distribusi dan frekuensi dan grafiknya
BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Sebelum kita melangkah ke materi yang lebih komplek lagi, perlu diketahui
maksud dan pengertian dari statistika dan statistik. Pada dasarnya, istilah statistik
memiliki makna yang berbeda dengan statistika. Istilah statistik bermakna yakni
kumpulan data, bilangan atau non bilangan yang disusun/disajikan sedemikian rupa
dalam bentuk table ataupun grafik yang menggambarkan suatu persoalan ataupun
keadaaan. Sedangkan statistika merupakan ilmu pengetahuan yang berhubungan
tentang cara-cara pengumpulan, pengajian, pengolahan, dan analisis data, serta
teknik-teknik analisis data.
Statistika digunakan sebagai cara-cara ilmiah untuk mengumpulkan,
menyusun, meringkas dan menyajikan data suatu penelitian. Dalam arti yang lebih
lanjut atau luas, statistika merupakan cara untuk mengolah data dan menarik
kesimpulan-kesimpulan yang teliti dan keputusan yang logic dari sebuah proses
pengolahan data tersubut. Sedngkan statistik lebih banyak digunakan untuk
menggambarkan atau mendiskripsikan suatu persoalan atau keadaan.
Berdasarkan uraikan diatas, maka dalam sebuah penelitian dapat diketahui
fungsi dan peranan statistika, yakni sebagai berikut:
Statistika memungkinkan pencatatan data penilitian secara eksak.
Statistika menunjukkan peneliti menganut tata pikir dan tata kerja yang definit
dan eksak.
Statistika menyediakan cara-cara meringkas data kedalam bentuk yang
banyak artinya dan lebih gampang dalam pengerjaannya.
Statistika memberi dasar-dasar untuk menarik kongklusi-kongklusi melalui
proses-proses yang mengikuti tata cara yang sesuai dengan ilmu pengetahuan.
Statistika memberikan landasan untuk meramalkan secara ilmiah tentang
sebagaimana sesuatu gejala akan terjadi dalam kondisi-kondisi yang telah
diketahui.
Statistika memungkinkan penelitian menganalisis, menguraikan sebab-akibat
yang komplek dan rumit,yangmana jika tanpa statistika merupakan peristiwa
yang membingungkan, dan kejadian yang tak teruraikan.
Dalam statistika terdiri atas beberapa judul besar diantaranya yakni
distribusi,frekuensi dan grafiknya.
1
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Definisi dan Bentuk Distribusi Frekuensi
Distribusi Frekuensi adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa
kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, dan dari setiap
data tidak dapat dimasukkan ke dalam dua atau lebih kategori, melainkan hanya
bisa dimasukkan ke dalam satu kategori saja.
Adapaun tujuan dari distribusi frekuensi, yaitu:
1. Memudahkan dalam penyajian data, mudah untuk dipahami, dan dibaca
sebagai bahan informasi.
2. Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, dan grafik.
Contoh 1:
Tabel 1 distribusi frekuensi tinggi 100 mahasiswa pendidikan matematika.
Tinggi badan (in)
60 –62
63 –65
66 –68
69 –71
72−74
Jumlah (n)
Frekuensi (f)
5
18
42
27
8
100
Berdasarkan tabel di atas, banyak siswa yang tingginya berada dalam
rentang 66 in dan 68 in adalah 42 orang. Salah satu kelemahan penyajian data
dalam tabel frekuensi adalah tidak terlihatnya data aslinya.
2.2 Istilah-istilah dalam Distribusi Frekuensi
1. Kelas–kelas (Class)
Adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan nilai
tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas.
2.
Batas Kelas (class limit)
Batas kelas terbagi menjadi dua, yaitu:
a. Batas kelas bawah adalah angka pada kolom kelas yang letaknya
disebelah kiri.
b. Batas kelas atas adalah angka pada kolom kelas yang letaknya disebelah
kanan.
2
Contoh 2:
Nilai UAS Statistik
Frekuensi (f)
50
–
55
3
56
–
61
7
62
–
67
2
68
–
73
8
74
–
79
4
80
–
85
6
3. Tepi Kelas
Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas yang tidak
memiliki lubang atau tempat untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan
kelas yang lain. Terdapat dua tepi kelas yang berbeda pengertiannya yaitu:
a.
