Relasi dan fungsi 1 (2)

MATEMATIKA
KELAS VIII
SEMESTER
SATU/GANJIL
MATERI DAN LATIHAN

BAB II
RELASI DAN FUNGSI
05/20/18

1

SELAMAT
BELAJAR
SEMOGA
BERHASIL
DAN SUKSES
05/20/18

2

Oleh :
Muhamad Sidiq
A410080079
05/20/18

3

A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B
adalah pemasangan anggota-anggota A
dengan anggota-anggota B.
Relasi dalam matematika misalnya : lebih
dari , kurang dari , setengah dari , faktor
dari , dan sebagainya .
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1,
2, 3 } . Jika
himpunan A ke himpunan B dinyatakan
relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya

dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :
05/20/18

4

Kurang dari

B

A

1
2
3
4

.
.
.
.

.1
.2
.3

Diagram disamping
dinamakan diagram
panah . Arah relasi
ditunjukkan dengan anak
panah dan nama
relasinya adalah
“ kurang dari “

05/20/18

5

2. Menyatakan
Relasi
Relasi antara dua himpunan dapat

dinyatakan dengan 3 cara , yaitu :
Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan
Himpunan pasangan berurutan .
a. Diagram Panah
Contoh :
1. Jika Anto suka sepakbola , Andi
suka voli
dan bulutangkis serta Budi dan Badri
suka
basket dan sepakbola . Buatlah
Diagram
Panah keadaan tersebut apabila A
05/20/18

6

A

05/20/18

Suka akan

B

Anto .

. Voli

Andi .

. Basket

Budi .

. Bulutangkis

Badri .

. Sepakbola

7

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan
Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah
diagram
panah yang menyatakan relasi
dari P
dan Q dengan hubungan :
a. Setengah dari
Setengah dari
Q
b. Faktor dari P
1
Jawab :
a.
1.
.2

05/20/18

2 .

.4

3 .

.6

4 .

.8

8

b.

05/20/18

P Faktor dari Q
1 .

.2

2 .

.4

3 .

.6

4 .

.8

9

b. Diagram
Cartesius
Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan
B = { 1, 2, 3, …, 10 }.
Gambarlah diagram cartesius yang
menyatakan relasi A ke B dengan
hubungan :
a. Satu lebihnya dari
b. Akar kuadrat dari
05/20/18

10

Himpunan B

Jawab :
a . Satu lebihnya dari
10
9
8
7
6

5
4
3
2
1
0
05/20/18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Himpunan A
11

b. Akar kuadrat dari

Himpunan B

Jawab :

10
9

8
7
6
5
4
3
2
1
0

05/20/18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Himpunan A

12

C. Himpunan pasangan
berurutan
Contoh :
Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan
B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan
yang menyatakan relasi A ke B dengan
hubungan :
a. kuadrat dari
05/20/18

b. dua kali dari

13

Jawab :
a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4),
(25,5) }
b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4),
(10,5), (12,6),
(14,7),(16,8), (18,9),(20,10)
}

05/20/18

c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5),
(5,6), (6,7),
(7,8), (8,9), (9,10) }

14

B.
1.
Pengertian Fungsi
FUNGSI
Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu
aturan yang memasangkan tiap
anggota x pada suatu himpunan
(daerah asal / domain), dengan tepat
sebuah nilai y dari himpunan kedua
(daerah kawan / kodomain). Himpunan
nilai yang diperoleh disebut daerah
hasil / range fungsi tersebut .
Untuk lebih memahami pengertian
diatas perhatikan contoh berikut :

05/20/18

15

Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah
ini :
A

B
. 1

0.
2.
4.
6.
Daerah asal/
Domain
05/20/18

. 2
. 3

Daerah hasil/
Range

. 4
. 5
Daerah kawan/
kodomain
16

Dari diagram panah diatas dapat dilihat
bahwa :
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4,
5}
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

05/20/18

17

2. Notasi Fungsi
Fungsi/ pemetaan dapat
dinotasikan
dengan huruf kecil f , g , h , dan
sebagainya.
Misal :
f : x  y dibaca f memetakkan x
ke y ,
maka
y = f(x) dibaca sama dengan f dari
x
digunakan untuk menunjukkan
bahwa y

05/20/18

18

Suatu fungsi juga dapat dinyatakan
dengan tiga cara yaitu dengan diagram
panah , diagram cartesius , dan
himpunan pasangan berurutan .
Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B =
{ 1, 2, 3, 4 }
a. Buatlah diagram panah yang
menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a
1 ,
i  2 , u 1 , e  4 , o  2 .

05/20/18

19

Jawab :
a . Diagram
panah
A

B

a.
.1
i .
.2
u.
.3
e.
.4
o.

