Pemodelan Proses Sedimentasi Pada Air
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Perusahaan Daerah Air Minum
Perusahaaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan perusahaan milik daerah
yang bergerak di bidang pengolahan dan perindustrian air bersih bagi masyarakat
umum. Proses pengolahan air bersih terdapat beberapa tahapan yaitu:
1.
Penyaringan dan Pengendapan
Penyaringan dan pengendapan bertujuan untuk memisahkan air baku dari
zat-zat, seperti: sampah, daun, rumput, pasir dan lain-lain berdasarkan berat
jenis zat.
2.
Koagulasi
Koagulasi adalah proses pembubuhan bahan kimia Al2(SO 4 ) 3 (Tawas)
kedalam air agar kotoran dalam air yang berupa padatan resuspensi
misalnya zat warna organik, lumpur halus, bakteri dan lain-lain dapat
menggumpal dan cepat mengendap.
3.
Flokulasi
Flokulasi adalah proses pembentukan flok sebagai akibat gabungan dari
koloid-koloid dalam air baku (air sungai) dengan koagulan. Pembentukan
flok akan terjadi dengan baik jika di tambahkan koagulan kedalam air baku
(air sungai) kemudian dilakukan pengadukan lambat.
4.
Sedimentasi
Setelah proses koagulasi dan flokulasi, air tersebut di diamkan sampai
gumpalan kotoran yang terjadi mengendap semua. Setelah kotoran
mengendap air akan tampak lebih jernih.
Universitas Sumatera Utara
5.
Filtrasi
Pada proses pengendapan tidak semua gumpalan kotoran dapat diendapkan
semua. Butiran gumpalan kotoran kotoran dengan ukuran yang besar dan
berat akan mengendap, sedangkan yang berukuran kecil dan ringan masih
melayang-layang dalam air. Untuk mendapatkan air yang betul-betul jernih
harus dilakukan proses penyaringan. Penyaringan dilakukan dengan
mengalirkan air yang telah diendapkan kotorannya ke bak penyaring yang
terdiri dari saringan pasir silika.
6.
Desinfeksi
Pemberian desinfektan (gas khlor) pada air hasil penyaringan bertujuan agar
dapat mereduksi konsentrasi bakteri secara umum dan menghilangkan bakteri
pathogen (bakteri penyebeb penyakit).
2.2 Mekanika Fluida
Mekanika Fluida adalah disiplin ilmu bagian dari bidang mekanika terapan
yang mengkaji perilaku dari zat-zat cair dan gas dalam keadaan diam atau
pun bergerak. Bidang mekanika ini jelas mencakup berbagai persoalan yang
sangat bervariasi, mulai dari kajian mengenai aliran darah di saluran-saluran
kapiler (yang hanya berdiameter beberapa mikron) sampai pada kajian aliran
minyak mentah yang melewati Alaska melalui pipa berdiameter 4 ft
sepanjang 800 mil.
Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi (mengalir) terus-menerus
selama dipengaruhi suatu tegangan geser. Sebuah tegangan (gaya per satuan
luas) geser terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah
permukaan. Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam
lainnya dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan
berdeformasi (biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus
berdeformasi (mengalir). Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan
udara memenuhi definisi dari sebuah fluida – artinya, zat-zat tersebut akan
mengalir apabila padanya bekerja sebuah tegangan geser. Beberapa bahan,
seperti lumpur, aspal, dempul, odol dan lain sebagaiannya tidak mudah untuk
Universitas Sumatera Utara
diklasifikasikan karena bahan-bahan tersebut akan berperilaku seperti benda
padat jika tegangan geser yang bekerja kecil, tetapi jika tegangan tersebut
melampaui suatu nilai kritis tertentu, zat-zat tersebut akan mengalir.
2.3 Klasifikasi Aliran
Mekanika fluida adalah subjek di mana banyak dijumpai fenomena yang
kompleks, jadilah sangat penting untuk memahami deskripsi dan simplifikasi
dari beberapa aliran fluida khusus. Berikut klasifikasi aliran-aliran fluida
2.3.1 Aliran-aliran Seragam, Satu, Dua dan Tiga Dimensi
Secara umum, dalam pembahasan mengenai fluida, suatu variabel
dependen bergantung pada koordinat tiga ruang dan waktu, misalnya
V(x,y,z,t). Aliran yang bergantung pada koordinat tiga ruang adalah aliran
tiga dimensi; dapat berupa aliran tunak jika tidak bergantung pada waktu,
seperti misalnya aliran di dekat sambungan antara sayap dan badan
pesawat yang sedang terbang pada kecepatan konstan. Aliran di dalam
sebuah mesin cuci akan berupa aliran tiga dimensional tak-tunak.
Aliran-aliran tertentu dapat diaproksimasikan sebagai aliran dua dimensi;
aliran yang melewati weir yang lebar, di mulut sebuah pipa dan di seputar
sebuah bola adalah contoh-contoh yang khususnya ingin diketahui. Dalam
aliran dua dimensi seperti itu variabel-variabel dependennya bergantung
hanya pada variabel dua ruang, yang artinya p (r , θ ) atau V ( x, y, t ) . Jika
koordinat ruangnya adalah x dan y , aliran tersebut disebut sebagai aliran
datar.
Aliran satu dimensi adalah aliran di mana kecepatannya bergantung hanya
pada variabel satu ruang. Aliran ini khususnya adalah aliran-aliran dalam
pipa dan saluran. Untuk aliran di dalam sebuah pipa yang panjang,
kecepatan bergantung pada radius r dan di dalam sebuah saluran yang
lebar (papan paralel) hanya bergantung pada y .
2.3.2 Aliran-aliran Kental (Viscous) dan tak-Kental (Inviscid)
Efek viskositas (kekentalan) dapat diabaikan sepenuhnya di dalam aliran
tak-kental tanpa banyak mengubah solusi dari soal yang melibatkan aliran
tersebut.
Semua
fluida
memiliki
viskositas
dan
jika
efek-efek
Universitas Sumatera Utara
viskositasnya tidak dapat diabaikan aliran tersebut adalah aliran kental.
Sebaliknya pada aliran tak kental, viskositas dapat diabaikan di dalam
aliran yang berada jauh dari permukaan di dalam banyak aliran akan
diperoleh penyelesaian yang lebih sederhana.
