EL 2002 Probabilitas dan Statistik

Dosen: Andriyan B. Suksmono

EL2002-Probabilitas dan Statistik

2. Peubah Acak
(Random Variable)

Isi
0. Review dari EL2009
•
Konsep Peubah Acak
•
Sebaran Peluang Diskrit
•
Sebaran Peluang Kontinyu
•
Sebaran Empiris
•
Sebaran Peluang Gabungan
•
Nilai Harap

•
Hukum Nilai Harap
•
Sifat Variansi
•
Teorema Chebyshev

Konsep Pubah Acak
•

Eksperimen statistik dipakai untuk menyatakan proses
dimana pengukuran peluang dilakukan.
• Seringkali, yang lebih penting bukanlah detail dari hasil
eksperimen, tetapi gambaran numerik terkait eksperimen
tsb. Contoh: pelantunan koin 3 kali memberikan hasil
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
•

Gambaran umum mengenai jumlah H yang muncul dapat
dilakukan jika nilai-nilai 0, 1, 2, atau 3 bisa dikaitkan

dengan hasil diatas. Hal ini dilakukan melalui konsep
peubah acak (random variable).

Definisi
•

Def.2.1: Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan riil
yang ditentukan oleh setiap anggota dari ruang cuplikan
disebut sebagai peubah acah (random variable).
S

Random
variable

R
-2

•

0

1

Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnyaX,
sedangkan nilainya dengan huruf kecil-nya, yakni x untuk
kasus ini. Untuk kasus pelantunan koin tsb diatas, X akan
bernilai 2 untuk peristiwa: E = {HHT, HTH, THH}

Contoh
•

Contoh 2.1 Dua bola diambil berturutan secara acak, tanpa
penggantian, dari suatu wadah yang berisi empat bola
merah (R) dan tiga bola hitam (B). Hasil dapat muncul dan
nilai y dari peubah acak Y, dimana Y menyatakan
banyaknya bola merah adalah
Peristiwa

y

RR

2

RB

1

BR

1

BB

0

…
•

Contoh 2.2: Petugas penyimpanan helm mengembalikan

helm dari tiga orang pegawai Smith, Jones, dan Brown
dalam urutan spt itu. Jika helm diambil acak dan
dikembalikan sesuai urutan pegawai diatas, dan m
menyatakan jumlah helm yang kembali ke pemilik
sebenarnya , kemungkinan berikut bisa terjadi:
Peristiwa
SJB
SBJ
JSB
JBS
BSJ
BJS

m
3
1
1
0
0
1

Peubah acak diskrit dan kontinyu
• Def.2.2: Ruang cuplikan yang mengandung
sejumlah berhingga titik cuplikan, atau sejumlah
tak berhingga titik sebanyak seluruh bilangan
bulat, disebut sebagai ruang cuplikan diskrit, dan
peubah acak yang didefinisikan dalam ruang ini
disebut sebagai peubah acak diskrit.
• Def.2.3: Ruang cuplikan yang mengandung
sejumlah takberhingga titik cuplikan, sebanyak
seluruh titik dalam segmen garis, disebut sebagai
ruang cuplikan kontinyu, dan peubah acak yang
didefinisikan dalam ruang ini disebut sebagai
peubah acak kontinyu.

Sebaran Peluang Diskrit

Sebaran peluang diskrit
•

Dalam kasus pelantunan koin tiga kali, peubahX yang
menyatakan banyaknya H muncul akan memberikan
peluang 3/8 untuk x=2.
• Untuk kasus pengembalian helm, peluang tidak satupun
pegawai mendapatkan helm yang benar, yakni m=0, adalah
2/6=1/3. Kita bisa membuat tabel berikut:

•

m

0

1

3

P(M=m)

1/3

1/2

1/6

Nilaim menyatakan semua kasus yang mungkin terjadi,
sehingga seluruh peluang akan berjumlah 1.
• Seringkali lebih praktis menyatakan semua kemungkinan
peubah acak X kedalam formula. Jadi kita tuliskan
f(x) = P(X=x) , misalnya f(3) = P(X=3)

Fungsi atau sebaran peluang
•

Def.2.4: Fungsif(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran
peluang dari peubah acak X jika, untuk setiap hasil yang
muncul x berlaku:
1. f(x) ≥ 0
2. Σx f(x) = 1
3. P(X =x) = f(x)

•

Contoh 2.3: Tentukan sebaran peluang dari jumlah sepasang
mata dadu jika dilantunkan.
Jawab: AndaikanX peubah acak yang nilainya x merupakan
jumlah pasangan mata dadu. Maka x akan bernilai dari 2
sampai 12. Sepasang dadu akan memiliki kombinasi muncul
sebanyak 6⋅6 = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1/36.

•

..
Mata
Dadu

1

2

3

4

5

6

1
2
3
4
5
6

2
3
4
5
6

7

3
4
5
6
7
8

4
5
6
7
8
9

5
6
7
8
9
10

6
7
8
9
10
11

7
8
9
10
11
12

X

x

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f(x)

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

Sebaran kumulatif
•

•

•

Def.2.5: Sebaran kumulatifF(x) dari peubah acak diskrit X
dengan sebaran peluang f(x) adalah
F(x) = P(X ≤ x) = Σt≤x f(t)
Contoh 2.4 dan 2.5: Suatu koin dilantunkan empat kali. Tentukan:
1) formula sebaran peluang munculnya H yaitu f(x), dan
2) sebaran kumulatif F(x) nya.
Jawab:
1. Jumlah titik cuplikan ada 24 = 16. Jika x menyatakan banyaknya
muncul H, akan ada kombinasi sebanyak C(4,x). Dengan
demikian f(x) = C(4, x)/16, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4
f(0) = (4!/4!)/16 = 1/16 ; f(1)=(4!/3!)/16 = 4/16;
f(2) = (4!/(2!2!))/16 = 6/16; f(3) = f(1); f(4)= f(0);
1. Berdasarkan Def.2.5, diperoleh : F(0) = f(0) = 1/16;
F(1) = f(0) + f(1) = 5/16; ... dst

…
•

Dengan demikian

⎧0, untuk x < 0
⎪ 1 , untuk 0 ≤ x < 1
⎪ 16
⎪⎪ 516 , untuk 1 ≤ x < 2
F (x ) = ⎨
11 , untuk 2 ≤ x < 3
⎪ 16
⎪1516 , untuk 3 ≤ x < 4
⎪
⎪⎩1, untuk x ≥ 4

F(x)
1
3/4
1/2
1/4

0

1

2

3

4

Sebarang kumulatif diskrit

x

Sebaran peluang dlm bentuk grafis
•

6/16

Dari contoh 2.4: f(x) = C(4,x)/16
X

0

1

2

3

4

f(x)

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16

6/16

f(x)

5/16

5/16

4/16

4/16

3/16

3/16

2/16

2/16

1/16

f(x)

Luas=f(x)

1/16

0

1 2 3
Bar-chart

4

x

0
1
2 3
4
Histogram peluang

x

2.3 Sebaran peluang kontinyu

Arti kerapatan peluang (kontinyu)
•

Tinjau sebaran tinggi badan dari orang berumur 21 thn.
Antara sebarang dua nilai, mis. 163.5 – 164.5, ada tak
hingga macam tinggi badan.
– Peubah acak kontinyu memiliki peluang nol untuk suatu nilai
eksak dari peubah acak ini.
P(a