Pemodelan Proses Sedimentasi Pada Air Chapter III V
BAB 3
METODE PENELITIAN
3.1 Studi Pendahuluan
Langkah awal dalam penelitian ini adalah mencari dan mengumpulkan sumbersumber seperti: buku, jurnal atau penelitian sebelumnya yang mendukung
penelitian ini.
3.2 Tahapan Analisis
Pada tahap analisis ini dilihat bagaimana proses pengelolahan air bersih secara
menyeluruh dan melihat bagaimana sedimentasi itu terjadi pada wadah
sedimentasi kemudian dimodelkan pada suatu gambar untuik menurunkan
persamaan nya.
3.2.1 Menentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam penelitian ini
Pada tahap ini akan ditentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam
penelitian ini
.
3.2.2 Menentukan kondisi awal dan batas
Untuk persoalan Sedimentasi dalam penelitian ini diasumsikan sebagai
berikut:
1. Diasumsikan sedimentasi adalah lumpur,
2. Efek-efek viskos diabaikan (fluida inviscid/tanpa gesekan),
3. Diasumsikan air mengalir dan tidak berputar, aliran mampu-mampat,
dan aliran laminar,
4. Untuk sifat kohesi dan adhesi tidak diperhatikan.
3.2.3 Memodelkan persoalan tersebut ke dalam bentuk model Matematika
Persoalan sedimentasi tersebut akan dimodelkan dengan model Matematika
khususnya dengan menggunakan Persamaan Diferensial.
Universitas Sumatera Utara
3.3
Membuat Kesimpulan dan Menyusun Laporan Penelitian
Setelah persoalan tersebut dimodelkan ke dalam bentuk Matematika, maka
didapatlah suatu persamaan yang menjelaskan model sedimentasi pada air.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Sedimentasi
Sedimentasi adalah pemisahan solid-liquid menggunakan pegendapan secara
gravitasi untuk menyisihkan suspended-solid. Banyak faktor-faktor yang
mempengaruhi sedimentasi pada air yang nanti nya akan menjadi variabelvariabel yang akan membantu terbentuknya suatu model matematika dalam
bentuk persamaan diferensial parsial.
Dinamika fluida (hidrodinamik) memberi gambaran tentang gerak fluida
dalam bahas ruang tertentu. Untuk dapat menjelaskan tentang gerak fluida maka
gerak ini lebih dahulu harus dapat ditampilkan dalam satu set persamaan
diferensial yang dapat diselesaikan secara analitik maupun numerik.
4.2 Pemodelan Aliran Dua Fase dari Suspensi Padat
Suspensi atau campuran padat-cair penting di berbagai bidang industri,
seperti penyempurnaan minyak dan gas, pembuatan kertas, pengolahan makanan,
transportasi lumpur, dan pengolahan air limbah.
Suspensi adalah campuran partikel padat dan cairan. Dinamika suspensi dapat
dimodelkan dengan persamaan transport momentum untuk campuran. Model
campuran dengan aliran laminar secara otomatis mengatur persamaan yang akan
didapatkan (persamaan 4.26).
4.3 Persamaan Diferensial
Untuk meyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial untuk suatu variabel
dependen,
kondisi-kondisi tertentu diperlukan
yang
berarti variabel
independennya harus ditentukan pada nilai-nilai tertentu dari independenindependen variabel. Jika variabel-variabel independennya berupa koordinatkoordinat ruang yakni kecepatan, kondisi-kondisinya disebut kondisi-kondisi
batas. Jika variabel independennya adalah waktu, kondisi-kondisinya disebut
kondisi-kondisi awal.
Universitas Sumatera Utara
Kondisi batas nya adalah komponen kecepatan ke tegak lurus dalam aliran
tak-kental. Dalam aliran tak-kental di mana viskositas diabaikan, vektor
kecepatan memiliki arah tangensial terhadap perbatasan.
Persamaan-persamaan diferensial ini nanti nya akan diturunkan dengan
menggunakan koordinat-koordinat kartesian.
4.4 Persamaan Kontinuitas Diferensial
Untuk menurunkan persamaan kontinuitas differensial digunakan elemen
infinitesinal. Elemen ini adalah volume kontrol yang kecil di mana aliran fluida
masuk dan keluar. Elemen ini ditunjukkan pada bidang xy dengan kedalaman dz .
