5.1 Quantum Mechanics - Mekanika Quantum

1 1 *Failure to check that the P(0 ≤≤ x )= . result makes sense is the

third common mistake.

Apakah hasil ini memberikan sense? * Bagaimana

P(0 ≤≤ x )= ∫ 0 ( 3 x 3 x dx

mengeceknya?

P(0 ≤≤ x )=3

2 ∫ 0 x dx

Dibawah ini adalah plot fungsi gelombang. Tetapi ingat, kita Dibawah ini adalah plot dari kerapatan probabilitas (besar tidak mengukur fungsi gelombang. Yang kita ukur adalah

fungsi gelombang kuadrat).

sebanding dengan besaran fungsi gelombang dikuadratkan.

Kita tidak dapat mengatakan probabilitas particle ada di x =

0.5 (Heisenberg), tapi kita dapat mengatakan probabilitas bahwa particle dapat ditemukan didalam area dx berpusat pada x = 0.5.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

13 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 14

Daerah merah menyatakan

5.2 The Wave Equation

probabilitas particle dapat ditemukan pada 0 ≤ x ≤ 0.5.

Kita telah mengakui dalam beberapa bab bahwa partikel mempunyai sifat gelombang, dan kita sudah melihat beberapa contoh dari percobaan yang mendukung klaim ini.

Daerah biru merepresentasikan probabilitas particle dapat ditemukan diantara 0.5 ≤ x ≤ 1.0.

Secepatnya, kita harus menghadapi tantangan, dan sampai pada beberapa teori matematika yg serius untuk mendukung klaim ini.

Kita peroleh P(0 ≤ x ≤

Jika partikel mempunyai sifat gelombang dan dapat dijelaskan jika kita hitung P(0.5 ≤ x ≤ 1.0)? oleh suatu fungsi gelombang, harus ada suatu persamaan

0.5) = 1/8. Apa yg akan kita peroleh

gelombang untuk partikel. kita harus menemukan fungsi ini. Sepertinya daerah merah 1/8 dari total area; daerah biru

sekitar 7 kali lebih besar dibanding daerah merah? Mari kita meninjau ulang persamaan gelombang

Ini adalah bentuk umum dari persamaan gelombang : Solusi persamaan gelombang mempunyai bentuk

x  y = Ft±   .

Solusi y(x,t) adalah suatu gelombang yang menjalar dengan kecepatan v melalui ruang (satu dimensi) dan waktu.

Tanda - menyatakan gelombang yang yang menjalar ke arah (Persamaan 1-dimensional diatas dapat dengan mudah

x+, dan tanda + menyatakan gelombang yang yang menjalar digeneralisasi untuk 3 dimensi.)

ke arah x-

Bentu fungsi yang equivalent adalah y = F ( k x ± ωt ) . ∠ merepresentasikan turunan parsial. jika F adalah fungsi dari

What are these things?

(xyz), maka jika kita lakukan ∠ F/ ∠ x, kita menganggap y dan z adalah konstant :

2 ∂ If F(xyz) = 9xy + x yz , then F 2 = 9y + 2xyz . 2

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla ∂ x

17 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 18

Suatu contoh solusi persamaan gelombang adalah gelombang Pada bagian ini kita baru menuliskan suatu bentuk persamaan yang setara dengan partikel bebas:

gelombang yang diperbaiki. Kita mengingatkan diri kita bahwa jika objek dinyatakan sbg gelombang, fungsi gelombangnya

j ( kx - y =Ae ωt ) = A cos ( kx - ωt ) + j A sin ( kx - ωt ) . harus memenuhi bentuk beberapa persamaan gelombang.

5.3 Persamaan Schrödinger: Bentuk Time-Dependent

(Partikel bebas adalah partikel yang tidak dipengaruhi oleh gaya-luar, termasuk yang menimbulkan suatu potensial.)

Pada bagian ini kita akan memperkenalkan persamaan Schrödinger, yang anda dapat pikirkan sebagai sebagai

Jika kita mengambil bagian riil dari y, kita mempunyai pernyataan mekanika kuantum untuk kekekalan energi, dan pergerakan gelombang dalam suatu dawai diregangkan.

mungkin merupakan persamaan mekanika kwantum yang (Persamaan di buku Beiser's sedikit berbeda tapi equivalen)

paling utama. Mari kita turunkan persamaan Schrödinger.

“Where did we get that from? It's not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger.”—Richard Feynman

Kita mulai dengan conservasi energi: Kalikan persamaan konservasi energi dengan Ψ (x,t) :

E=K+U=

+U,

2m

(x, t) (x, t) (x, t) P + U(x, t) . 2 Ψ E = Ψ

2m

Dimana potential U merepresentasikan pengaruh alam pada partikel (atau system) yang kita pelajari.

Jika ini harus merupakan persamaan gelombang, maka hrs U dapat merepresentasikan pengaruh applied electric fields,

memiliki solusi

charged partikels, gravity, springs, etc.

(j/ ) (Px - Et) Ψ h (x, t) = A e =Ae .

j (kx - ωt)

Misalkan partikel (or system) direpresentasikan dengan fungsi Bagian kedua persamaan diatas datang dari E = ħ ω and P = gelombang Ψ(x,t).

ħk.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

21 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 22

2 Ψ 2 (x, t) = A e j (kx - ωt) =Ae (j/ ) (Px - Et) h . ∂Ψ P

2 = - (xt) . 2 ∂ Ψ x h

Sekarang, perhatikan ∂ 2 Ψ/∂x 2

Selesaikan untuk P 2 Ψ/2m, kita peroleh

∂  Ae   =

h 2 ∂Ψ 2

(j/ ) (Px - Et) h jP

(j/ ) (Px - Et) h

 Ae 

Hasilnya adalah -P 2 Ψ/ ħ 2 :

(j/ ) (Px - Et) h  jP 

 = - 2 Ψ ∂ (x, t) . x

(j/ ) (Px - Et) h P

Ingat bahwa

Selesaikan untuk E Ψ,

(x, t) = A e (j/ ) (Px - Et) h

Masukan apa yg sudah kita peroleh E Ψ dan P 2 Ψ/2m kedalam Sekali lagi, ambil bentuk ∂Ψ/∂t.

persamaan konservasi energi maka akan diperoleh

h 2 ∂Ψ 2

(j/ ) (Px - Et) h ∂ -jE (j/ ) (Px - Et)  h Ae ∂ t

2m ∂ x

  Ae  

Ini adalah bentuk satu-dimensi time-dependent persamaan

h Schrödinger; ini akan mudah untuk mengeneralisasi untuk 3 dimensions.