05/20/18

20

b. Diagram cartesius
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
05/20/18

a i

u e o
21

c. Himpunan pasangan
berurutan
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) ,
(o , 2) }

05/20/18

22

3. Banyaknya pemetaan dari dua
himpunan
Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka
banyak pemetaan yang mungkin terjadi
dari
himpunan A ke B adalah ba dan
himpunan B ke A adalah ab

Contoh :
Berapa banyaknya pemetaan yang
mungkin terjadi untuk pemetaan
berikut :
a. Dari himpunan A = {a} dan B =

05/20/18

23

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}
d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }
e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}
f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}
g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N =
{1,2,3,4,5}

Jawab :
a. n(A) = 1 , n(B) = 1
Banyak pemetaan 11 = 1
b. n(C) = 1 , n(D) = 2
Banyak pemetaan 21 = 2
05/20/18

24

c. n(E) = 2 , n(F) = 1
Banyak pemetaan 12
d. n(G) = 1 , n(H) = 3
Banyak pemetaan 31
e. n(I) = 2 , n(J) = 2
Banyak pemetaan 22
f. n(K) = 5 , n(L) = 3
Banyak pemetaan 35
g. n(M) = 4 , n(N) = 5
Banyak pemetaan 54
05/20/18

= 1
= 3
=4
= 243
= 625
25

4. Merumuskan suatu fungsi
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y dan
dapat dinyatakan dengan f(x) .
Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y .
Contoh :
Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan
daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x  A}
a. Tentukan rumus fungsi !
b. Tentukan daerah asal fungsi !
c . Tentukan daerah hasil fungsi !
d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !
05/20/18

26

Jawab :
a. Rumus fungsi f(x) = x +2
b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }
c. Daerah hasil : f(x) = x + 2
untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4
x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5
x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6
x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7
Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }
d. f(x) = 15
x + 2 = 15
x = 15 – 2
x = 13
Jadi nilai
x = 13

05/20/18

27

Uji Kompetensi 4
1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B =
{ 0, 1, 2, 3, }
Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya
dari “ , maka :
a. Himpunan pasangan berurutan :
{ ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) }
A
B
b. Diagram Panah

05/20/18

28

Pembahasan
1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = {
0, 1, 2, 3, }
Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya
dari “ ,
maka :
a. Himpunan pasangan berurutan :
{ ( 2,0), (3,1),Dua
(4,2),
(5,3)
lebihnya
dari }
A
B
b. Diagram Panah

05/20/18

2
3
4
5

.
.
.
.

.0
.1
.2
.3

29

2. Gambarlah relasi-relasi berikut
dengan
diagram panah. Kemudian
tentukan
termasuk fungsi atau bukan fungsi
!
a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
05/20/18

30

Pembahasan
a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
bukan fungsi karena ada
anggota x
yang berpasangan lebih dari
satu
x
y
dengan anggota y .
Bukan fungsi
.2
1.
.3
2.
.4
3.
.5
05/20/18

31

b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

05/20/18

A

B

1.

.1

2.

.2

3.

.3

Fungsi

32

c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

05/20/18

P

Q

3.

.4

5.

.6

7.

.8

Fungsi

33

d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

05/20/18

K

L

2.

.3

3.

.4

4.

.5

Fungsi

34

3 . Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain

{ -2, -1, 0, 1, 2 } .
a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram
panah .
b. Nyatakan dalam himpunan
pasangan
berurutan .
c. Tulis range dari f .

05/20/18

35

a.
+3

Pembahasa
n
Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x
Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3

=1
x = -1 maka f(-1) = -1 +
3=2
x
x+3 = 0 + 3
x = 0 maka
f(0)

=3

-2 .
-1 .
0.
1 .
2.

.
.
.
.
.

1
2
3
4
5

x = 1 maka f(1) = 1 + 3
=4
05/20/18

x = 2 maka f(2) = 2 + 3

36

b. Himpunan pasangan berurutan
{ (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }
c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3,
4, 5 )

05/20/18

37

4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x
+ 1 dengan
daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } .
Tentukan :
a. Daerah hasil / bayangan .
b. Himpunan pasangan berurutan .

05/20/18

38

05/20/18

Pembahasa
n
:
a. f(x) = ½ x + 1
f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2
f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3
f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4
f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5
f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 =
6
Jadi Range / daerah hasil /
daerah bayangan = { 2, 3, 4,
5, 6 }
b. Himpunan pasangan

39

5. Dengan tanpa membuat diagram
panahnya terlebih dahulu , tentukan
banyaknya pemetaan yang mungkin
dari :
a. A = {a, b, c}
B = {1, 2}
b. A = {1, 2}
B = {a, b, c}
c. A = {a, b, c}
B = {1, 2, 3}
d. A = {a, b, c}
B = {1, 2, 3, 4}
e. A = {1, 2}
B = {a, b, c, d}
05/20/18

40

Pembahasan
a. A = {a, b, c}
b. A = {1, 2}
c. A = {a, b, c}
27
d. A = {a, b, c}
64
e. A = {1, 2}
16

05/20/18

B = {1, 2} ------ 2 3 = 8
B = {a, b, c} ----- 3 2 = 9
B = {1, 2, 3} ------- 3 3 =
B = {1, 2, 3, 4} ----- 4 3 =
B = {a, b, c, d} ----- 4 2 =

41

05/20/18

42

C. Menghitung Nilai
Fungsi

Untuk menghitung nilai fungsi dapat
digunakan rumus :
f (x) = ax + b
Contoh :
1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 
5x -3
Tentukan :
a. Rumus funsi .
b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .
05/20/18

