PELABELAN SELIMUT CYCLE-ANTI AJAIB PADA GRAF DOUBLE CONES, GRAF FRIENDSHIP DAN GRAF GRID PN × P3.

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PELABELAN SELIMUT CYCLE -ANTI AJAIB PADA GRAF
DOUBLE CONES, GRAF FRIENDSHIP DAN GRAF GRID
Pn × P3

oleh
SURYA AJI NUGROHO
M0109063

SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET

commit to user

SURAKARTA
2015

i

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

commit to user

ii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRAK
Surya Aji Nugroho, 2015. PELABELAN SELIMUT CYCLE - ANTI AJAIB
PADA GRAF DOUBLE CONES , GRAF FRIENDSHIP DAN GRAF GRID

Pn × P3 . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Sebuah graf sederhana G = (V (G), E(G)) memuat sebuah selimut H jika untuk setiap sisi dalam E(G) merupakan sisi dari suatu subgraf yang isomorfik dengan H. Misal terdapat sebuah fungsi bijektif ξ : V (G) ∪ E(G) →
{1, 2, . . . , |V (G)|+|E(G)|} sedemikian sehingga untuk
semua subgraf∑H ′ yang iso∑
morfik dengan H, bobot subgraf H ′ adalah w(H ′ ) = v∈V (H ′ ) ξ(v)+ e∈E(H ′ ) ξ(e).
Bobot subgraf-subgraf tersebut membentuk barisan aritmatika a, a+d, a+2d, . . . ,
a + (t − 1)d dengan a dan d adalah bilangan bulat positif dan t adalah jumlah
subgraf dari graf G yang isomorfik dengan H. Tujuan dari penelitian ini adalah
untuk menentukan pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib pada graf double cones,
graf friendship, dan graf grid Pn × P3 .
Hasil dari penelitian ini adalah terdapat pelabelan selimut C3 -anti ajaib
pada graf double cones dengan d = 1, pelabelan selimut C3 -anti ajaib pada graf
friendship dengan d = 2k − 1, j 2 − j + 2k − 1, (1 − 2k)2 , dan pelabelan selimut
C4 -anti ajaib pada graf grid Pn × P3 dengan d = 1, 2, 4.
Kata kunci: pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib, double cones, friendship, grid

commit to user

iii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRACT
Surya Aji Nugroho, 2015. CYCLE-ANTI MAGIC COVERING OF DOUBLE
CONES GRAPH, FRIENDSHIP GRAPH AND GRID GRAPH Pn × P3 . Faculty
of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
A simple graph G = (V (G), E(G)) admits an H-covering if every edge
in E(G) belongs to a subgraph of G that is isomorphic to H. Let a bijective
function ξ : V (G)∪E(G) → {1, 2, . . . , |V (G)|+|E(G)|}
all subgraphs
∑ such that for∑
′
′
′
H isomorphic to H, the H -weights w(H ) =
v∈V (H ′ ) ξ(v) +
e∈E(H ′ ) ξ(e).
The weights of the subgraphs constitute an arithmetic progression a, a + d, a +

2d, . . . , a + (t − 1)d where a and d are positive integers and t is the number of
subgraphs of G isomorphic to H. The aim of this research is to study (a, d)-H-anti
magic covering on double cones, friendship, and grid Pn × P3 .
The results of this research are as follows. A double cones is (a, d)-C3 -anti
magic with d = 1, a friendship is (a, d)-Ck -anti magic with d = 2k − 1, j 2 − j +
2k − 1, (1 − 2k)2 , and a grid Pn × P3 is (a, d)-C4 -anti magic with d = 1, 2, 4.
Keywords: (a, d)-H-anti magic covering, double cones, friendship, grid

commit to user

iv

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

MOTO

Bergerak untuk membuat orang lain tergerak.

commit to user

v

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk bapak saya, Juwari dan mamak saya, Sri Hartini
dan Agen Maria Hill.

