SYARAT CUKUP UNTUK OPTIMALITAS MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 63 – 70

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

SYARAT CUKUP UNTUK OPTIMALITAS MASALAH

KONTROL KUADRATIK LINIER

SUCI FRATAMA SARI

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstract.

sucifratamasari@rocketmail.com

The LQR problem is an optimal control problem which is now used in various _{∗ −1 T}

fields of science. The optimal control is given by u (t) = −Kx(t), where K = R (P B)

and P is a unique positive semidefinite solution of Algebraic Riccati Equation (ARE).

_∗

The existence of optimal control u (t) depends on the existence matrix P . In this paper,

the sufficient conditions which ensures the existence and uniqueness of the optimal con-

_∗

trol u (t) will be determined. Moreover, some examples as an illustration of the LQR

problem will be given. Kata Kunci : LQR, algebraic Riccati equation (ARE), stability.

  1. Pendahuluan Masalah kontrol kuadratik linier merupakan masalah penentuan suatu pengontrol _{∗ m} optimal u yang meminimumkan fungsional

  ∈ R _{Z ∞ T T} J Qx Ru _∗ = [x + u ]dt (1.1) di mana u memenuhi sistem dinamik

  , ˙x = Ax + Bu, x(0) = x (1.2) dengan Q adalah matriks simetris semidefinit positif, R adalah matriks simetris _n

  n×n n×m

  definit positif, A ∈ R , B ∈ R dan t ≥ 0. Pada sistem (1.2), x = x(t) ∈ R _m menyatakan vektor kontrol menyatakan vektor keadaan (state), u = u(t) ∈ R

  n×m

  menyatakan himpunan matriks (input) dan t menyatakan waktu [6]. Notasi R _n menyatakan himpunan vektor riil yang terdiri atas n riil berukuran n x m dan R komponen.

  Dalam Bolza [3], telah dibuktikan bahwa solusi optimal dari permasalahan tersebut adalah _∗ u (1.3) _{−1 T} = −Kx, di mana K = R (P B) dan P adalah solusi definit positif dari persamaan aljabar Riccati _{T T −1}

  A P (P B) = 0. (1.4)

• P A + Q − P BR

Suci Fratama Sari

  Persamaan (1.3) memperlihatkan bahwa eksistensi dari pengontrol optimal sangat bergantung kepada eksistensi matriks simetris P yang memenuhi persamaan aljabar Riccati (1.4). Dalam skripsi ini, akan dikaji syarat cukup yang menjamin eksistensi dan ketunggalan pengontrol optimal tersebut untuk masalah kontrol kuadratik linier (1.1) dan (1.2).

  2. Syarat Cukup untuk Optimalitas Masalah Kontrol Kuadratik Linier

  Dalam bagian ini akan dijabarkan syarat cukup yang menjamin eksistensi dan ke- _∗ tunggalan pengontrol optimal u yang meminimumkan fungsional _{Z ∞ T T} J Qx Ru _∗ = [x + u ]dt (2.1) di mana u memenuhi sistem dinamik

  ˙x = Ax + Bu, x(0) = x , (2.2) dengan Q adalah matriks simetris semidefinit positif, R adalah matriks simetris

  n×n n×m definit positif, A ∈ R , B ∈ R dan t ≥ 0.

  Untuk mendapatkan syarat cukup tersebut, terlebih dahulu fungsional tujuan (2.1) diupayakan diubah dalam bentuk _{Z ∞ T}

  R = J ) )dt, (2.3)

• J

  (u − u (u − u di mana J adalah suatu entitas yang bebas dari u, dan u adalah suatu pengontrol baru yang akan dipilih. Jika ini dapat dilakukan, maka jelas bahwa minimum J(u) dicapai pada u = u . Permasalahan yang

  , t ≥ 0, dengan nilai minimum adalah J muncul adalah bagaimana bentuk eksplisit dari J dan u . Lema berikut diperlukan _∗ untuk mendapatkan pengontrol optimal u .

  

n×n

  Lema 3.1. [7] Misalkan P adalah suatu matriks simetris. Jika ∈ R lim x

  (t) = 0, untuk setiap kontrol u dengan t ≥ 0, maka

  t→∞ _{Z ∞ T T T T}

  x A P P Bu + P A x + 2x (0)P x(0). dt = −x Bukti.