Diasumsikan bahwa alirannya hanya pada bidang xy sehingga tidak terjadi aliran
fluida ke arah z . Karna massa dapat berubah di dalam elemen tersebut. Ini
diekspresikan sebagai
ρudydz − ρu +
∂ ( ρu )
dx dydz + ρvdxdz −
∂x
∂
∂ ( ρv)
ρv +
dy dxdz = ( ρdxdydz )
∂t
∂y
(4.1)
di mana ρ diijinkan untuk berubah di sepanjang elemen tersebut. Jika persamaan
di atas disederhanakan , dengan menganggap bahwa volume kontrol elental
tersebut tidak bergerak, diperoleh :
∂ ( ρu ) ∂ ( ρv)
∂ρ
+
=−
∂x
∂y
∂t
(4.2)
Universitas Sumatera Utara
∂ ( ρv)
ρv +
∂y dx dz
∂y
∂ ( ρu )
∂x dy dz
ρu +
∂x
dy
ρu dy dz
dx
ρv dx dz
Gambar 4.1 Volume Kontrol Infinitesimal
Diferensiasikan produk-produknya dan masukan variasi ke arah z . Maka
persamaan kontinuitas diferensialnya dapat dituliskan dalam bentuk
∂u ∂v ∂w
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
= 0
+
+ ρ +
+w
+v
+u
∂z
∂y
∂x
∂t
∂x ∂y ∂z
(4.3)
Keempat suku pertama membentuk derivatif material, yakni
D
∂
∂
∂ ∂
=u +v +w +
Dt
∂x
∂y
∂z ∂t
(4.4)
Sehingga persamaan menjadi :
∂u ∂v ∂w
Dρ
= 0
+
+ ρ +
Dt
∂x ∂y ∂z
(4.5)
yang merupakan bentuk paling umum dari persamaan kontinuitas diferensial
dalam koordinat kartesian.
Universitas Sumatera Utara
Persamaan kontinuitas diferensial ini seringkali dituliskan dengan menggunakan
operator vektor
∇=
∂
∂
∂
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
(4.6)
Sehingga persamaan mengambil bentuk
Dρ
+ ρ∇.∇ = 0
Dt
Di mana vektor kecepatannya adalah
(4.7)
V = ui + vj + wk
Skalar disebut divergens dari vektor kecepatan.
Untuk aliran inkompresibel, densitas partikel fluida tetap konstan, artinya,
Dρ ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
=
+u
+v
+w
=0
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
(4.8)
Jadi densitas tidak harus konstan. Jika densitas nya memang konstan, maka setiap
suku dalam persamaan bernilai 0. Untuk aliran inkompresibel mengharuskan
∂u ∂v ∂w
+
+
= 0 atau ∇V
. =0
∂x ∂y ∂z
4.5
(4.9)
Persamaan Momentum Diferensial
Persamaan diferensial yang diturunkan dari persamaan kontinuitas diferensial
memiliki tiga komponen kecepatan sebagai variabel-variabel dependen untuk
aliran inkompresibel. Jika ada aliran di mana medan kecepatan dan medan
tekanannya tidak diketahui, persamaan momentum diferensial memberikan tiga
persamaan tambahan karna merupakan persamaan kecepatan yang memiliki tiga
komponen. Keempat variabel yang dicari adalah u , v , w dan p jika
menggunakan sistem koordinat kartesian. Keempat persamaan akan memberikan
persamaan-persamaan yang diperlukan dan selanjutnya kondisi-kondisi awal dan
batas memungkinkan penyelesaian permasalahan.
Universitas Sumatera Utara
Untuk mendapatkan suatu persamaan atau model baru dalam permasalahan ini,
yang akan diperhatikan adalah :
Pertama-tama, tegangan eksis di permukaan-permukaan suatu elemen fluida
infinitesimal berbentuk persegi seperti ditunjukkan pada gambar (4.2) untuk
bidang xy. Komponen-komponen tegangan yang sama juga bekerja ke arah z.
Tegangan normal dilambangkan dengan σ dan tegangan geser dengan τ . Ada
sembilan komponen tegangan: σ xx , σ yy , σ zz , τ xy , τ yx , τ xz , τ zx , τ yz dan τ zy . Jika
diambil momen terhadap sumbu x , sumbu y dan sumbu z , masing-masing akan
menunjukkan
τ zx = τ xz
τ yx = τ xy
τ zy = τ yz
(4.10)
Jadi ada enam komponen tegangan yang harus dihubungkan dengan tekanan dan
komponen-komponen kecepatan. Hubungan-hubungan tersebut disebut sebagai
persamaan-persamaan konstitutif .