Tepi kelas bawah
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
b.
Tepi kelas atas
Tepi atas = batas atas + 0,5
4. Interval Kelas
Adalah selang antara kelas satu dengan kelas yang lain.
Dari contoh 2:
50 – 55 → Interval kelas pertama.
56 – 61 → Interval kelas kedua.
62 – 67 → Interval kelas ketiga.
68 – 73 → Interval kelas keempat.
74 – 79 → Interval kelas kelima.
80 – 85 → Interval kelas keenam.
3
5. Lebar kelas/Panjang kelas
Adalah selisih antara tepi kelas atas dan tepi kelas bawah.
Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah
Dari contoh 2: Lebar kelas adalah 5.
6. Mid Point (titik tengah)
Titik tengah adalah nilai rata-rata dari kedua batas kelasnya atau tepi
kelasnya.
Titik tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah)
Dari contoh 2: Titik tengahnya adalah 52.5, 58.5, 64.5,
7. Frekuensi Kelas
Merupakan banyaknya jumlah data yang terdapat pada kelas tertentu.
Misalnya pada contoh 2 di atas, Frekuensi pada kelas interval 50-55 adalah 3;
pada kelas interval 56-61 adalah 7, dan begitu juga seterusnya.
2.3 Langkah-langkah Membuat Daftar atau Tabel Distribusi Frekuensi
Adapun langkah-langkah untuk membuat tabel distribusi frekuensi dilakukan
sebagai berikut:
1. Mengumpulkan data dari sebuah observasi.
60 55 61 72 59 49 65 78 66 40
57 52 42 47 50 65 74 68 88 68
90 63 79 56 87 65 85 98 81 69
2. Kemudian urutkan data dari data yang terkecil ke data yang terbesar.
40 42 47 49 50 52 55 56 57 59
60 61 63 65 65 65 66 68 68 69
72 74 78 79 81 85 87 88 90 98
3. Menentukan beda atau selisih antara angka terbesar dengan angka terkecil yang
disebut dengan jarak atau range (R).
R = data terbesar – data terkecil
4
4. Menghitung banyaknya kelas (K) dengan aturan Sturges. Rumus Sturges
sebagai berikut:
K = 1 + 3,3 log n
Dimana:
K
= Jumlah Kelas Interval
n
= Jumlah Data Observasi
contoh dari data diatas:
K
= 1 + 3,3 Log n
= 1 + 3,3 Log 30
= 1 + 3,3 (1,477)
= 1+ 4,874
= 5,874 dibulatkan menjadi 6
Jadi, banyak kelas (K) dari data adalah 6 kelas.
PEMBUKTIAN ATURAN STURGES
K = 1 + 3,3 log n
Sturges mensyaratkan bahwa data haruslah berdistribusi normal.
Dimana distribusi normal ini berkaitan dengan kurva polinom → dan
binomial newton.
Kurva polinom
Bentuk umumnya:
; dengan i=0 … k−1
( kn )=( k−1
i )
n= k −1 + k −1 + k −1 +…
i
i
i
k−1
n=∑ k −1 … pers .1.1
i
i=0
k−1
n=∑ k −1 x 1 … pers .1.2
i
i=0
(
)(
(
(
)(
)
)
)
Binomial newton
Dinyatakan dengan:
( x+ a )
n
n
=∑ n x k a n−k
k=0 k
()
Dilakukan pemaksaan tehadap persamaan binomial newton agar
tampak seperti persamaan 1.2, sehingga jika bilangan 1
dimasukkan ke x k an−k nilainya akan tetap atau menghasilkan
bilangan itu sendiri. Maka dapat dituliskan bahwa x=a=1.