Hasilnya adalah –jE Ψ / ħ: ∂

[] -jE Ψ

h Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

25 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 26

Persamaan kita yg original : Hal yang sama berlaku untuk persamaan Schrödinger. Yang mendalilkan prinsip pertama, persamaan ini lahir karena

E (x, t) =

pengamatan atas kenyataan fisik, dan dipercaya karena sukses 2m

p 2 Ψ (x, t) + U(x, t) (x, t) Ψ

menjelaskan alam semesta.

Telah memperdaya kita, karena p betul-betul merepresentasi- Dengan kata lain, “we believe it because it works.”* kan operator ∂/∂x (ingat, dlm mekanika Newton momentum

berhubungan dgn velocity, yg merupakan turunan pertama

h 2 ∂Ψ 2

+U . Ψ dari posisi) dan E merepresentasikan operator ∂/∂t.

j h =-

2m ∂ x 2

Persamaan konservasi energi kita yg simple merupakan Pers. Schrödinger merupakan pers. differential linier dari fungsi persamaan differential linear.

gelombang Ψ. Potential U(x,t), bisa 0 atau merupakan konstanta, atau dapat

Kita telah “justified” pers. Schrödinger, tapi belum juga berupa operator yang komplek. U(x,t) merepresentasikan menurunkannya

effek alam pada partikel.

Tidak masalah – kita tidak pernah menurunkan hkm Newton. Namun kita membenarkannya, menunjukan hal itu bekerja, dan menggunakannya. Kita percaya karena hkm itu menjelaskan kenyataan. Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Apa potensial yang paling simple yg dpt anda pikirkan?

Betul: U=0, yaitu potential untuk partikel bebas. Kalau kita tahu kondisi batas untuk partikel dan potential

Kita gunakan pers. Schrödinger, dgn U=0, dan solve U(x,t), secara prinsip kita dapat menyelesaikan untuk fungsi Ψ. gelombang pd berbagai t dan x.

Atau kita dapat lebih effisien dan mengambil partikel bebas Ψ, Sekali kita punya fungsi gelombang, maka persoalan telah kita

masukan ke pres. Schrödinger, dan perhatikan jika kita dapat selesaikan.

memperoleh identitas yang ada.

Pada bab ini kita akan menyelesaikan pers. Schrödinger untuk beberapa potential yang simpel.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

29 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 30

P Fungsi gelombang untuk partikel bebas 2 -(j/ ) (Et - Px) h Ψ =e .

kiri = kanan :

2m

pres. Schrödinger untuk partikel bebas (U = 0) adalah

Ingat—ini versi nonrelativistic.

Bagian kiri :

Kita sudah ingat bentuk tsb.

e -(j/ ) (Et - Px) ∂ h ( )

jE -(j/ ) (Et - Px) h Tapi tentu saja kita perlu mengecek konsistensi pd kasus yg j h =-j h e = E Ψ . paling simpel sebelum kita menghabiskan waktu untuk pres.

h Schrödinger.

Bagian kanan:

h ∂ ( e ) h -jP -(j/ ) (Et - Px) P

2 2 -(j/ ) (Et - Px) h 2 2 2 Apa yg dapat kita lakukan?

2m   h  (

2m ∂ x

2m

Sebagai konsekuensi linearitas, jika Ψ 1 dan Ψ 2 adalah solusi untuk pres. Schrödinger, maka mereka merupakan kombinasi

5.4 Linearitas dan Superposisi

Dalam mekanika kwantum, ilmu fisika dan matematik

linear

Ψ =a 1 Ψ 1 +a 2 Ψ 2 ,

sepertinya terlibat untuk selamanya. Artinya kita dapat sering memperoleh pengertian yang mendalam dengan melihat pers

dimana a 1 dan a 2 adalah konstanta.

matematik, tidak terikat pada sistem fisik tertentu

Konsekwensi lebih lanjut adalah fungsi gelombang

Hal itu juga berarti fungsi gelombang “behave well.”

mematuhi superposisi dan exhibit interference.

h 2 ∂Ψ 2

Jika sistem direpresentasikan dengan fungsi gelombang Ψ= ∂ t

2m x

a 1 Ψ 1 +a 2 Ψ 2 , bagaimana kita menghitung kerapatan probabilitas untuk Ψ?

pres. Schrödinger linear dlm Ψ. Dengan kata lain, tdk memiliki istilah independen dari Ψ, dan tdk ada istilah melibatkan

Kita tdk dapat hanya menambahkan probabilitas! Kita tdk “higher powers” Ψ atau turunannya. dapat menulis P = a 1 P 1 +a 2 P 2 , dimana P 1 = Ψ 1 * Ψ 1 dan P 2 =

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

33 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 34

Sebagai gantinya,

P= ΨΨ = a ( 1 Ψ 1 +a 2 Ψ 2 )( a 1 Ψ 1 +a 2 Ψ 2 )

5.5 Nilai Ekspektasi

P= a *

Sekali kita “solve” pres. Schrödinger untuk ( Ψ, kita mengetahui

1 Ψ 1 +a 2 Ψ 2 ) ( a 1 Ψ 1 +a 2 Ψ 2 )

segalanya tentang partikel yang bisa diketahui di dalam batas

P=a * Ψ * a Ψ +a ( * 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 Ψ *

1 ) ( a 2 Ψ 2 ) +a ( 2 Ψ 2 ) ( a 1 Ψ 1 ) +a ( 2 Ψ 2 ) ( a 2 Ψ 2 )

yang dikenakan oleh asas ketakpastian.

P = P +P + a 1 1 ( 2 Ψ 2 ) ( a 1 Ψ 1 ) +a ( 2 Ψ 2 ) ( a 2 Ψ 2 )

Telah kita ceritakan bagaimana cara mengkalkulasi

kemungkinan menemukan partikel dalam sebuah volume berpusat pada koordinat (x,t) dalam satu dimensi atau (x,y,z,t)

Interferensi!

dalam tiga dimensi.

Gelombang interferensi!

P(x 1 ≤≤ x x)= 2 ∫ ΨΨ x dx

Beiser menggunakan hasil ini untuk menunjukan kenapa

tembakan electron melalui double slit memperlihatkan effek 1 interference (tdk seperti partikel murni tapi seperti

P(r 1 ≤≤ r r)= 2 r 1 ∫ ΨΨ dV .

gelombang).

Kadang-kadang kita ingin mengkalkulasi nilai rata-rata Secara umum, rata-rata N i bilangan memiliki nilai x i adalah beberapa kwantitas terukur. Seperti halnya mekanika kwantum

∑ Nx i i i

yang mempunyai cara sendiri menghitung probabilitas,

mekanika kwantum mempunyai cara yang khusus untuk

x=

menghitung rata-rata.

Mari kita mulai dengan contoh. i jika variable x kontinyu, kita ganti “sum” dgn integral.

