frekuensi
A
B
C
D
2,5 - 7,5
2
2
2
1
7,5 - 12,5
4
9
10
2
12,5 - 17,5
6
4
8
4
17,5 - 22,5
9
3
6
6
22,5 - 27,5
6
4
4
8
27,5 - 32,5
4
9
2
10
32,5 - 37,5
2
2
1
2
N
33
33
33
33
Mean
20
20
16,52
23,48
Median
20
20
15
25
Modus
20
-
10
30
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
Pada kelompok A, data
menyebar secara normal,
sehingga histogram yang
terbentuk mengikuti kurva
normal. Informasi yang
dapat diambil dari tabel
frekuensi tersebut adalah
mean = med = mod = 20
KURVA
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
Pada kelompok B,
data simetris kanan &
kiri,
sehingga
histogram
yang
terbentuk
bersifat
simetris.
Informasi
yang dapat diambil
dari tabel frekuensi
tersebut adalah
mean = median = 20,
memiliki 2 modus
KURVA
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
Pada kelompok C,
data lebih menyebar
ke data yang lebih
kecil,
sehingga
histogram
yang
terbentuk panjang ke
kanan. Informasi yang
dapat diambil dari
tabel
frekuensi
tersebut adalah
mean (16,52) > med (15) > mod (10)
KURVA
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
KURVA
Pada kelompok D,
data lebih menyebar
ke data yang lebih
besar,
sehingga
histogram
yang
terbentuk panjang ke
kiri. Informasi yang
dapat diambil dari
tabel
frekuensi
tersebut adalah
mean (23,48) < med (25) < mod (30)
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS PEARSON)
K X Mo
K = ukuran kemencengan
Mo = modus
X = rata-rata
Apabila K bernilai positif, maka keragaman disebut
dengan positive skew/right-skewed (ekor bagian
kanan lebih panjang).
Sebaliknya, apabila K bernilai negatif, maka
keragaman disebut dengan negative skew/leftskewed (ekor bagian kiri lebih panjang)
DERAJAT
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
X Mod
CK
S
3X Med
CK
S
CK = 0
Distribusi data
simetris
CK < 0
Distribusi data
menceng ke kiri
CK > 0
Distribusi data
menceng ke kanan
X Mod 3X Med
CK
S
Mod
Med
X
=
=
=
=
=
koefisien kemencengan
simpangan baku
modus
median
rata-rata
KURVA
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS PEARSON) – data tunggal
Contoh:
Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit)
20 pelanggan di restoran ABC saat malam
minggu untuk memperoleh meja.
28
51
39
45
23
44
67
65
37
61
28
27
56
24
40
61
28
34
50
44
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS PEARSON) – data tunggal
Mean= X = 28.6
Modus=28
Standar deviasi = S =14.19
Ukuran kemencengan Pearson
K= 28.6 – 28 = 0.6
Koefisien kemencengan (CK)
0.6
CK
0.042
14.19
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS PEARSON) – data kelompok
Contoh
Diberikan
data
tinggi
badan
karyawan
suatu
perusahaan.
Tentukan besarnya
kemencengan
kurva dari data
tersebut
Kelas
Frekuensi
(fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS PEARSON)
Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut
adalah
Mean =
Median
Modus
X= 109,6
=
=
Med
Mod
Standar Deviasi =
=
=
108
105
S =
9,26
Ukuran kemencengan Pearson adalah
K = 109.6 – 105 = 4.6.
Koefisien kemencengan (CK) adalah
4.6
CK
0.5
9.26
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS BOWLEY)
K Q1 Q3 2Q2
K = ukuran kemencengan
Q1 = kuartil pertama
Q2 = kuartil kedua
Q3 = kuartil ketiga
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS BOWLEY)
K
CK
Q 3 - Q1
CK = koefisien kemencengan
K = ukuran kemencengan
Q1 = kuartil pertama
Q2 = kuartil kedua
Q3 = kuartil ketiga
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS BOWLEY) – data tunggal
Contoh:
Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit)
20 pelanggan di restoran ABC saat malam
minggu untuk memperoleh meja.
