Dokumen - IKK112114 - STMIK EL RAHMA modul metnum
BAB I
PENDAHULUAN
Tujuan Pembelajaran:
Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik.
Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari.
Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.
Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan
pengoperasian aritmatika (hitungan).
Beberapa alasan mengapa kita harus mempelajari metode numerik:
1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh.
Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan, dan geometri
yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara
analitik.
2. Di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersil. Penggunaan aplikasi
tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar kita
dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan.
3. Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket programnya.
Seringkali beberapa persoalan matematika tidak selalu dapat diselesaikan oleh program
aplikasi. Sebagai contoh, terdapat program aplikasi tertentu yang tidak dapat dipakai untuk
menghitung integrasi lipat dua, atau lipat tiga. Mau tidak mau, kita harus menulis sendiri
programnya. Untuk itu, kita harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih
dengan metode numerik.
4. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika,
karena metode numerik ditemukan dengan cara menyederhanakan matematika yang lebih
tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.
Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric :
1. Pemodelan
2. Penyederhanaan model
3. Formulasi numerik
4. Pemrograman
5. Operasional
6. Evaluasi
Jenis-jenis persoalan matematika yang akan diselesaikan secara numeric dalam modul ini adalah:
1. solusi persamaan non linier
2. solusi sistem persamaan linier
3. interpolasi polinom
4. turunan numeric
5. integrasi numeric
6. solusi persamaan diferensial biasa dengan nilai awal
BAB 2
DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
Tujuan pembelajaran
mengetahui bagaimana menyelesaikan fungsi kedalam bentuk polinom
mengetahui defenisi dan analisis galat
2.1 Deret Taylor
Kebanyakan dari metode-metode numeric yang diturunkan didasarkan pada penghampiran
fungsi kedalam bentuk polinom. Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila
dihampiri dengan polinom, karena polinom merupakan bentuk fungsi yang paling mudah
dipahami kelakuannya.
Defenisi deret taylor
Andaikan f dan semua turunannya, f’, f’’, f’’’, …, menerus didalam selang [a,b]. misalkan xo E
[a,b], maka untuk nilai-nilai x disekitar xo dan x E [a,b], f(x) dapat diperluas kedalam deret taylor
………….. (2.1)
Contoh 2.1
Hampiri fungsi f(x)=sin(x) kedalam deret taylor disekitar x0= 1
Penyelesaian :
Tentukan lebih dahulu turunan sin(x) sebagai berikut
f(x)
= sin(x),
f’(x)
= cos(x),
f’’(x) = -sin(x),
f’’’(x) = -cos(x),
f’’’’(x) = sin(x), dan seterusnya
maka berdasarkan (2.1), sin(x) dihampiri dengan deret Taylor sebagai berikut:
� =
1 +
�−1
1!
�
(1) +
�−1 2
2!
(−
(1)) +
�−1 3
3!
(−�
(1)) + ⋯ ………. (2.2)
bila dimisalkan x-1=h, maka, berdasarkan rumus (2.2),
3
2
� =
1 +
�
(1) +
2!
(−
(1)) +
3!
(−�
= 0.8415 + 0.5403h – 0.4208h2 – 0.0901h3 + …
(1)) + ⋯
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas disekitar x0 = 0, maka deretnya dinamakan deret
Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku. Kasus x0 = 0 paling sering muncul dalam
praktek.
Latihan
Uraikan sin(x), ex, cos(x), dan ln(x+1) masing-masing kedalam deret taylor dan deret
maclaurin.
Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alas an praktis deret
Taylor dipotong sampai suku orde tertentu, misalkan dipotong sampai orde ke-n, sehingga
dinamakan deret taylor terpotong dan dinyatakan :
…… (2.3)
Atau dengan kata lain syarat c juga dipenuhi dengan x0 < c < x1
Untuk Rn(x) disebut galat atau sisa.
Latihan
1. Uraikan f(x) = sin(x) jika dihampiri dengan deret taylor orde 4 disekitar x0 = 1
2. Uraikan ex dengan orde 4, cos(x) dengan orde 6, dan ln(x+1 )dengan orde 4 dalam
hampiran deret maclaurin
2.2 Perhitungan Galat
Untuk galat pembulatan dan pemotongan, hubungan antara hasil yang eksak dengan
hampirannya dapat dirumuskan oleh
………. (2.4)
nilai eksak = hampiran + galat.
Dengan menyusun kembali persamaan di atas, diperoleh
Es= galat = nilai eksak – hampiran
………..(2.5)
dimana subskrip s menunjukkan bahwa galat adalah galat sejati.
Kelemahan dari defenisi di atas adalah bahwa tingkat besaran dari nilai yang diperiksa sama
sekali tidak diperhatikan. Sebagai contoh, galat satu sentimeter jauh lebih berarti jika yang
diukur adalah paku ketimbang jembatan. Salah satu cara untuk memperhitungkan besarnya
besaran yang sedang dievaluasi adalah dengan menormalkan galat terhadap nilai eksak, yaitu
��
�
=
�
� − �
�
�
�
……………………….(2.6)
Galat relatif dapat dikalikan dengan 100% agar dapat dinyatakan sebagai
Es = persen galat relatif =
�
� − �
�
�
�
� 100%
…….(2.7)
Dicatat bahwa untuk metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika fungsi yang
ditangani dapat diselesaikan secara eksak.