Misalkan kita ingin menemukan rata-rata dari sekumpulan bilangan

1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4. Bagaimana

kita

menghitung rata-rata? Dlm mekanika quantum, probabilitas P i untuk menemukan Jumlahkan bilangan dan bagi dengan jumlah

partikel dlm interval dx pada x i adalah

bilangan? Itu bisa dilakukan, tapi bagaimana jika

P dx = i Ψ i dx .

kita punya zillions bilangan. Adakah cara yang lebih

baik? Pikirkan Ψ * Ψ seperti N (“how much probability” ⇔ “how

( 3 ×1 + )( 2 ×2 + )( 4 ×3 + )( 5 Rata-rata adalah ×4 )

many”).

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

37 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 38

∑ “like” N Nx

Nilai ekspektasi x adalah

…ganti ini

x= ∫ - ∞ x ΨΨ memperoleh QM dx ∑ ∞ , average <x>… i

x= i

dgn Ψ*Ψ dengan

Untuk

ekstra x di dlmnya

∫ ∞ ΨΨ * - dx

…ganti ini dgn Ψ*Ψ…

Di mana kita sudah menggantikan variabel diskrit dgn kontinyu

…dan ganti ini dgn

integral (krn variable kita

dan penjumlahan menjadi integral.

kontinyu).

Nilai ekspektasi adalah ekuivalen mekanika kuantum dari nilai rata-rata.

Dalam QM (mekanika kwantum) karena kita berhadapan dengan kemungkinan, kita menggunakan istilah nilai harapan

Jika Ψ dinormalisasi, integral pada pembagi = 1, dan dibanding nilai rata-rata.

(“expectation value” rather than “average value.”)

x=

- ∞ x ΨΨ dx .

Ini belum final, karena masih ada masalah.

Posisi, momentum, energi, kinetik energi, etc. secara aktual adalah operator , dan urutan bagaimana kita

Secara umum, nilai ekspektasi suatu kuantitas, termasuk menggunakannya adalah sangat penting.

operator adalah

Ingat, momentum berhubungan dgn ∂/∂x dan

Gx= () ∫ - ∞ Ψ Gx () Ψ dx .

energi berhubungan dengan ∂/∂t.

Pendekatan yang benar adalah membuat “ Ψ*Ψ sandwich” Menggunakan ekspresi operator untuk momentum juga untuk memperoleh nilai ekspektasi.

mencegah kita menggunakan

the “hat” reminds us

p= ˆ ∫ - ∞ ΨΨ * p dx ˆ

momentum is an operator

x= ∫ - ∞ Ψ x dx Ψ

Untuk mengklaim cara mengingkari prinsip ketidakpastian

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

41 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 42

Mari kita gunakan fungsi

ψ (x) = 3 x for 0 ≤≤ x 1

gelombang kita sbg contoh

Saya akan gerakkan penunjuk

Refreshing your memory…

laser sepanjang x-axis. Anda katakan “ stop” kapan saja jika anda pikir saya telah mencapai titik di mana area merah akan seimbang pada ujung jari saya.

Mari kita cek apakah matematika setuju dgn keputusan anda. Nilai ekspektasi x seperti probabilitas rata-rata menemukan 1 ∞

∫ - ∞ x dx = ∫ 0 ()() 3xx ∫ 0 4 = .

3 x dx = 3 x dx = 3 suatu partikel pada mengkoordinir x. yg merupakan titik di

0 4 mana kita bisa “balance” ψ * ψ plot pada ujung jari.

5.6 Operators

Konservasi energi menjadi operasi:

Seperti yang telah kita bahas ketika melakukan justifikasi pada

ˆ ˆ E = K +U. ˆ

persamaan Schrödinger's, energi dan momentum adalah operator dalam dunia mekanika kwantum. Kita menggunakan

Dan operator energi kinetik adalah

tanda “topi” ( ∧) untuk mengidentifikasi operator

Seperti yang diperlihatkan Beiser, mendalikan bentuk opertor E

momentum

dan p sama dengan mendalilkan persamaan Schrödinger.

operator

∂Ψ Bagian ini juga menunjukan kenapa bentuk yang tepat untuk Ψ

nilai ekspektasi adalah

( G x, p = ) ∫ ∞ Ψ * - ( G x, p ) Ψ dx .

total

energy

operator Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

45 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 46

Jika gaya yang bekerja pada objek hanya tergantung pada

5.7 Persamaan Schrödinger: Bentuk Steady-State

posisi dan independen terhadap waktu, maka potensial U juga hanya fungsi dari posisi.

Dalam satu dimensi ( yaitu , Ψ hanya fungsi dari x dan t), Ψ dapat ditulis dalam bentuk

Dalam kasus persamaan Schrödinger

-(jE/ ) t h (jp/ ) x h -(jE/ ) t h

2 Ψ 2 =Ae e = e ψ , ∂Ψ h ∂Ψ j h = - + U Ψ

2m ∂ x 2

Dimana ψ adalah hanya fungsi posisi (x).

h 2 ∂ψ 2

2 + U ψ e -(jE/ )t , Biasanya, gaya yang bekerja pada objek adalah independen

menjadi

h E h ψ e -(jE/ )t = - e -(jE/ )t

2m

terhadap waktu. Sebagai contoh, gaya tarik gravitasi matahari adalah independen terhadap waktu.

∂ 2 ψ atau 2m

∂ x 2 + 2 (E - U) = 0 . h ψ

Ini adalah persamaan Schrödinger steady-state dalam satu dimensi.

Beiser, hal 174, menunjukan bagaimana menuliskannya dlm 3 Eigenvalue —energy E n dimana persamaan Schrödinger dimensi.

memiliki solusi.

Untuk Fungsi gelombang yang mengikuti persamaan ini, harus mematuhi syarat batas, dan dia beserta derivatif-nya harus

Eigenfunction — fungsi gelombang ψ n yang merupakan solusi terbatas, kontinyu, dan bernilai tunggal

persamaan Schrödinger.

Jika tidak ada fungsi gelombang seperti itu untuk U tertentu, Eigenfunction ψ n memiliki hubungan dengan eigenvalue E n . maka sistem tidak bisa ada pada suatu posisi mantap.

Catat bahwa energi partike terikat secara khas terkuantisasi Sebenarnya, persamaan eigenvalue memiliki bentuk (hanya memiliki nilai yang diskrit), tetapi variabel lain, seperti

posisi, tidak perlu dikuantisasi. Schrödinger’s equation is just one G ψ

example of an eigenvalue equation.

“G-hat” adalah operator, ψ n adalah eigenfunction, adn G n adalah eigenvalue.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

49 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 50

∂ 2 ψ 2m

5.8 Particle in a Box

(E - U) = 0 . ψ

Persamaan Schrödinger steady-state dalam satu dimensi OK, mari kita coba bermain dengan persamaan diatas.

