BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI DUA GRAF
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 23 – 31
ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c
BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI
DUA GRAF
YULI ERITA
Program Studi Matematika,
Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
Abstract.Let f be a proper k-coloring of a connected graph G and Π = (V , ..., V k ) be
1
an ordered partition of V (G) into the resulting color classes. For a vertex v of G, the
color code of v with respect to Π is defined to be the ordered k-tuplec k
(v) = (d(v, V ), d(v, V ), ..., d(v, V )),
Π
1
2
where d(v, V i ) = min{d(v, x)|x ∈ V i }, 1 ≤ i ≤ k. If distinct vertices have distinct color
codes, then f is called a locating coloring. The minimum number of colors needed in a
locating coloring of G is the locating chromatic number of G, and denoted by χ L (G). In
this paper, we study the locating chromatic number of the join of some graphs.Kata Kunci : Locating coloring, locating chromatic number, join
1. Pendahuluan
Suatu pewarnaan titik (vertex coloring) pada graf G adalah suatu pemetaan c : V →
Nsehingga c(v) 6= c(w) jika v dan w bertetangga. Bilangan kromatik (chromatic
number ) dari G adalah bilangan asli terkecil n sedemikian sehingga, jika titik-titik
di G diwarnai dengan n warna, maka tidak ada titik yang bertetangga mempunyai
warna yang sama. Bilangan kromatik dari G dinotasikan dengan χ(G). Misalkan
χ
(G) = n, ini berarti titik-titik di G paling kurang diwarnai dengan n warna, dan
tidak dapat diwarnai dengan n − 1 warna.Kelas warna pada G, dinotasikan dengan C i , merupakan himpunan titik-titik , C , ..., C yang berwarna i dan 1 ≤ i ≤ k. Misalkan Π = C
1 2 k merupakan partisi
terurut dari V (G) berdasarkan suatu pewarnaan titik, maka representasi v terhadap
Π disebut kode warna dari v, dinotasikan dengan c Π (v). Kode warna (color code)
c (v) dari suatu titik v ∈ V (G) didefinisikan sebagai k vektor:Π
c (v) = (d(v, C ), d(v, C ), ..., d(v, C k )),
Π
1
2
di mana d(v, C i ) = min{d(v, x) | x ∈ C i }. Jika setiap titik yang berbeda di G memi-
liki kode yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi (locating coloring) bagi
G. Oleh karena itu, pewarnaan lokasi pada graf G adalah pewarnaan yang mem-
bedakan setiap titik di G berdasarkan jaraknya terhadap warna yang dihasilkan.
Jumlah minimum warna yang digunakan pada pewarnaan lokasi dari graf G dise-
but bilangan kromatik lokasi (locating chromatic number ). Karena setiap pewar-
naan lokasi merupakan suatu pewarnaan, maka χ(G) ≤ χ L (G) untuk setiap graf
Yuli Erita Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Misal diberikan suatu graf G
dengan orde n = 8 dan diberikan pewarnaan seperti pada Gambar 1, dengan kelas
warna C = {v , v }, C = {v , v }, C = {v , v }, dan C = {v , v }.1
1
5
2
3
7
3
2
6
4
4
8
′
Gambar 1. Pewarnaan c pada Graf G
′
1
, C , C , C } adalah Kode warna dari titik-titik di graf G terhadap Π = {C
2
3
4
′
c (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (0, 2, 1, 2),
Π
1
1
1
1
2
1
3
1
4
′
c (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (1, 1, 0, 1),
Π
2
2
1
2
2
2
3
2
4
c ′ , C , C , C , C (v ) = (d(v ), d(v ), d(v ), d(v )) = (2, 0, 1, 1),
Π
3
3
1
3
2
3
3
3
4
c ′ , C , C , C , C (v ) = (d(v ), d(v ), d(v ), d(v )) = (1, 1, 2, 0),
Π
4
4
1
4
2
4
3
4
4
c ′ , C , C , C , C (v ) = (d(v ), d(v ), d(v ), d(v )) = (0, 2, 1, 1),
Π
5
5
1
5
2
5
3
5
4
c ′ , C , C , C , C (v ) = (d(v ), d(v ), d(v ), d(v )) = (1, 1, 0, 1),
Π
6
6
1
6
2
6
3
6
4
c ′ , C , C , C , C (v ) = (d(v ), d(v ), d(v ), d(v )) = (2, 0, 1, 1),
Π
7
7
1
7
2
7
3
7
4
c ′ , C , C , C , C
Π (v 8 ) = (d(v
8 1 ), d(v
8 2 ), d(v
8 3 ), d(v
8 4 )) = (2, 2, 1, 0).
