Pemodelan Proses Sedimentasi Pada Air
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI
PADA AIR
SKRIPSI
INDRI ZULMISEFNIDES
130803025
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI
PADA AIR
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
INDRI ZULMISEFNIDES
130803025
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Pemodelan Proses Sedimentasi Pada Air
: Skripsi
: Indri Zulmisefnides
: 130803025
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, 30 Mei 2017
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Sawaluddin, M.IT
NIP. 19591231 199802 1 001
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Suyanto, M.Kom
NIP. 19590813 198601 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI
PADA AIR
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 30 Mei 2017
Indri Zulmisefnides
130803025
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya serta memberikan banyak kemudahan
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pemodelan Proses
Sedimentasi Pada Air. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah
Shallallahu ‘Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat, dan orang-orang yang
mengikutinya.
Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku
pembimbing 1 yang banyak berjasa kepada penulis dimana beliau telah
meluangkan waktu dan pikirannya, memberikan pengarahan, saran dan kritik
terkait penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada bapak Dr. Sawaluddin, M.IT
selaku pembimbing 2 yang juga telah meluangkan waktu, pikiran dan saran untuk
perbaikan skripsi ini.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada kedua orang tua
Zulmifriadi dan Desmiati atas do’a dan dukungannya kepada penulis baik secara
moril ataupun materi. Terima kasih kepada teman-teman seperjuangan di
Matematika yang sudah meluangkan waktu dan pikirannya untuk memberikan
nasihat dan selalu memotivasi penulis, kepada teman-teman di UKMI ALFALAK yang selalu memberikan motivasi dan mendo’akan penulis.
Terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Drs. Ujian Sinulingga,
M.Si selaku penguji 1 dan bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku
penguji 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun
saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis.
Terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Dr. Suyanto, M.Kom
selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU, bapak Drs. Rosman Siregar,
M.Si selaku Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU, seluruh dosen
Matematika USU yang telah membagikan ilmu kepada penulis selama masa
perkuliahan, Dekan dan Wakil Dekan FMIPA USU, serta seluruh staf administrasi
FMIPA USU.
Terima kasih juga penulis ucapkan kepada teman-teman yang telah
memberikan do’a dan motivasi kepada penulis dalam mengerjakan skripsi.
Semoga Tuhan memberikan balasan kebaikan atas segala bantuan yang telah
semua berikan kepada penulis.
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI
PADA AIR
ABSTRAK
Proses sedimentasi terjadi pada wadah penampungan air. Pada proses sedimentasi
tersebut akan diamati bagaimana aliran fluida terjadi dan bagaimana sedimentasi
terjadi pada air. Adapun sedimentasi tersebut dipengaruhi oleh massa jenis air dan
kecepatan air pada wadah penampungan air.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana memodelkan campuran
partikel padat dan cair (suspensi) pada wadah penampungan air dengan cara
memodelkannya ke dalam bentuk Matematika yakni dengan menggunakan
persamaan diferensial.
Dalam hal ini, faktor-faktor yang mempengaruhi distribusi konsentrasi lumpur
tersebut akan dijadikan acuan untuk memodelkan persamaan Matematika
selanjutnya akan diselesaikan menggunakan persamaan diferensial.
Hasil dari penelitian ini akan memperlihatkan bahwa model persamaan
campuran partikel padat dan cair (suspensi) yang selanjutnya persamaan tersebut
disebut persamaan transportasi momentum.
Kata kunci: Suspensi, sedimentasi, model matematika, persamaan diferensial,
persamaan transportasi momentum.
Universitas Sumatera Utara
SEDIMENTATION PROCESS MODELLING
ON WATER
ABSTRACT
Sedimentation process occurs in container of water reservoir. In the sedimentation
process will be observed how the fluid flow occurs and how sedimentation occurs
in water. The sedimentation is influenced by the density of the water type and the
speed of water in the container of water reservoir.
This study aims to find out how to model the mixture of solid and liquid
particles (suspension) on the container of water by way of modeling it into a
Mathematical form that is by using differential equations.
In this case, the factors affecting the distribution of the sludge concentration
will be used as a reference for modeling the mathematical equations will then be
solved using differential equations.