28
51
39
45
23
44
67
65
37
61
28
27
56
24
40
61
28
34
50
44
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS BOWLEY) – data tunggal
Q1= 28
Q2=42
Q3=54.75
Ukuran kemencengan Bowley
K Q1 Q3 2Q2 28 54.75 2 42 1.25
Koefisien kemencengan (CK)
K
1.25
CK
0.046
Q3 -Q1 54.75 28
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS BOWLEY)
Contoh
Diberikan
data
tinggi
badan
karyawan
suatu
perusahaan.
Tentukan besarnya
kemencengan
kurva dari data di
atas.
Kelas
Frekuensi
(fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS BOWLEY)
KURVA
Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut
adalah
Q1 =
102,71
Q2 =
108
Q3 =
116
Ukuran kemencengan Bowley adalah
K Q1 Q3 2Q2 102.71 116 2 108 2.71
Koefisien kemencengan (CK) adalah
K
2.71
CK
0.204
Q3 -Q1 116 102.71
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Konsep
Rata-rata
dan
varians
sebenarnya
merupakan hal istimewa dari kelompok
ukuran lain yang disebut momen.
Momen juga dapat digunakan sebagai cara
untuk mengukur ketidaksimetrisan terhadap
distribusi data dalam suatu variabel.
Lambang
Momen dapat ditulis “ Mr (momen ke-r) “
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS MOMEN)
Momen Data Tunggal
1 n
r
M r X i X
n i 1
KURVA
Momen Data Berkelompok
1 k
r
M r f i X i X
n i 1
Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean
Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians
Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan
Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Tunggal
M3
1
3 3 3
S
nS
α3
M
3
S3
n
X
i
X
=
=
=
=
=
=
n
X
i 1
3
i
X
koefisien kemencengan
momen ketiga, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
data frekuensi ke-i
rata-rata aritmatika atau mean
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok
M3
1
3 3 3
S
nS
α3
M
3
S3
n
k
f
i
X
=
=
=
=
=
=
=
k
f M
i
i 1
3
i
X
koefisien kemencengan
momen ketiga, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
banyaknya kelas
frekuensi kelas ke-i
rata-rata hitung atau mean
DERAJAT
KEMENCENGAN
(RUMUS MOMEN)
KURVA
Data Berkelompok
3
k
k
k
k
c3
1
1
1
1
3
2
3 3 f i d i 3 f i d i f i d i 2 f i d i
S
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
α3
M
3
S3
n
k
c
f
i
d
i
X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
koefisien kemencengan
momen ketiga, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
banyaknya kelas
besarnya kelas interval
frekuensi kelas ke-i
simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi
rata-rata hitung atau mean
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Jika α3 = 0, maka distribusi datanya
simetris.
Jika α3 < 0, maka distribusi datanya
menceng ke kiri.
Jika α3 > 0, maka distribusi datanya
menceng ke kanan.
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS MOMEN) – data tunggal
Contoh:
Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit)
20 pelanggan di restoran ABC saat malam
minggu untuk memperoleh meja.
28
51
39
45
23
44
67
65
37
61
28
27
56
24
40
61
28
34
50
44
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS MOMEN) – data tunggal
Xi
1
28
2
39
3
23
4
67
5
37
6
28
7
56
8
40
9
28
10
50
11
51
12
45
13
44
14
65
15
61
16
27
17
24
18
61
19
34
20
44
Juml
ah
852
Mean 42.6
X
i
X
-14.6
-3.6
-19.6
24.4
-5.6
-14.6
13.4
-2.6
-14.6
7.4
8.4
2.4
1.4
22.4
18.4
-15.6
-18.6
18.4
-8.6
1.4
0.00
X
i
X
2
213.16
12.96
384.16
595.36
31.36
213.16
179.56
6.76
213.16
54.76
70.56
5.76
1.96
501.76
338.56
243.36
345.96
338.56
73.96
1.96
X
3
i
X
-3112.136
-46.656
-7529.536
14526.784
-175.616
-3112.136
2406.104
-17.576
-3112.136
405.224
592.704
13.824
2.744
11239.424
6229.504
-3796.416
-6434.856
6229.504
-636.056
2.744
3826.8 13675.44
3
1 k
1
M 3 X i X (13675.44) 683.77
n i 1
20
k
S2
Xi X
i 1
n 1
2
3826.8
201.41
19
S S 2 201.41 14.19
S 3 (14.19)3 2858.4
M 3 683.77
3 3
0.239
S
2858.4
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS MOMEN) – data kelompok
Contoh
Berikut ini data tinggi
badan 50 siswa dalam
suatu sekolah. Tentukan
ukuran
kemencengan
data tersebut.