Dengan nilai variabel x=a=1, maka persamaan binomial newton
menjadi:
n
( 1+ 1 )
n
=∑ n . 1
k=0 k
()
5
n
2n = ∑ n . 1
k=0 k
()
n=i… k −1 ; dengan i=0 … k −1
n=k −1dan k =i
2
k−1
k−1
=∑ k−1 . 1 … pers .1 .3
i
i=0
(
)
Untuk langkah selanjutnya, substitusi pers. 1.2 ke persamaan 1.3, maka:
k−1
=∑ k−1 . 1
i
i=0
k−1
2 =n
2
k−1
(
)
Melihat persamaan diatas adalah sesuatu yang abstrak. Maka untuk
melanjutkan operasi pada persamaan maka digunakan sifat logaritma,
kenapa bias menggunakan operasi logaritma? Karena operasi logaritma
itu dapat digunakan apabila data itu tidak bernilai negatif atau nol, dan
juga karena pada distribusi frekuensi pula datanya lebih dari 1, sehingga
operasi logaritmapun diperbolehkan.
log 2k−1=log n
( k −1 ) log 2=log n
log n
k −1=
log 2
logn
k =1+
log2
1
k =1+
log n
log 2
k =1+3,322. log n
k =⎿1+3,322 . log n ⏋
TERBUKTI.
5. Menghitung panjang kelas interval (P)
Rumusnya:
P=
Rentangan ( R)
Jumlah Kelas (K )
contoh dari data diatas:
P=
98−40
6
P=
58
6
6
P=9,6 dibulatkan menjadi 10.
Jadi, panjang kelas intervalnya adalah 10.
6. Menentukan batas bawah dan batas atas kelas pertama, dengan cara:
(Ujung Bawah Kelas + P) – 1
contoh dari data diatas:
(39,5 + 10) – 1 = 49,5 –1 = 48,5 → 39,5 sebagai ujung bawah kelas ke-1 dan
48,5 sebagai ujung atas kelas ke-1. Begitu juga dengan batas bawah dan batas
atas kelas selanjutnya.
7. Menuliskan frekuensi kelas sesuai banyaknya data.
contoh dari data diatas:
Nilai
39,5 – 48,5
49,5 – 58,5
59,5 – 68,5
69,5 – 78,5
79,5 – 88,5
89,5 – 98,5
Jumlah (n)
Frekuensi
3
6
10
4
5
2
30
2.4 Jenis-jenis Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi memiliki jenis-jenis yang berbeda untuk setiap
kriterianya. Berdasarkan kriteria tersebut, distribusi frekuensi dapat dibedakan tiga
jenis (Hasan, 2001):
1. Distribusi frekuensi biasa
Distribusi frekuensi yang berisikan jumlah frekuensi dari setiap
kelompok data. Distribusi frekuensi ada dua jenis yaitu distribusi frekuensi
numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori.
2. Distribusi frekuensi relatif
Distribusi frekuensi relatif yaitu distribusi frekuensi yang angka-angka
frekuensinya tidak dinyatakan dalam bentuk angka-angka mutlak tetapi angkaangka relatif atau persentase (%).
frelatif kelas−i= f mutlakn kelas−i x 100 %
(
)
7
8
3. Distribusi frekuensi kumulatif
Distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi yang
dijumlahkan). Distribusi frekuensi kumulatif memiliki kurva yang disebut ogif.
Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi
kumulatih kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari.
Distribusi frekuensi “kurang dari” yakni distribusi frekuensi yang
memasukkan “kurang dari” kedalam tabel sebelum kelas-kelas intervalnya.
Nilai
Frekuensi
Frekuensi kumulatif
Kurang dari 65
Kurang dari 68
Kurang dari 71
Kurang dari 74
Kurang dari 77
Kurang dari 80
Kurang dari 83
3
6
12
13
4
2
-
0
3
9
21
34
38
40
Distribusi frekuensi “atau lebih” yakni distribusi frekuensi yang
memasukkan “atau lebih” kedalam tabel setelah kelas-kelas intervalnya.
Nilai
Frekuensi
Frekuensi kumulatif
65 atau lebih
68 atau lebih
71 atau lebih
74 atau lebih
77 atau lebih
80 atau lebih
83 atau lebih
3
6
12
13
4
2
-
40
37
31
19
6
2
0
2.5 Grafik Distribusi Frekuensi
a) Histogram
Histogram adalah diagram batang yang lebarnya menunjukkan interval
kelas, sedangkan batas-batas tepi batang merupakan tepi bawah dan tepi atas
kelas, dan tingginya menunjukkan frekuensi pada kelas tersebut. Jika pada
diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram
gambar batang-batangnya berimpit. Histogram terdiri dari 2 sumbu, sumbu
vertikal sebagai skala frekuensi sedangkan sumbu horisontal untuk skala kelas.