Pewarnaan dengan empat warna pada graf G bukan suatu pewarnaan lokasi
′′
karena terdapat titik-titik dengan kode warna sama. Sebaliknya pewarnaan c
pada G seperti terlihat pada Gambar 1 merupakan pewarnaan lokasi pada
graf G karena setiap titik pada graf G memiliki kode warna berbeda terhadap
′′
Π ={C , C , C , C , C }. Kode warna dari titik-titik pada G dengan lima pewar-
1
2
3
4
5
naan adalah
′
c , C , C , C , C , C ′′ (v
1 ) = (d(v
1 1 ), d(v
1 2 ), d(v
1 3 ), d(v
1 4 ), d(v
1 5 )) = (0, 1, 1, 2, 2), Π ′
c (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (1, 0, 1, 1, 1),
′′2
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5 Π ′
c (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (2, 1, 0, 1, 2),
′′3
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5 Π ′
c (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (3, 2, 1, 0, 1),
′′4
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5 Π ′
c ′′ (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (2, 3, 1, 1, 0),
5
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5 Π ′
c ′′ (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (1, 2, 0, 1, 1),
6
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5 Π ′
c ′′ (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (2, 1, 1, 1, 0),
7
7
1
7
2
7
3
7
4
7
5 Π ′
c ′′ (v ) = (d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C ), d(v , C )) = (2, 1, 1, 0, 2).
8
8
1
8
2
8
3
8
4
8
5 Π Bilangan Kromatik Lokasi untuk Join dari Dua Graf ”
Gambar 2. Pewarnaan c pada Graf G
”
Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa pewarnaan c yang menggunakan lima
warna pada G adalah pewarnaan lokasi dengan kardinalitas paling kecil. Oleh karena
itu, bilangan kromatik lokasi dari graf G, χ L (G) = 5.Teorema 1.1. [5] Misal c suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G. Jika u
dan v adalah titik-titik yang berbeda pada G sedemikian sehingga, d(u, w) = d(v, w)
untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v} maka c(u) 6= c(v). Dalam hal khusus, jika u dan
v adalah titik-titik yang tidak bertetangga pada G sehingga N (u) = N (v), maka
c (u) 6= c(v). Bukti.Misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan mis- , C , ..., C alkan Π = (C
1 2 k ) adalah partisi dari titik-titik G ke dalam kelas warna
C
i . Untuk suatu titik u, v ∈ V (G), andaikan c(u) = c(v) sedemikian sehingga
titik u dan v berada dalam kelas warna yang sama, misal C i dari Π. Akibatnya,
d (u, Ci) = d(v, Ci) = 0. Karena d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) {u, v},
maka d(u, C j ) = d(v, C j ) untuk setiap j 6= i; 1 ≤ j ≤ k. Akibatnya, c (u) = c (v)
Π Π sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Dengan demikian, c(u) 6= c(v).
2. Bilangan Kromatik Lokasi Untuk Join dari Dua Graf
Misalkan G adalah suatu graf tanpa loop dan sisi ganda dengan himpunan titik
V (G) dan himpunan sisi E(G). Suatu pewarnaan k-warna dari G, k ∈ N, adalah
suatu fungsi f didefinisikan dari V (G) pada [k] = {1, 2, ..., 3} sehingga setiap dua
titik yang bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Definisi 2.1.Misalkan f adalah suatu k-pewarnaan dari suatu graf terhubung G , C , ..., C
dan Π = (C k ) adalah partisi terurut dari V (G) dalam kelas warna yang
1
2
dihasilkan. Untuk suatu titik v di G, kode warna dari v yang terkait dengan Π
didefinisikan sebagai berikutc (v) = (d(v, C ), d(v, C ), ..., d(v, C k )).