• P A x + 2x ^T P Bu dt
• u ^T B ^T ) P x + x ^T P (Ax + Bu) dt
• x ^T P ˙ x dt

  ) = u ^T Ru + u ^T (P B) ^T x + x ^T (P B)(R ⁻¹ ) ^T Ru

  A ^T P

  = x ^T (0)P x(0) + ^{Z ∞} x ^T A ^T P

  Selanjutnya, misalkan u = −R ⁻¹

  (P B) ^T x , maka

  (u − u ) ^T

  R (u − u

  ) = (u + R ⁻¹ (P B) ^T x ) ^T

  R (u + R ⁻¹ (P B) ^T x

  (P B)(R ⁻¹ ) ^T RR ⁻¹ (P B) ^T x = u ^T Ru + u ^T (P B) ^T x + x ^T (P B)(R ⁻¹ ) ^T R ^T u

  Qx

  (P B)(R ⁻¹ ) ^T R ^T R ⁻¹ (P B) ^T x = u ^T Ru + u ^T (P B) ^T x + x ^T (P B)(RR ⁻¹ ) ^T u

  (P B)(RR ⁻¹ ) ^T R ⁻¹ (P B) ^T x = u ^T

  Ru

  (P B) ^T x + x ^T (P B)u

  (P B)R ⁻¹ (P B) ^T x = u ^T

  Ru

  (P B)R ⁻¹ (P B) ^T x , atau dapat ditulis u ^T Ru

  ) ^T R

  (u − u ) − x ^T (P B)R ⁻¹ (P B) ^T x .

  (0)P x(0)

  J = ^{Z ∞} [x ^T

  (2.5)

  = −x ^T (0)P x(0). Berdasarkan Lema (3.1) , maka J pada persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

  Syarat Cukup untuk Optimalitas Masalah Kontrol Kuadratik Linier _{R ∞}

  x ^T A ^T P

  = ^{Z ∞} (x ^T A ^T

  = ^{Z ∞} ˙ x ^T P x

  = ^{Z ∞} d dt

  (x ^T P x

  )dt = lim

  a→∞ ^{Z a}

  d dt (x ^T P x )dt

  = lim

  a→∞

  x ^T P x ^a = lim

  a→∞

  x ^T (a)P x(a) − x ^T

  (0)P x(0) = lim

  t→∞

  x ^T (t)P x(t)

  − x ^T (0)P x(0)

• u ^T Ru ]dt + x ^T
• ^{Z ∞} x ^T
• P A) x + 2x ^T P Bu dt
• P A + Q x + u ^T Ru + 2x ^T P Bu dt. (2.4)
• x ^T
• x ^T
• x ^T
• u ^T
• x ^T
• 2x ^T P Bu + x ^T

• 2x ^T P Bu = (u − u

Suci Fratama Sari

  Dengan menggantikan (2.5) ke dalam (2.4), diperoleh _{Z ∞ T}

  R = J ) )dt,

• J

  (u − u (u − u di mana _{T T T T Z ∞ −1} x J = x (0)P x(0) + A P (P B) x dt.

• P A + Q − (P B)R Untuk menjamin agar J bebas dari u, pilih matriks simetris P sedemikian sehingga _{T T −1}

  A P B P

• Q = 0. (2.6)
• P A − P BR Jadi, pengontrol optimal untuk sistem (2.2) adalah _∗ u = u (2.7) _{−1 T}

  = −Kx, t ≥ 0, di mana K = R (P B) , P memenuhi persamaan aljabar Riccati (2.6) dan x(t) memenuhi persamaan diferensial _{−1 T}

  , (P B) x, x(0) = x (2.8) _{∗ T} ˙x = A − BR dengan J = x (0)P x(0). x

  Dengan memperhatikan lema (3.1) di mana lim (t) = 0 dan x

  t→∞

  memenuhi persamaan diferensial (2.8), maka ini bermakna bahwa sistem (2.2) dapat distabilkan.

  Fakta (2.7) memperlihatkan bahwa eksistensi dari pengontrol optimal sangat bergantung kepada eksistensi matriks simetris P yang merupakan solusi persamaan aljabar Riccati (2.6). Teorema berikut menjamin eksistensi P tersebut. _T Teorema 3.2. [7] Jika (A, B) dapat distabilkan dan (Q + K RK ) adalah definit positif maka solusi definit positif persamaan aljabar Riccati (2.6) adalah tunggal, di mana diberikan oleh _{Z ∞ T t T}

  (A−BK) (A−BK)t P e RK dt.