PENDAHULUAN
Tujuan Pembelajaran:
Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik.
Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari.
Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.
Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan
pengoperasian aritmatika (hitungan).
Beberapa alasan mengapa kita harus mempelajari metode numerik:
1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh.
Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan, dan geometri
yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara
analitik.
2. Di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersil. Penggunaan aplikasi
tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar kita
dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan.
3. Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket programnya.
Seringkali beberapa persoalan matematika tidak selalu dapat diselesaikan oleh program
aplikasi. Sebagai contoh, terdapat program aplikasi tertentu yang tidak dapat dipakai untuk
menghitung integrasi lipat dua, atau lipat tiga. Mau tidak mau, kita harus menulis sendiri
programnya. Untuk itu, kita harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih
dengan metode numerik.
4. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika,
karena metode numerik ditemukan dengan cara menyederhanakan matematika yang lebih
tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.
Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric :
1. Pemodelan
2. Penyederhanaan model
3. Formulasi numerik
4. Pemrograman
5. Operasional
6. Evaluasi
Jenis-jenis persoalan matematika yang akan diselesaikan secara numeric dalam modul ini adalah:
1. solusi persamaan non linier
2. solusi sistem persamaan linier
3. interpolasi polinom
4. turunan numeric
5. integrasi numeric
6. solusi persamaan diferensial biasa dengan nilai awal
BAB 2
DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
Tujuan pembelajaran
mengetahui bagaimana menyelesaikan fungsi kedalam bentuk polinom
mengetahui defenisi dan analisis galat
2.1 Deret Taylor
Kebanyakan dari metode-metode numeric yang diturunkan didasarkan pada penghampiran
fungsi kedalam bentuk polinom. Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila
dihampiri dengan polinom, karena polinom merupakan bentuk fungsi yang paling mudah
dipahami kelakuannya.
Defenisi deret taylor
Andaikan f dan semua turunannya, f’, f’’, f’’’, …, menerus didalam selang [a,b]. misalkan xo E
[a,b], maka untuk nilai-nilai x disekitar xo dan x E [a,b], f(x) dapat diperluas kedalam deret taylor
………….. (2.1)
Contoh 2.1
Hampiri fungsi f(x)=sin(x) kedalam deret taylor disekitar x0= 1
Penyelesaian :
Tentukan lebih dahulu turunan sin(x) sebagai berikut
f(x)
= sin(x),
f’(x)
= cos(x),
f’’(x) = -sin(x),
f’’’(x) = -cos(x),
f’’’’(x) = sin(x), dan seterusnya
maka berdasarkan (2.1), sin(x) dihampiri dengan deret Taylor sebagai berikut:
� =
1 +
�−1
1!
�
(1) +
�−1 2
2!
(−
(1)) +
�−1 3
3!
(−�
(1)) + ⋯ ………. (2.2)
bila dimisalkan x-1=h, maka, berdasarkan rumus (2.2),
3
2
� =
1 +
�
(1) +
2!
(−
(1)) +
3!
(−�
= 0.8415 + 0.5403h – 0.4208h2 – 0.0901h3 + …
(1)) + ⋯
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas disekitar x0 = 0, maka deretnya dinamakan deret
Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku. Kasus x0 = 0 paling sering muncul dalam
praktek.
Latihan
Uraikan sin(x), ex, cos(x), dan ln(x+1) masing-masing kedalam deret taylor dan deret
maclaurin.
Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alas an praktis deret
Taylor dipotong sampai suku orde tertentu, misalkan dipotong sampai orde ke-n, sehingga
dinamakan deret taylor terpotong dan dinyatakan :
…… (2.3)
Atau dengan kata lain syarat c juga dipenuhi dengan x0 < c < x1
Untuk Rn(x) disebut galat atau sisa.
Latihan
1. Uraikan f(x) = sin(x) jika dihampiri dengan deret taylor orde 4 disekitar x0 = 1
2. Uraikan ex dengan orde 4, cos(x) dengan orde 6, dan ln(x+1 )dengan orde 4 dalam
hampiran deret maclaurin
2.2 Perhitungan Galat
Untuk galat pembulatan dan pemotongan, hubungan antara hasil yang eksak dengan
hampirannya dapat dirumuskan oleh
………. (2.4)
nilai eksak = hampiran + galat.
Dengan menyusun kembali persamaan di atas, diperoleh
Es= galat = nilai eksak – hampiran
………..(2.5)
dimana subskrip s menunjukkan bahwa galat adalah galat sejati.
Kelemahan dari defenisi di atas adalah bahwa tingkat besaran dari nilai yang diperiksa sama
sekali tidak diperhatikan. Sebagai contoh, galat satu sentimeter jauh lebih berarti jika yang
diukur adalah paku ketimbang jembatan. Salah satu cara untuk memperhitungkan besarnya
besaran yang sedang dievaluasi adalah dengan menormalkan galat terhadap nilai eksak, yaitu
��
�
=
�
� − �
�
�
�
……………………….(2.6)
Galat relatif dapat dikalikan dengan 100% agar dapat dinyatakan sebagai
Es = persen galat relatif =
�
� − �
�
�
�
� 100%
…….(2.7)
Dicatat bahwa untuk metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika fungsi yang
ditangani dapat diselesaikan secara eksak.