2.3.3 Aliran-aliran Laminar dan Turbulen
Suatu aliran kental dapat berupa aliran laminar atau aliran turbulen. Di
dalam aliran turbulen terjadi penyampuran partikel-partikel fluida
sehingga pergerakan suatu partikel tertentu terjadi secara acak dan sangat
tidak teratur; perata-rataan statistika dipakai untuk menetapkan kecepatan,
tekanan dan kuantitas-kuantitas lainnya yang ingin diketahui. Di dalam
aliran laminar tidak terjadi pencampuran partikel-partikel yang signifikan;
pergerakannya halus dan tenang, seperti aliran air yang mengalir pelan dari
sebuah keran. Jika zat pewarna dimasukkan ke dalam aliran laminar, zat
tersebut akan tetap terlihat jelas untuk jangka waktu yang lama. Ketika
suatu aliran mulai bergerak, seperti misalnya di dalam sebuah pipa,
awalnya aliran tersebut bersifat laminar, akan tetapi dengan meningkat
kecepatan rata-ratanya, aliran laminar tersebut menjadi tidak stabil dan
terjadilah aliran turbulen.
2.3.4 Aliran-aliran Inkompresibel dan Kompresibel
Aliran cairan diasumsikan bersifat inkompresibel dalam kebanyakan
kasus. Di dalam aliran inkompresibel densitas partikel fluida yang
bergerak diasumsikan konstan, artinya
Dρ
=0
Dt
(2.1)
Persamaan ini tidak mengharuskan bahwa semua partikel fluida memiliki
densitas yang sama. Sebagai contoh, garam dapat ditambahkan ke aliran di
suatu di dalam pipa sehingga di belakang lokasi tersebut densitas nya akan
lebih besar dibandingkan dengan lokasi di depannya. Udara atmosfer pada
kecepatan rendah bersifat inkompresibel akan tetapi densitasnya berkurang
dengan bertambahnya ketinggian, artinya ρ = ρ (z ) , di mana z adalah
jarak vertikal. Biasanya fluida diasumsikan memiliki densitas konstan
ketika menggunakan asumsi inkompresibelitas, yang berarti
Universitas Sumatera Utara
∂ρ
=0
∂t
∂ρ
=0
∂x
∂ρ
=0
∂y
∂ρ
=0
∂z
(2.2)
2.4 Sedimentasi
Sedimentasi adalah pemisahan solid-liquid menggunakan pegendapan secara
gravitasi untuk menyisihkan suspended-solid
Suspensi adalah suatu campuran fluida yang mengandung partikel padat.
Atau dengan kata lain campuran heterogen dari zat cair dan zat padat yang
dilarutkan dalam zat cair tersebut. Partikel padat dalam sistem suspensi
umumnya lebih besar dari 1 mikrometer sehingga cukup besar untuk
memungkinkan terjadinya sedimentasi. Tidak seperti koloid, padatan pada
suspensi akan mengalami pengendapan atau sedimentasi walaupun tidak
terdapat gangguan. Singkatnya, suspensi merupakan campuran yang masih
dapat dibedakan antara pelarut dan zat yang dilarutkan. Contoh suspensi
adalah lumpur, tepung, kabut, cat dan lain-lain. Salah satu contoh dari
suspensi tersebut adalah lumpur. Lumpur adalah campuran cair atau semicair
antara air dan tanah. Lumpur terjadi saat tanah basah. Secara geologis,
lumpur ialah campuran air dan partikel endapan lumpur dan tanah liat.
Endapan lumpur masa lalu mengeras selama beberapa lama menjadi batu
endapan.
2.5 Faktor-faktor yang mempengaruhi Sedimentasi
Faktor-faktor yang mempengaruhi kecepatan pengendapan:
1. Konsentrasi
Dengan semakin besarnya konsentrasi, gaya gesek yang dialami partikel
antara partikel lain semakin besar sehingga drag force atau gaya seret nya
pun semakin besar. Hal ini disebabkan karena dengan semakin besarnya
konsentrasi berarti semakin banyak jumlah partikel dalam suatu suspensi
yang menyebabkan bertambahnya gaya gesek antara suatu partikel dengan
partikel yang lain. Drag force atau gaya seret ini bekerja pada arah yang
berlawanan dengan gerakan partikel dalam fluida. Dalam hal ini gaya drag
ke arah atas dan gerakan partikel ke bawah. Gaya seret ini disebabkan oleh
Universitas Sumatera Utara
adanya transfer momentum yang arahnya tegak lurus permukaan partikel
dalam bentuk gesekan. Maka, dengan adanya drag force yang arahnya
berlawanan dengan arah partikel ini akan menyebabkan gerakan partikel
menjadi lambat karena semakin kecilnya gaya total ke bawah sehingga
kecepatan pengendapan semakin turun.
2. Tekanan
Tekanan adalah hasil dari gaya-gaya komprehensif yang bekerja pada
satuan luas. Tekanan didefinisikan oleh :
∆F
∆A→ 0 ∆A
P = lim
(2.3)
di mana P adalah Tekanan (Pa), F adalah Gaya (Newton) dan A adalah
luas penampang (m2).
3. Densitas (massa jenis)
Massa jenis dari suatu benda merupakan konsentrasi terukur dari massa
benda tersebut. Massa jenis dapat ditentukan dengan mengambil
perbandingan antara massa benda yang berada pada suatu tempat dibagi
dengan volume ruangf yang ditempati oleh benda tersebut.
Massa jenis dapat didefinisikan sebagai:
∆m
∆V →0 ∆V
ρ = lim
(2.4)
di mana ∆m adalah massa (kg) dan ∆V adalah volume (m3). Jadi, dengan
asumsi kontinum, kuantitas-kuantitas yang diinginkan diasumsikan
terdefinisikan pada semua titik dari daerah yang dimaksud. Sebagai
contoh, massa jenis merupakan fungsi kontinu dari x, y, z dan t , artinya
ρ = ρ ( x, y , z , t ) .