∂ 2 ψ 2m Fisikawan selalu mulai dengan yang paling mudah. Apa sistem

(E - U) = 0 .

yang paling mudah dalam hal ini?

U = 0?

Apa yang akan kita lakukan? Ya, partikel bebas—tapi kita telah melakukannya. Sistem termudah yang bagaimana dengan “something” happening?

Sistem dengan U = 0 tapi partikel tidak bebas?

Yaitu — partikel dalam box!

Kita telah bahas “particle dlm box” pd Bab 3.

next?

Tapi pada bab ini kita akan bahas dengan cara MQ”

Buat box dengan tinggi dan kuat dinding yg tidak

*So the particle can’t get “over” the wall. **So the particle can’t pass through the wall. Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

53 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 54

Diluar box, ψ = 0 (partikel tdk dapat keluar dari box). Next step?

OSE:

Kita perlu untuk solve

untuk ψ, di dalam box.

∂ 2 ψ 2mE +

Karena ψ adalah kontinyu, solusi kita dibatasi oleh kondisi ψ(0) = ψ(L) = 0. *

Next step: solve.

Bagimana kita selesaikan persamaan diatas?

x=0

x=L

jika ψ = 0 untuk x < 0 dan x > L, maka jika ψ kontinyu, kita harus punya U=0 inside the box. (No need to label that; U=0 is where the x and energy

ψ(0) = 0 dan ψ(L) = 0 .

axes cross.)

Bagaimana kita selesaikan persamaan ini? Solusi macam apa yang akan anda terka?

Cara lama (hard work)? Saya akan terka dengan solusi gelombang. Lihat di buku?

—masih banyak yang harus dikerjakan

Bentuk gelombang yg bagaimana yang anda terka?

Saya akan terka dengan bentuk komplek exponentials : Diterka?

Pers. ini memiliki 2 solusi linear yg independent. Ada

beberapa solusi, semuanya dapat dikonstruksi dari 2 solusi linear yg independent

(j p/ ) x h - (j p/ ) x ψ h + =Ae or ψ - =Ae .

∂ 2 ψ 2mE Kenapa tdk?

2 ∂ + h 2 ψ =0

x Ada 2 solusi yg independent. Jika ini adalah solusi persamaan Schrödinger untuk partikel dlm box, maka solusi lainnya harus

Berapa jumlah solusi linear yg independent yg dimiliki

kombinasi linier dari solusi diatas.

persamaan ini? Jawab : hanya dua. Jika kita terka* dua solusi, masukan ke

Jika kita ambil selisih ψ + - ψ - dan gunakan relasi Euler, kita dalam pers., dan jika terkaan kita betul maka kita telah

akan dapatkan fungsi sinus. Jika kita ambil jumlah ψ + + ψ - kita menyelesaikan pers. diatas tanpa kerja keras.

akan dapatkan fungsi cosinus.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

57 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 58

Fungsi sinus dan cosinus menyatakan dua fungsi linier yg

Kita dapat masukan

independent, dan karena itu kita dapat menulis solusi sebagai sinus dan cosinus.

2mE ψ 2mE

x . Karena kita temukan cara termudah adalah menggunakan

= A sin

x + B cos

h h sinus dan cosinus, dan karena Beiser juga menggunakan cara

Ke dalam

yg sama, maka kita akan terka fungsi kita dibuat dari sinus

2 + ψ = 0 dan cosinus

dan verifikasi apakan persamaan diatas terpenuhi (yaitu, kita

h h note

akan mendapatkan suatu identitas). Ini berlaku dengan baik.

Silahkan coba sendiri jika tidak percaya.

Tunggu — (2mE) ini apa dan bagaiman mendapatkannya?

Ini berarti terkaan kita memberikan kita dua unik kandidat Ini datang dari p = (2mE) dan dari fakta bahwa kita akan

untuk solusi.

mereproduksi bab 3 tentang kuantisasi energi pada perhitungan sekarang.

Berikutnya, kita perlu menggunakan kondisi batas dan melihat Note: this trial solution is a linear combination of two linearly independent

apa yang mereka katakan tentang solusi kita (dan koeffisient A functions; if it works, we have found both the needed solutions.

dan B).

L = n , n = 1,2,3,... ψ π

Energy level terkuantisasi, sama seperti pada bab 3. Dari BC (Boundary Conditions): ψ(0) = ψ(L) = 0, karena partikel

persamaan diatas kita dapatkan E :

tidak mungkin ada di dalam infinite potential wall, dan harus kontinyu pada perbatasan.

2 πh 2 n 2

2 , n = 1,2,3, ...

Kondisi ψ(0) = 0 memerlukan B = 0, karena cos(0) = 1. Ini identik dengan solusi pd bab 3 kecuali kita gunakan ħ disini Karena hanya sin ( ±nπ)=0, kondisi ψ(L) = 0 memerluka

2mL

dan h pd bab 3.

2mE Masukan energy eigenvalues E n dari persamaan diatas ke

L = n , n = 1,2,3,... π

2mE ψ n

n = A sin

Catat bahwa n = 0 bukan solusi karena fungsi gelombang kita

= 0 (“non-particle”). nx π

Kita dapatkan eigenfunctions

ψ n = A sin

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

61 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 62

Langkah terakhir adl normalisasi untuk mendapatkan harga A. Ada beberapa web sites yang memuat “particle in a box” physics.

1= ∫ - ∞ dx = ∫ hyperphysics

Wolfram Research

don’t forget appropriate limits!

Physics 252 at Univ. of Virginia my Mathcad document

2 nx π

diperoleh A = (2/L) dan

sin

Anda harus dapat mengidentifikasi eigenfunctions untuk n=1, 2, 3, etc .

Menyelesaikan “particle in a box” adalah salah satu

Anda hrs dapat menghitung

dari syarat mahasiswa lulus QM.

probabilitas pada daerah yg berbeda dalam box.

Applet Applet

2 2mL , n = 1,2,3, ...

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 65 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 66

2 πh 2 n 2

Optional advanced material.

Dengan menggunakan

2 , n = 1,2,3, ...

2mL

Mari kita mulai dengan time-dependent Schrödinger equation

h Jelaskan fenomena dibawah ini 2 ∂Ψ 2

Dan biarkan U = 0 di dlm box.

Dua kemungkinan solusi*

(x, t) = A e (j/ ) (px - Et) h (j/ ) (-px - Et) Ψ h and (x, t) = A e Ψ .

Larger Band

Smaller Band

Gap

Gap

Ini adalah dua solusi linear independent. Keduanya memiliki

time dependence yang sama.

Courtesy of Bawendi and Coworkers.

Selesaikan seperti sebelumnya, kita dapatkan fungsi

sumur potential terbatas

gelombang

2 nx π -jEt/ h only difference is that

memiliki panjang L dan

e . now we explicitly show

tinggi U.

the time dependence

I II III Ψ Ψ adalah independent terhadap waktu karena

Ada tiga region:

I, II, dan III.