9
Contoh 3:
Diketahui nilai ujian 40 siswa di SMA XYZ. Tentukan histogram daftar
distribusi frekuensi dan frekuensi relatifnya.
Maka histogramnya adalah
10
b) Poligon Frekuensi
Poligon Frekuensi yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam
bentuk garis yang menghubungkan titik-titik tengah kelasnya sebagai skala
kelas. Jenis lain dari poligon frekuensi adalah kurva frekuensi, yaitu
penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis, dimana luas daerah di
bawah kurva kurang lebih sama dengan luas histogram frekuensinya. Kurva
frekuensi dapat digambarkan dengan memanfaatkan histogram dengan
menghubungkan titik-titik tengah masing-masing baloknya.
Contoh 4 :
Berikut ini upah karyawan (dalam ribuan rupiah) per minggu dari
sebuah perusahaan.
Hasil akhir dari histogram dan poligon frekuensi dari tabel distribusi
frekuensi di atas dapat dilihat pada gambar berikut.
11
c) Kurva Ogive
Kurva ogive merupakan diagram garis yang menunjukkan kombinasi
antara interval kelas dengan frekuensi kumulatif. Kurva ogif menunjukkan
frekuensi kumulatif pada setiap tingkat atau kategori. Sumbu horizontal pada
kurva ogif menunjukkan tepi interval kelas dan sumbu vertical menunjukkan
frekuensi kumulatif. Kurva ogif memudahkan kita untuk melihat frekuensi
kumulatif baik dalam bentuk nilai absolute maupun nilai relative pada tingkat
atau interval tertentu.
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut:
Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas)
Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah)
Contoh 5:
Data upah karyawan sebelumnya dapat digambarkan ogivenya. Akan tetapi
sebelum itu, buat terlebih dahulu tabel distribusi frekuensi kumulatifnya.
Dari tabel distribusi frekuensi kumulatif di atas, dapat digambarkan ogive
seperti pada diagram berikut:
12
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan dan Saran
a. Kesimpulan
Istilah statistik bermakna yakni kumpulan data, bilangan atau non
bilangan yang disusun/disajikan sedemikian rupa dalam bentuk table ataupun
grafik yang menggambarkan suatu persoalan ataupun keadaaan. Sedangkan
statistika merupakan ilmu pengetahuan yang berhubungan tentang cara-cara
pengumpulan, pengajian, pengolahan, dan analisis data, serta teknik-teknik
analisis datanya. Dalam statistika salah satu sub judulnya adalah tentang
distribusi frekuensi dan bagaimana sih grafiknya.
Distribusi Frekuensi adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa
kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, hanya bisa
dimasukkan ke dalam satu kategori saja. Sama halnya dengan statistika yang
mempunyai bagian, di dalam distribusi frekuensi ada juga terdapat istilahistilah atau bagian di dalamnya, yakni: a. kelas-kelas; b. batas kelas; c. tepi
kelas; d. interval kelas; e. panjang/lebar kelas; f. nilai tengah; g. frekuensi
kelas. Adapun pembagian jenis dari distribusi frekuensi itu sendiri yang mana
di bagi menjadi beberapa jenis yaitu distribusi frekuensi biasa, distribusi
frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif.
Sebagaimana fungsi dari statistik itu sendiri, hasil-hasil dari data yang
telah diperoleh tersebut kemudian akan diubah atau dikonvert kedalam bentuk
grafik, baik itu dalam bentuk histogram, polygon, maupun ogiv agar dapat
menggambarkan dari sebuah keadaaan atau persoalan itu sendiri. Maka apabila
suatu persoalan atau keadaan itu telah tergambarkan maka pengambilan
keputusan yang eksak dan teliti pun akan mudah untuk dilakukan.
b. Saran
Walaupun statistika memberikan cara pengambilan keputusan yang
eksak tetapi dalam melakukan perhitungan haruslah selalu teliti baik itu
terhadap penyusunan data maupun dalam menghitung dengan menggunakan
rumus-rumusnya.
13
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. https://hedyansabila.wordpress.com/distribusi-frekuensi-dan-grafik-2/
Anonim. http://www.kajianpustaka.com/2014/03/distribusi-frekuensi.html.
Anonim. https://id.wikipedia.org/wiki/Statistika
Samsudi. 2008. Statistika. Semarang : Universitas Negeri Semarang.
