BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 - SUGIARTI BAB II
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1:
9 6 −
3
8
5
3
8
4 6 −
4 −
5
12
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam suatu matriks disebut elemen matriks. Elemen- elemen mendatar membentuk baris dan elemen- elemen vertikal membentuk kolom. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menyatakan ukuran matriks tersebut. Apabila dalam suatu matriks terdapat m baris dan n kolom maka ukuran matriks tersebut adalah m x n. Notasi indeks rangkap digunakan untuk menyatakan elemen suatu matriks. Simbol a menyatakan elemen yang muncul pada ij baris ke-i dan kolom ke-j, dimana
1 ≤ i ≤ m dan 1 j n . Simbol i ≤ ≤ dinamakan indeks baris sedangkan simbol j dinamakan indeks kolom.
Sebuah matriks A dituliskan sebagai berikut : mxn
4
a a ... a 11 12 1n a a ... a 21 22 2n
A = ... ... ... ... a a ... a m1 m2 mn
2. Operasi pada Matriks
1) Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Definisi II.A.2
Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks C yaitu matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen B dengan elemen-elemen A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks D yaitu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang berpadanan.
Matriks-matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, apabila A= [a ] dan B= [b ] ij ij mempunyai ukuran yang sama maka A + B = C dimana
� � = � � + � � A - B = D dimana
� � = � � − � � 2)
Perkalian Matriks dengan Skalar
Definisi II.A.3
Misalkan A adalah sebarang matriks dan c adalah sebuah skalar,maka hasil kali skalar c dengan matriks A adalah
matriks B yaitu matriks yang diperoleh dengan mengalikan c dengan setiap elemen A.
Dalam notasi matriks, apabila A=[ a ] maka : cA = dimana B ij [b ] = [ca ] . ij ij
Contoh II.A.3
1
2
4
3 A =
3
4 � � B = � 2 1�
1
1
2
4
3 maka A × B =
3
4 � � × � 2 1�
1
8
5 =
20
13 � �
2
1 3)
Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi II.A.4
Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m x n dan B adalah sebuah matriks berukuran n x r, maka hasil kali A dan B adalah matriks C berukuran m x r yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut: untuk mencari elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks C caranya adalah dengan memilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kemudian mengalikan elemen-elemen yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan menjumlahkan hasil kalinya.
- 1
5
2
1 A maka
2
= =
�
1
2 −3 4�
�
1
2 −3 4�
= � −
10 −15 10� dan
4
3
=
2
= � −
5
10 −15 10�
�
1
2 −3 4�
= �−
35
3
− =
Dalam notasi matriks, apabila A= ] [a ij dan B= ] [b ij maka A x B = C, dimana
= , . . . dan
∑ =
= = = n 1 k kj ik ij 1,...., r j m 1,......, i b a ] [c .
4) Perpangkatan Matriks
Definisi II.A.5
Misalkan A adalah suatu matriks persegi orde n maka pangkat dari A didefinisikan sebagai berikut:
2
= ,
3
=
2
, . . . ,
=
Contoh II.A.5:
Misalkan A adalah matriks
−
4
3
2
1 maka hitunglah
2
dan
3 .
Penyelesaian :
30 −45 10�
3. Macam- Macam Matriks
1) Matriks Persegi
Definisi II.A.6
Matriks persegi adalah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n). Disebut juga matriks persegi berordo n.
Contoh II.A.6 :
5 −
6 a) adalah matriks persegi orde 2.
Matriks A= 1 −
2
7 1 −
2
b)
9 1 adalah matriks persegi orde 3. Matriks B=
−
2
5 5
Pada matriks persegi elemen-elemen yang terletak pada garis penghubung a dengan a dinamakan diagonal utama. 11 nn 2)
Matriks Identitas
Definisi II.A.7
Matriks identitas adalah suatu matriks persegi dimana elemen-elemennya 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada tempat-tempat lain diluar diagonal utama. Matriks tersebut dinyatakan dengan simbol I.
