BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real - BAB II NURWIYATI MTK'13
BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real R adalah himpunan bilangan real yang disertai
dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu (Martono, 1999). Sistem bilangan real dinotasikan dengan R . Untuk lebih lanjut akan dimulai dengan mengangkat sifat dasar dari bilangan real.
Definisi II.A.1
Sistem bilangan real R adalah suatu sistem aljabar yang terhadap operasi jumlahan (+) dan operasi perkalian ( . ) mempunyai sifat
- – sifat sebagai berikut
1. R merupakan grup komutatif terhadap operasi jumlahan (+)
2. R merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian ( . )
3. Untuk setiap x , y , z R berlaku x .( y z ) x . y x . z (Darmawijaya, 2006)
Definisi II.A.2 x ditulis x dan didefinisikan sebagai berikut: R
Harga mutlak ,
≥ 0 =
− , < 0
1. Untuk setiap bilangan real x berlaku
a. x
x x b.
5 c.
x x x d. 2 2 2 x x x
5. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku a.
2 2 2
3
2
4
5
3
(Martono, 1999) Contoh: Jika 2 x , buktikan
y y x y x
b. ,
y x xy
d. y x y x
2. Untuk setiap bilangan real x dan
c. y x y x
b. y x y x
a. y x y x
4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku
a x a x
b. a x a x atau 2 2
a x a x a a x
, maka a. 2 2
3. Jika a
y x y x y x b. x y y x
berlaku a. 2 2
y
x x x x Penyelesaian: Karena penyebut bentuk pecahannya definit positif dengan 2 2
1
1 . x x x , maka
2 4 1
3
3
2
x x 2 4
3 Ini mengakibatkan 2 x
2 x
3
1 2
1 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x
3
x
2 x 4 x 2 x
4 2
3
x
2 Untuk , ditentukan batas dari x x 2 2 2 3 .
x 2 x 3 x 1
4 Dengan menggunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan, diperoleh
x
2 2 x
2 3 x 1 2
1
x
1
2
9 4 x 2
1
4
5
5 2 4 x 2 x
3
5 x x 2 3
5 Dengan menggunakan hasil di atas, 2 x x
2
3
1 2
1
5 2 x 2 x 3 . 5 . █
x
2 x
4
3
3
3
B. Himpunan Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika.
Setiap cabang matematika berkaitan erat dan termasuk di dalam (menjadi bagian) teori himpunan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai himpunan terbatas, himpunan bilangan real, serta himpunan terbuka dan tertutup.
Himpunan adalah kumpulan obyek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Obyek
- – obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit
- – atau benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek obyek ini disebut anggota atau elemen dari himpunan itu.
(Theresia, 1989) Contoh:
a. Kumpulan orang kaya Kumpulan ini bukan suatu himpunan. Tetapi kumpulan orang yang kekayaannya melebihi satu trilyun rupiah adalah suatu himpunan.
b. Kumpulan negara
- – negara Asia Tenggara Kumpulan ini merupakan suatu himpunan.
1. Himpunan Terbatas
Di bawah ini akan dibahas lebih lanjut mengenai definisi urutan, himpunan terurut dan himpunan terbatas.
Definisi II.B.1.1
Diberikan himpunan S. Suatu urutan pada himpunan S adalah suatu relasi, yang dinyatakan dengan <, dengan dua sifat berikut:
x dan S
i. Jika y S maka satu dan hanya satu diantara tiga pernyataan berikut yang benar
x y x y y x atau atau x y x y y z
ii. Jika , z , dan jika S dan , maka x z
,
(Soemantri, 2000)
Definisi II.B.1.2
Jika pada suatu himpunan S telah didefinisikan suatu urutan, maka S dinamakan himpunan terurut.
(Soemantri, 2000)
Definisi II.B.1.3 A R
a. Himpunan dan A dikatakan terbatas ke atas (upper
bound ) jika ada bilangan nyata k sehingga berlaku a , untuk k
setiap a ; k disebut batas atas (upper bound) himpunan A. A
A R
b. Himpunan dan A dikatakan terbatas ke bawah (lower
bound ) jika ada bilangan nyata l sehingga berlaku l , untuk a
setiap a ; l disebut batas bawah (lower bound) himpunan A. A
A R
c. Himpunan dan A dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.
(Darmawijaya, 2006) Contoh:
A R dengan A
3 , 4 , 5 , 7 ,
8
Apakah A terbatas?