Π
1
2 Jika titik yang berbeda pada G mempunyai warna yang berbeda maka f disebut
pewarnaan lokasi dari G. Bilangan kromatik lokasi, dinotasikan dengan χ L (G),
adalah banyak warna minimum dalam pewarnaan lokasi G.Koordinat ke-i pada kode warna setiap titik dalam kelas warna C i adalah nol
Yuli Erita
pewarnaan lokasi jika kode warna dari titik titik dalam setiap kelas warna selalu
berbeda.3. Bilangan Kromatik Lokasi Tetangga
Bilangan kromatik lokasi tetangga mempunyai hubungan yang sangat dekat dengan
bilangan kromatik lokasi. Bilangan kromatik lokasi tetangga juga bisa digunakan
untuk graf tidak terhubung.
Definisi 3.1. [2] Misalkan f adalah suatu k-pewarnaan pada graf G. Jika untuk
setiap dua titik yang berbeda u dan v berwarna sama, dengan f (N G (u)) 6= f (N G (v)),
maka f disebut sebagai suatu pewarnaan lokasi tetangga dari G. Bilangan kromatik
lokasi tetangga, dinotasikan dengan χ L (G), adalah banyak warna minimum pada
2 pewarnaan lokasi tetangga pada G.
Misalkan terdapat suatu graf G dengan pewarnaan seperti pada Gambar 3.
Gambar 3. Pewarnaan pada graf G
Dari Gambar 3 terlihat bahwa v , v dan v berwarna sama dengan f (N G (v )) =1
3
9
1
{2}, f (N G (v )) = {2, 3} dan f (N G (v )) = {3}, titik v , v dan v juga berwarna
3
9
2
4
7
sama, dengan himpunan warna tetangganya f (N G (v )) = {1, 3}, f (N G (v )) = {1},
2
4
f (N G (v )) = {3}, titik v , v dan v juga berwarna sama, dan himpunan warna
7
5
6
8
tetangganya f (N G (v ) = {2}), f (N G (v )) = {1}, f (N G (v )) = {1, 2}. Karena
5
6
8
setiap titik yang berwarna sama pada G mempunyai himpunan warna tetangga
yang berbeda maka pewarnaan pada G adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga
dengan menggunakan 3-warna.Untuk melihat hubungan antara parameter χ L dan χ L , misalkan f adalah suatu
2
k , V , ..., V
-pewarnaan dari graf terhubung G dan Π = (V k ) adalah suatu partisi
1
2
terurut dari V (G) dalam menghasilkan kelas warna. Pewarnaan f adalah pewarnaan
lokasi tetangga jika dan hanya jika titik yang berbeda pada G mempunyai kode
warna yang berbeda [2]. Selanjutnya, setiap pewarnaan lokasi tetangga pada G
adalah pewarnaan lokasi. Oleh karena itu χ L (G) ≤ χ L (G). Jika diameter G paling
2
besar dua, maka setiap pewarnaan lokasi dari G adalah suatu pewarnaan lokasi
tetangga dan oleh karena itu χ L2 (G) ≤ χ L (G). Karena itu diperoleh Proposisi 3.2
Bilangan Kromatik Lokasi untuk Join dari Dua Graf
Proposisi 3.2. [2] Jika G adalah suatu graf terhubung dengan diameter ≤ 2, maka
χL (G) = χ L (G).
2 Khusus untuk graf lengkap [2], χ L (K n ) = n dan χ L (K m,n ) = m + n.
2
2
4. Bilangan Kromatik Lokasi dan Operasi Join
Pada bagian ini akan ditentukan kembali bilangan kromatik lokasi dari graf perte-
manan, dan join dari graf lintasan, lingkaran, dan graf lengkap.Teorema 4.1. [2] Untuk sebarang graf G dan G , χ L (G + G ) = χ L (G ) +
1
2
1
2
2
1 χ L (G ).
2
2 Bukti.
Diameter χ L (G +G ) paling besar dua, oleh karena itu berdasarkan Propo-
1
2
sisi 3.2, χ L (G + G ) = χ L (G + G ). Misalkan k = χ L (G ), k = χ L (G ), dan
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
k
= χ L (G +G ). Misalkan juga f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga dengan
2
1
2
k
-warna pada (G + G ). Titik-titik pada G bertetangga dengan titik-titik pada
1
2
1 G
dan oleh karena itu,
2
{f (u) | u ∈ V (G )} ∩ {f (v) | v ∈ V (G )} = ∅.