Contoh II.A.7 :
1
I =
1
1
3) Matriks Diagonal
= �
6
3
8
4
2
7
9
2
6
1
8
3 � maka
1
3
3
7
6
3
8
1
5
4
9
8
6
2
2
5
1
Definisi II.A.8
Jika A = � � berukuran × maka transpose dari A adalah matriks berukuran
Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dimana semua elemen di luar diagonal utamanya mempunyai nilai nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol. Biasanya diberi simbol D.
Contoh II.A.8 :
1)
2
1 2)
3
2
1 4)
Matriks Transpose
Definisi II.A.9
× dengan = � � .
Matriks B = �
Contoh II.A.9 :
1) Matriks A = �
1
2
4
5
8
9 � maka
= �
1
4
8
2 5 9� 2)
3 �
18 � dan
= � � Maka matriks N disebut matriks nilpoten dengan q = 3.
Definisi II.A.10
Jika N adalah matriks persegi dan berlaku = 0 untuk q bilangan bulat positif maka N disebut matriks nilpoten.
Contoh II.A.10
N = �
3
4
6 � kemudian
2
= �
5) Matriks Nilpoten
3
B. Determinan Matriks, Invers Matriks dan Rank Matriks 1. Determinan Matriks
Determinan matriks merupakan suatu fungsi dengan aturan det (A) = ∑ ±
1 1
2 2
… dengan A adalah matriks persegi berukuran × .
Definisi II.B.1
Jika A matriks persegi, maka minor elemen dinyatakan oleh dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dihilangkan dari A. Bilangan (
- dinyatakan oleh dan dinamakan kofaktor elemen .
−1)
Contoh II.B.1
3
1 −4
A =
2
5
6 � �
1
4
8 minor elemen adalah , yaitu
11
11
3
1 −4
5
6 =
2
5
6
11 � � = � � = 16
4
8
1
4
8 kofaktor elemen adalah , yaitu
11
11 1+1
2
( ( (16) = 16 = =
11 −1) 11 −1) Definisi II.B.2
Determinan matriks persegi A yang berukuran n × n dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, maka
- det (A) = + . . . . +
1
1
2 2 , untuk 1 ≤ j ≤ n
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) dan det (A) =
- . . . . +
, untuk 1 ≤ i ≤ n
1
1
2
2
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i) Misalkan terdapat matriks A berordo 3 x 3 , yaitu :
11
12
13 A =
21
22
23
� �
31
32
33 Dengan menggunakan definisi determinan ditunjukkan bahwa
- det (A) =
11
22
33
12
23
31
13
21
32
−
13
22
31
−
12
21 33 −
11
23
32
= ( ) + ( ) + (
11
22 33 −
23
32
21
13 32 −
12
33
31
12
)
23 −
13
22 Pernyataan yang ada dalam tanda kurung di atas tidak lain berturut-turut
adalah , , sehingga det(A) = + . +
11
21
31
11
11
21
21
31
31 Persamaan ini memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung
dengan mengalikan elemen-elemen dalam kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktorya dan menambahkan hasil kalinya. Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.
Contoh II.B.2 :
Tentukan determinan matriks berikut :
1
2
3
a) A =
3
1
4
2
6
7
1
2
3
4
2
1
3
b) B = � �
3
2
1
2
4
1 Penyelesaian :
1
2
3
a) A =
3
1
4
2
6 7 det(A) = + +
11
11
21
21
31
31
1+1
- = (
11 −1)
11
1
4
2
= ( −1) � 6 7�
2
= ( −1) ( −17)
= −17
- 2+1
= (
21 −1)
21
2
3
3
= ( −1) � 6 7�
3
= ( −1) ( −4)
= 4
3+1
- = (
31 −1)
31
2
3
4
= ( −1) � 1 4�
4
= ( −1) (5)
= 5
- maka det(A) = +
11
11
21
21
31
31
= 1 ( −17) + 3 (4) + 2 (5)
= 5
1
2
3
4
2
1
3
b) B = � �
3
2
1
2
4
1 det(B) = + + +
11
11
12
12
13
13
14
14
- 11
- 12
- 13
- 14
- 12
- 13
- 14
= ( −1)
14
1+4
= ( −1)
(25) = 25
4
= ( −1)
1 �
4
2
2
3
3
1
2
5
�
2
( −6) = 6 maka det(B) =
= 1 ( −11) + 2 (4) + 3 (25) + 4 (6)
14
13
12
11
11
5
1
= ( −1)
4 �
2
1
2
3
�
= ( −1)
4
3
2
= ( −1)
1 �
4
1
2
1
= −11
�
2
= ( −1)
11
1+1
= ( −1)
( −11)
= ( −1)
13
2
1+3
= ( −1)
( −4) = 4
3
= ( −1)
1 �
1
1+2
3
3
2
�
3
= ( −1)
12
= 96
2. Invers Matriks Definisi II.B.3
1
adj (A) det( ) = 3 – 2 = 1
Adj (A) = �
3 −2
−1 1 �
−1
=
1
=
�
3 −2
−1 1 � =
�
3 −2
−1 1 �
1 det ( )
Jika A adalah suatu matriks persegi dengan n baris dan n kolom serta adalah matriks identitas berukuran n × n maka terdapat matriks persegi
−1
Teorema II.B.1
sehingga berlaku A
−1
=
−1
A = I, maka
−1 disebut invers matriks A.