  = (Q + K )e (2.9) Bukti. Akan ditunjukkan bahwa P adalah solusi dari (2.6). Persamaan (2.6) dapat diubah menjadi _{T T}

  P RK ). (2.10) (A − BK) + P (A − BK) = −(Q + K

  Subtitusikan (2.9) ke ruas kiri dari (2.10), diperoleh

  _T Syarat Cukup untuk Optimalitas Masalah Kontrol Kuadratik Linier

  P (A − BK) + P (A − BK) _{Z ∞ T t T T}

  (A−BK) (A−BK)t

  e RK dt = (Q + K )e _{Z ∞} (A − BK) _{T t T}

  (A−BK) (A−BK)t

• e RK _{Z ∞}

  (Q + K )e (A − BK)dt d T _{t T}

  (A−BK) (A−BK)t

  e RK dt = (Q + K )e dt _{Z a T} d _{t T}

  (A−BK) (A−BK)t

  e RK dt = lim (Q + K )e dt

  a→∞ _{T t T a} (A−BK) (A−BK)t

  e RK = lim (Q + K )e

  a→∞ _{h T T a T . T i} (A−BK) (A−BK)a (A−BK) (A−BK).0

  e RK RK = lim (Q + K )e (Q + K )e

  − e

  a→∞ _{h i T T t T . T} (A−BK) (A−BK)t (A−BK) (A−BK).0

  e RK RK = lim (Q + K )e (Q + K )e

  − e

  t→∞ _T

  RK ). = −(Q + K Ini menunjukkan bahwa P merupakan solusi dari (2.6).

  Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa P adalah definit positif. Dari (2.9) diperoleh _{T T t T Z ∞ T}

  

(A−BK) (A−BK)t

  x P x = x e (Q + K RK )e x dt, _T untuk x 6= 0. _T

  (A−BK)t

  Karena Q + K RK adalah definit positif dan e x P x > 6= 0, t ≥ 0, maka x 0. Ini menunjukkan bahwa P adalah definit positif.

  Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa P adalah solusi tunggal. Misalkan P n adalah solusi lain dari (2.6), maka _{T T} P RK _{n + P n ) (2.11)} (A − BK) (A − BK) = −(Q + K dan _{T T} P RK

  ). (2.12) (A − BK) + P (A − BK) = −(Q + K

  Pengurangan (2.11) dengan (2.12) diperoleh _T (P n n (A − BK) − P ) + (P − P )(A − BK) = 0. Selanjutnya, _{T T t T t}

  (A−BK) (A−BK)t (A−BK) (A−BK)t

  e (P n +e (P n = 0.

  (A−BK) −P )e −P )(A−BK)e (2.13)

  Persamaan (2.13) ekivalen dengan d T _t

  (A−BK) (A−BK)t

  e (P n (2.14) − P )e = 0, t ≥ 0. Suci Fratama Sari

  Pengintegralan persamaan (2.14) pada [0, ∞) menghasilkan _{Z ∞} d T _t

  (A−BK) (A−BK)t

  e dt 0 = (P n − P )e _{Z a} dt _T d _t

  (A−BK) (A−BK)t

  e dt 0 = lim (P n − P )e

  a→∞ dt _{T t a} (A−BK) (A−BK)t

  e 0 = lim (P n − P )e

  a→∞ _{h T T}

_{a .}

_i (A−BK) (A−BK)a (A−BK) (A−BK).0

  0 = lim e (P n (P n − P )e − e − P )e

  a→∞ _{h i T T}

_{t .}

  (A−BK) (A−BK)t (A−BK) (A−BK).0

  e 0 = lim (P n (P n − P )e − e − P )e

  t→∞ _n 0 = −(P − P ).

Akibatnya P n = P

  Dengan demikian, syarat cukup yang menjamin eksistensi dan ketunggalan pengontrol optimal untuk masalah kontrol kuadratik linier (2.1) dan (2.2) adalah _T RK (A, B) dapat distabilkan dan matriks Q + K adalah definit positif, di mana _{−1 T} K = R (P B) dan P adalah solusi persamaan aljabar Riccati (2.6).