14
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Sebelum kita melangkah ke materi yang lebih komplek lagi, perlu diketahui
maksud dan pengertian dari statistika dan statistik. Pada dasarnya, istilah statistik
memiliki makna yang berbeda dengan statistika. Istilah statistik bermakna yakni
kumpulan data, bilangan atau non bilangan yang disusun/disajikan sedemikian rupa
dalam bentuk table ataupun grafik yang menggambarkan suatu persoalan ataupun
keadaaan. Sedangkan statistika merupakan ilmu pengetahuan yang berhubungan
tentang cara-cara pengumpulan, pengajian, pengolahan, dan analisis data, serta
teknik-teknik analisis data.
Statistika digunakan sebagai cara-cara ilmiah untuk mengumpulkan,
menyusun, meringkas dan menyajikan data suatu penelitian. Dalam arti yang lebih
lanjut atau luas, statistika merupakan cara untuk mengolah data dan menarik
kesimpulan-kesimpulan yang teliti dan keputusan yang logic dari sebuah proses
pengolahan data tersubut. Sedngkan statistik lebih banyak digunakan untuk
menggambarkan atau mendiskripsikan suatu persoalan atau keadaan.
Berdasarkan uraikan diatas, maka dalam sebuah penelitian dapat diketahui
fungsi dan peranan statistika, yakni sebagai berikut:
Statistika memungkinkan pencatatan data penilitian secara eksak.
Statistika menunjukkan peneliti menganut tata pikir dan tata kerja yang definit
dan eksak.
Statistika menyediakan cara-cara meringkas data kedalam bentuk yang
banyak artinya dan lebih gampang dalam pengerjaannya.
Statistika memberi dasar-dasar untuk menarik kongklusi-kongklusi melalui
proses-proses yang mengikuti tata cara yang sesuai dengan ilmu pengetahuan.
Statistika memberikan landasan untuk meramalkan secara ilmiah tentang
sebagaimana sesuatu gejala akan terjadi dalam kondisi-kondisi yang telah
diketahui.
Statistika memungkinkan penelitian menganalisis, menguraikan sebab-akibat
yang komplek dan rumit,yangmana jika tanpa statistika merupakan peristiwa
yang membingungkan, dan kejadian yang tak teruraikan.
Dalam statistika terdiri atas beberapa judul besar diantaranya yakni
distribusi,frekuensi dan grafiknya.
1
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Definisi dan Bentuk Distribusi Frekuensi
Distribusi Frekuensi adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa
kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, dan dari setiap
data tidak dapat dimasukkan ke dalam dua atau lebih kategori, melainkan hanya
bisa dimasukkan ke dalam satu kategori saja.
Adapaun tujuan dari distribusi frekuensi, yaitu:
1. Memudahkan dalam penyajian data, mudah untuk dipahami, dan dibaca
sebagai bahan informasi.
2. Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, dan grafik.
Contoh 1:
Tabel 1 distribusi frekuensi tinggi 100 mahasiswa pendidikan matematika.
Tinggi badan (in)
60 –62
63 –65
66 –68
69 –71
72−74
Jumlah (n)
Frekuensi (f)
5
18
42
27
8
100
Berdasarkan tabel di atas, banyak siswa yang tingginya berada dalam
rentang 66 in dan 68 in adalah 42 orang. Salah satu kelemahan penyajian data
dalam tabel frekuensi adalah tidak terlihatnya data aslinya.
2.2 Istilah-istilah dalam Distribusi Frekuensi
1. Kelas–kelas (Class)
Adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan nilai
tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas.
2.
Batas Kelas (class limit)
Batas kelas terbagi menjadi dua, yaitu:
a. Batas kelas bawah adalah angka pada kolom kelas yang letaknya
disebelah kiri.
b. Batas kelas atas adalah angka pada kolom kelas yang letaknya disebelah
kanan.
2
Contoh 2:
Nilai UAS Statistik
Frekuensi (f)
50
–
55
3
56
–
61
7
62
–
67
2
68
–
73
8
74
–
79
4
80
–
85
6
3. Tepi Kelas
Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas yang tidak
memiliki lubang atau tempat untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan
kelas yang lain. Terdapat dua tepi kelas yang berbeda pengertiannya yaitu:
a.