Penyelesaian:
3
4
5
7
8 Gambar II.1 Anggota Himpunan A
p 8 x A , x 8 A terbatas ke atas. 8 merupakan batas atas A.
q 3 x A , x
3 A terbatas ke bawah. 3 merupakan batas bawah A.
A terbatas.
Definisi II.B.1.4
Jika S suatu himpunan terurut, dan A . Himpunan A terbatas ke S atas dan terdapat suatu elemen p S yang memenuhi sifat – sifat berikut a. p adalah suatu batas atas A
b. jika u < p maka u bukan batas atas A maka elemen p ini disebut batas atas terkecil atau supremum
himpunan A dan diberikan notasi p SupA (Soemantri, 2000)
Definisi II.B.1.5
Jika S suatu himpunan terurut, dan A . Himpunan A terbatas ke S bawah dan terdapat suatu elemen q S yang memenuhi sifat – sifat berikut: a. q adalah suatu bawah atas A
b. jika v > q maka v bukan bawah atas A maka elemen q ini disebut batas atas terkecil atau infimum himpunan
A dan diberikan notasi q = inf A.
Contoh:
F
1 , 2 , 5 , 8 ,
9
F terbatas ke atas, karena
9 R sehingga x F x . Batas atas F
,
9
tidak tunggal. p R p merupakan batas atas F. Karena 9
,
9
merupakan batas atas paling kecil, maka 9 = Sup .
F
juga terbatas ke bawah, karena 1 R sehingga x F , x 1 .
Batas batas F juga tidak tunggal. q R , q
1 merupakan batas bawah F
. Karena –1 merupakan batas bawah paling besar, maka −1 = Inf .
2. Himpunan Bilangan Real
Himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertaksamaan tertentu dikenal sebagai selang (interval) hingga dan selang tak hingga. Selang hingga adalah himpunan bagian dari R yang terbatas di atas dan di bawah, sedangkan selang tak hingga tidak terbatas di atas atau tidak terbatas di bawah. Di bawah ini diberikan definisi selang sebagai himpunan titik dan gambarnya pada garis bilangan.
a. ( a , b ) x R : a x b disebut selang terbuka
b. [ a , b ] x R : a x b disebut selang tertutup
( a , b ] x R : a x b
c. disebut selang tertutup di kanan atau selang terbuka di kiri.
d. [ a , b ) x R : a x b disebut selang tertutup di kiri atau selang
terbuka di kanan.
Untuk selang tak hingga diperlukan lambang dan , yang memenuhi x relasi urutan untuk setiap bilangan real x. Berdasarkan ini lambang digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan
real (membesar tanpa batas) dan lambang digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real (mengecil tanpa batas).
a. a x R x a disebut selang terbuka
( , ) { : }
b. a x R x a disebut selang tertutup di kiri atau terbuka di
[ , ) { : }
kanan
c. ( , b ) { x R : x b } disebut selang terbuka
d. ( , b ] { x R : x b } disebut selang tertutup di kanan atau di terbuka di kiri
e. ( ) , R (Martono, 1999) 3.
Himpunan Terbuka dan Tertutup
Di bawah ini akan diberikan definisi ruang metrik, persekitaran, titik limit, titik interior, himpunan terbuka dan himpunan tertutup.
Definisi II.B.3.1
Ruang metrik
X , d adalah himpunan tak kosong X yang elemen
- – elemennya disebut titik yang diperlengkapi dengan fungsi bernilai
X
X
real d yang didefinisikan pada sedemikian sehingga untuk setiap x, y dan z di dalam X, dipenuhi: a. d x , y ;
x y
b. d x , y , jika dan hanya jika ;
c. d x , y d y , x ;
d. d x , y d x , z d z , y .
Fungsi d yang memenuhi keempat sifat di atas dinamakan jarak atau metrik pada X.
Definisi II.B.3.2 X , d r
Diberikan p
X dan , maka
ruang metrik. Jika
N p x
X d x p r
himpunan : , disebut persekitaran r (neighborhood) titik p dengan jari – jari r.
Definisi II.B.3.3 X , d
Diberikan ruang metrik, himpunan A
X dan titik p X .
a. p disebut titik limit (limit point, cluster point) himpunan A jika untuk setiap bilangan r berlaku N p A p . r b. p disebut titik dalam (interior point) himpunan A jika ada bilangan r sehingga N p . A r (Soemantri, 2000)
Definisi II.B.3.4
Diberikan ruang metrik
X , d .