Selanjutnya, aplikasikan hukum kedua Newton pada elemen dalam Gambar 4.3,
dengan mengasumsikan tidak ada tegangan geser yang bekerja ke arah z dan
bahwa gravitasi bekerja hanya ke arah z :
y
σ yy +
∂σ yy
∂y
dy
τ yx +
∂τ yx
∂y
dy
τ xy +
σ xx
∂τ xy
∂x
dx
dy
σ xx +
τ xy
∂σ xx
dx
∂x
dx
τ yx
σ yy
x
Gambar 4.2 Komponen-komponen tegangan yang saling tegak lurus pada sebuah
elemen cairan
Universitas Sumatera Utara
∂τ xy
∂σ xx
dx dydz − σ xx dydz + τ xy +
dy dxdz − τ xy dxdz =
σ xx +
∂x
∂y
Du
ρdxdydz
Dt
∂σ yy
∂τ xy
σ yy +
dy dxdz − σ yy dxdz + τ xy +
dx dydz − τ xy dydz =
∂y
∂x
Dv
ρdxdydz
Dt
(4.11)
(4.12)
Disederhanakan menjadi :
∂σ xx ∂τ xy
Du
=ρ
+
∂y
∂x
Dt
∂σ yy
(4.13)
∂τ xy
Dv
=ρ
+
∂x
∂y
Dt
Jika komponen-komponen arah z dimasukkan, persamaan-persamaan
diferensialnya menjadi
∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz
Du
+
+
=ρ
∂x
∂y
∂z
Dt
∂σ yy
∂τ xy
∂τ xz
Dv
=ρ
∂x
∂y
∂z
Dt
∂σ zz ∂τ xz ∂τ yz
Dw
+
− ρg = ρ
+
∂z
∂y
∂x
Dt
+
+
(4.14)
Dengan mengasumsikan bahwa suku gravitasi ρgdxdydz bekerja ke arah negatif
z.
Dalam banyak aliran, efek-efek kekentalan yang menimbulkan tegangan geser
dapat diabaikan dengan tegangan normal merupakan negatif dari tekanan. Untuk
aliran-aliran tak-kental semacam itu, persamaan (sebelumnya) mengambil bentuk
ρ
Du
∂p
=−
Dt
∂x
(4.15)
Universitas Sumatera Utara
Dv
∂p
=−
Dt
∂y
Dw
∂p
=−
ρ
− ρg
∂z
Dt
ρ
Dalam bentuk vektor, ini menjadi Persamaan :
ρg
Dv
= −∇p − ρgk
Dt
(4.16)
Yang berlaku untuk aliran-aliran tak kental. Untuk aliran tunak dengan densitas
konstan.
Persamaan-persamaan konstitutif menghubungkan tegangan dengan medan
kecepatan dan tekanan; persamaan-persamaan tersebut tidak diturunkan akan
tetapi dirumuskan melalui pengamatan-pengamatan di Laboratorium.
Untuk suatu fluida Newtonian isotropik, perumusannya adalah
∂u
∂v
σ xx = − p + 2µ
∂u
+ λ∇.V
∂x
τ xy = µ +
∂y ∂x
(4.17)
σ yy = − p + 2µ
∂v
+ λ∇.V
∂y
τ xz = µ
∂u ∂w
+
∂z ∂x
(4.18)
σ zz = − p + 2µ
∂w
+ λ∇.V
∂x
τ yz = µ +
∂z ∂y
∂v
∂w
(4.19)
Untuk kebanyakan gas, hipotesis Stokes dapat digunakan sehingga
Jika tegangan-tegangan normal tersebut dijumlahkan
p=−
1
(σ xx + σ yy + σ zz )
3
(4.20)
Yang menunjukkan bahwa tekanan merupakan rata-rata negatif dari ketiga
tegangan normal dalam kebanyakan gas, termasuk udara, dan di semua cairan di
mana ∇V
. = 0.
Universitas Sumatera Utara
Jika persamaan (4.19) dimasukkan ke dalam Persamaan (4.16) dengan
2µ
, diperoleh hasil
menggunakan λ = −
3
ρ
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u µ ∂ ∂u ∂v ∂w
Du
∂p
+
= − + µ 2 + 2 + 2 +
+
Dt
∂x
∂y
∂z 3 ∂x ∂x ∂y ∂z
∂x
ρ
∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v µ ∂ ∂u ∂v ∂w
Dv
∂p
+
= − + µ 2 + 2 + 2 +
+
Dt
∂y
∂y
∂z 3 ∂y ∂x ∂y ∂z
∂x
(4.21)
∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w µ ∂ ∂u ∂v ∂w
∂p
Dw
+
− ρg
= − + µ 2 + 2 + 2 +
ρ
+
3
∂z
Dt
z
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
x
y
z
∂
∂
di mana gravitasi bekerja ke arah negatif z dan fluida diasumsikan homogen,
∂µ
sebagai contoh
= 0.
