UKURAN PEMUSATAN DAN LETAK DATA
UKURAN
PEMUSATAN
DAN LETAK DATA
PENDAHULUAN
Suatu harga yang dapat dipakai
untuk mewakili sekumpulan data. Harga rata-rata merupakan suatu nilai sekitar mana bilangan-bilangan lain tersebar. Harga rata-rata sering dinamakan measure of central tendency.
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
Summary Measures Data Position Variation Central Tendency Mean Mode Quartile Percentile Median Decile Range Coefficient Geometric Mean of Variation Variance Standard Deviation Harmonic Mean
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
RATA-RATA HITUNG SEDERHANA
1
Sample Size Population Size
X X N N µ
X X
N
2 N
i
i1
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS RATA-RATA HITUNG
Sample mean
X n n
X X
X X
2 n
i
i n1
1
Population mean
CONTOH : RATA-RATA HITUNG SEDERHANA Hari Jumlah Tamu Senin 120 Selasa
80 Rabu
46 Kamis
59 Jum’at
89 Sabtu 202 Minggu 279 120 80 46 59 89 202 279 x
7 875 x
125
7 STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
RATA-RATA HITUNG
Sample mean
n
Sample Size i i f
X n n
1 1
2
2
f
X f X fX i
1 X
n n
1
2
f f f i f
i
1 Population mean
N
Population Size i i f
X
1 1
2
2 N N
f
X f X fX i
1
µ
N
1
2 N
f f f i f
i
1 STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH : RATA-RATA HITUNG DENGAN FREKUENSI
n
n n n i i n i i i f f f X f30 150 4520 x
1 1 30 13 ,
2 1 2 2 1 1
X
X f X f f X f
150 4520
Usia Peserta Nilai Tengah (xi)
17 20 – 24 22 29 638 25 – 29 27 43 1161 30 – 34 32 41 1312 35 – 39 37 24 888 40 – 44 42 12 504
1
17
15 – 19
Rata-Rata (fi.xi)
Frekuensi (fi)
RATA-RATA HITUNG DENGAN BOBOT
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS RATA-RATA HITUNG
n n n n i i n i i i w w w
X w X w X w w
X w
X
2
1
2
2
1
1
1
1
CONTOH : RATA-RATA HITUNG DENGAN BOBOT Mata SKS Huruf Angka Bobot*Angka Kuliah
(wi) (xi) (wi*xi) Statistik
3 A
4
12 Algoritma
2 C
2
4 Basis Data
3 B
3
9 Multimedia
4 D
1
4 Akuntansi
3 E TOTAL
15
29 n i i w
X
1 1
2 2 n n
29 w X w X w
X i
1
X x 1 ,
93 n
1 2 n w w w
15 i w
i
1 STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
RATA-RATA HITUNG DENGAN CODING
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS RATA-RATA HITUNG
Dimana : x o
= rata-rata anggapan (asummed mean) d i
= deviasi kelas ke-I dalam satuan interval kelas c = interval kelas c x
1
n d f xX n i i i o
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH : RATA-RATA HITUNG DENGAN CODING
12
X n i i i o
n d f x
1
X c x
27
94
150
30 13 , 30 5 x
94
36 150
42 +3
Usia Peserta
40 – 44
48
24
41 35 – 39 37 +2
41
30 – 34 32 +1
43
27
15 – 19 17 -2 1 -2 20 – 24 22 -1 29 -29 25 – 29
(fi.di)
Frekuensi (fi)
CODING (di)
Nilai Tengah (xi)
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
RATA-RATA UKUR
(GEOMETRIC MEAN)
atau1
1 X ....
2
X n
n G
R R R R
1 n G n
1
1
2
Geometric Mean Rate of Return
1
1/X X
X X
2 n G n
1
1/
Measures the status of an investment over time
X X
RATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN)
Untuk data tidak berkelompok :
log
X
X
antilog
G n
Untuk data berkelompok :
f log
X
X
antilog
G f
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH : RATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN)
Usia Peserta
Nilai Tengah
(x) Frekuensi
(fi)
Log X f log X
15 – 19
17 1 1,23 1,23 20 – 24 22 29 1,34 38,86 25 – 29 27 43 1,43 61,49 30 – 34 32 41 1,51 61,91 35 – 39 37 24 1,57 37,68 40 – 44 42 12 1,62 19,44
150 220,61
29,56 1,4707 antilog 150 220,61 antilog f X log f antilog
G
X
RATA-RATA HARMONIS (HARMONIC MEAN)
Untuk data tidak berkelompok : n
H
X
1
X
Untuk data berkelompok : f
H
X f
X STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH : RATA-RATA HARMONIS (HARMONIC MEAN)
Usia Peserta
Nilai Tengah (x)
Frekuensi (fi)
f x
15 – 19
17 1 0,059 20 – 24 22 29 1,318 25 – 29 27 43 1,593 30 – 34 32 41 1,281 35 – 39 37 24 0,649 40 – 44 42 12 0,286
150 5,186
28,92 5,186 150
X f f
H
X
MEDIAN
- Suatu yang membagi dua suatu deretan nilai yang telah diurutkan sehingga banyaknya pengamatan dikedua bagian itu sama.