1
2
′ ′
Misalkan k = |f (u) | u ∈ V (G )| dan k = |f (v) | v ∈ V (G )|. Dengan demikian,
1
2
1
2
′ ′
′
k
= k + k . Asumsikan bahwa u dan u adalah dua titik di G yang mempunyai
1
1
2
warna yang sama. Karena f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga dan V (G ) ⊆
2 ′ ′
N
G (u) ∩ N G (u ), maka diperoleh f (N G (u) 6= f (N G (u )). Hal ini berarti
1 +G
2 1 +G
2
1
1
′
bahwa f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga dengan k -warna pada G . Oleh
1
1
′
′
≤ k karena itu k
1 . Selanjutnya asumsikan bahwa v dan v adalah dua titik di
1 G 2 yang berwarna sama. Karena f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga dan ′ ′
V (G
1 ) ⊆ N G +G (v) ∩ N G +G (v ), maka f (N G (v) 6= f (N G (v )). Hal ini berarti
1
2
1
2
2
2
′
bahwa f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga dengan k -warna pada G
2 . Oleh
2
′ ′ ′ ≤ k ≤ k karena itu k
2 . Dengan demikian k 1 + k 2 + k = k.
2
1
2 Misalkan f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga dengan k -warna pada
1
1 G dengan himpunan warna {1, 2, 3, ..., k }, dan f adalah suatu pewarnaan lokasi
1
1
2
- tetangga dengan k -warna pada G dengan himpunan warna {k + 1, k + 2, ..., k
2
2
1
1
1 ′
k }. Definisikan suatu pewarnaan f dengan k + k -warna pada G + G sebagai
2
1
2
1
2 ′ ′
f (u) = f (u) dimana u ∈ V (G ), dan f (v) = f (u) dimana v ∈ V (G ). Jika
1
1
2
2 ′ ′
z dan z adalah titik pada G + G dengan f (z ) = f (z ), maka {z , z } ⊆
1
2
1
2
1
2
1
2 V (G ) atau {z , z } ⊆ V (G ). Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa
1
1
2
2
{z , z } ⊆ V (G ). Karena f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga dengan k -
1
2
1
1
1
warna dan V (G ) ⊆ N G (z ) ∩ N G (z ), maka diperoleh f (N G (z )) 6=
2
1 +G
2
1
1 +G
2
2
1 +G
2
1 ′
f
(N G (z )). Ini berarti bahwa f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga den-
1 +G2
2
gan k + k -pewarnaan pada G + G , dan oleh karena itu, k ≤ k + k . Maka
1
2
1
2
1
2 diperoleh bahwa k = k + k .
1
2 Misalkan terdapat dua bilangan bulat positif m dan t, dan G := tK m , meru-
pakan graf yang terdiri dari t disjoin graf K m . Suatu pewarnaan di G adalah suatu
Yuli Erita
himpunan warna yang sama. Untuk suatu bilangan bulat positif k, himpunan [k]
k
mempunyai subhimpunan yang berbeda dengan ukuran m sebanyak ( ). Dengan
m k
demikian χ L (G) = min{k|t ≤ }.
2 m
Proposisi 4.2.
[2] Untuk suatu bilangan bulat positif t, misalkan n := 2t + 1, maka n k bilangan kromatik lokasi dari graf pertemanan F r adalah 1 + min{k|t ≤ }.
2 Bukti.
Misal diberikan graf F r n = K
1 +tK 2 . Banyak warna yang digunakan untuk k
mewarnai tK m adalah min{k|t ≤ }. Oleh karena itu pewarnaan untuk suatu graf
m k
tK
2 adalah min{k|t ≤ } dan warna minimum untuk K 1 adalah satu. Karena
2 K 1 bertetangga dengan semua titik pada tK 2 maka warna titik pada tK 2 harus k
berbeda dengan warna titik di K . Akibatnya χ (F r ) = 1 + min{k | t ≤ 1 L n }.
