Soal dan Penyelesaian Logika Matematika
Soal dan Penyelesaian Logika Matematika
1. Pernyataan (~ p V q ) Ʌ (p V ~q) ekuivalen dengan pernyataan ....
A. p → q
B. ~ p → q
C. p → ~ q
D. ~ p ↔ ~ q
E. p ↔ q
Penyelesaian :
Cara lebih cepat kita uraikan satu per satu :
Seperti yang kita ketahui, (~ p V q) ≡ (p → q), dan
(p V ~ q) ≡ (~ q V p ) Hukum Komutatif
≡ (q → p)
Jadi, (~ p V q ) Ʌ (p V ~q) ≡ (p → q) Ʌ (q → p) ≡ (p ↔ q)
Jawaban : E
2. Misalkan p adalah 9 + 7 = 17 dan q adalah 5 > 2. Maka pernyataan berikut yang bernilai
benar adalah ....
A. p Ʌ q
B. p V ~ q
C. p → q
D. q ↔ p
E. ~ p → ~ q
Penyelesaian :
p : 9 + 7 = 17 (bernilai salah)
q : 5 > 2 (benilai benar)
Jadi, agar pernyataan tersebut benilai benar maka (p → q)
Jawaban : C
3. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p → (p V ~ q) adalah ...
A. (p V ~ q) → ~ p
B. (~ p Ʌ q) → ~ p
C. (p V ~q) → p
D. (~ p V q) → ~ p
E. (p Ʌ ~ q) → p
Penyelesaian :
Ingat, misalnya diberikan suatu implikasi (p → q) maka kontraposisi pernyataan
tersebut berbentuk (~ q → ~ p)
Jadi, kontraposisi dari pernyataan p → (p V ~ q) adalah (~ p Ʌ q) → ~ p
Jawaban : B
4. Invers dari “jika x > 0 maka x² + x – 2 ≥ 0” adalah ....
A. Jika x > 0 maka x² + x – 2 < 0
B. Jika x < 0 maka x² + x – 2 ≤ 0
C. Jika x ≤ 0 maka x² + x – 2 < 0
D. Jika x < 0 maka x² + x – 2 < 0
E. Jika x ≤ 0 maka x² + x – 2 ≤ 0
Penyelesaian :
Ingat, misalnya diberikan suatu impikasi (p → q) maka invers dari pernyataan
tersebut berbentuk (~p → ~ q)
p:x>0
q : x² + x – 2 ≥ 0
Jadi, invers dari pernyataan jika x > 0 maka x² + x – 2 ≥ 0 adalah jika x ≤ 0 maka x² +
x–2 adalah ≤, sebaliknya
Jawaban : C
5. Konvers dari impikasi “jika sungai itu dalam, maka di sungai itu banyak ikan” adalah ....
A. Jika di sungai itu banyak ikan, maka sungai itu tidak dalam
B. Jika di sungai itu banyak ikan, maka sungai itu dalam
C. Jika tidak benar di sungai itu banyak ikan, maka tidak benar sungai itu dalam
D. Jika tidak benar sungai itu dalam, maka tidak benar di sungai itu banyak ikan
E. Jika di sungai itu tidak banyak ikan, maka sungai itu dalam
Penyelesaian :
Ingat, misalnya diberikan suatu implikasi (p → q) maka konvers dari pernyataan
tersebut berbentuk (q → p)
p : sungai itu dalam
q : di sungai itu banyak ikan
Jadi, konvers dari implikasi jika sungai itu dalam, maka di sungai itu banyak ikan
adalah jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu dalam
Jawaban : B
6. Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan q bernilai bernilai benar, maka
pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ....
A. p → q
B. ~ p → ~ q
C. ~ p ↔ ~ q
D. p V q
E. ~ p V q
Penyelesaian :
p : benilai salah
q : bernilai benar
Pernyataan yang bernilai salah adalah (~p ↔ ~ q)
Jawaban : C
7. Jika ~p adalah negasi dari p, maka kesimpulan dari pernyataan-pernyataan : p → q dan
~ q V ~ r adalah ....