  Contoh berikut mengilustrasikan untuk permasalahan kontrol kuadratik lin- ier. Contoh 1. _{Z ∞}

  

2

  2

  min J = [2x (t) + 0.25u (t)]dt (2.15) x s.t. ¨ + x = u, x(0) = 0, ˙x(0) = 1 Akan ditentukan kontrol optimal dari masalah (2.15). a b

  , maka permasalahan Misalkan ˙x = y, maka ˙y = −x + u. Misalkan juga P = b c (2.15) dapat ditulis menjadi _{Z ∞} x

  2 0

  2

  min J = x y + 0, 25u dt, y 0 0 x

  ˙x 0 1 s.t. = + u, y

  ˙y

  1 −1 0 dengan x

  (0) = 0 dan y(0) = 1. (2.16) Persamaan aljabar riccati untuk permasalahan (2.15) adalah

  2

  0 0 −2b + 2 − 4b a − c − 4bc

  , =

  2

  0 0 a − c − 4bc 2b − 4c atau ekivalen dengan

  2

  = 0 −2b + 2 − 4b

  (2.17) a − c − 4bc = 0

  2 = 0.

  2b − 4c Syarat Cukup untuk Optimalitas Masalah Kontrol Kuadratik Linier Solusi sistem persamaan non linier (2.17) adalah a = 1, 5, b = 0, 5, dan c = 0, 5.

  Jadi, 1, 5 0, 5 P = .

  0, 5 0, 5 Sehingga, diperoleh _{∗ −1 T} u (P B) x

  = −R = −2x − 2y. Karena ˙y = −x + u, maka ˙y = −3x − 2y.

  Karena ˙x = y, maka x ¨ = ˙y

  (2.18) = −3x − 2 ˙x. Persamaan karakteristik dari persamaan differensial (2.18) adalah

  2

  r

• 2r + 3 = 0, yang akar-akarnya adalah

  √ r

  

1,2 2i.

  = −1 ± Sehingga solusi persamaan differensial (2.18) adalah _{√ √}

  2i)t 2i)t (−1+ (−1−

  x e e (t) = c + c

  1

  2 _{−t −t} √ √ √ √

  = c e (cos 2t + i sin 2t) + c e (cos 2t)

  1 2 2t − i sin _−t √ √

  = e (C cos 2t + D sin 2t), dengan C = c

  1 + c 2 dan D = (c

  1 2 )i.

  − c Dari (2.16) diperoleh

  C = 0 dan

  1 D = . √

  2 Jadi, √

  1 _−t x e (t) = sin 2t,

  √

  2 √ √ _{−t −t}

  1 y (t) = e cos e sin 2t. 2t − √

  2 Sehingga, kontrol optimal untuk permasalahan (2.15) adalah _{∗ −t} √ u cos 2t. (t) = −2e Suci Fratama Sari

  3. Kesimpulan _∗ Berdasarkan uraian dari pembahasan, maka pengontrol optimal u yang meminin- imumkan _{Z ∞ T T}

  J Qx Ru _∗ = [x + u ]dt (3.1) di mana u memenuhi sistem dinamik ,

  ˙x = Ax + Bu, x(0) = x (3.2) dengan dengan Q adalah matriks simetris semidefinit positif, R adalah matriks

  n×n n×m

  simetris definit positif, A ∈ R , B ∈ R dan t ≥ 0. adalah _∗ u _n = −Kx, t ≥ 0.

Pada sistem (3.2), x = x(t) ∈ R menyatakan vektor keadaan (state), u = u(t) ∈ m menyatakan vektor kontrol (input) dan t menyatakan waktu

  R Syarat cukup untuk eksistensi dan ketunggalan kontrol optimal tersebut _T

  RK adalah (A, B) dapat distabilkan dan matriks Q + K adalah definit positif, _{−1 T} di mana K = R (P B) dan P adalah solusi yang memenuhi persamaan aljabar Riccati _{T T −1}

  A P B P + Q = 0.

• P A − P BR

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhafzan, Ibu Arrival Rince Pu- tri, Bapak Admi Nazra, Ibu Lyra Yulianti dan Ibu Nova Noliza Bakar yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Anton, H. dan C. Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer Edisi Kedelapan.

  Erlangga, Jakarta. [2] Antsaklis, Panos J. and Anthony N. Michel. 2007. A Linear Systems Primer .

  Birkhauser, Boston. [3] Bolza, O. 1904. Lectures on The Calculus of Variations. The Decennial Publi- cations, Chicago.

  [4] Meyer, C.D. 2000. Matrix Analysis and Applied Linier Algebra. SIAM, New York. [5] Naidu, D.S. 2002. Optimal Control Systems. CRC Press, Idaho. [6] Ogata, K. 2002. Modern Control Engineering. Aeeizh, Iran. [7] Rugh, W.J. 1996. Linear System Theory. Prentice Hall, USA.