Materi Lengkap Trigonometri Dengan Fungs

Materi Lengkap Trigonometri Dengan Fungsi ,
Rumus Dan Pembahasan Contoh Soal
Dalam merancang kerangka sebuah jembatan perhitungan yang dilakukan tidaklah
mudah. Beban, tegangan, serta gaya yang bekerja pada jembatan menjadi
pertimbangan utama para perancang untuk mengonstruksikan model
rancangannya. Proses ini didasarkan atas pengetahuan dari bangsa Romawi bahwa
busur dapat menjangkau jarakyang lebih jauh dan menahan berat yang lebih berat
daripada lintel (bentuk balok yang lurus horizontal). Atas dasar ini semakin banyak
pula jembatan berbentuk busur yang dibangun. Penggunaan bentuk busur ini
melibatkan kelengkungan yang perlu diperhitungkan kemiringan sudutnyayang
diberikan dalam persamaan trigonometri. Lebih lanjut mengenai persamaan
trigonometri akan Anda pelajari pada uraian berikut.

A. Perbandingan Trigonometri
Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y)
pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r 2 = x2
+ y2 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut.

1. Rumus Jumlah dan Selisih dua Sudut
a. Rumus untuk Cosinus jumlah selisih dua sudut
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos

(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin
(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. Rumus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Contoh Soal
Jika tan 5°= p tentukan tan 50°
Jawab :

2. Rumus Trigonometri untuk sudut rangkap
a. Dengan menggunakan rumus sin (A+ B) untuk A = B, maka
diperoleh:
sin2A= sin (A + B)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
Jadi,sin2A =2 sin A cos A
Atau

Atau

b. Dengan menggunakan rumus cos (A + B) untuk A = B, maka
diperoleh:
cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A-sin A sin
A = cos2A-sin2A ……………(1)
Cos 2A = cos2 A – sin2 A
= 2 cos2 A-1
= 1 – 2 sin2 A
Cos 2A = cos2A-sin2A
= (1 -sin2A)-sin2A
= 1 – 2 sin2A ………. (3)
Cos 2A = cos2A-sin2A
= cos2 A- (1 – cos2 A)
= cos2 A – 1 + cos2 A
= 2 cos2 A – 1
……….(2)
Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkan rumus sebagai berikut.

c. Dengan menggunakan rumus tan (A+B) untuk A=B, diperoleh

B. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
a. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)
2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)
Contoh Soal
Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawab:
2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
=0+½
=½

b.Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)

cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
tan A + tan B =
tan A – tan B =
Contoh Soal
Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°
jawab:
sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

C. Identitas Trigonometri

Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut.

Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka
persamaan itu diubah dengan salah satu dari cara-cara berikut.
Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.
Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.
Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang

sama.
Contoh Soal
Buktikan bahwa sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α
Jawab.
sin4 α – sin2 α = (sin2 α)2 – sin2 α
= (1 cos2 α) 2 – (1 cos2 α)
= 1 – 2 cos2 α + cos4 α – 1 + cos2 α
= cos4 α – cos2 α