4. Tegangan Permukaan
Bintik air yang jatuh di udara atau gelembung udara yang ada dalam air
akan selalu berbentuk bola, terbebas dari pengaruh gaya luar seperti gaya
geser akibat viskositas. Bila air dituang ke dalam gelas bersih sampai
penuh maka pada batas tertentu permukaan air pada gelas dapat lebih
Universitas Sumatera Utara
tinggi dari permukaan dinding gelas. Bila tabung pipa kaca bersih
dicelupkan tegak lurus permukaan air maka air pada tepi luar tabung akan
naik, lebih tinggi sedikit dari permukaan air sekelilingnya. Contoh-contoh
tersebut adalah efek dari adanya tegangan permukaan pada zat cair .
properti ini dikenal dengan nama tegangan permukaan karna adanya tarikmenarik antara molekul-molekul dekat permukaan dengan molekulmolekul yang tidak dekat permukaan. Kerja molekul ini terjadi untuk
membawa molekul ke permukaan. Pembentukan permukaan bebas
membutuhkan energi dan energi persatuan luas permukaan dikenal dengan
nama tegangan permukaan yang biasa diberi
notasi σ . Tegangan
permukaan σ berdimensi energi persatuan luas permukaan gaya persatuan
panjang.
5.
Viskositas
Fluida didefinisikan sebagai substansi yang terus-menerus berdeformasi
bila ada tegangan geser yang bekerja pada fluida tersebut. Fluida tidak
mampu menahan tegangan geser pada saat fluida dalam keadaan diam. Hal
ini menyatakan secara tidak langsung bahwa tegangan geser akan timbul
hanya apabila fluida dalam keadaan bergerak. Juga tegangan geser akan
ada apabila fluida memiliki viskositas dan viskositas merupakan
karakteristik yang dimiliki oleh semua fluida nyata. Oleh karna itu fluida
ideal dapat didefinisikan sebagai fluida yang tidak memiliki viskositas dan
tegangan geser tidak akan timbul pada fluida ideal apabila fluida ini dalam
keadaan bergerak.
Viskositas (kekentalan) fluida besarnya dapat ditentukan melalui
pengukuran terhadap tingkat hambatan yang ditimbulkan pada aliran fluida
yang bersangkutan. Viskositas merupakan properti dari semua fluida nyata
dan viskositas inilah yang membedakan fluida nyata dengan fluida ideal
(fluida tak berviskositas). Hambatan geser terukur sebagai gaya geser total.
Satuan tegangan geser adalah gaya geser persatuan-satuan luas.
Dalam beberapa masalah mengenai gerak zat cair, kekentalan absolut
dihubungkan dengan massa jenis dalam bentuk:
Universitas Sumatera Utara
v=
µ
ρ
(2.5)
di mana v adalah viskositas kinematik, µ viskositas dinamik dan ρ adalah
massa jenis.
6.
Kecepatan
Deskripsi aliran Eulerian merupakan deskripsi yang akan digunakan dalam
pembahasan mengenai fluida. Jika meletakkan fokus pada suatu titik
umum ( x, y, z ) didalam aliran yang mengalir melewati titik tersebut
dengan kecepatan V ( x, y, z ) . Laju perubahan kecepatan dari aliran ketika
melewati titik tersebut adalah dV / dx , dV / dy , dV / dz dan dapat berubah
terhadap waktu di titik tersebut: dV / dt . Di sini menggunakan derivatif
parsial karna kecepatan merupakan fungsi dari keempat variabel.
2.6 Model Matematika
Model-model matematika dapat diartikan sebagai persamaan-persamaan,
persamaan-persamaan yang memodelkan beberapa situasi nyata. Sebagai
contoh, ketika membahas rangkaian elektronik arus langsung (DC) sederhana,
persamaan V= RI memodelkan penurunan tegangan (yang diukur dalam volt)
melewati sebuah tahanan (yang diukur dalam ohm), di mana I arus (yang
diukur dalam ampere). Persamaan ini disebut Hukum Ohm. Setelah selesai
dikonstruksi, beberapa model dapat digunakan untuk memprediksi berbagai
situasi fisik. Sebagai contoh, prakiraan cuaca, pertumbuhan tumor atau hasil
permainan roulette semua dapat dikaitkan melalui suatu bentuk pemodelan
matematis.
2.6.1 Siklus Pemodelan
Misalkan ada suatu situasi nyata. Riset dapat membantu memodelkan situasi
tersebut ke dalam bentuk suatu persamaan diferensial. Teknologi dapat
digunakan untuk membantu memecahkan persamaan tersebut (program
komputer memberi jawaban). Jawaban-jawban berbasis teknologi ini
kemudian diartikan atau dikomunikasikan sesuai dengan situasi nyata.
Universitas Sumatera Utara
2.6.2 Metode-metode Kualitatif
Membangun suatu model merupakan proses yang panjang dan rumit;
mungkin
diperlukan
riset
selama
bertahun-tahun.
Setelah
selesai
dirumuskan, model yang dihasilkan mungkin tidak mungkin dipecahkan
secara analitik. Para peneliti memiliki dua pilihan:
a. Menyederhanankan, atau ‘mengakali’, model tersebut sehingga dapat
dipakai dengan lebih mudah. Ini merupakan pendekatan yang sah,
asalkan penyederhanaanya tidak memberikan kompromi yang berlebihan
terhadap situasi nyata yang dihadapi, sehingga kegunaannya tetap
relevan.
b. Mempertahankan model tersebut apa adanya dan menggunakan teknikteknik lain, seperti misalnya metode-mentode numerik atau grafis. Ini
merupakan pendekatan kualitatif. Walaupun tidak diperoleh situasi analitik
yang akurat, masih dapat diperoleh beberapa informasi yang dapat
mengungkapkan kegunaan dari model tersebut. Alat-alat teknologi sangat
bermanfaat didalam melakukan pendekatan ini.
2.7 Persamaan Differensial
Suatu persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya terdapat
turunan-turunan. Sebagai contoh,
1.
dy
= x+5
dx
2.
d2y
dy
+ 3 + 2y = 0
2
dx
dx
3.
dz
dz
= z+x
dx
dy
Tingkat (order) persamaan differensial adalah tingkat tertinggi turunan yang
timbul. Derajat (degree) persamaan differensial yang dapat ditulis sebagai
polinomial dalam turunan, adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang terjadi.
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde-pertama dalam fungsi y(x)
yang dicari adalah
Universitas Sumatera Utara
y ′ = f ( x, y )
di mana turunan y ′ muncul hanya di sisi kiri. Banyak, walaupun tidak semua,
persamaan diferensial orde pertama dapat dituliskan dalam bentuk standar melalui
penyelesaian y ′ secara aljabar dan menetapkan f ( x, y ) sama dengan sisi kanan
dari persamaan yang dihasilkan.