A. r V p
B. ~ p V ~ r
C. ~ p → q
D. ~ r → p
E. ~ r → q
Penyelesaian :
p→q
≡p→q
~ q V ~r ≡ q → ~ r
Kesimpulan : p → ~ r ≡ ~ p V ~r
Jawaban : B
8. Jika pernyataan “Matahari bersinar dan hari tidak hujan” bernilai benar, maka
pernyataan itu ekuivalen/setara dengan pernyataan ....
A. Matahari tidak bersinar
B. Matahari bersinar dan hari hujan
C. Jika matahari bersinar maka hari hujan
D. Matahari tidak bersinar dan hari tidak hujan
E. Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari hujan
Penyelesaian :
Misal, p : Matahari bersinar
q : Hari tidak hujan
Pernyataan benilai benar yang memungkinkan hanya apabila p benilai benar dan q
bernilai benar
Obsen A : Matahari tidak besinar (~ p) maka benilai salah
Obsen B : Matahari bersinar dan hari hujan (p Ʌ ~ q) maka bernilai salah
Obsen C : Jika matahari bersinar maka hari hujan (p → ~ q) maka benilai
salah
Obsen D : Matahari tidak bersinar dan hari tidak hujan (~ p Ʌ q) maka bernilai
salah
Obsen E : Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari hujan (~ p ↔ ~ q)
maka bernilai benar
Jadi, pernyataan yang ekuivalen dengan matahari bersinar dan hari tidak hujan
adalah matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari hujan
Jawaban : E
9. Jika x adalah peubah pada bilangan real, nilai x yang memenuhi agar pernyataan “Jika
x² - 2x – 3 = 0 maka x² - x < 5” bernilai salah adalah ....
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Penyelesaian :
Misal, p : x² - 2x – 3 = 0
q : x² - x < 5
Pernyataan bernilai salah yang memungkinkan hanya apabila p bernilai benar dan
q bernilai salah
jika p bernilai benar maka :
x² - 2x – 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3 V x = -1
jika q bernilai salah maka :
untuk x = -1 → (-1)² - 1 < 5
0 < 5 (BENAR)
untuk x = 3 → (3)² - 3 < 5
6 < 5 (SALAH)
Jadi, x yang memenuhi agar pernyataan tersebut bernilai salah adalah 3
Jawaban : D
10. Diketahui tiga pernyataan berikut :
P : Jakarta ada di pulau Bali
Q : 2 adalah bilangan prima
R : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
Pernyataan majemuk berikut yang bernilai benar adalah ....
A. (~ P V Q) Ʌ R
B. (~ Q V ~ R) Ʌ (~ Q V P)
C. (P Ʌ ~ Q) Ʌ (Q V ~ R)
D. ~ P → R
E. ~ R Ʌ ~ (Q Ʌ R)
Penyelesaian :
P : Jakarta ada di pulau Bali (bernilai salah)
Q : 2 adalah bilangan prima (bernilai benar)
R : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil (bernilai salah)
Obsen A : (~ P V Q) Ʌ R = (B V B) Ʌ S = SALAH
Obsen B : (~ Q V ~ R) Ʌ (~ Q V P) = (S V B) Ʌ (S V S) = SALAH
Obsen C : (P Ʌ ~ Q) Ʌ (Q V ~ R) = (S Ʌ S) Ʌ (B V B) = SALAH
Obsen D : ~ P → R = B → S = SALAH
Obsen E : ~ R Ʌ ~ (Q Ʌ R) = B Ʌ ~ (B Ʌ S) = BENAR
Jadi, pernyataan majemuk yang bernilai benar adalah ~ R Ʌ ~ (Q Ʌ R)
Jawaban : E
11. Diberikan premis-premis sebagai berikut :
1) Jika x² ≥ 0 maka 2 merupakan bilangan prima
2) 2 bukan bilangan prima
Kesimpulan dari kedua premis di atas adalah ....