Jika P adalah matriks nonsingular (det (P) ≠ 0), maka
2 1 3�
−1
=
1 det ( )
adj (P) dengan adj (P) adalah transpose dari kofaktor matriks P.
Contoh Teorema II.B.1
A = �
1
−1
3. Rank Matriks Definisi II.B.4
Jika matriks A paling sedikit terdapat satu minor determinan yang tidak sama dengan nol dan ternyata terdiri dari r baris, akan tetapi untuk minor yang determinannya sama dengan nol apabila minor matriksnya terdiri dari (r+1) baris, maka matriks A dikatakan mempunyai rank sebesar r. Biasanya diberi simbol rank(A) = r(A).
Untuk mempermudah di dalam mencari nilai rank suatu matriks, dapat menggunakan transformasi elementer yang menunjukkan kepada baris dan kolom dari matriks yang bersangkutan. Besarnya nilai rank suatu matriks dapat dilihat secara langsung dengan cara melihat determinan yang tidak sama dengan nol dari minor matriks dengan jumlah baris dan kolom tertentu. Jumlah baris (kolom) itulah yang menunjukkan besarnya nilai rank atau banyaknya baris yang masih mengandung elemen tidak sama dengan nol setelah transformasi elementer baik terhadap baris maupun kolom.
Contoh II.B.4
1
= �
1
2
3 −1 −2 −1 −2
�
2
= �
2
7 �
3 −1 −2
� Maka nilai rank (A) adalah 2.
2
−
1
−2
A = �
1
5
−3
5
1
2
3
2
3
4
3
7 � maka rank (A) adalah :
3
A = �
1
2
3
2
3
4
1
C. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Persamaan Karakteristik Definisi II.C.1
=
λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan
− = .
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka dituliskan kembali = sebagai = atau secara ekuivalen
( − ) = 0. Supaya
taknol dari persamaan ( − ) = 0. Dan persamaan ini akan mempunyai
λ .
dinamakan nilai eigen dari A dan x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan
λx Ax = untuk suatu skalar. Skalar λ
Jika A adalah matriks n x n maka vektor taknol x di dalam n R dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yaitu
=
2
3 λ = karena
1 x adalah vektor eigen dari
− =
1
8
3 A yang bersesuaian dengan nilai eigen
3x
3 Ax =
6
3
2
1
1
8
Contoh : Vektor pemecahan taknol jika dan hanya jika det( . Ini dinamakan
A − = λI)
persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka det( A − adalah polinom yang
λI) λ dinamakan polinom karakteristik dari A.
Jika A adalah matriks n x n, maka polinom karakteristik A harus n memenuhi n dan koefisien λ adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari n n − 1 det(A ) c ... c - matriks n x n mempunyai bentuk Ι = . + + +
λ λ 1 λ n
Contoh II.C.1 :
3
2 Diketahui matriks A = maka tentukan nilai eigen matriks A.
−
1
Penyelesaian : det ( − ) = 0
3
2
1 = 0
⇔ det �� − � 1��
−1 0�
3
2 = 0
⇔ �� − � −1 0�
��
3
2 −
= 0 ⇔ �
−1 − � ⇔(3 − ) (− ) – (−2) = 0
2
⇔ − 3 + 2 = 0 Jadi persamaan karakteristik dari A adalah 2 − +
3 2 = . λ λ
Penyelesaian persamaan ini adalah =
1 dan = 2 . Selanjutnya disebut λ λ
nilai-nilai eigen dari A.