∂x
Akhirnya , jika aliran diasumsikan inkompresibel sehingga ∇V
. = 0 , diperoleh
persamaan-persamaan Navier Stokes
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
∂p
Du
= − + µ 2 + 2 + 2
ρ
∂x
Dt
∂y
∂z
∂x
ρ
∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v
∂p
Dv
= − + µ 2 + 2 + 2
∂x
Dt
∂y
∂z
∂x
ρ
∂2w ∂2w ∂2w
∂p
Dw
= − + µ 2 + 2 + 2 − ρg
∂x
Dt
∂y
∂z
∂x
(4.22)
Di mana arah z adalah vertikal.
Jika diperkenalkan operator skalar yang disebut Laplacian, yang didefinisikan
∇2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
dx 2 dy 2 dz 2
(4.23)
Dan mengulangi langkah-langkah yang menghasilkan Persamaan (4.19) sampai
Persamaan (4.20), persamaan-persamaan Navier Stokes dapat dituliskan dalam
bentuk vektor sebagai
Universitas Sumatera Utara
ρ
Dv
= −∇p + µ∇ 2V + ρg
Dt
4.24
Persamaan Navier-Stokes memodelkan bagaimana suatu fluida itu mengalir
didalam suatu wadah.
4.6
Persamaan Model Campuran
Model campuran (atau model slip aljabar) adalah formulasi yang disederhanakan
dari persamaan aliran multiphase (dua fase). Model campuran terdiri dari
kontinuitas dan persamaan momentum untuk campuran dan persamaan
kontinuitas untuk fase dispersi atau terpisah.
Jika didalam aliran fluida itu terdapat suatu partikel padat yakni yang diasumsikan
adalah lumpur sehingga membentuk sedimentasi, maka ada suatu rangkaian
persamaan baru yang terdapat pada persamaan Navier-Stokes. Persamaan baru
tersebut yakni pengaruh sedimentasi pada aliran fluida yang mengalir pada suatu
wadah.
Diasumsikan ada variabel baru yakni :
�� = massa partikel (solid)
�� = massa air (liquid)
����� = Kecepatan relatif antara fase padat dan cair
Maka,
Dengan cara yang sama seperti menurunkan persamaan kontinuitas diferensial,
didapatlah suatu persamaan yang menjelaskan terkait partikel padat yang terdapat
dalam suatu aliran fluida, yakni:
ρ∇.(m p u slip )((1 − m p )u slip ) = 0
(4.25)
Persamaan (4.25) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) sehingga menjadi:
Universitas Sumatera Utara
ρ
DV
= −∇p − ∇(ρm p (1 − m p )VslipVslip ) + µ∇ 2V + ρg
Dt
(4.26)
dimana:
V
= kecepatan (m/s)
p
= tekanan (Pa)
g
= gravitasi (m/s2)
mp
= massa partikel tak berdimensi
Vslip
= kecepatan relatif antara fase padat dan cair (m/s)
Persamaan disebut dengan persamaan transportasi momentum untuk aliran dua
fase dari suspensi yang bisa menyelesaikan dan menghitung berapa banyak
sedimentasi dalam suatu wadah penampungan air.
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan, memperlihatkan bahwa persoalan di dunia nyata
dapat dimodelkan dengan menggunakan Model Matematika, dalam hal ini yakni
persoalan sedimentasi pada wadah penampungan air di wadah sedimentasi pada
saat pengolahan air bersih. Persoalan tersebut dapat dimodelkan ke dalam bentuk
Matematika, yakni menjadi suatu persamaan yang disebut dengan persamaan
transportasi momentum.
ρ
Persamaan transportasi momentum nya adalah
DV
= −∇p − ∇(ρm p (1 − m p )VslipVslip ) + µ∇ 2V + ρg . Hal ini juga menunjukkan
Dt
bahwa matematika bisa diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari.
5.2 Saran
Penulis menyarankan untuk dapat memodelkan suatu persoalan dengan cara dan
metode lainnya seperti dengan metode persamaan, pertidaksamaan atau fungsi.