2
, C }. Pewarnaan f di G dapat direpresentasikan dengan Misalkan G ∈ {P n n ≤ n, misalkan f [f (v
1 ), f (v 2 ), ..., f (v n )]. Untuk 1 ≤ n 1 = [f (v 1 ), f (v 2 ), ..., f (v n )] |
1 [n1]
adalah batasan untuk f pada subgraf yang diinduksi oleh titik v , v , ...v . Jika
1 2 n
1
terdapat suatu titik v l ∈ V (G) sedemikian sehingga f (v l ) = s dan f (N G (v l )) = r, t,
maka terdapat segmen [[r, s, t]] di f . Notasi ini mengindikasikan bahwa pada graf
G terdapat suatu titik berwarna s berada diantara dua titik yang berwarna r dan
t . Perlu diketahui bahwa [[r, s, t]] = [[t, s, r]]. Jika f (v l ) = c dan f (N G (v l )) = r,
maka segmen [[r, s, r]] terjadi di f . Hal ini mengindikasikan bahwa terdapat suatu
titik berwarna s berada diantara dua titik berwarna r, atau terdapat suatu titik
berderajat satu (daun) berwarna s dengan warna tetangga r. Jika r, s, t adalah
elemen dari [k] dengan r 6= s dan t 6= s, maka [[r, s, t]] disebut sebagai segmen yang
mungkin atas himpunan [k].Proposisi 4.3.
[2] Misalkan n dan k adalah dua bilangan bulat positif. Jika terdapat
1
3
2
− k
pewarnaan lokasi tetangga k-warna f dari P n atau C n , maka n ≤ (k ).
2 Persamaan tersebut terpenuhi jika dan hanya jika tiap segmen yang mungkin atas himpunan [k] terjadi paling banyak satu kali di f .
Bukti.
Asumsikan bahwa f adalah pewarnaan lokasi tetangga k-warna dari G,
G ∈ {P , C }, untuk k > 0. Jika u dan v adalah dua titik di G dengan warna yang
n n
sama yaitu i, 1 ≤ i ≤ k, maka f (N G (u)) 6= f (N G (v)). Untuk setiap u ∈ V (G),
|f (NG (u))| ≤ 2. Oleh karena itu diperoleh
|{u|u ∈ V (G), f (u) = i, |f (N G (u))| = 1}| ≤ k − 1
dank −1
|{u|u ∈ V (G), f (u) = i, |f (N G (u))| = 2}| ≤ ( ).
2 k −1
1
2 Ini berarti bahwa terdapat paling banyak (k − 1) + ( ) = (k − k) titik di G
2
2
2
k −k
dengan warna i. Oleh karena itu, n ≤ k( ). Karena f adalah suatu pewarnaan
2
, C
lokasi tetangga dengan k-pewarnaan, maka setiap titik berada pada G ∈ {P n n }.
′
v ...v Jika f adalah suatu pewarnaan dari P t = v t dan f adalah suatu pewar-
1
2 ′ ′ ′
′ v ...v naan dari P t = v ′ , maka
t
1
2
Bilangan Kromatik Lokasi untuk Join dari Dua Graf
′ ′ ′
Oleh karena itu f (v t ) 6= f (v ). Dengan f ⊕ f adalah suatu pewarnaan dari suatu
1 ′ ′ ′ ...v v ...v .
graf lintasan P t = v t ′
- t 1 t
1 Teorema 4.4.
[2] Untuk suatu bilangan bulat positif n ≥ 2, χ L
2 (P n ) = m, dimana
1
3
2
m − k = min{k|k ∈ N, n ≤ (k )}. Khususnya, terdapat suatu pewarnaan lokasi
2
1 2 n sedemikian sehingga
v ...v tetangga dengan m-warna f n pada graf lintasan P n = v
f
n (v n −1 ) = 2 dan f n (v n ) = 1. Untuk n ≥ 9, f n (v n −2 ) = m. Selanjutnya, untuk
1
3
2 n ≥ 9 dan n 6= (m − m ) − 1, f (v ) = 2, f (v ) = 1. n 1 n
2
2 Dari Teorema 4.1 dan Teorema 4.4 diperoleh dua akibat berikut.
Akibat 4.5.