commit to user

vi

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, raja semesta alam atas segala kemudahan dan karunia-Nya yang diberikan, akhirnya penulis dapat menyelesaikan
laporan skripsi dengan baik dan lancar.
Penulis menyadari bahwa penulisan laporan skripsi ini banyak mengalami kesulitan, namun berkat bantuan, petunjuk, dan bimbingan dari berbagai
pihak baik moril maupun materiil, kesulitan-kesulitan dapat terselesaikan dengan
baik. Oleh karena itu, dengan segala ketulusan dan kerendahan hati, penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada Dra. Mania Roswitha, M. Si., pembimbing I
dan Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom., pembimbing II.
Akhir kata, penulis berharap semoga laporan ini dapat memberikan
manfaat bagi seluruh pihak yang membutuhkan.
Surakarta, Januari 2015
Penulis

commit to user

vii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

DAFTAR NOTASI

xi

ABSTRACT

I

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI

4

2.1

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1

Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Operasi-Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.3

Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.4

commit
to user
Pelabelan Selimut Anti
Ajaib
. . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.5

Batas Atas d pada Pelabelan Selimut Anti Ajaib . . . . . .

11

viii

perpustakaan.uns.ac.id

2.3

digilib.uns.ac.id

2.2.6

Teknik Multihimpunan k-seimbang . . . . . . . . . . . . .

11

2.2.7

Teknik Multihimpunan (k, δ)-anti seimbang . . . . . . . .

12

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

III METODE PENELITIAN

14

IV PEMBAHASAN

15

4.1

Pelabelan (a, d) - C3 - Anti Ajaib pada Graf Double Cones . . . .

20

4.2

Pelabelan (a, d) - Ck - Anti Ajaib pada Graf Friendship . . . . . .

22

4.3

Pelabelan (a, d) - C4 - Anti Ajaib pada Graf Grid . . . . . . . . .

26

V PENUTUP

31

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

DAFTAR PUSTAKA

32

commit to user

ix

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

2.1

Graf G dan graf H yang merupakan subgraf dari graf G . . . . . .

6

2.2

Graf G1 dan graf G2 yang isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

Graf G1 yang memiliki sisi ganda dan graf G2 yang memiliki loop

7

2.4

Graf dan komplemennya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.5

Union, join, dan product dari G1 dan G2 , dilambangkan dengan
G3 = G1 ∪ G2 , G4 = G1 + G2 , dan G5 = G1 × G2 . . . . . . . . .

9

2.6

Graf double cones DCn dengan n = 4 dan n = 5 . . . . . . . . . .

10

2.7

Graf friendship Dkn dengan k = 3, n = 3 dan n = 4 . . . . . . . .

10

2.8

Graf grid P3 × P4 dan P3 × P5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4.1

Pelabelan (52, 1)-C3 -anti ajaib pada graf double cones DC5 . . . .

22

4.2

Pelabelan (99, 7)-C4 -anti ajaib pada graf friendship D44 . . . . . .

25

4.3

Pelabelan (81, 19)-C4 -anti ajaib pada graf friendship D44 . . . . . .

25

4.4

Pelabelan (36, 49)-C4 -anti ajaib pada graf friendship D44 . . . . . .

26

4.5

Pelabelan (160, 1)-C4 -anti ajaib pada graf Pn × P3 . . . . . . . . .

28

4.6

Pelabelan (190, 2)-C4 -anti ajaib pada graf Pn × P3 . . . . . . . . .

29

4.7

Pelabelan (151, 4)-C4 -anti ajaib pada graf Pn × P3 . . . . . . . . .

30

commit to user

x

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI

V (G)

:

himpunan titik dari graf G

E(G)

:

himpunan sisi dari graf G

|V (G)| = vG

:

banyaknya titik dari graf G (order )

|E(G)| = eG

:

banyaknya sisi dari graf G (size)

u, v

:

titik

e = (u, v)

:

sisi yang ujung-ujungnya adalah titik u dan v

⊆

:

himpunan bagian

G

:

komplemen dari graf G

G1 ∼
= G2

:

graf G1 isomorfik dengan graf G2

G1 ∨ G 2

:

G1 join G2

G1 × G 2

:

G1 product G2

ξ, φ

:

fungsi bijektif

Cn

:

graf cycle dengan order n

Pn

:

graf lintasan (path) dengan order n

DCn

:

graf double cones dengan order n pada Cn

Dkn

:

graf friendship dengan n cycle

≡

:

kongruen

mod

:

operasi modulo

∪

:

operasi union

⊎

:

operasi union plus

commit to user

xi