Kelas
KURVA
Frekuensi
(fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
Jumlah
50
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Jawaban
X 109.6
Frekuensi
(fi)
Nilai
Kelas
(Xi)
93 – 97
2
95
-29.2
426
-6224
98 – 102
10
100
-96
922
-8847
103 – 107
12
105
-55.2
254
-1168
108 – 112
10
110
4
2
1
113 – 117
7
115
37.8
204
1102
118 – 122
4
120
41.6
433
4499
123 – 127
3
125
46.2
711
10957
128 – 132
1
130
20.4
416
8490
133 – 137
0
135
0
0
0
138 – 142
1
140
30.4
924
28094
Jumlah
50
0
4292
36904
Kelas
3
f i (X i X ) f i (X i X ) 2 f i (X i X )
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS MOMEN)
KURVA
k
r
2
1 k
fi X i X
M r fi X i X
4292
2
i 1
n i 1
S
87.59
n 1
50 1
1
M 3 36904 738.07 S 87.59 9.36
50
3
3
3
3
S 9.36 819.78
M3
3 3
S
738.07
3
819.78
0.90
S 9.36 819.78
Jadi kurva yang terbentuk akan
memiliki ekor yang menceng ke
kanan (α3 > 0)
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
Konsep
Ukuran keruncingan kurva adalah derajat atau
ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi
data terhadap distribusi normalnya data.
Ukuran keruncingan kurva erat kaitannya
dengan kurva normal
Nama Lain
Ukuran keruncingan kurva disebut kurtosis.
UKURAN KERUNCINGAN
KURVA
Jenis
Kurtosis terdiri dari:
1. Leptokurtis, puncak kurva tinggi
2. Mesokurtis, puncak kurva normal
3. Platikurtis, puncak kurva rendah
UKURAN KERUNCINGAN
KURVA
Leptokurtik
Mesokurtik
Platikurtik
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Momen Data Tunggal
1 n
r
M r X i X
n i 1
Momen Data Berkelompok
1 k
r
M r f i X i X
n i 1
Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean
Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians
Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan
Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Tunggal
M4
1
4 4 4
S
nS
n
X
i 1
4
i
X
α4
= koefisien kemencengan
M4
= momen ketiga, mengukur kemencengan
S4
n
Xi
X
= simpangan baku
= banyaknya data pengamatan
= data frekuensi ke-i
= rata-rata aritmatika atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok
M4
1
4 4 4
S
nS
α4
M
4
S4
n
k
f
i
X
=
=
=
=
=
=
=
k
f M
i
i 1
4
i
X
koefisien kemencengan
momen keempat, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
banyaknya kelas
frekuensi kelas ke-i
rata-rata hitung atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok
2
4
k
k
c4
1 k
1 k
1 k
1 k
4
3 1
2 1
4 4 f i d i 4 f i d i f i d i 6 f i d i f i d i 3 f i d i
S
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
α3
M
3
S3
n
k
c
f
i
d
i
X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
koefisien kemencengan
momen ketiga, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
banyaknya kelas
besarnya kelas interval
frekuensi kelas ke-i
simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi
rata-rata hitung atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Jika α4 > 3, maka
leptokurtis (meruncing)
bentuk
kurva
Jika α4 = 3, maka
mesokurtis (normal)
bentuk
kurva
Jika α4 < 3, maka bentuk kurva platikurtis
(mendatar)
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN) – data tunggal
Contoh:
Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit)
20 pelanggan di restoran ABC saat malam
minggu untuk memperoleh meja.