2.7.1 Persamaan Diferensial Biasa
Jika terdapat variabel bebas yang tunggal (single independent variable),
turunan nya merupakan turunan biasa dan persamaan nya disebut persamaan
differensial biasa (ordinary differential equation).
2.7.2 Persamaan Diferensial Parsial
Jika terdapat dua atau lebih variabel bebas, turunan nya adalah turunan parsial
dan persamaan nya disebut persamaan differensial parsial (partial differential
equation). Persamaan differensial parsial haruslah melibatkan paling sedikit dua
variabel bebas. Tingkat persamaan diferensial parsial adalah tingkat turunan
tertinggi pada persamaan itu.
2.8
Pergerakan Fluida
2.8.1 Deskripsi Lagrangian dan Eulerian
Ketika menyelesaikan suatu soal yang melibatkan suatu objek tunggal, fokusnya
selalu pada objek yang dimaksud. Jika terdapat beberapa objek, akan ditentukan
posisi r(x o , y o , z o , t), kecepatan V (x o , y o , z o , t) dan percepatan a (x o , y o , z o , t) dari
objek yang menempati posisi (x o , y o , z o , t) di waktu awalnya. Posisi (x o , y o , z o , t)
adalah “nama” dari objek yang sedang diperhatikan. Ini adalah deskripsi
pergerakan Lagrangian. Deskripsi ini sulit untuk digunakan di dalam aliran fluida
di mana terdapat banyak partikel.
Deskripsi pergerakan fluida selanjutnya adalah jika diletakkan fokus pada suatu
titik umum (x, y, z) di dalam aliran yang mengalir melewati titik tersebutdengan
kecepatan V(x, y, z). Laju perubahan kecepatan dari aliran ketika melewati titik
tersebut adalah ∂V / ∂x , ∂V / ∂y , ∂V / ∂z dan dapat juga berubah terhadap waktu
di titik tersebut: ∂V / ∂t . Disini digunakan derivatif parsial karna kecepatan
merupakan fungsi dari keempat variabel. Ini adalah deskripsi aliran Eulerian,
Universitas Sumatera Utara
yang merupakan deskripsi yang akan digunakan dalam pembahasan mengenai
fluida. Daerah yang ingin dibahas disebut sebagai medan aliran dan kecepatan di
dalam medan aliran disebut sebagai medan kecepatan.
Jika kuantitas-kuantitas yang diinginkan yang menggunakan deskripsi Eulerian
tidak bergantung pada waktu t, dimiliki aliran tunak; variabel-variabel alirannya
bergantung hanya pada koordinat-koordinat ruang. Untuk aliran yang demikian,
diantaranya:
Dalam
∂ρ
=0
∂t
∂p
=0
∂t
∂V
=0
∂t
derivatif-derivatif
parsial
diatas,
koordinat-koordinat
(2.6)
ruangnya
diasumsikan tetap; sedang diperhatikan aliran pada suatu titik tetap. Jika
mengikuti suatu partikel tertentu, seperti dalam pendekatan Lagrangian, kecepatan
dari partikel tersebut, secara umum, bervariasi terhadap waktu ketika bergerak
melalui medan aliran. Dengan menggunakan deskripsi Eulerian, derivatif-derivatif
parsial tersebut tidak akan muncul di dalam ekspresi-ekspresi kuantitas di dalam
aliran tunak.
2.8.2 Percepatan
Untuk melakukan perhitungan-perhitungan untuk suatu aliran fluida, seperti
misalnya tekanan dan gaya, perlu diberikan deskripsi mengenai pergerakan
tersebut
secara
rinci;
ekspresi
untuk
percepatan
diperlukan
dengan
mengasumsikan bahwa kecepatannya konstan. Perhatikan suatu partikel fluida
yang memiliki kecepatan V(t) dengan waktu t.
Percepatan dari partikel tersebut adalah
a=
Di mana dV =
dV
dt
(2.7)
∂V
∂V
∂V
∂V
dt
dz +
dy +
dx +
∂t
∂z
∂y
∂x
Karna V = V ( x, y, z , t ) . Ini memberikan percepatan
a=
dV ∂V dx ∂V dy ∂V dz ∂V
+
+
+
=
dt
∂x dt ∂y dt ∂z dt dt
(2.8)
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya, karna V adalah kecepatan partikel di (x, y, z), dijadikan
V = ui + vj + wk
di mana (u, v, w) adalah komponen-komponen kecepatan dari partikel masingmasing ke arah x, y dan z dan i, j dan k adalah vektor-vektor unit. Untuk partikel
di titik yang ingin diketahui, maka:
dy
=v
dt
dx
=u
dt
dz
=w
dt
(2.9)
Sehingga percepatan dapat diekspresikan sebagai
a=u
∂V ∂V
∂V
∂V
+
+w
+v
∂t
∂z
∂y
∂x
(2.10)
Derivatif waktu dari kecepatan merepresentasikan percepatan lokal dan ketiga
suku lainnya merepresentasikan percepatan konvektif. Di dalam sebuah pipa,
percepatan lokal terjadi jika kecepatan berubah terhadap waktu sementara
percepatan konvektif terjadi jika kecepatan berubah terhadap posisi (seperti yang
terjadi pada belokan).
Persamaan vektor dapat dituliskan sebagai tiga persamaan skalar
ax = u
∂u ∂u
∂u
∂u
+
+w
+v
∂z ∂t
∂y
∂x
ay = u
∂v ∂v
∂v
∂v
+v +w +
∂z ∂t
∂y
∂x
az = u
∂w ∂w
∂w
∂w
+
+w
+v
∂z ∂t
∂y
∂x
Persamaan biasanya dituliskan sebagai
a=
DV
Dt
(2.11)
Universitas Sumatera Utara
di mana D / Dt disebut derivatif material atau derivatif substansial, karna diikuti
suatu partikel material atau zat. Dalam koordinat-koordinat kartesian, derivatif
material adalah
D
∂ ∂
∂
∂
=u +v +w +
Dt
∂z ∂t
∂y
∂x
(2.12)
Derivatif ini dapat digunakan untuk kuantitas-kuantitas lainnya yang diinginkan,
seperti misalnya tekanan : Dp / Dt merepresentasikan laju perubahan tekanan
partikel fluida pada suatu titik (x, y,z).