The results of this study will show that the equation model of mixed solid and
liquid particles (suspension), which then is called the momentum transport
equation.
Keywords:
Suspension,
sediment,
mathematical Modelling
,
persamaan
differential equation, momentum transport equation.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTARGAMBAR
DAFTAR ISTILAH
BAB 1.
BAB 2.
BAB 3.
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian
1.6. Metodologi Penelitian
1.7. Kerangka Penelitian
1
2
6
6
6
6
7
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Perusahaan Daerah Air Minum
2.2. Mekanika Fluida
2.3. Klasifikasi Aliran
2.3.1 Aliran-aliran Seragam, Satu, Dua dan Tiga
Dimensi
2.3.2 Aliran-aliran Kental (Viscous) dan tak-kental
(Inviscid)
2.3.3 Aliran-aliran Laminar dan Turbulen
2.3.4 Aliran-aliran Inkompresibel dan Kompresibel
2.4. Sedimentasi
2.5. Faktor-faktor yang mempengaruhi sedimentasi
2.6. Model Matematika
2.6.1 Siklus Pemodelan
2.6.1 Metode-metode Kualitatif
2.7. Persamaan Diferensial
2.7.1 Persamaan Diferensial Biasa
2.7.2 Persamaan Diferensial Parsial
2.8. Pergerakan Fluida
2.8.1 Deskripsi Lagrangian dan Eulerian
2.8.2 Percepatan
METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Studi Pendahuluan
3.2. Tahap Analisis
8
9
10
10
10
11
11
12
12
15
15
15
16
17
17
17
17
18
21
21
Universitas Sumatera Utara
3.2.1
3.3.
BAB 4.
BAB 5.
Menentukan faktor-faktor yang akan
digunakan dalam penelitian ini
3.2.2 Menetukan kondisi awal dan batas
3.2.3 Memodelkan persoalan tersebut ke dalam
bentuk Matematika
Membuat Kesimpulan dan Menyusun laporan
penelitian
21
22
22
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Sedimentasi
4.2. Pemodelan Aliran Dua Fase dari Suspensi Padat
4.3. Persamaan Diferensial
4.4. Persamaan Kontinuitas Diferensial
4.5. Persamaan Momentum Diferensial
4.6. Persamaan Model Campuran
23
23
23
24
26
31
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
33
33
DAFTAR PUSTAKA
34
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
1.1
1.2
1.3
4.1
4.2
Judul
Halaman
Proses Pengolahan Air Bersih
Proses Sedimentasi
Mekanisme pergerakan partikel dalam Fluida
Volume Kontrol Infinitesimal
Komponen-komponen tegangan yang saling tegak lurus
pada sebuah elemen cairan
1
2
5
24
26
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISTILAH
Compresssible fluid
Deformasi
Fluida
Fluida Newtonian
:
:
:
:
Gaya kohesi
:
Gaya
:
Incompressible fluid
Densitas
Steady flow
:
:
:
Unsteady flow
:
Viskositas
Viskositas dinamik
:
:
Viskositas kinematik
:
Volume atur
:
Infinitesimal
:
Isotropik
: suatu fluida isotropik memiliki properti-properti yang
independen terhadap arah di suatu titik
: fluida homogen memiliki properti-properti yang
independen terhadap posisi
Homogen
fluida mampu-mampat
perubahan posisi fluida terhadap ruang dan waktu
suatu zat yang dapat mengalir
fluida yang menunjukkan hubungan linier antara
tegangan geser dan gradien kecepatan. Contoh: air,
udara, dan minyak.