A
X
a. Himpunan merupakan himpunan terbuka jika setiap anggota A merupakan titik dalam A.
b. Himpunan A
X merupakan himpunan tertutup jika A memuat semua titik limitnya.
(Soemantri, 2000) C.
Fungsi
Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai f (x) dari himpunan kedua. Pada bagian ini dibicarakan mengenai fungsi komposisi, fungsi aljabar, fungsi transenden dan fungsi terbatas.
(Varberg, dkk, 1993)
Definisi II.C
Diberikan A B R fungsi f A B
, :
adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap unsur x dengan tepat satu unsur A y B . Unsur y yang berkaitan dengan unsur x ini diberi lambang y f yang
(x )
terdefinisi pada himpunan A. Dalam hal ini x dinamakan peubah bebas, dan y yang nilainya bergantung dari x dinamakan peubah tak bebas.
Terdapat suatu fungsi y f ( x ), x A , maka daerah asal fungsi f adalah
himpunan A, ditulis A D , dan daerah nilai fungsi f adalah himpunan f
R { f ( x ) : x A D } . Unsur f ( x ) B dinamakan nilai fungsi f di x. f f
Jika diketahui hanya y f (x ) , maka daerah asal dan daerah nilai fungsi
f adalah D x R f x R dan R f x x A D
f f f
{ : ( ) } { ( ) : }R R R R
D f R f D f R f x f (x ) x f (x )
Gambar II.2 Diagram Panah Fungsi
y f x 1.
Fungsi Komposisi Definisi II.C.1.1
Fungsi komposisi dari g dan f (f dilanjutkan g), ditulis g f adalah suatu fungsi yang daerah asalnya himpunan bagian dari D dan f
aturannya ditentukan oleh ( g f )( x ) g ( f ( x )) . Daerah asal dan daerah nilai fungsi adalah D x D f x D dan
g f { : ( ) } g f f g
R { y R : y g ( t ), t R } g f g f
R R R
g f D R g
D f R f g f g x g ( f ( x )) f
(x ) R g f g f
D g f R D f g
Gambar II.3 Diagram Panah fungsi
f
(Martono,1999) 2.
Fungsi Aljabar
Fungsi aljabar merupakan fungsi yang diperoleh dari berhingga operasi
y x
aljabar atas fungsi konstan y k dan fungsi kesatuan . Operasi aljabar yang dilakukan terhadap kedua fungsi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan dan penarikan akar ke-n, n = 2,3,....
(Martono, 1999) Fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pecahan linear atau kuadrat, dan fungsi trigonometri semuanya merupakan fungsi aljabar.
3. Fungsi Transenden
Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan y = x.
(Martono,1999) Fungsi transenden terdiri dari fungsi
- – fungsi berikut: x
a
a. Fungsi eksponensial, didefinisikan oleh y a , untuk dan
a
1 , x . R x Jika a = e, maka y e fungsi tersebut yang disebut sebagai fungsi eksponen natural. a y
b. Fungsi logaritma, dinyatakan oleh y log x x a , a e 1 & x > 0.
Jika a = e, maka y log x y ln x fungsi tersebut yang disebut sebagai fungsi logaritma natural.
c. Fungsi trigonometri 1) y f x x
( ) sin
2) y f x x
( ) cos
3) y f x x
( ) tan
4) y f x x
( ) cot
5) y f x x
( ) csc
6) y f x x
( ) sec
d. Fungsi invers trigonometri
1 x y y x x
1) sin sin ,
2
2
1
2) x cos y y cos x , x
2
1 x y y x x
3) tan tan ,
2
2
1
4) x sec y y sec x , x & x
2 e. Fungsi Hiperbolik x x
e e
1) sinh x x x
2
e e
2) cosh x
2
sinh x
3) x
tanh cosh x x cosh
4) coth x
sinh x
1
5)
ℎ
cosh x
1
6) csch
sinh x
(Varberg, dkk, 2010) 4.
Fungsi Terbatas Definisi II.C.4.1
Fungsi f dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sehingga f ( x ) M
untuk setiap x D f (Martono, 1999)
Definisi II.C.4.2
Fungsi f dikatakan tidak terbatas jika untuk sebarang M > 0 terdapat
f ( x ) M x D sehingga . f Contoh:
a. Fungsi x x f
(Martono, 1999)
L x f c x ) ( .
