01 Logika dan ekuivalensi Logika

Abdul Munif, S. Kom, M. Sc. Eng

 Buku

Teks :

Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H
Rossen, McGraw-Hill

 Penilaian

Tugas
 Kuis
 UTS
 UAS


:
: +/- 10%
: +/- 15%
: +/- 35%

: +/- 40%

 Pengumpulan

tugas harus tepat waktu

 Lebih awal : ada tambahan poin
 Terlambat : 10*hari keterlambatan

 Office

Hour :

 Senin – Rabu (08:00-10:00 & 15:00-17:00)
 Ruangan : IF-231

 E-mail

: kuliah.munif@gmail.com

 Logic and proofs, Sets, and Functions
 Algorithms, integers, and matrices
 Mathematical reasoning, induction, and

recursion
 Counting
 Advanced counting techniques
 Relations

Bab 1
Sub-bab 1.1 – 1.2

 Memahami

tentang logika proposional
 Memahami tentang penggunaan
operator logika pada proposisi
 Memahami tentang ekuivalensi pada
logika proposional







Logika adalah dasar dari penjabaran matematika
(mathematical reasoning)
Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara
benar
Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) /
kalimat (sentence).
Contoh:
Dino adalah mahasiswa ITS.
Semua mahasiswa ITS pandai.
Dino orang pandai.
Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan
isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama
di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.



Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau
kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 /
salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q,
dsb.



Biasanya berbentuk kalimat deklaratif
Contoh proposisi:
 Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23.
 Untuk setiap bilangan bulat n, ada bilangan prima yang lebih

besar daripada n

Contoh bukan proposisi:
 Berapa harga tiket ke Malaysia?
 Silakan duduk.

 Jika

p dan q adalah proposisi, dapat
dibentuk proposisi (majemuk) baru
(compound proposition) dengan
menggunakan konektif
 Macam-macam konektif:







AND (konjungsi)
Simbol ^
Inclusive OR (disjungsi)
Simbol v
Exclusive OR Simbol 
NOT (negasi)

Simbol 
Implikasi Simbol 
Implikasi ganda Simbol 







NEGASI
(NOT)
KONJUNGSI
(AND)
DISJUNGSI
(OR, XOR)
IMPLIKASI
IMPLIKASI GANDA

Catatan: mengatasi tingkat presedensi dengan cara

memberikan kurung di pada proposisi yang ingin
didahulukan

p

q

p q

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Contoh :
 p = Harimau adalah binatang
buas
 q = Malang adalah ibukota
Jawa Timur
 p ^ q = Harimau adalah
binatang buas dan Malang

adalah ibukota Jawa Timur
 Perhatikan bahwa tidak perlu
ada keterkaitan antara p dan q

p
0

q

pvq

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Contoh:
 p = Jono seorang mahasiswa
 q = Mira seorang sarjana hukum
 p v q = Jono seorang mahasiswa atau
Mira seorang sarjana hukum





“Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q
p

q

pq

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

p  q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah,
atau p salah dan q benar
 p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer"
 p  q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer"

p

p

0

1

1

0

Contoh:
 p = Jono seorang mahasiswa
 p = Jono bukan seorang mahasiswa

 p,

q, r merupakan kalimat / pernyataan
sederhana (simple statements)
 Beberapa contoh bentukan compound
statements, seperti:
 (pq)^r
 p(q^r)
 (p)( q)
 (pq)^( r)
 dll

 p = There is a hurricane
 q = It is raining
 r = The sun is shining
 Now, represent the proposition:
 Either there is a hurricane and it is not true

that the sun is shining, or it is raining
 (p^~r)q

p

q

r

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

(p   r)  q

 Disebut

juga proposisi kondisional
(conditional proposition) dan berbentuk
“jika p maka q”
 Notasi simboliknya : p  q
Contoh:
p = Jono seorang mahasiswa
q = Mira seorang sarjana hukum
p  q = Jika Jono seorang mahasiswa maka
Mira seorang sarjana hukum

p

q

pq

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 Dalam

implikasi p  q
p disebut antecedent, hypothesis,
premise
q disebut konsekuensi atau konklusi
(consequent, conclusion)

 Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi.
 Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa.
 Perlu = necessary; Cukup = sufficient
 Contoh:
▪ Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang
sarjana hukum
 Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum
 Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa

 Implikasi

Ganda (double implication) dibaca
“p jika dan hanya jika q”
 Notasi simboliknya p  q
 p  q ekivalen dengan (p  q)^(q  p)
p

q

0

0

pq
1

(p  q) ^ (q  p)
1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1




Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik
disebut ekivalen (logically equivalent).
Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p 
q
p

q

pq

pq

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1






Konversi dari p  q adalah q  p
Inversi dari p  q adalah  p   q
p  q tidak ekivalen q  p
p  q tidak ekivalen  p   q

p

q

pq

qp

p  q

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

 kontrapositif

dari proposisi p  q adalah

qp
 p  q dan  q   p ekivalen
p

q

0

0

pq
1

qp
1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

Ekivalensi

Nama

pTp
pFp

Identity laws

pTT
pFF

Domination laws

ppp
ppp

Idempotent laws

(p)  p

Double negation laws

pqqp
pqqp

Commutative laws

(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  ( q  r)

Associative laws

Ekivalensi

Nama

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

Distributive laws

(p

 q)  ( p)  ( q)
(p  q)  ( p)  ( q)

De Morgan’s laws

p  (p  q)  p
p  (p  q)  p

Absorption laws

p  p  T
p  p  F

Negation laws

Ekivalensi
p  q  p  q
p  q  q  p
p  q  p  q
p  q  (p  q)
(p  q)  p   q
(p  q)  (p  r)  p  (q  r)
(p  r)  (q  r)  (p  q)  r
(p  r)  (q  r)  (p  q)  r
(p  r)  (q  r)  (p  q)  r
(p  q)  (p  r)  p  (q  r)
(p  r)  (q  r)  (p  q)  r

Ekivalensi
p  q  (p  q)  (q  p)
p  q  p  q
p  q  (p  q)  (p  q)
(p  q)  p   q

 Proposisi

yang selalu bernilai benar
(true) dalam keadaan apapun
 Contoh: p  p v q
p

q

0

0

ppvq
1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 Proposisi

yang selalu bernilai salah
(false) dalam keadaan apapun
 Contoh : p ^  p
p

p ^ ( p)

0

0

1

0

1. Dari bbrp kalimat dibawah ini mana yang

termasuk proposisi ? Tentukan nilai kebenaran
dari proposisi tsb.

Solo adalah ibukota propinsi jawa tengah.
Jangan lakukan.
2+3=5
x + y = y + x untuk setiap pasangan dari
bilangan real x dan y
 Jam berapa sekarang?
 x+1=2
 x+y=z





2. p dan q adalah proposisi, dimana :
p : I bought a lottery ticket this week
q : I won the million dollar jackpot on
Friday
Ubahlah proposisi dibawah ini menjadi kalimat:
 p
 pq
 pq
 p  q
 p  (p  q)

3. Tentukan apakah (p  (p  q))  q
adalah tautologi?
4. Tunjukkan bahwa p  q dan (p  q)  (p
 q) adalah ekivalen