gaya tarik menarik antara partikel-partikel yang
sejenis
tarikan atau dorongan yang terjadi terhadap suatu
benda
fluida tak mampu-mampat
massa fluida per satuan volume
aliran tunak, kecepatannya pada suatu titik di dalam
ruang tidak bervariasi menurut waktu
aliran tak-tunak, kecepatannya bervariasi menurut
waktu
ketahanan internal suatu fluida untuk mengalir
sifat fluida yang menghubungkan tegangan geser
dengan gerakan fluida
perbandingan antara viskositas dinamik dengan
kerapatan fluida
sebuah volume di dalam ruang yang dapat dilalui oleh
fluida
sangat kecil
Universitas Sumatera Utara
PADA AIR
SKRIPSI
INDRI ZULMISEFNIDES
130803025
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI
PADA AIR
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
INDRI ZULMISEFNIDES
130803025
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Pemodelan Proses Sedimentasi Pada Air
: Skripsi
: Indri Zulmisefnides
: 130803025
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, 30 Mei 2017
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Sawaluddin, M.IT
NIP. 19591231 199802 1 001
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Suyanto, M.Kom
NIP. 19590813 198601 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI
PADA AIR
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 30 Mei 2017
Indri Zulmisefnides
130803025
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya serta memberikan banyak kemudahan
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pemodelan Proses
Sedimentasi Pada Air. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah
Shallallahu ‘Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat, dan orang-orang yang
mengikutinya.
Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku
pembimbing 1 yang banyak berjasa kepada penulis dimana beliau telah
meluangkan waktu dan pikirannya, memberikan pengarahan, saran dan kritik
terkait penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada bapak Dr. Sawaluddin, M.IT
selaku pembimbing 2 yang juga telah meluangkan waktu, pikiran dan saran untuk
perbaikan skripsi ini.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada kedua orang tua
Zulmifriadi dan Desmiati atas do’a dan dukungannya kepada penulis baik secara
moril ataupun materi. Terima kasih kepada teman-teman seperjuangan di
Matematika yang sudah meluangkan waktu dan pikirannya untuk memberikan
nasihat dan selalu memotivasi penulis, kepada teman-teman di UKMI ALFALAK yang selalu memberikan motivasi dan mendo’akan penulis.
Terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Drs. Ujian Sinulingga,
M.Si selaku penguji 1 dan bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku
penguji 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun
saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis.
Terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Dr. Suyanto, M.Kom
selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU, bapak Drs. Rosman Siregar,
M.Si selaku Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU, seluruh dosen
Matematika USU yang telah membagikan ilmu kepada penulis selama masa
perkuliahan, Dekan dan Wakil Dekan FMIPA USU, serta seluruh staf administrasi
FMIPA USU.
Terima kasih juga penulis ucapkan kepada teman-teman yang telah
memberikan do’a dan motivasi kepada penulis dalam mengerjakan skripsi.
Semoga Tuhan memberikan balasan kebaikan atas segala bantuan yang telah
semua berikan kepada penulis.
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI
PADA AIR
ABSTRAK
Proses sedimentasi terjadi pada wadah penampungan air. Pada proses sedimentasi
tersebut akan diamati bagaimana aliran fluida terjadi dan bagaimana sedimentasi
terjadi pada air. Adapun sedimentasi tersebut dipengaruhi oleh massa jenis air dan
kecepatan air pada wadah penampungan air.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana memodelkan campuran
partikel padat dan cair (suspensi) pada wadah penampungan air dengan cara
memodelkannya ke dalam bentuk Matematika yakni dengan menggunakan
persamaan diferensial.
Dalam hal ini, faktor-faktor yang mempengaruhi distribusi konsentrasi lumpur
tersebut akan dijadikan acuan untuk memodelkan persamaan Matematika
selanjutnya akan diselesaikan menggunakan persamaan diferensial.
Hasil dari penelitian ini akan memperlihatkan bahwa model persamaan
campuran partikel padat dan cair (suspensi) yang selanjutnya persamaan tersebut
disebut persamaan transportasi momentum.
Kata kunci: Suspensi, sedimentasi, model matematika, persamaan diferensial,
persamaan transportasi momentum.
Universitas Sumatera Utara
SEDIMENTATION PROCESS MODELLING
ON WATER
ABSTRACT
Sedimentation process occurs in container of water reservoir. In the sedimentation
process will be observed how the fluid flow occurs and how sedimentation occurs
in water. The sedimentation is influenced by the density of the water type and the
speed of water in the container of water reservoir.
This study aims to find out how to model the mixture of solid and liquid
particles (suspension) on the container of water by way of modeling it into a
Mathematical form that is by using differential equations.
In this case, the factors affecting the distribution of the sludge concentration
will be used as a reference for modeling the mathematical equations will then be
solved using differential equations.