M EDI AN DATA DI K ELOM POK K AN ( n / 2 ) F md B
I Fm F
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH PERHITUNGAN MEDIAN Usia Peserta fi Tepi Kelas
24 39,5 138 40 – 44
, 30 7439 29 md
75 5 , 29 x md
73
5 73 114
I
5
150 44,5 150 150 n
12
34,5 114 35 – 39
Frekuensi kumulatif “kurang dari”=fi
41
30 – 34
73
43 29,5
30 25 – 29
29 24,5
1 20 – 24
1 19,5
14,5 15 – 19
75 2 / n
- Nilai dari variabel atau observasi yang memiliki frekuensi tertinggi.
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
MODUS
1 - 1 o 1 -
1 o 2f f f f f
2 I X mo
M ODU S DATA T ERSU SU N
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH PERHITUNGAN MODUS
Usia Peserta Titik Tengah fi
24 40 – 44
5 27 mo
2
41
29
29 41 2(43)
27
150 , 27 405
12
42
37
15 – 19
41 35 – 39
32
30 – 34
43
27
25 – 29
29
22
1 20 – 24
17
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA,MEDIAN DAN MODUS Mean = Median = Mode Mean < Median < Mode Mode < Median < Mean Right-Skewed Left-Skewed Symmetric
Median -
X 3 modus
X
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN
RATA-RATA HITUNG, MEDIAN DAN MODUS
2. Cocok untuk data heterogen.
1. Kurang dapat menggambarkan mean populasi.
2. Cocok untuk data homogen maupun heterogen.
Tidak peka atau tidak terpengaruh oleh nilai ekstrem.
Modus 1.
2. Kurang dapat menggambarkan mean populasi.
1. Tidak mempertimbangkan semua nilai.
Tidak peka atau tidak terpengaruh oleh nilai ekstrem.
Ukuran Pemusata n Kelebihan Kekurangan Rata-rata Hitung 1.
Median 1.
2. Kurang baik untuk data heterogen.
1. Peka dan mudah terpengaruh oleh nilai ekstrem.
3. Variasinya paling stabil.
2. Dapat menggambarkan mean populasi.
Mempertimbangkan semua nilai.
2. Modus bisa lebih dari satu.
- ke yang Nilai
Q
2
2
4 ) 1
11 (
6
Q
3
3
4 ) 1 11 (
9
1
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS KUARTIL
1
4 ) 1 11 (
3
Q i
i n i
4 ) 1 (
3 , 2 , 1 ,
Contoh : 18, 19, 20, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 35, dan 36.
Untuk data tidak berkelompok :
Q
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS KUARTIL
Untuk data berkelompok : Lo = tepi bawah kelas Kuartil ke-I c = interval kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil f = frekuensi kelas kuartil 1,2,3 i , f
F
4 in L c Q i
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH PERHITUNGAN
Usia Peserta Titik Tengah fi
42
1
4 1(150) Q 5 24,5
3
43
150 25,37
12
24 40 – 44
15 – 19
37
41 35 – 39
32
43 30 – 34
27
29 25 – 29
22
1 20 – 24
17
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH PERHITUNGAN
Usia Peserta Titik Tengah fi
42
2
4 2(150) Q 5 29,5
73
41
150 29,74
12
24 40 – 44
15 – 19
37
41 35 – 39
32
43 30 – 34
27
29 25 – 29
22
1 20 – 24
17
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS CONTOH PERHITUNGAN
Usia Peserta Titik Tengah fi
42
3
4 3(150) Q 5 29,5
7
3
41
150 34,31
12
24 40 – 44
15 – 19
37
41 35 – 39
32
43 30 – 34
27
29 25 – 29
22
1 20 – 24
17
- ke yang Nilai
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS DESIL
Untuk data tidak berkelompok :
Untuk data berkelompok : Lo = tepi bawah kelas Desil ke-I c = interval kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas Desil f = frekuensi kelas Desil 9 .... 3 , 2 ,
1 ,
10 ) 1 (
i n i
D i
1,2,3 9 .... i , f F
10 in L c D i
- ke yang Nilai
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS PERSENTIL
Untuk data tidak berkelompok :
Untuk data berkelompok : Lo = tepi bawah kelas Persentil ke-I c = interval kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas Persentil f = frekuensi kelas Persentil 99 .... 3 , 2 ,
1 , 100 ) 1 (
i n i
P i
.....99 1,2,3 i , f F 100 in L c P i
- Histogram, Poligon dan Ogive.
- Mean.
- Median.
- Modus.
- Kuartil, Desil, dan Persentil.
STAT I ST I K & PROBABI LI TAS TUGAS–1. BUAT DENGAN PROGRAM EXCEL 142 130 153 150 152 130 155 149 161 174 126 158 140 140 128 136 130 133 131 137 132 137 130 132 123 132 158 143 130 129 134 150 147 131 135 126 164 146 140 143 157 130 149 140 125 150 152 132 160 154 Dari pengetesan 50 buah kubus beton mutu K125 ukuran 15 x 15 x 15 diperoleh data kekuatan tekan-hancur sebagai berikut :
Hitung : • Distribusi frekuensi (kelas).
PENGUKURAN
DISPERSI,
KEMIRINGAN, DAN
KERUNCINGAN