Tepi kelas bawah
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
b.
Tepi kelas atas
Tepi atas = batas atas + 0,5
4. Interval Kelas
Adalah selang antara kelas satu dengan kelas yang lain.
Dari contoh 2:
50 – 55 → Interval kelas pertama.
56 – 61 → Interval kelas kedua.
62 – 67 → Interval kelas ketiga.
68 – 73 → Interval kelas keempat.
74 – 79 → Interval kelas kelima.
80 – 85 → Interval kelas keenam.
3
5. Lebar kelas/Panjang kelas
Adalah selisih antara tepi kelas atas dan tepi kelas bawah.
Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah
Dari contoh 2: Lebar kelas adalah 5.
6. Mid Point (titik tengah)
Titik tengah adalah nilai rata-rata dari kedua batas kelasnya atau tepi
kelasnya.
Titik tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah)
Dari contoh 2: Titik tengahnya adalah 52.5, 58.5, 64.5,
7. Frekuensi Kelas
Merupakan banyaknya jumlah data yang terdapat pada kelas tertentu.
Misalnya pada contoh 2 di atas, Frekuensi pada kelas interval 50-55 adalah 3;
pada kelas interval 56-61 adalah 7, dan begitu juga seterusnya.
2.3 Langkah-langkah Membuat Daftar atau Tabel Distribusi Frekuensi
Adapun langkah-langkah untuk membuat tabel distribusi frekuensi dilakukan
sebagai berikut:
1. Mengumpulkan data dari sebuah observasi.
60 55 61 72 59 49 65 78 66 40
57 52 42 47 50 65 74 68 88 68
90 63 79 56 87 65 85 98 81 69
2. Kemudian urutkan data dari data yang terkecil ke data yang terbesar.
40 42 47 49 50 52 55 56 57 59
60 61 63 65 65 65 66 68 68 69
72 74 78 79 81 85 87 88 90 98
3. Menentukan beda atau selisih antara angka terbesar dengan angka terkecil yang
disebut dengan jarak atau range (R).
R = data terbesar – data terkecil
4
4. Menghitung banyaknya kelas (K) dengan aturan Sturges. Rumus Sturges
sebagai berikut:
K = 1 + 3,3 log n
Dimana:
K
= Jumlah Kelas Interval
n
= Jumlah Data Observasi
contoh dari data diatas:
K
= 1 + 3,3 Log n
= 1 + 3,3 Log 30
= 1 + 3,3 (1,477)
= 1+ 4,874
= 5,874 dibulatkan menjadi 6
Jadi, banyak kelas (K) dari data adalah 6 kelas.
PEMBUKTIAN ATURAN STURGES
K = 1 + 3,3 log n
Sturges mensyaratkan bahwa data haruslah berdistribusi normal.
Dimana distribusi normal ini berkaitan dengan kurva polinom → dan
binomial newton.
Kurva polinom
Bentuk umumnya:
; dengan i=0 … k−1
( kn )=( k−1
i )
n= k −1 + k −1 + k −1 +…
i
i
i
k−1
n=∑ k −1 … pers .1.1
i
i=0
k−1
n=∑ k −1 x 1 … pers .1.2
i
i=0
(
)(
(
(
)(
)
)
)
Binomial newton
Dinyatakan dengan:
( x+ a )
n
n
=∑ n x k a n−k
k=0 k
()
Dilakukan pemaksaan tehadap persamaan binomial newton agar
tampak seperti persamaan 1.2, sehingga jika bilangan 1
dimasukkan ke x k an−k nilainya akan tetap atau menghasilkan
bilangan itu sendiri. Maka dapat dituliskan bahwa x=a=1.
Dengan nilai variabel x=a=1, maka persamaan binomial newton
menjadi:
n
( 1+ 1 )
n
=∑ n . 1
k=0 k
()
5
n
2n = ∑ n . 1
k=0 k
()
n=i… k −1 ; dengan i=0 … k −1
n=k −1dan k =i
2
k−1
k−1
=∑ k−1 . 1 … pers .1 .3
i
i=0
(
)
Untuk langkah selanjutnya, substitusi pers. 1.2 ke persamaan 1.3, maka:
k−1
=∑ k−1 . 1
i
i=0
k−1
2 =n
2
k−1
(
)
Melihat persamaan diatas adalah sesuatu yang abstrak. Maka untuk
melanjutkan operasi pada persamaan maka digunakan sifat logaritma,
kenapa bias menggunakan operasi logaritma? Karena operasi logaritma
itu dapat digunakan apabila data itu tidak bernilai negatif atau nol, dan
juga karena pada distribusi frekuensi pula datanya lebih dari 1, sehingga
operasi logaritmapun diperbolehkan.