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Perusahaan Daerah Air Minum
Perusahaaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan perusahaan milik daerah
yang bergerak di bidang pengolahan dan perindustrian air bersih bagi masyarakat
umum. Proses pengolahan air bersih terdapat beberapa tahapan yaitu:
1.
Penyaringan dan Pengendapan
Penyaringan dan pengendapan bertujuan untuk memisahkan air baku dari
zat-zat, seperti: sampah, daun, rumput, pasir dan lain-lain berdasarkan berat
jenis zat.
2.
Koagulasi
Koagulasi adalah proses pembubuhan bahan kimia Al2(SO 4 ) 3 (Tawas)
kedalam air agar kotoran dalam air yang berupa padatan resuspensi
misalnya zat warna organik, lumpur halus, bakteri dan lain-lain dapat
menggumpal dan cepat mengendap.
3.
Flokulasi
Flokulasi adalah proses pembentukan flok sebagai akibat gabungan dari
koloid-koloid dalam air baku (air sungai) dengan koagulan. Pembentukan
flok akan terjadi dengan baik jika di tambahkan koagulan kedalam air baku
(air sungai) kemudian dilakukan pengadukan lambat.
4.
Sedimentasi
Setelah proses koagulasi dan flokulasi, air tersebut di diamkan sampai
gumpalan kotoran yang terjadi mengendap semua. Setelah kotoran
mengendap air akan tampak lebih jernih.
Universitas Sumatera Utara
5.
Filtrasi
Pada proses pengendapan tidak semua gumpalan kotoran dapat diendapkan
semua. Butiran gumpalan kotoran kotoran dengan ukuran yang besar dan
berat akan mengendap, sedangkan yang berukuran kecil dan ringan masih
melayang-layang dalam air. Untuk mendapatkan air yang betul-betul jernih
harus dilakukan proses penyaringan. Penyaringan dilakukan dengan
mengalirkan air yang telah diendapkan kotorannya ke bak penyaring yang
terdiri dari saringan pasir silika.
6.
Desinfeksi
Pemberian desinfektan (gas khlor) pada air hasil penyaringan bertujuan agar
dapat mereduksi konsentrasi bakteri secara umum dan menghilangkan bakteri
pathogen (bakteri penyebeb penyakit).
2.2 Mekanika Fluida
Mekanika Fluida adalah disiplin ilmu bagian dari bidang mekanika terapan
yang mengkaji perilaku dari zat-zat cair dan gas dalam keadaan diam atau
pun bergerak. Bidang mekanika ini jelas mencakup berbagai persoalan yang
sangat bervariasi, mulai dari kajian mengenai aliran darah di saluran-saluran
kapiler (yang hanya berdiameter beberapa mikron) sampai pada kajian aliran
minyak mentah yang melewati Alaska melalui pipa berdiameter 4 ft
sepanjang 800 mil.
Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi (mengalir) terus-menerus
selama dipengaruhi suatu tegangan geser. Sebuah tegangan (gaya per satuan
luas) geser terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah
permukaan. Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam
lainnya dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan
berdeformasi (biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus
berdeformasi (mengalir). Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan
udara memenuhi definisi dari sebuah fluida – artinya, zat-zat tersebut akan
mengalir apabila padanya bekerja sebuah tegangan geser. Beberapa bahan,
seperti lumpur, aspal, dempul, odol dan lain sebagaiannya tidak mudah untuk
Universitas Sumatera Utara
diklasifikasikan karena bahan-bahan tersebut akan berperilaku seperti benda
padat jika tegangan geser yang bekerja kecil, tetapi jika tegangan tersebut
melampaui suatu nilai kritis tertentu, zat-zat tersebut akan mengalir.
2.3 Klasifikasi Aliran
Mekanika fluida adalah subjek di mana banyak dijumpai fenomena yang
kompleks, jadilah sangat penting untuk memahami deskripsi dan simplifikasi
dari beberapa aliran fluida khusus. Berikut klasifikasi aliran-aliran fluida
2.3.1 Aliran-aliran Seragam, Satu, Dua dan Tiga Dimensi
Secara umum, dalam pembahasan mengenai fluida, suatu variabel
dependen bergantung pada koordinat tiga ruang dan waktu, misalnya
V(x,y,z,t). Aliran yang bergantung pada koordinat tiga ruang adalah aliran
tiga dimensi; dapat berupa aliran tunak jika tidak bergantung pada waktu,
seperti misalnya aliran di dekat sambungan antara sayap dan badan
pesawat yang sedang terbang pada kecepatan konstan. Aliran di dalam
sebuah mesin cuci akan berupa aliran tiga dimensional tak-tunak.
Aliran-aliran tertentu dapat diaproksimasikan sebagai aliran dua dimensi;
aliran yang melewati weir yang lebar, di mulut sebuah pipa dan di seputar
sebuah bola adalah contoh-contoh yang khususnya ingin diketahui. Dalam
aliran dua dimensi seperti itu variabel-variabel dependennya bergantung
hanya pada variabel dua ruang, yang artinya p (r , θ ) atau V ( x, y, t ) . Jika
koordinat ruangnya adalah x dan y , aliran tersebut disebut sebagai aliran
datar.
Aliran satu dimensi adalah aliran di mana kecepatannya bergantung hanya
pada variabel satu ruang. Aliran ini khususnya adalah aliran-aliran dalam
pipa dan saluran. Untuk aliran di dalam sebuah pipa yang panjang,
kecepatan bergantung pada radius r dan di dalam sebuah saluran yang
lebar (papan paralel) hanya bergantung pada y .
2.3.2 Aliran-aliran Kental (Viscous) dan tak-Kental (Inviscid)
Efek viskositas (kekentalan) dapat diabaikan sepenuhnya di dalam aliran
tak-kental tanpa banyak mengubah solusi dari soal yang melibatkan aliran
tersebut.
Semua
fluida
memiliki
viskositas
dan
jika
efek-efek
Universitas Sumatera Utara
viskositasnya tidak dapat diabaikan aliran tersebut adalah aliran kental.
Sebaliknya pada aliran tak kental, viskositas dapat diabaikan di dalam
aliran yang berada jauh dari permukaan di dalam banyak aliran akan
diperoleh penyelesaian yang lebih sederhana.