Universitas Sumatera Utara
METODE PENELITIAN
3.1 Studi Pendahuluan
Langkah awal dalam penelitian ini adalah mencari dan mengumpulkan sumbersumber seperti: buku, jurnal atau penelitian sebelumnya yang mendukung
penelitian ini.
3.2 Tahapan Analisis
Pada tahap analisis ini dilihat bagaimana proses pengelolahan air bersih secara
menyeluruh dan melihat bagaimana sedimentasi itu terjadi pada wadah
sedimentasi kemudian dimodelkan pada suatu gambar untuik menurunkan
persamaan nya.
3.2.1 Menentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam penelitian ini
Pada tahap ini akan ditentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam
penelitian ini
.
3.2.2 Menentukan kondisi awal dan batas
Untuk persoalan Sedimentasi dalam penelitian ini diasumsikan sebagai
berikut:
1. Diasumsikan sedimentasi adalah lumpur,
2. Efek-efek viskos diabaikan (fluida inviscid/tanpa gesekan),
3. Diasumsikan air mengalir dan tidak berputar, aliran mampu-mampat,
dan aliran laminar,
4. Untuk sifat kohesi dan adhesi tidak diperhatikan.
3.2.3 Memodelkan persoalan tersebut ke dalam bentuk model Matematika
Persoalan sedimentasi tersebut akan dimodelkan dengan model Matematika
khususnya dengan menggunakan Persamaan Diferensial.
Universitas Sumatera Utara
3.3
Membuat Kesimpulan dan Menyusun Laporan Penelitian
Setelah persoalan tersebut dimodelkan ke dalam bentuk Matematika, maka
didapatlah suatu persamaan yang menjelaskan model sedimentasi pada air.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Sedimentasi
Sedimentasi adalah pemisahan solid-liquid menggunakan pegendapan secara
gravitasi untuk menyisihkan suspended-solid. Banyak faktor-faktor yang
mempengaruhi sedimentasi pada air yang nanti nya akan menjadi variabelvariabel yang akan membantu terbentuknya suatu model matematika dalam
bentuk persamaan diferensial parsial.
Dinamika fluida (hidrodinamik) memberi gambaran tentang gerak fluida
dalam bahas ruang tertentu. Untuk dapat menjelaskan tentang gerak fluida maka
gerak ini lebih dahulu harus dapat ditampilkan dalam satu set persamaan
diferensial yang dapat diselesaikan secara analitik maupun numerik.
4.2 Pemodelan Aliran Dua Fase dari Suspensi Padat
Suspensi atau campuran padat-cair penting di berbagai bidang industri,
seperti penyempurnaan minyak dan gas, pembuatan kertas, pengolahan makanan,
transportasi lumpur, dan pengolahan air limbah.
Suspensi adalah campuran partikel padat dan cairan. Dinamika suspensi dapat
dimodelkan dengan persamaan transport momentum untuk campuran. Model
campuran dengan aliran laminar secara otomatis mengatur persamaan yang akan
didapatkan (persamaan 4.26).
4.3 Persamaan Diferensial
Untuk meyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial untuk suatu variabel
dependen,
kondisi-kondisi tertentu diperlukan
yang
berarti variabel
independennya harus ditentukan pada nilai-nilai tertentu dari independenindependen variabel. Jika variabel-variabel independennya berupa koordinatkoordinat ruang yakni kecepatan, kondisi-kondisinya disebut kondisi-kondisi
batas. Jika variabel independennya adalah waktu, kondisi-kondisinya disebut
kondisi-kondisi awal.
Universitas Sumatera Utara
Kondisi batas nya adalah komponen kecepatan ke tegak lurus dalam aliran
tak-kental. Dalam aliran tak-kental di mana viskositas diabaikan, vektor
kecepatan memiliki arah tangensial terhadap perbatasan.
Persamaan-persamaan diferensial ini nanti nya akan diturunkan dengan
menggunakan koordinat-koordinat kartesian.
4.4 Persamaan Kontinuitas Diferensial
Untuk menurunkan persamaan kontinuitas differensial digunakan elemen
infinitesinal. Elemen ini adalah volume kontrol yang kecil di mana aliran fluida
masuk dan keluar. Elemen ini ditunjukkan pada bidang xy dengan kedalaman dz .