log 2k−1=log n
( k −1 ) log 2=log n
log n
k −1=
log 2
logn
k =1+
log2
1
k =1+
log n
log 2
k =1+3,322. log n
k =⎿1+3,322 . log n ⏋
TERBUKTI.
5. Menghitung panjang kelas interval (P)
Rumusnya:
P=
Rentangan ( R)
Jumlah Kelas (K )
contoh dari data diatas:
P=
98−40
6
P=
58
6
6
P=9,6 dibulatkan menjadi 10.
Jadi, panjang kelas intervalnya adalah 10.
6. Menentukan batas bawah dan batas atas kelas pertama, dengan cara:
(Ujung Bawah Kelas + P) – 1
contoh dari data diatas:
(39,5 + 10) – 1 = 49,5 –1 = 48,5 → 39,5 sebagai ujung bawah kelas ke-1 dan
48,5 sebagai ujung atas kelas ke-1. Begitu juga dengan batas bawah dan batas
atas kelas selanjutnya.
7. Menuliskan frekuensi kelas sesuai banyaknya data.
contoh dari data diatas:
Nilai
39,5 – 48,5
49,5 – 58,5
59,5 – 68,5
69,5 – 78,5
79,5 – 88,5
89,5 – 98,5
Jumlah (n)
Frekuensi
3
6
10
4
5
2
30
2.4 Jenis-jenis Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi memiliki jenis-jenis yang berbeda untuk setiap
kriterianya. Berdasarkan kriteria tersebut, distribusi frekuensi dapat dibedakan tiga
jenis (Hasan, 2001):
1. Distribusi frekuensi biasa
Distribusi frekuensi yang berisikan jumlah frekuensi dari setiap
kelompok data. Distribusi frekuensi ada dua jenis yaitu distribusi frekuensi
numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori.
2. Distribusi frekuensi relatif
Distribusi frekuensi relatif yaitu distribusi frekuensi yang angka-angka
frekuensinya tidak dinyatakan dalam bentuk angka-angka mutlak tetapi angkaangka relatif atau persentase (%).
frelatif kelas−i= f mutlakn kelas−i x 100 %
(
)
7
8
3. Distribusi frekuensi kumulatif
Distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi yang
dijumlahkan). Distribusi frekuensi kumulatif memiliki kurva yang disebut ogif.
Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi
kumulatih kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari.
Distribusi frekuensi “kurang dari” yakni distribusi frekuensi yang
memasukkan “kurang dari” kedalam tabel sebelum kelas-kelas intervalnya.
Nilai
Frekuensi
Frekuensi kumulatif
Kurang dari 65
Kurang dari 68
Kurang dari 71
Kurang dari 74
Kurang dari 77
Kurang dari 80
Kurang dari 83
3
6
12
13
4
2
-
0
3
9
21
34
38
40
Distribusi frekuensi “atau lebih” yakni distribusi frekuensi yang
memasukkan “atau lebih” kedalam tabel setelah kelas-kelas intervalnya.
Nilai
Frekuensi
Frekuensi kumulatif
65 atau lebih
68 atau lebih
71 atau lebih
74 atau lebih
77 atau lebih
80 atau lebih
83 atau lebih
3
6
12
13
4
2
-
40
37
31
19
6
2
0
2.5 Grafik Distribusi Frekuensi
a) Histogram
Histogram adalah diagram batang yang lebarnya menunjukkan interval
kelas, sedangkan batas-batas tepi batang merupakan tepi bawah dan tepi atas
kelas, dan tingginya menunjukkan frekuensi pada kelas tersebut. Jika pada
diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram
gambar batang-batangnya berimpit. Histogram terdiri dari 2 sumbu, sumbu
vertikal sebagai skala frekuensi sedangkan sumbu horisontal untuk skala kelas.