28
51
39
45
23
44
67
65
37
61
28
27
56
24
40
61
28
34
50
44
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN) – data tunggal
1
2
3
Xi
28
39
23
X
i
X
2
X
213.16
12.96
384.16
4
67
595.36
5
37
31.36
6
28
213.16
7
8
56
40
179.56
6.76
9
10
11
12
13
28
50
51
45
44
213.16
54.76
70.56
5.76
1.96
3
i
X -
3112.13
6
-46.656
7529.53
6
14526.7
84
175.616
3112.13
6
2406.10
4
-17.576
3112.13
6
405.224
592.704
13.824
2.744
11239.4
X
i
X
4
45437.1856
167.9616
4
1 k
1
M 4 X i X (1345192.46) 67259.62
n i 1
20
k
147578.9056
354453.5296
983.4496
S2
Xi X
i 1
n 1
2
3826.8
201.41
19
S S 2 201.41 14.19
S 4 (14.19) 2 40566.2
45437.1856
32241.7936
45.6976
M 4 67259.62
4 4
1.658
S
40566.2
45437.1856
2998.6576
4978.7136
33.1776
3.8416
Jadi kurva yang terbentuk adalah
kurva platikurtis (α4 < 3)
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN) – data kelompok
Contoh
Berikut ini data tinggi
badan 50 siswa dalam
suatu sekolah. Tentukan
ukuran keruncingan data
tersebut.
Kelas
Frekuensi
(fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
Jumlah
50
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Kelas
Frekuensi
(fi)
Nilai
Kelas f ( X X ) 3 f i (X i X ) 4
i
i
(Xi)
93 – 97
2
95
-6224
90874
98 – 102
10
100
-8847
84935
103 – 107
12
105
-1168
5373
108 – 112
10
110
1
0
113 – 117
7
115
1102
5952
118 – 122
4
120
4499
46794
123 – 127
3
125
10957
168735
128 – 132
1
130
8490
173189
133 – 137
0
135
0
0
138 – 142
1
140
28094
854072
Jumlah
50
36.904
1429924
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
r
1 k
M r fi X i X
n i 1
1
M 4 1429924 28598.48
50
4
k
2
S
f X
i
i
X
i 1
n 1
2
4292
87.59
50 1
S 87.59 9.36
4
S 9.36 7672.33
M4
4 4
S
28598.48
4
7672.33
3.727
Jadi kurva yang terbentuk adalah
kurva leptokurtis (α4 > 3)
Tugas Kelompok [1]
Diketahui data mengenai jumlah pengeluaran untuk
hiburan selama tiga bulan dari 25 mahasiswa sebagai
berikut (satuan dalam ribuan rupiah).
68
4
76
3
71
0
68
1
68
8
73
1
71
1
73
6
72
2
76
8
69
8
69
3
72
3
70
1
74
3
73
7
73
8
71
7
72
2
75
2
69
6
71
0
72
1
69
7
68
5
Tentukan ukuran kemencengan (Pearson, Bowley,
Momen) dan ukuran keruncingan kurva data tersebut.
Tugas Kelompok [2]
Persentase penduduk berumur 20 tahun ke
atas yang bekerja menurut jam kerja
Jam Kerja
Persentase
selama
seminggu.