The results of this study will show that the equation model of mixed solid and
liquid particles (suspension), which then is called the momentum transport
equation.
Keywords:
Suspension,
sediment,
mathematical Modelling
,
persamaan
differential equation, momentum transport equation.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTARGAMBAR
DAFTAR ISTILAH
BAB 1.
BAB 2.
BAB 3.
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian
1.6. Metodologi Penelitian
1.7. Kerangka Penelitian
1
2
6
6
6
6
7
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Perusahaan Daerah Air Minum
2.2. Mekanika Fluida
2.3. Klasifikasi Aliran
2.3.1 Aliran-aliran Seragam, Satu, Dua dan Tiga
Dimensi
2.3.2 Aliran-aliran Kental (Viscous) dan tak-kental
(Inviscid)
2.3.3 Aliran-aliran Laminar dan Turbulen
2.3.4 Aliran-aliran Inkompresibel dan Kompresibel
2.4. Sedimentasi
2.5. Faktor-faktor yang mempengaruhi sedimentasi
2.6. Model Matematika
2.6.1 Siklus Pemodelan
2.6.1 Metode-metode Kualitatif
2.7. Persamaan Diferensial
2.7.1 Persamaan Diferensial Biasa
2.7.2 Persamaan Diferensial Parsial
2.8. Pergerakan Fluida
2.8.1 Deskripsi Lagrangian dan Eulerian
2.8.2 Percepatan
METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Studi Pendahuluan
3.2. Tahap Analisis
8
9
10
10
10
11
11
12
12
15
15
15
16
17
17
17
17
18
21
21
Universitas Sumatera Utara
3.2.1
3.3.
BAB 4.
BAB 5.
Menentukan faktor-faktor yang akan
digunakan dalam penelitian ini
3.2.2 Menetukan kondisi awal dan batas
3.2.3 Memodelkan persoalan tersebut ke dalam
bentuk Matematika
Membuat Kesimpulan dan Menyusun laporan
penelitian
21
22
22
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Sedimentasi
4.2. Pemodelan Aliran Dua Fase dari Suspensi Padat
4.3. Persamaan Diferensial
4.4. Persamaan Kontinuitas Diferensial
4.5. Persamaan Momentum Diferensial
4.6. Persamaan Model Campuran
23
23
23
24
26
31
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
33
33
DAFTAR PUSTAKA
34
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
1.1
1.2
1.3
4.1
4.2
Judul
Halaman
Proses Pengolahan Air Bersih
Proses Sedimentasi
Mekanisme pergerakan partikel dalam Fluida
Volume Kontrol Infinitesimal
Komponen-komponen tegangan yang saling tegak lurus
pada sebuah elemen cairan
1
2
5
24
26
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISTILAH
Compresssible fluid
Deformasi
Fluida
Fluida Newtonian
:
:
:
:
Gaya kohesi
:
Gaya
:
Incompressible fluid
Densitas
Steady flow
:
:
:
Unsteady flow
:
Viskositas
Viskositas dinamik
:
:
Viskositas kinematik
:
Volume atur
:
Infinitesimal
:
Isotropik
: suatu fluida isotropik memiliki properti-properti yang
independen terhadap arah di suatu titik
: fluida homogen memiliki properti-properti yang
independen terhadap posisi
Homogen
fluida mampu-mampat
perubahan posisi fluida terhadap ruang dan waktu
suatu zat yang dapat mengalir
fluida yang menunjukkan hubungan linier antara
tegangan geser dan gradien kecepatan. Contoh: air,
udara, dan minyak.
gaya tarik menarik antara partikel-partikel yang
sejenis
tarikan atau dorongan yang terjadi terhadap suatu
benda
fluida tak mampu-mampat
massa fluida per satuan volume
aliran tunak, kecepatannya pada suatu titik di dalam
ruang tidak bervariasi menurut waktu
aliran tak-tunak, kecepatannya bervariasi menurut
waktu
ketahanan internal suatu fluida untuk mengalir
sifat fluida yang menghubungkan tegangan geser
dengan gerakan fluida
perbandingan antara viskositas dinamik dengan
kerapatan fluida
sebuah volume di dalam ruang yang dapat dilalui oleh
fluida
sangat kecil
Universitas Sumatera Utara