-jEt/ h jEt/ h

e e = 1. Pada regions I dan III, pers. Schrödingeris

Ini mengillustrasikan arti istilah “stationary state.” Distribusi

probabilitas Ψ * Ψ adalah independent terhadap waktu.

h yg dapat kita tuliskan sbg

2m (U - E)

2 Pada slide berikut kita

. ∂ akan asumsikan E<U shg

dimana α=

h akan menjadi real.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

69 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 70

= Ce + De

ψ III = Fe + Ge

Solusi ini adalah real, dan tdk

I II III

exponential komplex. C, D, F, dan G adalah koefisien yg

I II III

akan ditentukan lewat syarat

Perhatikan partikle dgn

batas.

E < U. Solusi pd region I

dan III adalah

Regions I dan III diperluas ke x = - ∞ dan x = +∞.

ψ -ax

I = Ce + De and ψ III = Fe + Ge .

Karena fungsi gelombang harus finite disetiap tempat, koeffisien D dan F harus 0, shg

I = Ce and ψ III = Ge . Kedua solusi menurun secara eksponensial dengan semakin

ψ -ax

ax

71 jauhnya posisi dari dinding batas. Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Pd region II, pers. Schrödinger adalah

Ada 5 informasi yg kita inginkan: koeffisien A, B, C, dan G, dan energi E.

Persamaan ini memiliki solusi

yg sama dgn sebelumnya Kita punya 5 kondisi: ψ kontinyu pd x = 0 dan x = L, ψ′ partikel dlm (infinite) box:

kontinyu pd x = 0 and x = L, dan normalisasi ψ. 5 kondisi ini memberikan 5 persamaan.

6 persamaan, 5 yg tdk diketahui, sisanya hanya matematik. Kecuali sekarang B ≠ 0 karena ψ memiliki amplitude pd

masing-masing barrier. Salah satu cara menyelesaikannya adalah dengan menggunakan tool seperti Mathcad.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

73 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 74

Notice bagaimana ekor fungsi gelombang memanjang kedalam barrier—ada finite

ψ for n=1

Ini adalah perbandingan

probability untuk menemukan

fungsi gelombang untuk

partikel disana.

infinite dan finite sumur potensial, n=1, 2, dan 3.

Ekor fungsi gelombang yg lebih panjang artinya

ψ for n=2

gelombang yg lebih panjang dan krn itu momentum dan energi lebih kecil.

partikel di dlm finite box dapat memiliki energi lebih

ψ for n=3

rendah dibanding partikel di dlm infinite box.

Ini adalah perbandingan

Apakah kamu berusaha untuk

probability density

ceritakan ada suatu kemungkinan

functions untuk infinite dan

menemukan batu bata ini terjepit

finite square wells, n=1, 2,

separuhnya pada suatu dinding tak

dan 3.

dapat tembus? Persisnya tdk seperti itu

Which probability goes with which well. Why?

ada suatu kemungkinan

menemukan batu bata di suatu

Which plot corresponds to n=2?

How can you tell?

tempat di dalam dinding yang tak dapat tembus

What is the meaning of the red shaded areas?

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

77 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 78

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Ini adalah percobaan yg kita pikirkan. Lemparkan bola pada Kita menemukan sesuatu yang “aneh” pada partikel dalam

dinding tembok setinggi 3 m.

sumur terhingga.

Dari hasil perhitungan diperoleh hasil bahwa ada probabilitas Terlalu rendah shg partikel berada didalam dinding meskipun dindingnya

mantul kembali diharapkan tidak dapat ditembus partikel.

Atau, dari perhitungan kita dapatkan bahwa ada probabilitas partikel berada ditempat yang tidak seharusnya ada.

Cukup tinggi shg melampaui dinding

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Bagaimana tentang suatu partikel klasik energi E menumbuk Bagaimana tentang partikel quantum mekanik berenergi E yg pada suatu penghalang setinggi U?

menumbuk penghalang setinggi U?

Jika E < U akan

jika E < U akan

mantul kembali.

E dipantulkan kembali. U

E Jika E > U

atau mungkin

akan melewati.

juga tidak.

Sebenarnya, partikel menembus tetapi penjelasan diatas hanya sekedar gambaran konseptual.

81 Kita harus bayangkan partikel sbg gelombang ketika melakukan eksperiment ini. Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Mari kita pikirkan hal berikut ini…

E > U?

E jika E > U akan

inside

melewatinya.

Energi kinetik sebelum dan sesudah penghalang adl sama (tdk ada kehilangan energi ketika melewati penghalang), shg momentum dan wavelength juga sama.

E atau mungkin

Bagaimana dgn panjang gelombang di dlm penghalang?

juga tidak.

KE inside = (E – U) < E = KE outside shg KE inside harus lebih kecil. maka p inside <p outside dan λ inside > λ outside .

Jika E < U maka λ inside adalah imajiner?!

Kita harus bayangkan partikel sbg gelombang ketika melakukan eksperiment ini.

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Karena photon adalah gelombang maka hal itu dapat terjadi. Jika kamu sedang memakai kacamata, lalu melepaskannya,

dan letakan enam inchi atau lebih dari muka anda, dan lihat pada kaca mata.

Partikel juga gelombang. Jadi mereka dapat direfleksikan dan di transmikan.

Anda dapat melihat melalui kaca mata. Jika ada benda yg terang dibelakang anda, anda bisa melihatnya melalui refleksi

Dalam slide berikut ini kita akan menyelesaikan persamaan pada kaca mata.

Scrödinger untuk mencari partikel quantum yang dapat menerobos penghalang yg tinggi, atau direfleksikan oleh

Seseorang yang berdiri di sebelah lain kacamata anda akan

penghalang yang rendah.

melihat juga objek yang terang melalui kacamata anda. Beberapa photon melewati kaca mata, yang lainnya

direfleksikan. Ada probabilitas transmisi, dan probabilitas refleksi.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

85 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 86

Ini adalah diagram potential

∂ψ 2 I 2m

untuk masalah kita.

2 + 2 E ψ ∂ =0 I

Partikel memiliki masa dan

I II III

2 I II III

energi E, dan penghalang dgn

∂ψ II 2m

2 + 2 ( E-U ) ψ II =0

tinggi U dan panjang L.

Ada tiga region: Ada tiga region: I, II, dan III. Ada tiga region: I, Ada tiga region: I, II,

2 + 2 E ψ III ∂ =0 x h

Kita harus menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk Pekerjaan kita adalah menyelesaikan persamaan ini, equations, partikel yang memiliki energi E di dalam ketiga region seperti

sesuai dengan syarat batas ψ yang ada, dan sesuai dgn kondisi pada gambar diata.

bahwa ψ dan turunannya harus kontinyu dan terbatas. Persamaan Schrödinger di regions I, II, dan III menjadi…

Ketiga persamaan adalah valid baik untuk E > U atau E < U. Kita akan asumsikan E < U ketika kita menyelesaikan persamaan Schrödinger pada region II.