) jika
) ( bila c x
) ( lim atau L x f
L x f c x
Diberikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Limit fungsi f di c adalah L (ditulis
R .
Di bawah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai limit fungsi di R, 2 R dan n
1 ) ( .
2
2
) sin ( terbatas karena
M M M f x f
1 M x sehingga
2
, terdapat
M
karena untuk sebarang
) , (
tidak terbatas pada selang
x x f 1 ) (
b. Fungsi
D x .
) 1 sin ( x x f untuk setiap f
D. Limit
1. Limit Fungsi di R Definisi II.D.1.1
Definisi II.D.1.2
Penyelesaian
a. ) ( lim 1
x f x
=
3
2
5
2
3
1 lim 1
x x x b.
) ( lim 1 x f x
=
c. ) ( lim 1
3
2
2
1 lim 2 2 1
x x x x
c. ) ( lim 1
x f x
= ) ( lim 1
x f x
, maka ) ( lim 1
x f
x x f x
x f x
Diberikan fungsi f terdefinisi pada selang (c,b), limit kanan fungsi f di c adalah L ( L x f c x
L x f x c ) ( .
) ( lim
atau L x f
) (
bila
c x ) jika
L x f c x ) ( . Jika fungsi f terdefinisi pada selang (a,c), limit kanan fungsi f di c adalah L ( L x f c x
) ( lim atau L x f
) (
bila
c x ) jika
(Martono, 1999) Contoh: Diberikan fungsi
b. ) ( lim 1
= 1 ,
2
1 2 2
x x x x
1 ,
5
2
3
1
x
x xTentukan jika ada a.
) ( lim 1 x f x
ada
- – sifat Limit Fungsi
- ) ( lim x g c x
- ) ( lim x g c x
konstanta,
L x g x f c x c x c x c x
c. Limit fungsi sederhana
a) k k k c x
, lim
konstanta,
b) c x c x
lim ,
c) q p q pc q px c x
, : ) ( lim
d) , lim 2 2
c x c x
e)
c x c x
1
1 lim
f) c x c x
M x g x g x f M
) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim
Sifat
) ( lim dan M x g c x
a. Ketunggalan limit Jika L x f c x
) ( lim
dan M x f c x
) ( lim
, maka L = M
b. Operasi aljabar pada limit Jika L x f c x
) ( lim , maka
d) ) ( lim ,
a) M L x g x f c x
)) ( ) ( ( lim = ) ( lim x f
c x
b) M L x g x f c x
)) ( ) ( ( lim = ) ( lim x f
c x
c) LM x g x f c x
)) ( ) ( ( lim = )) ( lim ( x f c x )) ( lim ( x g c x
lim (Martono, 1999)
2
2. R Limit Fungsi di
Fungsi f adalah fungsi dua variabel dengan domain D maka dapat
lim f x , y L f ( x , y ) L
dikatakan bahwa limit dari dan ditulis
x , y a , b
jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga
f x , y L x y D x , y a , b ,
bilamana dan dengan 2 2
x , y a , b x a y b n (Varberg, dkk, 2003)
3. R Limit Fungsi di 2 Definisi yang diungkapkan untuk limit fungsi di R dan di R tersebut sedemikian sehingga dapat diperluas untuk fungsi tiga peubah atau lebih. z f x , x , x ,..., x n
Secara umum, jika 1 2 3 adalah fungsi n-variabel dengan domain D maka dapat dikatakan bahwa limit dari
f x , x , x ,..., x L lim f ( x , x ,..., x ) L
1 2 3 dan ditulis n x x x x x x ' ' ' 1 2 , n , ,..., n , ,..., n 1 2 1 2 ,
jika untuk sedemikian sehingga
f x x x x
, , ,..., L x , x , x ,..., x D
1 2 3 n n ' ' ' ' bilamana 1 2 3 dan
x , x ,..., x x , x , x ,.., x
n n 1 2 1 2 3
(Varberg, dkk, 2003)
E. Kekontinuan
Bila suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat suatu titik, kekontinuan fungsinya di titik itu dapat didefinisikan dengan limit 2 n fungsi. Di bawah ini akan dipaparkan kekontinuan di R, R dan R .