2.3.3 Aliran-aliran Laminar dan Turbulen
Suatu aliran kental dapat berupa aliran laminar atau aliran turbulen. Di
dalam aliran turbulen terjadi penyampuran partikel-partikel fluida
sehingga pergerakan suatu partikel tertentu terjadi secara acak dan sangat
tidak teratur; perata-rataan statistika dipakai untuk menetapkan kecepatan,
tekanan dan kuantitas-kuantitas lainnya yang ingin diketahui. Di dalam
aliran laminar tidak terjadi pencampuran partikel-partikel yang signifikan;
pergerakannya halus dan tenang, seperti aliran air yang mengalir pelan dari
sebuah keran. Jika zat pewarna dimasukkan ke dalam aliran laminar, zat
tersebut akan tetap terlihat jelas untuk jangka waktu yang lama. Ketika
suatu aliran mulai bergerak, seperti misalnya di dalam sebuah pipa,
awalnya aliran tersebut bersifat laminar, akan tetapi dengan meningkat
kecepatan rata-ratanya, aliran laminar tersebut menjadi tidak stabil dan
terjadilah aliran turbulen.
2.3.4 Aliran-aliran Inkompresibel dan Kompresibel
Aliran cairan diasumsikan bersifat inkompresibel dalam kebanyakan
kasus. Di dalam aliran inkompresibel densitas partikel fluida yang
bergerak diasumsikan konstan, artinya
Dρ
=0
Dt
(2.1)
Persamaan ini tidak mengharuskan bahwa semua partikel fluida memiliki
densitas yang sama. Sebagai contoh, garam dapat ditambahkan ke aliran di
suatu di dalam pipa sehingga di belakang lokasi tersebut densitas nya akan
lebih besar dibandingkan dengan lokasi di depannya. Udara atmosfer pada
kecepatan rendah bersifat inkompresibel akan tetapi densitasnya berkurang
dengan bertambahnya ketinggian, artinya ρ = ρ (z ) , di mana z adalah
jarak vertikal. Biasanya fluida diasumsikan memiliki densitas konstan
ketika menggunakan asumsi inkompresibelitas, yang berarti
Universitas Sumatera Utara
∂ρ
=0
∂t
∂ρ
=0
∂x
∂ρ
=0
∂y
∂ρ
=0
∂z
(2.2)
2.4 Sedimentasi
Sedimentasi adalah pemisahan solid-liquid menggunakan pegendapan secara
gravitasi untuk menyisihkan suspended-solid
Suspensi adalah suatu campuran fluida yang mengandung partikel padat.
Atau dengan kata lain campuran heterogen dari zat cair dan zat padat yang
dilarutkan dalam zat cair tersebut. Partikel padat dalam sistem suspensi
umumnya lebih besar dari 1 mikrometer sehingga cukup besar untuk
memungkinkan terjadinya sedimentasi. Tidak seperti koloid, padatan pada
suspensi akan mengalami pengendapan atau sedimentasi walaupun tidak
terdapat gangguan. Singkatnya, suspensi merupakan campuran yang masih
dapat dibedakan antara pelarut dan zat yang dilarutkan. Contoh suspensi
adalah lumpur, tepung, kabut, cat dan lain-lain. Salah satu contoh dari
suspensi tersebut adalah lumpur. Lumpur adalah campuran cair atau semicair
antara air dan tanah. Lumpur terjadi saat tanah basah. Secara geologis,
lumpur ialah campuran air dan partikel endapan lumpur dan tanah liat.
Endapan lumpur masa lalu mengeras selama beberapa lama menjadi batu
endapan.
2.5 Faktor-faktor yang mempengaruhi Sedimentasi
Faktor-faktor yang mempengaruhi kecepatan pengendapan:
1. Konsentrasi
Dengan semakin besarnya konsentrasi, gaya gesek yang dialami partikel
antara partikel lain semakin besar sehingga drag force atau gaya seret nya
pun semakin besar. Hal ini disebabkan karena dengan semakin besarnya
konsentrasi berarti semakin banyak jumlah partikel dalam suatu suspensi
yang menyebabkan bertambahnya gaya gesek antara suatu partikel dengan
partikel yang lain. Drag force atau gaya seret ini bekerja pada arah yang
berlawanan dengan gerakan partikel dalam fluida. Dalam hal ini gaya drag
ke arah atas dan gerakan partikel ke bawah. Gaya seret ini disebabkan oleh
Universitas Sumatera Utara
adanya transfer momentum yang arahnya tegak lurus permukaan partikel
dalam bentuk gesekan. Maka, dengan adanya drag force yang arahnya
berlawanan dengan arah partikel ini akan menyebabkan gerakan partikel
menjadi lambat karena semakin kecilnya gaya total ke bawah sehingga
kecepatan pengendapan semakin turun.
2. Tekanan
Tekanan adalah hasil dari gaya-gaya komprehensif yang bekerja pada
satuan luas. Tekanan didefinisikan oleh :
∆F
∆A→ 0 ∆A
P = lim
(2.3)
di mana P adalah Tekanan (Pa), F adalah Gaya (Newton) dan A adalah
luas penampang (m2).
3. Densitas (massa jenis)
Massa jenis dari suatu benda merupakan konsentrasi terukur dari massa
benda tersebut. Massa jenis dapat ditentukan dengan mengambil
perbandingan antara massa benda yang berada pada suatu tempat dibagi
dengan volume ruangf yang ditempati oleh benda tersebut.
Massa jenis dapat didefinisikan sebagai:
∆m
∆V →0 ∆V
ρ = lim
(2.4)
di mana ∆m adalah massa (kg) dan ∆V adalah volume (m3). Jadi, dengan
asumsi kontinum, kuantitas-kuantitas yang diinginkan diasumsikan
terdefinisikan pada semua titik dari daerah yang dimaksud. Sebagai
contoh, massa jenis merupakan fungsi kontinu dari x, y, z dan t , artinya
ρ = ρ ( x, y , z , t ) .