D. Ruang Eigen Suatu Matriks Dan Basisnya Definisi II.D.1
Vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah vektor
λ 0.
taknol dalam ruang pemecahan dari ( Selanjutnya ruang
λI-A)x =
pemecahan ini dikatakan sebagai ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan .
λ
Contoh :
3
2 −
Carilah vektor eigen matriks berikut A
2
3 = −
5
Pemecahan :
= Ax λx
( A)x λI =
- det(
- 3 −
A) = λI
2 λ
- det −
2 - 3 = λ
5 λ
- ( − 3) ( ( − 3)( − 5) − ) − ( − 2) ( ( − 2)( − 5) − ) ( ( − 2)0 − 0( − 3) ) = λ λ λ λ λ
⇔ 2 ( 3)( 8 15) 2( 2 10)
− + − − + + + = λ λ λ λ
⇔ 3 2 2
− 3 −
8
24 + + + 15 − 45 −
⇔ ⇔ − 3 +
4 20 = λ λ λ λ λ λ
11 2
35 25 = λ λ λ
- ⇔ ( 1)( 5)( 5) =
- λ λ λ
2 Persamaan karakterisrik dari A adalah ( − 1)( − 5) = sehingga
λ λ nilai-nilai eigen dari A adalah . Jadi diperoleh dua ruang
= 1 dan =
5
λ λ
eigen dari A. x
1 x = x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan jika dan hanya 2
λ
x 3
jika x adalah ruang pemecahan tak trivial dari ( , yaitu:
λI-A)x =
3 − 2 x 1 λ
-
− =
2 3 x 2 λ
-
5 x 3
- Jika
λ
5 maka menjadi λ =
2
1
−2 0
2
2
⇔ � � � � = � � −2
3
2
2 −2 0 −2 0
- 2
� � �
2
1 �
−2
1
2 −2 0
2
⇔ � � � � = � �
3
- = 0 + 0
1
2
3
2 − 2 2 = 0
1
2
− 2 2 = 2
1
2
=
1
2 Diambil x s maka x s dan x = . t
1 = = 2 3 Jadi vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan 5 adalah λ =
vektor-vektor taknol yang berbentuk:
-
-
Karena
5 λ =
caranya sama seperti mencari vektor eigen pada
1 λ =
. Banyakya vektor dalam basis disebut dimensi. Kemudian untuk
5 λ =
1 adalah vektor-vektor bebas linier, maka vektor- vektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan
1
1 dan
t s t s s t s s x
1
1
1
=
=
=
.
E. Matriks – Matriks Serupa
Matriks A serupa (similar) dengan matriks T jika terdapat suatu matriks nonsingular P sehingga A = Dimana P adalah matriks nonsingular dan
3
−1 , maka nilai eigen A akan menjadi sama dengan nilai eigen T.
A =
sehingga nilai eigen dari T adalah = 3. Jika didefinisikan
4
( − 3)
Dari matriks T didapat persamaan karakteristikya det(T − ) =
3 �
3
1
3
1
� A = �
Teorema II.E.1
20 −17
7
−1
37 −34
12
42 −2
3 −12 −42
11
4 −4 −11
T = �
Contoh II.E.I :
Diberikan matriks T dan A yang berukuran n x n. Jika T serupa dengan A, maka kedua matriks mempunyai persamaan karakteristik yang sama dan oleh sebab itu keduanya mempunyai nilai-nilai eigen yang sama.
−1
T P.−1
dengan
3 �
Maka nilai eigen matriks A adalah = 3.
Jika A adalah matriks persegi berukuran n × n, maka matriks bentuk Kanonik Jordan dari A adalah suatu matriks persegi dimana
−1
= J = �
1
…
2
… ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
… � dengan P adalah matriks nonsingular dan untuk setiap , i = 1, 2, . . . , k adalah blok Jordan.