1. Kekontinuan di R Definisi II.E.1.1 Fungsi f terdefinisi pada satu interval terbuka yang memuat c.
Dikatakan bahwa f kontinu di c jika lim f ( x ) f ( c ) . Jadi fungsi f x c dikatakan kontinu disuatu titik c jika dan hanya jika:
a. f x ada
lim ( ) x c
b. f ada (yakni, c berada dalam daerah asal f ), dan
(c )
c. lim f ( x ) f ( c ) x c (Varberg, dkk, 2010)
Definisi II.E.1.2
Fungsi f adalah kontinu kanan pada a jika lim f ( x ) f ( a ) dan x a kontinu kiri pada b jika lim f ( x ) f ( b ) . Fungsi f kontinu pada x a sebuah interval terbuka jika f kontinu pada setiap titik pada interval tersebut. Serta kontinu pada sebuah interval tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b.
(Varberg, dkk, 2010)
2. Kekontinuan di 2 R Definisi
,..., , ) ,..., , ( lim ' ' 2 ' 1 2 1 n n x x x x x x
, kontinu di titik
, ,..., , ' ' 2 ' 1 D x x x n n
R D
jika
' ' 2 ' 1 2 1 ,..., , ,..., ,
x x x f x x x f
n n n ,..., x x x x f z , , 3 2 1
. Fungsi f dikatakan kontinu pada domain D jika f kontinu di setiap titik
' ' 2 ' 1 ,..., , n x x x
dalam D .
(Varberg, dkk, 2003)
B A S
Fungsi
II.E.2.1
Fungsi ) , ( y x f dikatakan kontinu dititik 2
, ) , ( R D D b a
jika
) , ( ) , ( lim , ,
b a f y x f b a y x
. Fungsi f dikatakan kontinu pada domain D jika f kontinu di setiap titik (a,b) dalam D.
Kekontinuan di n R
(Varberg, dkk, 2003)
Definisi
II.E.2.2
Fungsi
) , ( y x f
dikatakan kontinu pada suatu himpunan S, jika
) , ( y x f kontinu di setiap titik pada himpunan S.
(Varberg, dkk, 2003) 3.
Gambar II.4 Himpunan S
F. Turunan
Pada bagian kali ini akan dibahas lebih lanjut mengenai turunan di R, n turunan di R .
1. Turunan di R Definisi II.F.1.1
Jika fungsi f terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat titik c, maka f dikatakan mempunyai turunan dititik c apabila limit
f ( x ) f ( c ) lim ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut x c x c
turunan dari f di titik c. Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai
f ( x ) f ( c )
turunan di c dituliskan f c . Dengan mengganti
' ( ) lim x c x c f c h f c
( ) ( ) x dengan c + h, di peroleh f ' ( c ) lim . h h
(Martono, 1999)
Definisi II.F.1.2
Jika fungsi f terdefinisi pada selang (a,c]. Turunan kiri dari fungsi f ' ( ) ( ) f x f c di titik c, ditulis f ( c ) lim
f’(c) didefinisikan sebagai x c x c ' f ( c h ) f ( c )
atau f c
( ) lim h h
(Martono, 1999)
Definisi II.F.1.3
Jika fungsi f terdefinisi pada selang [c,b). Turunan kanan dari fungsi
f di titik c, ditulis f ' c ( ) dan didefinisikan sebagai ' ' f ( x ) f ( c ) f ( c h ) f ( c ) f c atau f c
( ) lim ( ) lim x c h
x c h
(Martono, 1999)
Definisi II.F.1.4
Jika fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, maka ' ' fungsi f terdiferensialkan di c f ( c ) f ( c )
(Martono, 1999) Contoh: 2
x
4
x
,
2
f
Jika , tentukan nilai (jika ada)!
x
2 '
2
=
x 3 x 2 ,
2 Penyelesaian:
2 2
x x
4 4 ( 2 ) x
4 ( 3 .
2
2 ) f ( x ) f ( 2 ) ( x 2 ) x 2 x lim lim lim 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 ( x 2 2 ) x
4 4 x 8 ( x 2 ) lim lim x x 2 2
1
2
2( x 2 ) ( x 2 )
f x f x x
( ) ( 2 ) ( 3 2 ) ( 3 . 2 2 ) 3
6 x x x lim lim lim
3
2 2 2 x x x
2 2 ( 2 )
f x f f x f f x f ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )
Karena lim lim maka lim x 2 x 2 x 2
2 f
x 2 x 2 x
dengan kata lain ' 2 tidak ada.
Teorema II.F.1.5 Jika f x ada maka f kontinu di c.