4. Tegangan Permukaan
Bintik air yang jatuh di udara atau gelembung udara yang ada dalam air
akan selalu berbentuk bola, terbebas dari pengaruh gaya luar seperti gaya
geser akibat viskositas. Bila air dituang ke dalam gelas bersih sampai
penuh maka pada batas tertentu permukaan air pada gelas dapat lebih
Universitas Sumatera Utara
tinggi dari permukaan dinding gelas. Bila tabung pipa kaca bersih
dicelupkan tegak lurus permukaan air maka air pada tepi luar tabung akan
naik, lebih tinggi sedikit dari permukaan air sekelilingnya. Contoh-contoh
tersebut adalah efek dari adanya tegangan permukaan pada zat cair .
properti ini dikenal dengan nama tegangan permukaan karna adanya tarikmenarik antara molekul-molekul dekat permukaan dengan molekulmolekul yang tidak dekat permukaan. Kerja molekul ini terjadi untuk
membawa molekul ke permukaan. Pembentukan permukaan bebas
membutuhkan energi dan energi persatuan luas permukaan dikenal dengan
nama tegangan permukaan yang biasa diberi
notasi σ . Tegangan
permukaan σ berdimensi energi persatuan luas permukaan gaya persatuan
panjang.
5.
Viskositas
Fluida didefinisikan sebagai substansi yang terus-menerus berdeformasi
bila ada tegangan geser yang bekerja pada fluida tersebut. Fluida tidak
mampu menahan tegangan geser pada saat fluida dalam keadaan diam. Hal
ini menyatakan secara tidak langsung bahwa tegangan geser akan timbul
hanya apabila fluida dalam keadaan bergerak. Juga tegangan geser akan
ada apabila fluida memiliki viskositas dan viskositas merupakan
karakteristik yang dimiliki oleh semua fluida nyata. Oleh karna itu fluida
ideal dapat didefinisikan sebagai fluida yang tidak memiliki viskositas dan
tegangan geser tidak akan timbul pada fluida ideal apabila fluida ini dalam
keadaan bergerak.
Viskositas (kekentalan) fluida besarnya dapat ditentukan melalui
pengukuran terhadap tingkat hambatan yang ditimbulkan pada aliran fluida
yang bersangkutan. Viskositas merupakan properti dari semua fluida nyata
dan viskositas inilah yang membedakan fluida nyata dengan fluida ideal
(fluida tak berviskositas). Hambatan geser terukur sebagai gaya geser total.
Satuan tegangan geser adalah gaya geser persatuan-satuan luas.
Dalam beberapa masalah mengenai gerak zat cair, kekentalan absolut
dihubungkan dengan massa jenis dalam bentuk:
Universitas Sumatera Utara
v=
µ
ρ
(2.5)
di mana v adalah viskositas kinematik, µ viskositas dinamik dan ρ adalah
massa jenis.
6.
Kecepatan
Deskripsi aliran Eulerian merupakan deskripsi yang akan digunakan dalam
pembahasan mengenai fluida. Jika meletakkan fokus pada suatu titik
umum ( x, y, z ) didalam aliran yang mengalir melewati titik tersebut
dengan kecepatan V ( x, y, z ) . Laju perubahan kecepatan dari aliran ketika
melewati titik tersebut adalah dV / dx , dV / dy , dV / dz dan dapat berubah
terhadap waktu di titik tersebut: dV / dt . Di sini menggunakan derivatif
parsial karna kecepatan merupakan fungsi dari keempat variabel.
2.6 Model Matematika
Model-model matematika dapat diartikan sebagai persamaan-persamaan,
persamaan-persamaan yang memodelkan beberapa situasi nyata. Sebagai
contoh, ketika membahas rangkaian elektronik arus langsung (DC) sederhana,
persamaan V= RI memodelkan penurunan tegangan (yang diukur dalam volt)
melewati sebuah tahanan (yang diukur dalam ohm), di mana I arus (yang
diukur dalam ampere). Persamaan ini disebut Hukum Ohm. Setelah selesai
dikonstruksi, beberapa model dapat digunakan untuk memprediksi berbagai
situasi fisik. Sebagai contoh, prakiraan cuaca, pertumbuhan tumor atau hasil
permainan roulette semua dapat dikaitkan melalui suatu bentuk pemodelan
matematis.
2.6.1 Siklus Pemodelan
Misalkan ada suatu situasi nyata. Riset dapat membantu memodelkan situasi
tersebut ke dalam bentuk suatu persamaan diferensial. Teknologi dapat
digunakan untuk membantu memecahkan persamaan tersebut (program
komputer memberi jawaban). Jawaban-jawban berbasis teknologi ini
kemudian diartikan atau dikomunikasikan sesuai dengan situasi nyata.
Universitas Sumatera Utara
2.6.2 Metode-metode Kualitatif
Membangun suatu model merupakan proses yang panjang dan rumit;
mungkin
diperlukan
riset
selama
bertahun-tahun.
Setelah
selesai
dirumuskan, model yang dihasilkan mungkin tidak mungkin dipecahkan
secara analitik. Para peneliti memiliki dua pilihan:
a. Menyederhanankan, atau ‘mengakali’, model tersebut sehingga dapat
dipakai dengan lebih mudah. Ini merupakan pendekatan yang sah,
asalkan penyederhanaanya tidak memberikan kompromi yang berlebihan
terhadap situasi nyata yang dihadapi, sehingga kegunaannya tetap
relevan.
b. Mempertahankan model tersebut apa adanya dan menggunakan teknikteknik lain, seperti misalnya metode-mentode numerik atau grafis. Ini
merupakan pendekatan kualitatif. Walaupun tidak diperoleh situasi analitik
yang akurat, masih dapat diperoleh beberapa informasi yang dapat
mengungkapkan kegunaan dari model tersebut. Alat-alat teknologi sangat
bermanfaat didalam melakukan pendekatan ini.
2.7 Persamaan Differensial
Suatu persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya terdapat
turunan-turunan. Sebagai contoh,
1.
dy
= x+5
dx
2.
d2y
dy
+ 3 + 2y = 0
2
dx
dx
3.
dz
dz
= z+x
dx
dy
Tingkat (order) persamaan differensial adalah tingkat tertinggi turunan yang
timbul. Derajat (degree) persamaan differensial yang dapat ditulis sebagai
polinomial dalam turunan, adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang terjadi.
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde-pertama dalam fungsi y(x)
yang dicari adalah
Universitas Sumatera Utara
y ′ = f ( x, y )
di mana turunan y ′ muncul hanya di sisi kiri. Banyak, walaupun tidak semua,
persamaan diferensial orde pertama dapat dituliskan dalam bentuk standar melalui
penyelesaian y ′ secara aljabar dan menetapkan f ( x, y ) sama dengan sisi kanan
dari persamaan yang dihasilkan.