Blok Jordan adalah suatu matriks yang berbentuk
1
1
1
1
1 adalah matriks identitas berukuran 1 × 1.
Definisi II.F.2
Jika A adalah matriks persegi berukuran n × n dan det( − ) =
( −
1
) 1 ( −
2
) 2 . . . ( −
) , dimana
1
,
2
, . . . , adalah akar berbeda dari polinom karakteristik A. Jika A serupa dengan
3
3
adalah invers matriks nonsingular .
12
A =
−1
= �
−2.22
0.85
0.33 −0.33
0.11 −0.33 −1 1
2 −0.33 −1 0
� �
4 −4 −11
11
3 −12 −42
42 −2
37 −34
1
−1
7
20 −17
� � −3
11 −1
−9
42 −3
6 −34 0
1
3 −20 1
� =
�
3
F. Matriks Bentuk Kanonik Jordan Definisi II.F.1
…
1
…
2
matriks adalah blok Jordan yang � � dengan
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ … 1 0 ⋯ 0 0
⎡ ⎤ 1 ⋯ 0 0 ⎢ ⎥ berbentuk maka disebut matriks bentuk
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⎢ ⎥ ⎢ ⋯ 1 ⎥ ⎣
⋯ 0 ⎦ Kanonik Jordan dari A.
Diberikan A adalah matriks persegi n × n dan B adalah matriks persegi n × n, maka matriks B serupa dengan matriks A jika terdapat matriks
- 1
nonsingular P sehingga B = P A P . T : adalah operator matriks
→ A yang didefinisikan oleh T(
) = A( ) dengan A adalah matriks berukuran n x n, maka T dinamakan operator yang dibangun oleh A.
T : V → W adalah transformasi linear dimana V dan W adalah ruang vektor tidak nol dengan dimensi yang terbatas dari V ke W. Jika A adalah matriks dari T dengan basis ) dan B adalah matriks dari T dengan basis dari V (A = [ ] yang berbeda dari W (B = [ ).
] Hubungan antara operator dan matriks yaitu, misal diberikan operator
, , . . . , } adalah basis untuk V sedangkan
1
2
linear T : V → V dan = { , , . . . , } adalah basis yan lain untuk V. Diberikan
= {
1
2
dan yang direlasikan oleh T( ) = , karena ∈ V maka dapat dinyatakan dengan
- 1
1
2
2 = ∑ =
1
1
2
- . . . + + + atau dan =
2 =1
. . . + atau = ∑
=1 Dengan demikian koordinat kolom dari yang relative terhadap basis
T
1 2 adalah [ ] T
= ( , , . . . , ) dan koordinat kolom dari = adalah [ ]
( , , . . . , ) sehingga T( ) = ,
1 2 ∑ = 1, 2, . . . , .
=1 T
Ekuivalen dengan [T( )] = ( , , . . . , ) = dengan A = | | =
2 [ , , . . . , ].
1
2 Definisi II.F.3 T
Matriks [T( )] = ( , , . . . , ) = dengan A = | | = [ ,
2
1
, . . . , ] maka matriks A dinamakan matriks standar T yang
2
relative terhadap basis . dan dinotasikan dengan A = [T] = [T] Jika V = W dan .
= maka matriks A= [T] Jika T : adalah operator matriks T(X) = AX. Kemudian
→ adalah basis standar untuk dan diketahui bahwa [ = A. Jika P adalah ] matriks nonsingular yang merupakan perubahan basis dari ke basis
- 1 -1 maka diperoleh P A P = P [ P = [ = B.
] ]
G. Matriks Eksponensial Definisi II.G.1
Jika A adalah matriks n x n, maka matriks eksponensial dari A dinotasikan dengan atau exp (A) yang merupakan matriks n x n dengan deret pangkat yang didefinisikan : 2 = I + A + + . . . + + . . . .
2! ! ∞
= ∑
=0 !
Dengan I adalah matriks identitas berukuran n x n.
Sesuai dengan deret maclaurin maka deret tersebut konvergen untuk setiap nilai A sehingga matriks eksponensial dari A selalu terdefinisi.