' Bukti: f ( x ) f ( c ) f c
Jika ada berarti f ' ( c ) lim ada, maka
' x c x c lim f ( x ) f ( c ) f ' ( c ). lim x c x c x c f x f c
lim ( ) ( ) x c Karena lim f ( x ) f ( c ) f kontinu di c. x c █ a.
Aturan pencarian turunan
Jika y f (x ) , turunan f dapat dinyatakan dengan tiga notasi (notasi
dy Leibniz) yaitu f ' x ( ) atau D f (x ) atau . x dx
1) f ( x ) k , dengan k konstanta f ' ( x )
2) f ( x ) x f ' ( x ) n n
1 1
3) f ( x ) x f ' ( x ) nx 4) k suatu konstanta dan f fungsi yang terdeferensialkan, maka
kf x k f x ' . ' f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan f g x f x g x
5)
' ' ' f g x f x g x
6) ' ' '
f g x f x g x g x f x
7) . ' ' ' f f ' ( x ) g ( x ) f ( x ) g ' ( x )
8) ' ( x ) 2
g g ( x )
(Varberg, dkk, 2000) b.
Turunan fungsi trigonometri Di bawah ini diberikan turunan pertama untuk fungsi trigonometri.
1)
f ( x ) sin x f ' ( x ) cos x
2)
f ( x ) cos x f ' ( x ) sin x 2
3) f ( x ) tan x f ' ( x ) sec x 2 4) f ( x ) cot x f ' ( x ) csc x
5) f ( x ) sec x f ' ( x ) sec x tan x
6) f ( x ) csc x f ' ( x ) csc x cot x (Martono,1999) c.
Turunan fungsi invers Definisi II.F.1.c
Jika fungsi f kontinu dan satu
I D dengan
- – satu pada selang f
1 x f ( y ), y R
aturan y f ( x ), x I dan inversnya adalah . f
Jika fungsi f terdiferensialkan pada I dengan f ' ( x ) pada I,
1
maka fungsi f R dan aturan f juga terdiferensialkan pada 1 dy
1 1
turunannya ditentukan oleh ( f ( y ))' atau
dx f x dx
' ( )
dy
(Martono, 1999)
d. Turunan fungsi komposisi Definisi II.F.1.d
y f u u g x
Jika dan . Jika g terdiferensiasikan di x dan f
u g x
terdiferensiasikan di , maka fungsi komposisi f g
yang didefinisikan oleh ( f g )( x ) f ( g ( x )) , adalah
terdiferensiasikan di x dan ( f g )' ( x ) f ' ( g ( x )) g ' ( x ) atau
dy du dy
.
dx du dx
(Varberg, dkk, 2000) e.
Turunan fungsi logaritma
1) Turunan fungsi logaritma alami dapat dituliskan sebagai berikut:
1 f x x f x
( ) ln ' ( ) x
2) Turunan fungsi logaritma dapat dituliskan sebagai berikut: a
1
1
f ( x ) log x f ' ( x ) . x ln a f.Turunan fungsi eksponensial
1) Turunan fungsi eksponen alami dapat dituliskan sebagai berikut: x x
f ( x ) e f ' ( x ) e
2) Turunan fungsi eksponen dapat dituliskan sebagai berikut: x x
f ( x ) a f ' ( x ) a ln a , a
1
(Varberg, dkk, 2000)
g. Turunan tingkat tinggi
Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f ' . Jika f ' didiferensiasi menghasilkan fungsi
f '' (f dua aksen) dan disebut turunan kedua dari f. Dan boleh
didiferensiasi yang menghasilkan f ' '' yang disebut turunan ketiga ( 4 )
f
dari f. Turunan keempat dinyatakan dengan , turunan kelima ( 5 ) dinyatakan f dan seterusnya.
(Varberg, dkk, 2000) Contoh: 3 2
f ( x ) 2 x 2 4 x 7 x 8 , maka f ' ( x ) 6 x 8 x
7 x f '' ( x )
12
8 f x
' '' ( ) ( 4 )
12 f
Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka turunan keempat dan semua turunan tingkat yang lebih tinggi (higher-order derivative) dari f akan nol. n
2. R Turunan di
Sebuah fungsi bernilai real dengan dua peubah real (real valued function
of two variables ) yaitu fungsi f (Gambar II.5) yang menghubungkan
setiap pasangan berurut x , y pada suatu himpunan D dalam suatu
f x , y