2.7.1 Persamaan Diferensial Biasa
Jika terdapat variabel bebas yang tunggal (single independent variable),
turunan nya merupakan turunan biasa dan persamaan nya disebut persamaan
differensial biasa (ordinary differential equation).
2.7.2 Persamaan Diferensial Parsial
Jika terdapat dua atau lebih variabel bebas, turunan nya adalah turunan parsial
dan persamaan nya disebut persamaan differensial parsial (partial differential
equation). Persamaan differensial parsial haruslah melibatkan paling sedikit dua
variabel bebas. Tingkat persamaan diferensial parsial adalah tingkat turunan
tertinggi pada persamaan itu.
2.8
Pergerakan Fluida
2.8.1 Deskripsi Lagrangian dan Eulerian
Ketika menyelesaikan suatu soal yang melibatkan suatu objek tunggal, fokusnya
selalu pada objek yang dimaksud. Jika terdapat beberapa objek, akan ditentukan
posisi r(x o , y o , z o , t), kecepatan V (x o , y o , z o , t) dan percepatan a (x o , y o , z o , t) dari
objek yang menempati posisi (x o , y o , z o , t) di waktu awalnya. Posisi (x o , y o , z o , t)
adalah “nama” dari objek yang sedang diperhatikan. Ini adalah deskripsi
pergerakan Lagrangian. Deskripsi ini sulit untuk digunakan di dalam aliran fluida
di mana terdapat banyak partikel.
Deskripsi pergerakan fluida selanjutnya adalah jika diletakkan fokus pada suatu
titik umum (x, y, z) di dalam aliran yang mengalir melewati titik tersebutdengan
kecepatan V(x, y, z). Laju perubahan kecepatan dari aliran ketika melewati titik
tersebut adalah ∂V / ∂x , ∂V / ∂y , ∂V / ∂z dan dapat juga berubah terhadap waktu
di titik tersebut: ∂V / ∂t . Disini digunakan derivatif parsial karna kecepatan
merupakan fungsi dari keempat variabel. Ini adalah deskripsi aliran Eulerian,
Universitas Sumatera Utara
yang merupakan deskripsi yang akan digunakan dalam pembahasan mengenai
fluida. Daerah yang ingin dibahas disebut sebagai medan aliran dan kecepatan di
dalam medan aliran disebut sebagai medan kecepatan.
Jika kuantitas-kuantitas yang diinginkan yang menggunakan deskripsi Eulerian
tidak bergantung pada waktu t, dimiliki aliran tunak; variabel-variabel alirannya
bergantung hanya pada koordinat-koordinat ruang. Untuk aliran yang demikian,
diantaranya:
Dalam
∂ρ
=0
∂t
∂p
=0
∂t
∂V
=0
∂t
derivatif-derivatif
parsial
diatas,
koordinat-koordinat
(2.6)
ruangnya
diasumsikan tetap; sedang diperhatikan aliran pada suatu titik tetap. Jika
mengikuti suatu partikel tertentu, seperti dalam pendekatan Lagrangian, kecepatan
dari partikel tersebut, secara umum, bervariasi terhadap waktu ketika bergerak
melalui medan aliran. Dengan menggunakan deskripsi Eulerian, derivatif-derivatif
parsial tersebut tidak akan muncul di dalam ekspresi-ekspresi kuantitas di dalam
aliran tunak.
2.8.2 Percepatan
Untuk melakukan perhitungan-perhitungan untuk suatu aliran fluida, seperti
misalnya tekanan dan gaya, perlu diberikan deskripsi mengenai pergerakan
tersebut
secara
rinci;
ekspresi
untuk
percepatan
diperlukan
dengan
mengasumsikan bahwa kecepatannya konstan. Perhatikan suatu partikel fluida
yang memiliki kecepatan V(t) dengan waktu t.
Percepatan dari partikel tersebut adalah
a=
Di mana dV =
dV
dt
(2.7)
∂V
∂V
∂V
∂V
dt
dz +
dy +
dx +
∂t
∂z
∂y
∂x
Karna V = V ( x, y, z , t ) . Ini memberikan percepatan
a=
dV ∂V dx ∂V dy ∂V dz ∂V
+
+
+
=
dt
∂x dt ∂y dt ∂z dt dt
(2.8)
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya, karna V adalah kecepatan partikel di (x, y, z), dijadikan
V = ui + vj + wk
di mana (u, v, w) adalah komponen-komponen kecepatan dari partikel masingmasing ke arah x, y dan z dan i, j dan k adalah vektor-vektor unit. Untuk partikel
di titik yang ingin diketahui, maka:
dy
=v
dt
dx
=u
dt
dz
=w
dt
(2.9)
Sehingga percepatan dapat diekspresikan sebagai
a=u
∂V ∂V
∂V
∂V
+
+w
+v
∂t
∂z
∂y
∂x
(2.10)
Derivatif waktu dari kecepatan merepresentasikan percepatan lokal dan ketiga
suku lainnya merepresentasikan percepatan konvektif. Di dalam sebuah pipa,
percepatan lokal terjadi jika kecepatan berubah terhadap waktu sementara
percepatan konvektif terjadi jika kecepatan berubah terhadap posisi (seperti yang
terjadi pada belokan).
Persamaan vektor dapat dituliskan sebagai tiga persamaan skalar
ax = u
∂u ∂u
∂u
∂u
+
+w
+v
∂z ∂t
∂y
∂x
ay = u
∂v ∂v
∂v
∂v
+v +w +
∂z ∂t
∂y
∂x
az = u
∂w ∂w
∂w
∂w
+
+w
+v
∂z ∂t
∂y
∂x
Persamaan biasanya dituliskan sebagai
a=
DV
Dt
(2.11)
Universitas Sumatera Utara
di mana D / Dt disebut derivatif material atau derivatif substansial, karna diikuti
suatu partikel material atau zat. Dalam koordinat-koordinat kartesian, derivatif
material adalah
D
∂ ∂
∂
∂
=u +v +w +
Dt
∂z ∂t
∂y
∂x
(2.12)
Derivatif ini dapat digunakan untuk kuantitas-kuantitas lainnya yang diinginkan,
seperti misalnya tekanan : Dp / Dt merepresentasikan laju perubahan tekanan
partikel fluida pada suatu titik (x, y,z).
Universitas Sumatera Utara