A. x² ≥ 0
B. x² > 0
C. x > 0
D. x² < 0
E. x ≠ 0
Penyelesaian :
Misal, p : x² ≥ 0
q : 2 merupakan bilangan prima
1) p → q
2) ~ q
Kesimpulan : ~ p (x² < 0)
Jawaban : D
12. Premis 1 : Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian
Premis 2 : Jika Adi lulus ujian, maka Adi diterima di Perguruan Tinggi Negeri
Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah ....
A. Jika Adi rajin belajar, maka Adi dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri
B. Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri
C. Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri
D. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian
E. Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri
Penyelesaian :
Misal, p : Adi rajin belajar
q : Adi lulus ujian
r : Adi diterima di Perguruan Tinggi Negeri
Premis 1 : p → q
Premis 2 : q → r
Kesimpulan : p → r (Jika Adi rajin belajar, maka Adi dapat diterima di Perguruan
Tinggi Negeri)
Jawaban : A
13. Perhatikan premis-premis berikut :
1) Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara
2) Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding
Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah ....
A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding
B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding
C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding
E. Saya ikut bertanding maka saya giata belajar
Penyelesaian :
Misal, p : Saya giat belajar
q : Saya bisa meraih juara
r : Saya boleh ikut bertanding
1) p → q
2) q → r
kesimpulan : p → r
yang ditanyakan pada soal adalah negasi dari kesimpulan kedua premis : ~ (p → r)
≡ p Ʌ ~ r (Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding)
Jawaban : A
14. Ingkaran dari pernyataan “Semua anak-anak suka bermain air” adalah ....
A. Tidak ada anak-anak yang suka bermain air
B. Semua anak-anak tidak suka bermain air
C. Ada anak-anak yang tidak suka bermain air
D. Tidak ada anak-anak yang tidak suka bermain air
E. Ada anak-anak yang suka bermain air
Penyelesaian :
Ingkaran dari pernyataan semua anak-anak suka bermain air adalah ada anak-anak
yang tidak suka bermain air
Jawaban : E
15. Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah ....
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima
Penyelesaian :
Ingakaran dari pernyataan beberapa bilangan prima adalah bilangan genap adalah
semua bilangan prima bukan bilangan genap
Jawaban : B
1. Pernyataan (~ p V q ) Ʌ (p V ~q) ekuivalen dengan pernyataan ....
A. p → q
B. ~ p → q
C. p → ~ q
D. ~ p ↔ ~ q
E. p ↔ q
Penyelesaian :
Cara lebih cepat kita uraikan satu per satu :
Seperti yang kita ketahui, (~ p V q) ≡ (p → q), dan
(p V ~ q) ≡ (~ q V p ) Hukum Komutatif
≡ (q → p)
Jadi, (~ p V q ) Ʌ (p V ~q) ≡ (p → q) Ʌ (q → p) ≡ (p ↔ q)
Jawaban : E
2. Misalkan p adalah 9 + 7 = 17 dan q adalah 5 > 2. Maka pernyataan berikut yang bernilai
benar adalah ....
A. p Ʌ q
B. p V ~ q
C. p → q
D. q ↔ p
E. ~ p → ~ q
Penyelesaian :
p : 9 + 7 = 17 (bernilai salah)
q : 5 > 2 (benilai benar)
Jadi, agar pernyataan tersebut benilai benar maka (p → q)
Jawaban : C
3. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p → (p V ~ q) adalah ...
A. (p V ~ q) → ~ p
B. (~ p Ʌ q) → ~ p
C. (p V ~q) → p
D. (~ p V q) → ~ p
E. (p Ʌ ~ q) → p
Penyelesaian :
Ingat, misalnya diberikan suatu implikasi (p → q) maka kontraposisi pernyataan
tersebut berbentuk (~ q → ~ p)