[2] Untuk m ≥ 1 dan n ≥ 2, diperoleh
1
3
2
χ L (K m + P n ) = m + min{k > 0, n ≤ (k − k )}.
2 Khususnya, bilangan kromatik lokasi dari graf kipas F n adalah χ L (K + P n ).
1 Bukti.
Diberikan dua graf K
1
- m dan P n . Dari Teorema 4.1 diketahui bahwa χ L (G G
2 ) = χ L 2 (G 1 ) + χ L 2 (G 2 ). Akibatnya χ L (K m + P n ) = χ L 2 (K m ) + χ L 2 (P n ). Dari
Teorema 4.4 diketahui bahwa untuk n ≥ 2 diperoleh χ (P ) = m, di mana m =
L 2 n
1
3
2
min{k | k > 0, n ≤ (k − k )}, dan χ L (K m ) = m. Oleh karena itu
2
2
1
3
2
χ − k L (K m + P n ) = m + min{k | k ∈ N, n ≤ (k )}.
2 Akibat 4.6. [2] Untuk dua bilangan bulat positif m ≥ 2 dan n ≥ 2, misalkan
1
1
3
2
3
2
m = min{k | k ∈ N, m ≤ (k − k )} dan n = min{k | k ∈ N, n ≤ (k − k )}.
2
2 Maka, χ L (P m + P n ) = m + n .
1
3
2 Bukti.
− k Untuk m ≥ 2 diketahui bahwa χ L
2 (P n ) = min{k | k ∈ N, m ≤ (k )}.
2
1
3
2
dan χ (P ) = min{k | k ∈ N, n ≤ (k − k )} untuk n ≥ 2. Karena m =
L 2 m
2
1
3
2
1
3
2
min{k | k ∈ N, m ≤ (k − k )} dan n = min{k | k ∈ N, n ≤ (k − k )}, maka
2
2 χ L (P m ) + χ L (P n ) = m + n . Oleh karena itu χ L (P m + P n )) = m + n .
2
2 Selanjutnya akan ditentukan bilangan kromatik lokasi tetangga dari graf sik-
lus. Kemudian akan ditentukan nilai untuk χ L (P m + C(n)), χ L (K m + C(n))
dan χ L (C m + C(n)). Untuk setiap n, 3 ≤ n < 9, berdasarkan pewarnaan h n
pada graf siklus C n berikut h3 = [1, 2, 3], h 4 = [1, 2, 3, 4], h 5 = [1, 2, 1, 2, 3],
h
6 = [1, 2, 1, 3, 2, 4], h 7 = [2, 1, 3, 2, 3, 2, 1], h 8 = [3, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 4], dapat dil-
ihat bahwa setiap pewarnaan h n adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga. Perlu
diketahui bahwa χ L (C n ) adalah tiga atau empat tergantung pada banyaknya n,
dan χ L (C n ) ≤ χ L2 (C n ). Selanjutnya, χ L (C n ) = χ L 2 (C n ) untuk 3 ≤ n < 9. Untuk kasus n ≥ 9, diperoleh teorema berikut.
Teorema 4.7. [2] Untuk suatu bilangan bulat positif n ≥ 9, misalkan n = min{k ∈
1
3
2 N
, n ≤ (k − k )}, maka
2
1
3
2
n untuk n 6= (n − n ) − 1
2 Yuli Erita
Bukti. Misalkan C n = v v ...v n v . Dari Proposisi 3.2, diperoleh χ L (C n ) ≤ n .
1
2
1
2
1
3
2 Asumsikan bahwa n 6= ((n − n ) − 1). Berdasarkan Teorema 4.4, terdapat suatu
2
v ...v
pewarnaan lokasi tetangga f n dengan n -warna pada graf lintasan P n = v n
1
2
sedemikian sehingga f n (V ) = 2, f n (V ) = 1, f n (V n ) = 2. Misalkan f n sebagai
1 2 −1
suatu pewarnaan dari titik pada C n . Karena f n (v ) 6= f n (v n ), maka f n adalah
1
suatu pewarnaan sejati pada C n . Oleh karena itu, untuk setiap 1 ≤ i ≤ n, diper-
oleh f n (N C n (v )) = f n (N P n (v )). Selanjutnya, f n adalah suatu pewarnaan lokasi
1
1
tetangga pada C n dengan n -warna. Hal ini mengakibatkan bahwa χ L 2 (C n ) = n .