43

Jawab :
a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3
untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17
x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 =
-8
Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17
dan
x = -1 adalah -8
05/20/18

44

2.
Suatu
fungsi dirumuskan g (x) = -4x +
Tentukan :
a. g ( -2 )
b. Nilai a jika g (a) = -5

05/20/18

45

Jawab :
a. g (x) = -4x + 3
g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3
=8+3
= 11
b. g (a) = - 4a + 3
- 4a + 3 = - 5
- 4a = - 5 – 3
- 4a = - 8
a = 2
05/20/18

46

D. MENENTUKAN BENTUK
FUNGSI

Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika
data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier
dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .
Contoh :
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .
Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya
c. Bayangan dari – 3

05/20/18

47

Jawab :
a. f (x) = ax + b
f (2) = 2a + b = 10
 2a + b = 10
f (-4) = -4a + b = -8  -4a + b = -8
6a
= 18
a
= 3
untuk a = 3  2a + b = 10
2 . 3 + b = 10
6 + b = 10
b =4
Jadi , nilai a = 3 dan b = 4
05/20/18

48

b. f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 4
Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x
+4
c. Bayangan dari – 3
f (x) = 3x + 4
f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4
=-9+4
=-5
05/20/18

49

Uji Kompetensi 5
1 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x)
=x+1
a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) !
b. Tulislah daerah hasilnya !
c . Jika f (a) = 3 maka tentukan
nilai a !
05/20/18

50

Pembahasan

05/20/18

a . f (x) = x + 1
f (2) = 2 + 1 = 3
f (-3) = -3 + 1 = -2
f(½)=½+1=1½
b. Daerah hasil = { (2,3),(-3,½),(½,
1 ½) }
c. f (a) = a + 1
3 =a+1
a =2

51

2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) =
x2 – 4
a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h
(½) !
b. Tentukan p bila h (p) = 0 !

05/20/18

52

Pembahasan

05/20/18

a. h (x) = x2 – 4
h (-3) = (-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5
h (5) = (5)2 – 4 = 25 – 4 = 21
h (½) = (½)2 – 4 = ¼ - 4 = - 3 3/4
b. h (p) = p2 – 4
h (p) = 0
0
= p2 - 4
p2 = 4
p =2

53

3 . Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1)
= -3 dan
f (0) = -1 . Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya

05/20/18

54

Pembahasan
a. f (x) = ax + b
f (1) = a + b = 3
 a +b=3
f (0) =
b = -1 
b = -1 a
= 4
Jadi a = 4 dan b = -1
b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4x
-1
05/20/18

55

05/20/18

56

E. Menggambar Grafik
Fungsi

Untuk menggambar grafik fungsi ada
cara yang mudah yang dapat dilakukan
terlebih dahulu yaitu membuat tabel
dengan mendaftar semua daerah asalnya
.
1. Grafik Fungsi Linier
Contoh :
1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1
dengan domain {x/0
 x 5 , x  C}



05/20/18

57

Jawab :
f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }

x

0
1

1
2

2
3

3
4

4
5

5
6

x+1
{x,f(x)}
(0,1)(1,2)(2,3) (3,4)(4,5)(5,6)

05/20/18

58

Grafiknya :

f (x) = x + 1 , x  c (0,1,2,3,4,5)

x+1

{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
05/20/18

0

1 2 3 4 5
x

59

2. a. Buatlah tabel fungsi g : x  -2x + 1
dengan
daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !
b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :
(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !
(ii) himpunan pasangan berurutan !
(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut
pada
bidang cartesius , kemudian
hubungkan titik-titik tersebut
sehingga
menjadi suatu garis lurus.
05/20/18

60

Jawab :
a. g (x) = - 2x + 1

x

-4 -3 -2 -1
-2x 8 6 4 2
1 1 1 1 1
g (x) 9

05/20/18

7

5

3

0
0

1
-2

2
-4

3
-6

1

1

1

1

1

-1

-3

-5

61

b. (i) Bayangan dari :
-2 adalah 5
0 adalah 1
2 adalah -3
(ii) Himpunan pasangan berurutan :
{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),
(1,-1),
(2,-3),(3,-5) }
05/20/18

62

g (x) = -2x + 1

(iii) Grafiknya :

9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-2
-3

3

-4
-5
05/20/18

63

05/20/18

64

Uji Kompetensi 6
1. Tentukanlah f (x) = 2x untuk
daerah
 asal

{ x/ -4 x < 4 , x  B }.
a. Buatlah tabel fungsinya !
b. Tulislah rangenya !
c. Gambarlah grafik fungsinya !

05/20/18

65

Pembahasan
a. Tabel fungsi : f(x) = 2x

x

-4 -3 -2 -1

f(x) -8 -6

0

1

2 3

-4 -2 0

2

4 6

x, f(x)(-4,-8)(-3,-6)(-2,-4)(-1,-2) (0,0) (1,2) (2,4)
b. Range : { -8,-6,-4,2,0,2,4,6 }

05/20/18

(3,6)

66

Grafiknya :

9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-2
-3

3

-4
-5
-6
05/20/18

67