Jadi, kontraposisi dari pernyataan p → (p V ~ q) adalah (~ p Ʌ q) → ~ p
Jawaban : B
4. Invers dari “jika x > 0 maka x² + x – 2 ≥ 0” adalah ....
A. Jika x > 0 maka x² + x – 2 < 0
B. Jika x < 0 maka x² + x – 2 ≤ 0
C. Jika x ≤ 0 maka x² + x – 2 < 0
D. Jika x < 0 maka x² + x – 2 < 0
E. Jika x ≤ 0 maka x² + x – 2 ≤ 0
Penyelesaian :
Ingat, misalnya diberikan suatu impikasi (p → q) maka invers dari pernyataan
tersebut berbentuk (~p → ~ q)
p:x>0
q : x² + x – 2 ≥ 0
Jadi, invers dari pernyataan jika x > 0 maka x² + x – 2 ≥ 0 adalah jika x ≤ 0 maka x² +
x–2 adalah ≤, sebaliknya
Jawaban : C
5. Konvers dari impikasi “jika sungai itu dalam, maka di sungai itu banyak ikan” adalah ....
A. Jika di sungai itu banyak ikan, maka sungai itu tidak dalam
B. Jika di sungai itu banyak ikan, maka sungai itu dalam
C. Jika tidak benar di sungai itu banyak ikan, maka tidak benar sungai itu dalam
D. Jika tidak benar sungai itu dalam, maka tidak benar di sungai itu banyak ikan
E. Jika di sungai itu tidak banyak ikan, maka sungai itu dalam
Penyelesaian :
Ingat, misalnya diberikan suatu implikasi (p → q) maka konvers dari pernyataan
tersebut berbentuk (q → p)
p : sungai itu dalam
q : di sungai itu banyak ikan
Jadi, konvers dari implikasi jika sungai itu dalam, maka di sungai itu banyak ikan
adalah jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu dalam
Jawaban : B
6. Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan q bernilai bernilai benar, maka
pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ....
A. p → q
B. ~ p → ~ q
C. ~ p ↔ ~ q
D. p V q
E. ~ p V q
Penyelesaian :
p : benilai salah
q : bernilai benar
Pernyataan yang bernilai salah adalah (~p ↔ ~ q)
Jawaban : C
7. Jika ~p adalah negasi dari p, maka kesimpulan dari pernyataan-pernyataan : p → q dan
~ q V ~ r adalah ....
A. r V p
B. ~ p V ~ r
C. ~ p → q
D. ~ r → p
E. ~ r → q
Penyelesaian :
p→q
≡p→q
~ q V ~r ≡ q → ~ r
Kesimpulan : p → ~ r ≡ ~ p V ~r
Jawaban : B
8. Jika pernyataan “Matahari bersinar dan hari tidak hujan” bernilai benar, maka
pernyataan itu ekuivalen/setara dengan pernyataan ....
A. Matahari tidak bersinar
B. Matahari bersinar dan hari hujan
C. Jika matahari bersinar maka hari hujan
D. Matahari tidak bersinar dan hari tidak hujan
E. Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari hujan
Penyelesaian :
Misal, p : Matahari bersinar
q : Hari tidak hujan
Pernyataan benilai benar yang memungkinkan hanya apabila p benilai benar dan q
bernilai benar
Obsen A : Matahari tidak besinar (~ p) maka benilai salah
Obsen B : Matahari bersinar dan hari hujan (p Ʌ ~ q) maka bernilai salah
Obsen C : Jika matahari bersinar maka hari hujan (p → ~ q) maka benilai
salah
Obsen D : Matahari tidak bersinar dan hari tidak hujan (~ p Ʌ q) maka bernilai
salah
Obsen E : Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari hujan (~ p ↔ ~ q)
maka bernilai benar
Jadi, pernyataan yang ekuivalen dengan matahari bersinar dan hari tidak hujan
adalah matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari hujan
Jawaban : E
9. Jika x adalah peubah pada bilangan real, nilai x yang memenuhi agar pernyataan “Jika
x² - 2x – 3 = 0 maka x² - x < 5” bernilai salah adalah ....