Diasumsikan bahwa alirannya hanya pada bidang xy sehingga tidak terjadi aliran
fluida ke arah z . Karna massa dapat berubah di dalam elemen tersebut. Ini
diekspresikan sebagai
ρudydz − ρu +
∂ ( ρu )
dx dydz + ρvdxdz −
∂x
∂
∂ ( ρv)
ρv +
dy dxdz = ( ρdxdydz )
∂t
∂y
(4.1)
di mana ρ diijinkan untuk berubah di sepanjang elemen tersebut. Jika persamaan
di atas disederhanakan , dengan menganggap bahwa volume kontrol elental
tersebut tidak bergerak, diperoleh :
∂ ( ρu ) ∂ ( ρv)
∂ρ
+
=−
∂x
∂y
∂t
(4.2)
Universitas Sumatera Utara
∂ ( ρv)
ρv +
∂y dx dz
∂y
∂ ( ρu )
∂x dy dz
ρu +
∂x
dy
ρu dy dz
dx
ρv dx dz
Gambar 4.1 Volume Kontrol Infinitesimal
Diferensiasikan produk-produknya dan masukan variasi ke arah z . Maka
persamaan kontinuitas diferensialnya dapat dituliskan dalam bentuk
∂u ∂v ∂w
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
= 0
+
+ ρ +
+w
+v
+u
∂z
∂y
∂x
∂t
∂x ∂y ∂z
(4.3)
Keempat suku pertama membentuk derivatif material, yakni
D
∂
∂
∂ ∂
=u +v +w +
Dt
∂x
∂y
∂z ∂t
(4.4)
Sehingga persamaan menjadi :
∂u ∂v ∂w
Dρ
= 0
+
+ ρ +
Dt
∂x ∂y ∂z
(4.5)
yang merupakan bentuk paling umum dari persamaan kontinuitas diferensial
dalam koordinat kartesian.
Universitas Sumatera Utara
Persamaan kontinuitas diferensial ini seringkali dituliskan dengan menggunakan
operator vektor
∇=
∂
∂
∂
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
(4.6)
Sehingga persamaan mengambil bentuk
Dρ
+ ρ∇.∇ = 0
Dt
Di mana vektor kecepatannya adalah
(4.7)
V = ui + vj + wk
Skalar disebut divergens dari vektor kecepatan.
Untuk aliran inkompresibel, densitas partikel fluida tetap konstan, artinya,
Dρ ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
=
+u
+v
+w
=0
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
(4.8)
Jadi densitas tidak harus konstan. Jika densitas nya memang konstan, maka setiap
suku dalam persamaan bernilai 0. Untuk aliran inkompresibel mengharuskan
∂u ∂v ∂w
+
+
= 0 atau ∇V
. =0
∂x ∂y ∂z
4.5
(4.9)
Persamaan Momentum Diferensial
Persamaan diferensial yang diturunkan dari persamaan kontinuitas diferensial
memiliki tiga komponen kecepatan sebagai variabel-variabel dependen untuk
aliran inkompresibel. Jika ada aliran di mana medan kecepatan dan medan
tekanannya tidak diketahui, persamaan momentum diferensial memberikan tiga
persamaan tambahan karna merupakan persamaan kecepatan yang memiliki tiga
komponen. Keempat variabel yang dicari adalah u , v , w dan p jika
menggunakan sistem koordinat kartesian. Keempat persamaan akan memberikan
persamaan-persamaan yang diperlukan dan selanjutnya kondisi-kondisi awal dan
batas memungkinkan penyelesaian permasalahan.
Universitas Sumatera Utara
Untuk mendapatkan suatu persamaan atau model baru dalam permasalahan ini,
yang akan diperhatikan adalah :
Pertama-tama, tegangan eksis di permukaan-permukaan suatu elemen fluida
infinitesimal berbentuk persegi seperti ditunjukkan pada gambar (4.2) untuk
bidang xy. Komponen-komponen tegangan yang sama juga bekerja ke arah z.
Tegangan normal dilambangkan dengan σ dan tegangan geser dengan τ . Ada
sembilan komponen tegangan: σ xx , σ yy , σ zz , τ xy , τ yx , τ xz , τ zx , τ yz dan τ zy . Jika
diambil momen terhadap sumbu x , sumbu y dan sumbu z , masing-masing akan
menunjukkan
τ zx = τ xz
τ yx = τ xy
τ zy = τ yz
(4.10)
Jadi ada enam komponen tegangan yang harus dihubungkan dengan tekanan dan
komponen-komponen kecepatan. Hubungan-hubungan tersebut disebut sebagai
persamaan-persamaan konstitutif .