0–9
3
10 – 19
7
20 – 29
20
30 – 39
15
40 – 49
30
50 – 59
10
60 – 69
15
Hitunglah ukuran kemencengan (rumus
momen) dan keruncingan kurva dari data
tersebut
Pertemuan 6: Ukuran Kemencengan dan
Keruncingan
Dosen Pengampu MK:
Evellin Lusiana, S.Si, M.Si
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
Ukuran kemencengan kurva adalah derajat
atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu
distribusi data
Ukuran kemencengan kurva daapat dihitung
dengan rumus-rumus berikut:
1. Rumus Pearson
2. Rumus Momen
3. Rumus Bowley
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS PEARSON)
Mean > Median > Modus
Kurva Condong ke Kanan
Mean = Median = Modus
Kurva Normal
Mean < Median < Modus
Kurva Condong ke Kiri
Positive Skew
Negative Skew
Data Lebih Kecil
Data Lebih Besar
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
Kelas
KURVA
Frekuensi
A
B
C
D
2,5 - 7,5
2
2
2
1
7,5 - 12,5
4
9
10
2
12,5 - 17,5
6
4
8
4
17,5 - 22,5
9
3
6
6
22,5 - 27,5
6
4
4
8
27,5 - 32,5
4
9
2
10
32,5 - 37,5
2
2
1
2
N
33
33
33
33
Mean
20
20
16,52
23,48
Median
20
20
15
25
Modus
20
-
10
30
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
Pada kelompok A, data
menyebar secara normal,
sehingga histogram yang
terbentuk mengikuti kurva
normal. Informasi yang
dapat diambil dari tabel
frekuensi tersebut adalah
mean = med = mod = 20
KURVA
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
Pada kelompok B,
data simetris kanan &
kiri,
sehingga
histogram
yang
terbentuk
bersifat
simetris.
Informasi
yang dapat diambil
dari tabel frekuensi
tersebut adalah
mean = median = 20,
memiliki 2 modus
KURVA
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
Pada kelompok C,
data lebih menyebar
ke data yang lebih
kecil,
sehingga
histogram
yang
terbentuk panjang ke
kanan. Informasi yang
dapat diambil dari
tabel
frekuensi
tersebut adalah
mean (16,52) > med (15) > mod (10)
KURVA
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
KURVA
Pada kelompok D,
data lebih menyebar
ke data yang lebih
besar,
sehingga
histogram
yang
terbentuk panjang ke
kiri. Informasi yang
dapat diambil dari
tabel
frekuensi
tersebut adalah
mean (23,48) < med (25) < mod (30)
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS PEARSON)
K X Mo
K = ukuran kemencengan
Mo = modus
X = rata-rata
Apabila K bernilai positif, maka keragaman disebut
dengan positive skew/right-skewed (ekor bagian
kanan lebih panjang).
Sebaliknya, apabila K bernilai negatif, maka
keragaman disebut dengan negative skew/leftskewed (ekor bagian kiri lebih panjang)
DERAJAT
KEMENCENGAN
(RUMUS PEARSON)
X Mod
CK
S
3X Med
CK
S
CK = 0
Distribusi data
simetris
CK < 0
Distribusi data
menceng ke kiri
CK > 0
Distribusi data
menceng ke kanan
X Mod 3X Med
CK
S
Mod
Med
X
=
=
=
=
=
koefisien kemencengan
simpangan baku
modus
median
rata-rata
KURVA
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS PEARSON) – data tunggal
Contoh:
Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit)
20 pelanggan di restoran ABC saat malam
minggu untuk memperoleh meja.
28
51
39
45
23
44
67
65
37
61
28
27
56
24
40
61
28
34
50
44
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS PEARSON) – data tunggal
Mean= X = 28.6
Modus=28
Standar deviasi = S =14.19
Ukuran kemencengan Pearson
K= 28.6 – 28 = 0.6
Koefisien kemencengan (CK)
0.6
CK
0.042
14.19
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS PEARSON) – data kelompok
Contoh
Diberikan
data
tinggi
badan
karyawan
suatu
perusahaan.
Tentukan besarnya
kemencengan
kurva dari data
tersebut
Kelas
Frekuensi
(fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS PEARSON)
Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut
adalah
Mean =
Median
Modus
X= 109,6
=
=
Med
Mod
Standar Deviasi =
=
=
108
105
S =
9,26
Ukuran kemencengan Pearson adalah
K = 109.6 – 105 = 4.6.
Koefisien kemencengan (CK) adalah
4.6
CK
0.5
9.26
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS BOWLEY)
K Q1 Q3 2Q2
K = ukuran kemencengan
Q1 = kuartil pertama
Q2 = kuartil kedua
Q3 = kuartil ketiga
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS BOWLEY)
K
CK
Q 3 - Q1
CK = koefisien kemencengan
K = ukuran kemencengan
Q1 = kuartil pertama
Q2 = kuartil kedua
Q3 = kuartil ketiga
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS BOWLEY) – data tunggal
Contoh:
Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit)
20 pelanggan di restoran ABC saat malam
minggu untuk memperoleh meja.