E =Ae jkx 1 +Be ψ -jkx 1 I E

Kita mulai dgn mengasumsikan solusi

wave-like untuk ψ di regions I dan III,

dimana potential U = 0.

I II III

I II III

Ingat ψ I dan ψ III adalah berbentuk

Solusi wave-like yang tepat adalah

I =Ae

+Be

ψ jkx 1 -jkx 1

jkx 1 -jkx 1 0L

ψ -jkx =Fe 1 +Ge 1

=Fe 1 +Ge - j kx ψ 1 III

dimana ψ I + menyatakan gelombang pd region I yg bergerak

III

kearah kanan, ψ - I menyatakan gelombang pd region I yg

2 π 2mE k = 1 =

Kenapa k 1 pd region I dan III sama?

Karena energi kinetik adl sama pd

bergerak kearah kiri,

h region I dan III. Partikel tdk kehilangan ketika melewati

dan ψ + III menyatakan gelombang pd region III yg bergerak

penghalang.

kearah kanan, dan ψ - III menyatakan gelombang pd region III

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

89 yg bergerak kearah kiri. Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

E Fungsi gelombang partikel (wave) yang menumbuk penghalang: Kita asusmsikan gelombang kita

jkx

bergerak dari kiri ke kanan. -jkx ψ =Ae 1 +Be 1

Jika gelombang kita menembus I

I II III

penghalang, pada region III tdk

akan ada yang direfleksikan

ψ + * ψ + adalah rapat probabilitas gelombang datang. Pd satu kembali ke kiri.

I 0L I

dimensi, itu adalah rapat probabilitas linier yang memiliki

=Fe +Ge 1

ψ jkx 1 -jkx

III

satuan partikel/meter.

Hal ini mengatakan kepada kita ψ - III = 0 shg G = 0. Jika v is kecepatan group gelombang ψ I + , maka jml partikel per meter 2 perdetik yg menumbuk penghalang dari kiri adalah Solusi lengkap persoalan ini memerlukan perhitungan ψ di

S I + = ψ I + * ψ I + v.

setiap tempat, shg kita akan perlu ψ I , ψ II , dan ψ III . Akan tetapi,

sering dalam perhitungan MQ, Solusi lengkap tidak diperlukan. Sekarang kita hanya akan menghitung probabilitas transmisi

Sama dgn diatas, jml partikel per meter2 perdetik yg keluar dari melalui penghalang.

kanan penghalang adalah S III += ψ + III * ψ + III v.

Probabilitas transmissi adalah Pada region II, persamaan Schrödinger adalah

2 + 2 ( E-U ) ψ II = T= 0

S + III ()() ψ III ψ

∂ψ II 2m

+ III

S I ()() ψ I ψ I v

-jk x Solusi pada region II adl: ′ ψ

- j kx 1 1 ( j kx )( ) (

j kx *

Fe j kx 1 Fe 1 *

)( Fe )

Ae Ae (

dimana k = ′

FF * T = *

wavenumber adalah k'. Tapi jika E < U, maka k' adalah

AA

imajiner.

Untuk mendapatkan ekspresi T yang bermanfaat, kita perlu menerapkan kontinuitas ψ dan turunannya untuk mengeliminasi

Apa implikasinya ? Apa implikasinya ? Jawabnya : damped atau blowing up

A dan F.

exponentials, bukan gelombang, pd region II.

Berarti kita perlu melihat persamaan Schrödinger in region II. Apakah anda dapat menangkap sense tsb? Ya, jika anda

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

93 pikirkan.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 94

Mari kita pikirkan tentang perhitungan yg telah kita lakukan. ψ

Karena k' imaginary, kita definisikan k 2 = - jk'. Shg

II 2 =Ce - k x +De 2 k x

Kita memiliki ekspresi untuk transmissi, berisi constanta A dan

F. Kita perlu mencari konstanta tsb untuk menghitung

Dari sini jelas bahwa ψ II bukan merepresentasikan gelombang

transmissi.

, tapi lebih sebagai damped atau blowing up exponential. Kita juga telah menuliskan solusi wavefunction pd region II, tapi hanya mendapatkan konstanta, C dan D. Ini kelihatan

Secara Philosopi, sesorang dapat berargumentasi bahwa karena ψ belum menolong. Malah membuat lebih rumit krn menambah

II tdk merepresentasikan gelombang , maka tdk

konstanta yg harus dicari.

merepresentasikan partikel yg bergerak, karena itu tdk ada

partikel di region II. Tapi ψ II * ψ II merepresentasikan rapat

Apa yg dapat kita lakukan, sekarang kita punya solusi di region probabilitas, shg ada probabilitas untuk menemukan partikel di

I, II, dan III, adalah gunakan syarat batas pada kedua sisi. dlm penghalang.

Mari kita lihat...dua batas (sisi), 2 kondisi pd masing-masing sisi (wave function dan turunannya) memberikan 4 kondisi, untuk mencari 4 unknown A, C, D, dan F. 4 unknown, 4 condition, maka kita dapat selesaikan maslah kita (transmisi).

Masalah lengkapnya

Ini adalah kondisi batas

sebenarnya ada 5 konstanta yg harus dicari dgn 4 kondisi.

I II III

Pd bagian kiri (x = 0),

0L ψ & ψ′ cont.

∂ψ I ∂ψ

II (2) 0L ψ & ψ′ cont. ψ & ψ′ cont.

Untuk mendapatkan T hanya memerlukan 4 konstanta. Jika kita ingin menyelesaikan persamaan gelombang kita perlu satu

Pd bagian kanan (x = L),

kondisi lagi

ψ II = ψ III

Jika kita ingin mencari solosi persamaan gelombang, kita perlu menerapkan normalisasi, yang akan memberikan kondisi ke

lima untuk 5 konstanta, shg sekarang masalah dpt

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

97 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 98

Masukan ψ I dan ψ II ke dlm (1) diperoleh

Sekarang kita gantikan

Ae j k0 1 () + Be -j k0 1 () = Ce -k 0 2 () + De 2 () k0

∂ψ 2 I 2m

A+B=C+D

∂ψ 2 II 2m

+ ( E-U ) ψ = 0

Masukan ψ I dan ψ II ke dalam (2) diperoleh

Ajk 1 – Bjk 1 = -Ck 2 + Dk 2 dengan

kemudian, masukan ψ II dan ψ III ke (3) dan (4) untuk

A+B=C+D

mendapatkan

Ajk 1 – Bjk 1 = -Ck 2 + Dk 2

2 - kL

Ce + De

2 kL

= Fe

1 j kL

Ce - kL 2 + De 2 kL = Fe 1 -k Ce j kL

22 1 + k De = jk Fe -k Ce -kL 2 kL 2 jkL

-kL 2 2 kL

jkL 1

22 1 + k De = jk Fe 1

Bagaimana

A+B=C+D

A+B=C+D

Silahkan coba sendiri.