Selanjutnya, aplikasikan hukum kedua Newton pada elemen dalam Gambar 4.3,
dengan mengasumsikan tidak ada tegangan geser yang bekerja ke arah z dan
bahwa gravitasi bekerja hanya ke arah z :
y
σ yy +
∂σ yy
∂y
dy
τ yx +
∂τ yx
∂y
dy
τ xy +
σ xx
∂τ xy
∂x
dx
dy
σ xx +
τ xy
∂σ xx
dx
∂x
dx
τ yx
σ yy
x
Gambar 4.2 Komponen-komponen tegangan yang saling tegak lurus pada sebuah
elemen cairan
Universitas Sumatera Utara
∂τ xy
∂σ xx
dx dydz − σ xx dydz + τ xy +
dy dxdz − τ xy dxdz =
σ xx +
∂x
∂y
Du
ρdxdydz
Dt
∂σ yy
∂τ xy
σ yy +
dy dxdz − σ yy dxdz + τ xy +
dx dydz − τ xy dydz =
∂y
∂x
Dv
ρdxdydz
Dt
(4.11)
(4.12)
Disederhanakan menjadi :
∂σ xx ∂τ xy
Du
=ρ
+
∂y
∂x
Dt
∂σ yy
(4.13)
∂τ xy
Dv
=ρ
+
∂x
∂y
Dt
Jika komponen-komponen arah z dimasukkan, persamaan-persamaan
diferensialnya menjadi
∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz
Du
+
+
=ρ
∂x
∂y
∂z
Dt
∂σ yy
∂τ xy
∂τ xz
Dv
=ρ
∂x
∂y
∂z
Dt
∂σ zz ∂τ xz ∂τ yz
Dw
+
− ρg = ρ
+
∂z
∂y
∂x
Dt
+
+
(4.14)
Dengan mengasumsikan bahwa suku gravitasi ρgdxdydz bekerja ke arah negatif
z.
Dalam banyak aliran, efek-efek kekentalan yang menimbulkan tegangan geser
dapat diabaikan dengan tegangan normal merupakan negatif dari tekanan. Untuk
aliran-aliran tak-kental semacam itu, persamaan (sebelumnya) mengambil bentuk
ρ
Du
∂p
=−
Dt
∂x
(4.15)
Universitas Sumatera Utara
Dv
∂p
=−
Dt
∂y
Dw
∂p
=−
ρ
− ρg
∂z
Dt
ρ
Dalam bentuk vektor, ini menjadi Persamaan :
ρg
Dv
= −∇p − ρgk
Dt
(4.16)
Yang berlaku untuk aliran-aliran tak kental. Untuk aliran tunak dengan densitas
konstan.
Persamaan-persamaan konstitutif menghubungkan tegangan dengan medan
kecepatan dan tekanan; persamaan-persamaan tersebut tidak diturunkan akan
tetapi dirumuskan melalui pengamatan-pengamatan di Laboratorium.
Untuk suatu fluida Newtonian isotropik, perumusannya adalah
∂u
∂v
σ xx = − p + 2µ
∂u
+ λ∇.V
∂x
τ xy = µ +
∂y ∂x
(4.17)
σ yy = − p + 2µ
∂v
+ λ∇.V
∂y
τ xz = µ
∂u ∂w
+
∂z ∂x
(4.18)
σ zz = − p + 2µ
∂w
+ λ∇.V
∂x
τ yz = µ +
∂z ∂y
∂v
∂w
(4.19)
Untuk kebanyakan gas, hipotesis Stokes dapat digunakan sehingga
Jika tegangan-tegangan normal tersebut dijumlahkan
p=−
1
(σ xx + σ yy + σ zz )
3
(4.20)
Yang menunjukkan bahwa tekanan merupakan rata-rata negatif dari ketiga
tegangan normal dalam kebanyakan gas, termasuk udara, dan di semua cairan di
mana ∇V
. = 0.
Universitas Sumatera Utara
Jika persamaan (4.19) dimasukkan ke dalam Persamaan (4.16) dengan
2µ
, diperoleh hasil
menggunakan λ = −
3
ρ
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u µ ∂ ∂u ∂v ∂w
Du
∂p
+
= − + µ 2 + 2 + 2 +
+
Dt
∂x
∂y
∂z 3 ∂x ∂x ∂y ∂z
∂x
ρ
∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v µ ∂ ∂u ∂v ∂w
Dv
∂p
+
= − + µ 2 + 2 + 2 +
+
Dt
∂y
∂y
∂z 3 ∂y ∂x ∂y ∂z
∂x
(4.21)
∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w µ ∂ ∂u ∂v ∂w
∂p
Dw
+
− ρg
= − + µ 2 + 2 + 2 +
ρ
+
3
∂z
Dt
z
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
x
y
z
∂
∂
di mana gravitasi bekerja ke arah negatif z dan fluida diasumsikan homogen,
∂µ
sebagai contoh
= 0.