28
51
39
45
23
44
67
65
37
61
28
27
56
24
40
61
28
34
50
44
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS BOWLEY) – data tunggal
Q1= 28
Q2=42
Q3=54.75
Ukuran kemencengan Bowley
K Q1 Q3 2Q2 28 54.75 2 42 1.25
Koefisien kemencengan (CK)
K
1.25
CK
0.046
Q3 -Q1 54.75 28
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS BOWLEY)
Contoh
Diberikan
data
tinggi
badan
karyawan
suatu
perusahaan.
Tentukan besarnya
kemencengan
kurva dari data di
atas.
Kelas
Frekuensi
(fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS BOWLEY)
KURVA
Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut
adalah
Q1 =
102,71
Q2 =
108
Q3 =
116
Ukuran kemencengan Bowley adalah
K Q1 Q3 2Q2 102.71 116 2 108 2.71
Koefisien kemencengan (CK) adalah
K
2.71
CK
0.204
Q3 -Q1 116 102.71
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Konsep
Rata-rata
dan
varians
sebenarnya
merupakan hal istimewa dari kelompok
ukuran lain yang disebut momen.
Momen juga dapat digunakan sebagai cara
untuk mengukur ketidaksimetrisan terhadap
distribusi data dalam suatu variabel.
Lambang
Momen dapat ditulis “ Mr (momen ke-r) “
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS MOMEN)
Momen Data Tunggal
1 n
r
M r X i X
n i 1
KURVA
Momen Data Berkelompok
1 k
r
M r f i X i X
n i 1
Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean
Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians
Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan
Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Tunggal
M3
1
3 3 3
S
nS
α3
M
3
S3
n
X
i
X
=
=
=
=
=
=
n
X
i 1
3
i
X
koefisien kemencengan
momen ketiga, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
data frekuensi ke-i
rata-rata aritmatika atau mean
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok
M3
1
3 3 3
S
nS
α3
M
3
S3
n
k
f
i
X
=
=
=
=
=
=
=
k
f M
i
i 1
3
i
X
koefisien kemencengan
momen ketiga, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
banyaknya kelas
frekuensi kelas ke-i
rata-rata hitung atau mean
DERAJAT
KEMENCENGAN
(RUMUS MOMEN)
KURVA
Data Berkelompok
3
k
k
k
k
c3
1
1
1
1
3
2
3 3 f i d i 3 f i d i f i d i 2 f i d i
S
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
α3
M
3
S3
n
k
c
f
i
d
i
X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
koefisien kemencengan
momen ketiga, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
banyaknya kelas
besarnya kelas interval
frekuensi kelas ke-i
simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi
rata-rata hitung atau mean
DERAJAT KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Jika α3 = 0, maka distribusi datanya
simetris.
Jika α3 < 0, maka distribusi datanya
menceng ke kiri.
Jika α3 > 0, maka distribusi datanya
menceng ke kanan.
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS MOMEN) – data tunggal
Contoh:
Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit)
20 pelanggan di restoran ABC saat malam
minggu untuk memperoleh meja.