9
Contoh 3:
Diketahui nilai ujian 40 siswa di SMA XYZ. Tentukan histogram daftar
distribusi frekuensi dan frekuensi relatifnya.
Maka histogramnya adalah
10
b) Poligon Frekuensi
Poligon Frekuensi yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam
bentuk garis yang menghubungkan titik-titik tengah kelasnya sebagai skala
kelas. Jenis lain dari poligon frekuensi adalah kurva frekuensi, yaitu
penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis, dimana luas daerah di
bawah kurva kurang lebih sama dengan luas histogram frekuensinya. Kurva
frekuensi dapat digambarkan dengan memanfaatkan histogram dengan
menghubungkan titik-titik tengah masing-masing baloknya.
Contoh 4 :
Berikut ini upah karyawan (dalam ribuan rupiah) per minggu dari
sebuah perusahaan.
Hasil akhir dari histogram dan poligon frekuensi dari tabel distribusi
frekuensi di atas dapat dilihat pada gambar berikut.
11
c) Kurva Ogive
Kurva ogive merupakan diagram garis yang menunjukkan kombinasi
antara interval kelas dengan frekuensi kumulatif. Kurva ogif menunjukkan
frekuensi kumulatif pada setiap tingkat atau kategori. Sumbu horizontal pada
kurva ogif menunjukkan tepi interval kelas dan sumbu vertical menunjukkan
frekuensi kumulatif. Kurva ogif memudahkan kita untuk melihat frekuensi
kumulatif baik dalam bentuk nilai absolute maupun nilai relative pada tingkat
atau interval tertentu.
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut:
Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas)
Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah)
Contoh 5:
Data upah karyawan sebelumnya dapat digambarkan ogivenya. Akan tetapi
sebelum itu, buat terlebih dahulu tabel distribusi frekuensi kumulatifnya.
Dari tabel distribusi frekuensi kumulatif di atas, dapat digambarkan ogive
seperti pada diagram berikut:
12
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan dan Saran
a. Kesimpulan
Istilah statistik bermakna yakni kumpulan data, bilangan atau non
bilangan yang disusun/disajikan sedemikian rupa dalam bentuk table ataupun
grafik yang menggambarkan suatu persoalan ataupun keadaaan. Sedangkan
statistika merupakan ilmu pengetahuan yang berhubungan tentang cara-cara
pengumpulan, pengajian, pengolahan, dan analisis data, serta teknik-teknik
analisis datanya. Dalam statistika salah satu sub judulnya adalah tentang
distribusi frekuensi dan bagaimana sih grafiknya.
Distribusi Frekuensi adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa
kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, hanya bisa
dimasukkan ke dalam satu kategori saja. Sama halnya dengan statistika yang
mempunyai bagian, di dalam distribusi frekuensi ada juga terdapat istilahistilah atau bagian di dalamnya, yakni: a. kelas-kelas; b. batas kelas; c. tepi
kelas; d. interval kelas; e. panjang/lebar kelas; f. nilai tengah; g. frekuensi
kelas. Adapun pembagian jenis dari distribusi frekuensi itu sendiri yang mana
di bagi menjadi beberapa jenis yaitu distribusi frekuensi biasa, distribusi
frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif.
Sebagaimana fungsi dari statistik itu sendiri, hasil-hasil dari data yang
telah diperoleh tersebut kemudian akan diubah atau dikonvert kedalam bentuk
grafik, baik itu dalam bentuk histogram, polygon, maupun ogiv agar dapat
menggambarkan dari sebuah keadaaan atau persoalan itu sendiri. Maka apabila
suatu persoalan atau keadaan itu telah tergambarkan maka pengambilan
keputusan yang eksak dan teliti pun akan mudah untuk dilakukan.
b. Saran
Walaupun statistika memberikan cara pengambilan keputusan yang
eksak tetapi dalam melakukan perhitungan haruslah selalu teliti baik itu
terhadap penyusunan data maupun dalam menghitung dengan menggunakan
rumus-rumusnya.
13
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. https://hedyansabila.wordpress.com/distribusi-frekuensi-dan-grafik-2/
Anonim. http://www.kajianpustaka.com/2014/03/distribusi-frekuensi.html.
Anonim. https://id.wikipedia.org/wiki/Statistika
Samsudi. 2008. Statistika. Semarang : Universitas Negeri Semarang.
14