Ada masalah: 5 unknown dengan 4 equation. Kita perlu satu

Jawabannya adalah :

lagi equation. Akan tetapi ingat, kita dapat menerapkan normalisasi jika kita memerlukan

A  1 j  k 2 k   jk + k L

 1 j  k 2 k 1   ( jk -k L 1 2 )

 2 4k  1 k 2   Kita hanya tertarik menyelesaikan rasio F*F / A*A. Kita dapat

F  2 4k  1 k 2  

menyelesaikan N equation dlm N+1 unknown coefficien untuk rasio dua coefficien.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 102

Kita harus mendapatkan complex conjugate A*/F* (hanya ganti j dgn -j ). Transmissi menjadi

Kita dapat sederhanakan persoalan dgn mengasumsikan

penghalang yang tinggi dan lebar.

FF * 

2  e -2k L 2 Tinggi berarti potential penghalang relatif tinggi thd energi

kinetik. Pada kasus ini k 2 /k 1 >k 1 /k 2 . (lihat lagi definisi k1 dan

k2.) Kuantitas pada kurung kotak bervariasi “slowly” dibandingkan

Lebar artinya fungsi gelombang betul-betul disusutkan pada dengan bagian exponential, dan besarnya disekitar 1, shg kita

region penghalang antara x=0 dan x=L. artinya k 2 L >> 1.

dapat sederhanakan lagi

Dengan pendekatan ini, persamaan untuk A/F dapat T=e -2k L disederhanakan menjadi 2

hey, that’s

A not so bad 1 j k = jk + k L + 2 e ( 1 2  )   

dimana

2m U - E ( )

F  2 4k  1  

“Artinya kita menerima error sampai faktor 10?” Teori

-2k L 2 2m U - E ( )

apa?

T=e

Ini adalah teori yang hebat, jika kita hanya ingin Simpan dlm ingatan bahwa ini hanya berlaku untuk penghalang

mengembangkan “feel for the physics”. Tentu saja, dalam “real yg tinggi dan lebar. Jika penghalang tdk tinggi dan lebar, kita

life” kita harus menggunakan full expression, tanpa pendekatan harus gunakan ekspresi penuh untuk A/F (kemudian kita

Mari kita lihat contoh. Misalkan 1 eV elektron menumbuk kalikan dgn complex conjugate).

penghalang 5 eV dan 0.5 nm lebar.

Tadi kita sederhanakan bahwa besaran dlm kurung

5 adalah lebih besar dari 1, dan 0.5 nm lebih panjang dibanding

kotak memiliki nilai sekitar 1, namun sebenarnya lebih

panjang gelombang elektron energi rendah. Sehingga kita

dekat ke 4. Apakah menggangu?

mungkin dapat menggunakan persamaan transmissi yang disederhanakan.

Iya, tapi 4 lebih dekat ke 1 dibanding ke 10, shg kita anggap

Pertama-tama, kita cari k 2 .

bernilai 1.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 106

2m U - E ( )

transmissis

Because of the exponential, k = 2 small differences in how you

T=e -2k L 2 round in calculating k 2 large apparent differences here. can make

What mass do I use here?

Can I keep energies

-2 1.0×10 10 T=e -10 ( )( 5.0×10

What is the object?

in eV and use the

= 4.5×10 -5

Electron!

eV·s version of ħ?

T sebaiknya diantara 0 dan 1. Untuk pendekatan ini sebaiknya kecil. Sepertinya pendekatan kita OK.

Absolutely not! The square root “messes

Dapatkah kita menghitung probabilitas refleksi?

up” your units. You will be wrong every time!

2 9.11×10 kg 5 eV - 1 eV 1.6×10 J/eV -31 ( -19 ) ( ) ( )

k = 2 ( -34

1.055×10 J s ⋅ )

k = 1.00×10 m -10 -1 2

5.11 Harmonic Oscillator

Pada simpangan yang kecil, semua gaya balik (restoring) mengikuti hukum Hooke:

Deret Maclaurin (deret Taylor disekitar origin):

F(x) = - k x .

2  2 3  3 dF  x dF  x  dF 

F(x) = F(0) + x   +

 dx  0 2! dx 2  3  0 3! dx   0

Secara klasik, osilator harmonik tunduk pd hukum Hooke. Jika F menyatakan gaya balik (restoring) (gaya yang

mengembalikan sistem ke asalnya) maka F(0) = 0. Dari Hukum ke-2 Newton F = ma. diperoleh Untuk simpangan yang kecil, seluruh orde yang tinggi 2 dx (termasuk x 2 ,x 3

-kx=m

2 dt .

, dsb.) cukup kecil, sehingga

≈ dF   F(x) x 2 

dx  =-kx.

dx

dt 2

Tanda – ada karena F adalah gaya restoring, shg turunannya adalah negatif. Satu pers. differential lagi yang harus dicari solusinya!

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 110

Solusi dari persamaan differential tadi berbentuk x = A cos ( ωt + φ)

Mari kita pikirkan tentang osilator harmonik… Dimana frekuensi osilasi f

Klasih, seluruh energi diperbolehkan . Menunut QM? ω=2f= k π

Hanya energi tertentu (kuantisasi)?

Dari Fisika Dasar, potential harmonik osilator adalah Klasik, enrgi = nol diperbolehkan. Menunut QM? Nonzero, seperti partikel dlm box

U(x) = k x . Klasik, osillator tdk dapat eksis dlm daerah terlarang. Sebagai

contoh osilasi pendulum dgn amplitude A tdk dapat memiliki

Lalu apa?

simpangan > A. Ada kemungkinan menemukan sistem di daerah terlarang

Banyak sistem yang dijelaskan dengan osilator harmonik. Kita lebih baik melihat tinjauan quantum mekanik tentang ini.

Mari kita selesaikan persamaan Schrödinger untuk potential Persamaan dapat diselesaikan hanya untuk harga α tertentu, osilator harmonik.

yaitu α =2n+1 dimana n = 0, 1, 2, 3, ...

Untuk harga α tersebut diatas, fungsi gelombang memiliki bentuk

 2mf  4 

() H (y) e .

2E

Jika kita misalkan y=

maka persamaan Schrödinger menjadi Orang biasa mungkin akan melihat persamaan diatas rumit, ∂ 2 ψ

namun bagi ahli matematika persamaan diatas adalah simpel.