28
51
39
45
23
44
67
65
37
61
28
27
56
24
40
61
28
34
50
44
UKURAN
KEMENCENGAN
KURVA
(RUMUS MOMEN) – data tunggal
Xi
1
28
2
39
3
23
4
67
5
37
6
28
7
56
8
40
9
28
10
50
11
51
12
45
13
44
14
65
15
61
16
27
17
24
18
61
19
34
20
44
Juml
ah
852
Mean 42.6
X
i
X
-14.6
-3.6
-19.6
24.4
-5.6
-14.6
13.4
-2.6
-14.6
7.4
8.4
2.4
1.4
22.4
18.4
-15.6
-18.6
18.4
-8.6
1.4
0.00
X
i
X
2
213.16
12.96
384.16
595.36
31.36
213.16
179.56
6.76
213.16
54.76
70.56
5.76
1.96
501.76
338.56
243.36
345.96
338.56
73.96
1.96
X
3
i
X
-3112.136
-46.656
-7529.536
14526.784
-175.616
-3112.136
2406.104
-17.576
-3112.136
405.224
592.704
13.824
2.744
11239.424
6229.504
-3796.416
-6434.856
6229.504
-636.056
2.744
3826.8 13675.44
3
1 k
1
M 3 X i X (13675.44) 683.77
n i 1
20
k
S2
Xi X
i 1
n 1
2
3826.8
201.41
19
S S 2 201.41 14.19
S 3 (14.19)3 2858.4
M 3 683.77
3 3
0.239
S
2858.4
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS MOMEN) – data kelompok
Contoh
Berikut ini data tinggi
badan 50 siswa dalam
suatu sekolah. Tentukan
ukuran
kemencengan
data tersebut.
Kelas
KURVA
Frekuensi
(fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
Jumlah
50
UKURAN KEMENCENGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Jawaban
X 109.6
Frekuensi
(fi)
Nilai
Kelas
(Xi)
93 – 97
2
95
-29.2
426
-6224
98 – 102
10
100
-96
922
-8847
103 – 107
12
105
-55.2
254
-1168
108 – 112
10
110
4
2
1
113 – 117
7
115
37.8
204
1102
118 – 122
4
120
41.6
433
4499
123 – 127
3
125
46.2
711
10957
128 – 132
1
130
20.4
416
8490
133 – 137
0
135
0
0
0
138 – 142
1
140
30.4
924
28094
Jumlah
50
0
4292
36904
Kelas
3
f i (X i X ) f i (X i X ) 2 f i (X i X )
UKURAN
KEMENCENGAN
(RUMUS MOMEN)
KURVA
k
r
2
1 k
fi X i X
M r fi X i X
4292
2
i 1
n i 1
S
87.59
n 1
50 1
1
M 3 36904 738.07 S 87.59 9.36
50
3
3
3
3
S 9.36 819.78
M3
3 3
S
738.07
3
819.78
0.90
S 9.36 819.78
Jadi kurva yang terbentuk akan
memiliki ekor yang menceng ke
kanan (α3 > 0)
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
Konsep
Ukuran keruncingan kurva adalah derajat atau
ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi
data terhadap distribusi normalnya data.
Ukuran keruncingan kurva erat kaitannya
dengan kurva normal
Nama Lain
Ukuran keruncingan kurva disebut kurtosis.
UKURAN KERUNCINGAN
KURVA
Jenis
Kurtosis terdiri dari:
1. Leptokurtis, puncak kurva tinggi
2. Mesokurtis, puncak kurva normal
3. Platikurtis, puncak kurva rendah
UKURAN KERUNCINGAN
KURVA
Leptokurtik
Mesokurtik
Platikurtik
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Momen Data Tunggal
1 n
r
M r X i X
n i 1
Momen Data Berkelompok
1 k
r
M r f i X i X
n i 1
Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean
Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians
Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan
Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Tunggal
M4
1
4 4 4
S
nS
n
X
i 1
4
i
X
α4
= koefisien kemencengan
M4
= momen ketiga, mengukur kemencengan
S4
n
Xi
X
= simpangan baku
= banyaknya data pengamatan
= data frekuensi ke-i
= rata-rata aritmatika atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok
M4
1
4 4 4
S
nS
α4
M
4
S4
n
k
f
i
X
=
=
=
=
=
=
=
k
f M
i
i 1
4
i
X
koefisien kemencengan
momen keempat, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
banyaknya kelas
frekuensi kelas ke-i
rata-rata hitung atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Data Berkelompok
2
4
k
k
c4
1 k
1 k
1 k
1 k
4
3 1
2 1
4 4 f i d i 4 f i d i f i d i 6 f i d i f i d i 3 f i d i
S
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
α3
M
3
S3
n
k
c
f
i
d
i
X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
koefisien kemencengan
momen ketiga, mengukur kemencengan
simpangan baku
banyaknya data pengamatan
banyaknya kelas
besarnya kelas interval
frekuensi kelas ke-i
simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi
rata-rata hitung atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Jika α4 > 3, maka
leptokurtis (meruncing)
bentuk
kurva
Jika α4 = 3, maka
mesokurtis (normal)
bentuk
kurva
Jika α4 < 3, maka bentuk kurva platikurtis
(mendatar)
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN) – data tunggal
Contoh:
Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit)
20 pelanggan di restoran ABC saat malam
minggu untuk memperoleh meja.