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Penyelesaian :
Misal, p : x² - 2x – 3 = 0
q : x² - x < 5
Pernyataan bernilai salah yang memungkinkan hanya apabila p bernilai benar dan
q bernilai salah
jika p bernilai benar maka :
x² - 2x – 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3 V x = -1
jika q bernilai salah maka :
untuk x = -1 → (-1)² - 1 < 5
0 < 5 (BENAR)
untuk x = 3 → (3)² - 3 < 5
6 < 5 (SALAH)
Jadi, x yang memenuhi agar pernyataan tersebut bernilai salah adalah 3
Jawaban : D
10. Diketahui tiga pernyataan berikut :
P : Jakarta ada di pulau Bali
Q : 2 adalah bilangan prima
R : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
Pernyataan majemuk berikut yang bernilai benar adalah ....
A. (~ P V Q) Ʌ R
B. (~ Q V ~ R) Ʌ (~ Q V P)
C. (P Ʌ ~ Q) Ʌ (Q V ~ R)
D. ~ P → R
E. ~ R Ʌ ~ (Q Ʌ R)
Penyelesaian :
P : Jakarta ada di pulau Bali (bernilai salah)
Q : 2 adalah bilangan prima (bernilai benar)
R : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil (bernilai salah)
Obsen A : (~ P V Q) Ʌ R = (B V B) Ʌ S = SALAH
Obsen B : (~ Q V ~ R) Ʌ (~ Q V P) = (S V B) Ʌ (S V S) = SALAH
Obsen C : (P Ʌ ~ Q) Ʌ (Q V ~ R) = (S Ʌ S) Ʌ (B V B) = SALAH
Obsen D : ~ P → R = B → S = SALAH
Obsen E : ~ R Ʌ ~ (Q Ʌ R) = B Ʌ ~ (B Ʌ S) = BENAR
Jadi, pernyataan majemuk yang bernilai benar adalah ~ R Ʌ ~ (Q Ʌ R)
Jawaban : E
11. Diberikan premis-premis sebagai berikut :
1) Jika x² ≥ 0 maka 2 merupakan bilangan prima
2) 2 bukan bilangan prima
Kesimpulan dari kedua premis di atas adalah ....
A. x² ≥ 0
B. x² > 0
C. x > 0
D. x² < 0
E. x ≠ 0
Penyelesaian :
Misal, p : x² ≥ 0
q : 2 merupakan bilangan prima
1) p → q
2) ~ q
Kesimpulan : ~ p (x² < 0)
Jawaban : D
12. Premis 1 : Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian
Premis 2 : Jika Adi lulus ujian, maka Adi diterima di Perguruan Tinggi Negeri
Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah ....
A. Jika Adi rajin belajar, maka Adi dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri
B. Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri
C. Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri
D. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian
E. Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri
Penyelesaian :
Misal, p : Adi rajin belajar
q : Adi lulus ujian
r : Adi diterima di Perguruan Tinggi Negeri
Premis 1 : p → q
Premis 2 : q → r
Kesimpulan : p → r (Jika Adi rajin belajar, maka Adi dapat diterima di Perguruan
Tinggi Negeri)
Jawaban : A
13. Perhatikan premis-premis berikut :
1) Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara
2) Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding
Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah ....
A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding
B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding
C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding
E. Saya ikut bertanding maka saya giata belajar
Penyelesaian :
Misal, p : Saya giat belajar
q : Saya bisa meraih juara
r : Saya boleh ikut bertanding
1) p → q
2) q → r
kesimpulan : p → r
yang ditanyakan pada soal adalah negasi dari kesimpulan kedua premis : ~ (p → r)
≡ p Ʌ ~ r (Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding)
Jawaban : A
14. Ingkaran dari pernyataan “Semua anak-anak suka bermain air” adalah ....
A. Tidak ada anak-anak yang suka bermain air
B. Semua anak-anak tidak suka bermain air
C. Ada anak-anak yang tidak suka bermain air
D. Tidak ada anak-anak yang tidak suka bermain air
E. Ada anak-anak yang suka bermain air
Penyelesaian :
Ingkaran dari pernyataan semua anak-anak suka bermain air adalah ada anak-anak
yang tidak suka bermain air
Jawaban : E
15. Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah ....
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima
Penyelesaian :
Ingakaran dari pernyataan beberapa bilangan prima adalah bilangan genap adalah
semua bilangan prima bukan bilangan genap
Jawaban : B