∂x
Akhirnya , jika aliran diasumsikan inkompresibel sehingga ∇V
. = 0 , diperoleh
persamaan-persamaan Navier Stokes
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
∂p
Du
= − + µ 2 + 2 + 2
ρ
∂x
Dt
∂y
∂z
∂x
ρ
∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v
∂p
Dv
= − + µ 2 + 2 + 2
∂x
Dt
∂y
∂z
∂x
ρ
∂2w ∂2w ∂2w
∂p
Dw
= − + µ 2 + 2 + 2 − ρg
∂x
Dt
∂y
∂z
∂x
(4.22)
Di mana arah z adalah vertikal.
Jika diperkenalkan operator skalar yang disebut Laplacian, yang didefinisikan
∇2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
dx 2 dy 2 dz 2
(4.23)
Dan mengulangi langkah-langkah yang menghasilkan Persamaan (4.19) sampai
Persamaan (4.20), persamaan-persamaan Navier Stokes dapat dituliskan dalam
bentuk vektor sebagai
Universitas Sumatera Utara
ρ
Dv
= −∇p + µ∇ 2V + ρg
Dt
4.24
Persamaan Navier-Stokes memodelkan bagaimana suatu fluida itu mengalir
didalam suatu wadah.
4.6
Persamaan Model Campuran
Model campuran (atau model slip aljabar) adalah formulasi yang disederhanakan
dari persamaan aliran multiphase (dua fase). Model campuran terdiri dari
kontinuitas dan persamaan momentum untuk campuran dan persamaan
kontinuitas untuk fase dispersi atau terpisah.
Jika didalam aliran fluida itu terdapat suatu partikel padat yakni yang diasumsikan
adalah lumpur sehingga membentuk sedimentasi, maka ada suatu rangkaian
persamaan baru yang terdapat pada persamaan Navier-Stokes. Persamaan baru
tersebut yakni pengaruh sedimentasi pada aliran fluida yang mengalir pada suatu
wadah.
Diasumsikan ada variabel baru yakni :
�� = massa partikel (solid)
�� = massa air (liquid)
����� = Kecepatan relatif antara fase padat dan cair
Maka,
Dengan cara yang sama seperti menurunkan persamaan kontinuitas diferensial,
didapatlah suatu persamaan yang menjelaskan terkait partikel padat yang terdapat
dalam suatu aliran fluida, yakni:
ρ∇.(m p u slip )((1 − m p )u slip ) = 0
(4.25)
Persamaan (4.25) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) sehingga menjadi:
Universitas Sumatera Utara
ρ
DV
= −∇p − ∇(ρm p (1 − m p )VslipVslip ) + µ∇ 2V + ρg
Dt
(4.26)
dimana:
V
= kecepatan (m/s)
p
= tekanan (Pa)
g
= gravitasi (m/s2)
mp
= massa partikel tak berdimensi
Vslip
= kecepatan relatif antara fase padat dan cair (m/s)
Persamaan disebut dengan persamaan transportasi momentum untuk aliran dua
fase dari suspensi yang bisa menyelesaikan dan menghitung berapa banyak
sedimentasi dalam suatu wadah penampungan air.
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan, memperlihatkan bahwa persoalan di dunia nyata
dapat dimodelkan dengan menggunakan Model Matematika, dalam hal ini yakni
persoalan sedimentasi pada wadah penampungan air di wadah sedimentasi pada
saat pengolahan air bersih. Persoalan tersebut dapat dimodelkan ke dalam bentuk
Matematika, yakni menjadi suatu persamaan yang disebut dengan persamaan
transportasi momentum.
ρ
Persamaan transportasi momentum nya adalah
DV
= −∇p − ∇(ρm p (1 − m p )VslipVslip ) + µ∇ 2V + ρg . Hal ini juga menunjukkan
Dt
bahwa matematika bisa diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari.
5.2 Saran
Penulis menyarankan untuk dapat memodelkan suatu persoalan dengan cara dan
metode lainnya seperti dengan metode persamaan, pertidaksamaan atau fungsi.
Universitas Sumatera Utara