28
51
39
45
23
44
67
65
37
61
28
27
56
24
40
61
28
34
50
44
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN) – data tunggal
1
2
3
Xi
28
39
23
X
i
X
2
X
213.16
12.96
384.16
4
67
595.36
5
37
31.36
6
28
213.16
7
8
56
40
179.56
6.76
9
10
11
12
13
28
50
51
45
44
213.16
54.76
70.56
5.76
1.96
3
i
X -
3112.13
6
-46.656
7529.53
6
14526.7
84
175.616
3112.13
6
2406.10
4
-17.576
3112.13
6
405.224
592.704
13.824
2.744
11239.4
X
i
X
4
45437.1856
167.9616
4
1 k
1
M 4 X i X (1345192.46) 67259.62
n i 1
20
k
147578.9056
354453.5296
983.4496
S2
Xi X
i 1
n 1
2
3826.8
201.41
19
S S 2 201.41 14.19
S 4 (14.19) 2 40566.2
45437.1856
32241.7936
45.6976
M 4 67259.62
4 4
1.658
S
40566.2
45437.1856
2998.6576
4978.7136
33.1776
3.8416
Jadi kurva yang terbentuk adalah
kurva platikurtis (α4 < 3)
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN) – data kelompok
Contoh
Berikut ini data tinggi
badan 50 siswa dalam
suatu sekolah. Tentukan
ukuran keruncingan data
tersebut.
Kelas
Frekuensi
(fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
Jumlah
50
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
Kelas
Frekuensi
(fi)
Nilai
Kelas f ( X X ) 3 f i (X i X ) 4
i
i
(Xi)
93 – 97
2
95
-6224
90874
98 – 102
10
100
-8847
84935
103 – 107
12
105
-1168
5373
108 – 112
10
110
1
0
113 – 117
7
115
1102
5952
118 – 122
4
120
4499
46794
123 – 127
3
125
10957
168735
128 – 132
1
130
8490
173189
133 – 137
0
135
0
0
138 – 142
1
140
28094
854072
Jumlah
50
36.904
1429924
UKURAN KERUNCINGAN KURVA
(RUMUS MOMEN)
r
1 k
M r fi X i X
n i 1
1
M 4 1429924 28598.48
50
4
k
2
S
f X
i
i
X
i 1
n 1
2
4292
87.59
50 1
S 87.59 9.36
4
S 9.36 7672.33
M4
4 4
S
28598.48
4
7672.33
3.727
Jadi kurva yang terbentuk adalah
kurva leptokurtis (α4 > 3)
Tugas Kelompok [1]
Diketahui data mengenai jumlah pengeluaran untuk
hiburan selama tiga bulan dari 25 mahasiswa sebagai
berikut (satuan dalam ribuan rupiah).
68
4
76
3
71
0
68
1
68
8
73
1
71
1
73
6
72
2
76
8
69
8
69
3
72
3
70
1
74
3
73
7
73
8
71
7
72
2
75
2
69
6
71
0
72
1
69
7
68
5
Tentukan ukuran kemencengan (Pearson, Bowley,
Momen) dan ukuran keruncingan kurva data tersebut.
Tugas Kelompok [2]
Persentase penduduk berumur 20 tahun ke
atas yang bekerja menurut jam kerja
Jam Kerja
Persentase
selama
seminggu.
0–9
3
10 – 19
7
20 – 29
20
30 – 39
15
40 – 49
30
50 – 59
10
60 – 69
15
Hitunglah ukuran kemencengan (rumus
momen) dan keruncingan kurva dari data
tersebut