Hanya kumpulan angka, fungsi exponential, dan Polynomial Hermite H n . Polynomial adalah simple. H 0 (y) = 1, H 1 (y) = 2y, Solusi persamaan ini harus mengikuti semua persyaratan yg

dan polynomial berikutnya lihat di Table 5.2 buku Beiser. telah kita diskusikan dan ψ Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla harus dinormalisasi.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 114

Yang lebih penting, kita menemukan bahwa pers. gelombang dapat diselesaikan hanya dengan nilai E tertentu (ingat, α = 2E/hf = 2n+1),

E= n+ n 

hf , n = 0,1,2, ...

Energi E dari osilator harmonika mekanika quantum terkuantisasi dengan step hf, dan zero point energinya adalah

E 0 = ½hf. Dokumen Mathcad yg mengilustrasikan tingkat energi osilator

harmonik QM, probabilitas, dan nilai ekspektasi adalad sbb. Karena scaling yg kita lakukan dlm re-writing persamaan

Schrödinger, sulit sekali mengidentifikasi daerah terlarang pada grafik Mathcad. Gantinya silahkan lihat Figures 5.12 dan 5.13, hal. 191 dari buku Beiser, untuk illustrasi bagaimana ekor fungsi gelombang dlm daerah terlarang mengkerut dgn naiknya

Wave Functions n.

Probability Densities

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla n=2 n=1

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 118

OSILATOR HARMONIK

Pada simpangan yang kecil, semua gaya balik (restoring) mengikuti hukum Hooke:

Deret Maclaurin (deret Taylor disekitar origin):

F(x) = - k x .

 dF 

x 2  dF 2 

x 3  dF 3 

F(x) = F(0) + x   +

 dx  0 2! dx   0 3! dx   0

Secara klasik, osilator harmonik tunduk pd hukum Hooke. Jika F menyatakan gaya balik (restoring) (gaya yang

mengembalikan sistem ke asalnya) maka F(0) = 0. Dari Hukum ke-2 Newton F = ma. diperoleh dx Untuk simpangan yang kecil, seluruh orde yang tinggi 2

2 dsb.) cukup kecil, sehingga .

-kx=m

(termasuk x 2 ,x 3

dt

 dF 

F(x) x   =-kx.

dx 2  dx  0 m + k x = 0 dt . 2

Tanda – ada karena F adalah gaya restoring, shg turunannya adalah negatif.

Satu pers. differential lagi yang harus dicari solusinya!

Solusi dari persamaan differential tadi berbentuk x = A cos ( ωt + φ)

Mari kita pikirkan tentang osilator harmonik… Dimana frekuensi osilasi f

Klasik, seluruh energi diperbolehkan . Menunut QM? ω=2f= k π

Hanya energi tertentu (kuantisasi)?

Klasik, energi = nol diperbolehkan. Menunut QM? Dari Fisika Dasar, potential harmonik osilator adalah

Nonzero, seperti partikel dlm box

U(x) = k x . 2 Klasik, osillator tdk dapat eksis dlm daerah terlarang. Sebagai

contoh osilasi pendulum dgn amplitude A tdk dapat memiliki

Lalu apa?

simpangan > A. Ada kemungkinan menemukan sistem di daerah terlarang

Banyak sistem yang dijelaskan dengan osilator harmonik. Kita lebih baik melihat tinjauan quantum mekanik tentang ini.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 122

Mari kita selesaikan persamaan Schrödinger untuk potential Persamaan dapat diselesaikan hanya untuk harga α tertentu, osilator harmonik.

yaitu α =2n+1 dimana n = 0, 1, 2, 3, ...

∂ψ 2m 

E - kx = 0 .  ψ

Untuk harga α tersebut diatas, fungsi gelombang memiliki bentuk

2 π  2 m f 2E  Jika kita misalkan y=

 2 2mf  4

ψ n =  h  () 2 n! n H (y) e .

x and = α

h hf

maka persamaan Schrödinger menjadi Orang biasa mungkin akan melihat persamaan diatas rumit, ∂ 2 ψ

namun bagi ahli matematika persamaan diatas adalah simpel.

y Hanya kumpulan angka, fungsi exponential, dan Polynomial Hermite H n . Polynomial adalah simple. H 0 (y) = 1, H 1 (y) = 2y, Solusi persamaan ini harus mengikuti semua persyaratan yg

dan polynomial berikutnya lihat di Table 5.2 buku Beiser. telah kita diskusikan dan ψ Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla harus dinormalisasi.

Yang lebih penting, kita menemukan bahwa pers. gelombang dapat diselesaikan hanya dengan nilai E tertentu (ingat, α = 2E/hf = 2n+1),

E= n+ n 

hf , n = 0,1,2, ...

Energi E dari osilator harmonika mekanika quantum terkuantisasi dengan step hf, dan zero point energinya adalah

E 0 = ½hf. Dokumen Mathcad yg mengilustrasikan tingkat energi osilator

harmonik QM, probabilitas, dan nilai ekspektasi adalad sbb. Karena scaling yg kita lakukan dlm re-writing persamaan

Schrödinger, sulit sekali mengidentifikasi daerah terlarang pada grafik Mathcad. Gantinya silahkan lihat Figures 5.12 dan 5.13, hal. 191 dari buku Beiser, untuk illustrasi bagaimana ekor fungsi gelombang dlm daerah terlarang mengkerut dgn naiknya

Wave Functions n.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 126

Dari Figure 5.13, terlihat osilator harmonik QM "reduces" menjadi osilator harmonik klasik untuk harga n yg besar.

Probability Densities Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla n=1 n=2

Priview Bab 5

Figure 5.11, potential yang berbeda untuk sistem yang berbeda menyebabkan tingkat energi yg berbeda

Fungsi Gelombang – probability densities – normalization – expectation values – “good” and “bad”* wave functions – perhitungan probabilitas.

Partikel dlm box – Bagaimana menyelesaikan SE – tingkat energi – kuantisasi – nilai ekspektasi – pengaruh panjang box – perhitungan probabilitas.

Partikel dlm sumur – Bagaimana menyelesaikan SE – tingkat energi – kuantisasi – nilai ekspektasi – pengaruh panjang box – perhitungan probabilitas– bandingkan dgn infinite well –forbidden regions (klasik).

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla

129

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 130

Tunneling – (mencari solusi SE) – probabilitas transmissi – probabilitas refleksi – efek masa partikle dan energi pd probabilitas tunneling – efek tinggi penghalang pada probabilitas tunneling.

Beberapa conyoh aplikasi. Scanning tunneling microscope (STM). Efek Quantum pd IC dengan semakin kecilnya ukuran IC .

Osilator Harmonik – (mencari solusi SE) – tingkat energi – zero point energi – kuantisasi – nilai ekspektasi – forbidden regions (klasik)– batas klasik.