1
3
2
− n Asumsikan bahwa n = (n ) − 1. Berdasarkan Teorema 4.4, terdapat su-
2
1 2 n sedemikian
v ...v atu pewarnaan lokasi tetangga f n −1 dari lintasan P n −1 = v
′ sehingga f n −1 (V
1 ) = 2 dan f n (V n −1 ) = 1. Definisikan suatu pewarnaan f n pada
′ ′ C
n sebagai f (v n ) = n + 1 dan f (v i ) = f n −1 (v i ) untuk 1 ≤ i ≤ n − 1. Dike- n n
′ ′ ′ ′
tahui bahwa, n + 1 ∈ f (N n (v )) ∩ f (N n (v )), f (v ) 6= f (v ), dan
C
1 C n −1 1 n −1 n n n n
′
f (N C n (v i )) = f n (N P n (v i )) untuk setiap 2 ≤ i ≤ n − 2. Dengan demikian
n −1
−1
′
,f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga dengan (n + 1)-warna pada C n . Oleh
n karena itu, χ L (C n ) ≤ n + 1.
2 Akan ditunjukkan bahwa χ L (C n ) = n . Anggap bahwa terdapat suatu pe-
2
warnaan lokasi tetangga f dengan n -warna pada C n . Misalkan V i = {x |
x ∈ V (C n ), f (x) = i}. Karena f adalah suatu pewarnaan lokasi tetangga , se-
1
1
2
3
tiap kelas warna memuat paling banyak (n − n ) titik. karena n = ((n −
2
2
1
2
2
n ) − 1), tepat satu kelas warna, misalnya V , berukuran (n − n ) − 1 dan
1
2
1
2
yang lainnya berukuran (n − n ). Untuk setiap 2 ≤ i ≤ n , misalkan X i =
2
1
2
(x, y) | x ∈ N C n (y), f (x) = 1, f (y) = i. Misalkan 2 ≤ i ≤ n . Karena |V i | = (n −
2
n ), semua segmen yang mungkin pada bentuk [[r, i, j]], dimana r ∈ [n ] dan j
∈ [n ], muncul di f . Dengan demikian, untuk setiap j dengan j ∈ {1, i}, terdapat
y∈ V i sedemikian sehingga f (N C n (y)) = {1, j}. Juga terdapat z ∈ V i sedemikian
sehingga f (N C n (z)) = {1}. Ini mengakibatkan |X i | = (n −2)+2 = n . Oleh karena
itu |X| = (n − 1)n , dimana X = X2 ∪ X 3 ∪ ...X n . Setiap titik x dengan warna
1 mempunyai dua tetangga dan oleh karena itu |X| = 2|{x | x ∈ V (C n ), f (x) = 1|.
|X| (n −1)n Ini berarti bahwa terdapat titik sebanyak = berwarna 1.
2
2 Dari Proposisi 3.2, Teorema 4.4, dan Teorema 4.7 diperoleh akibat-akibat berikut.
Akibat 4.8.
[2] Untuk dua bilangan bulat positif m ≥ 2 dan n ≥ 3, misalkan
1
3
2
1
3
2
m = min{k ∈ N, m ≤ (k − k )} dan n = min{k | k ∈ N, n ≤ (k − k )},maka
2
2
m + χ L (C n ); untuk 3 ≤ n < 9
1
3
2
χ m
L (P m + C n ) = + n ; untuk n ≥ 9, n 6= (n − n ) − 1
2
1
3
2
m + n + 1 ; untuk n ≥ 9, n = (n − n ) − 1.
2 Akibat 4.9. [2] Untuk dua bilangan bulat positif m ≥ 1 dan n ≥ 3, misalkan
1
3
2
n = min{k ∈ N, m ≤ (k − k )}. Maka,
2
m + χ L (C n ); untuk 3 ≤ n < 9
1
3
2
χ m
L (K m + C n ) = + n ; untuk n ≥ 9, n 6= (n − n ) − 1
2 Bilangan Kromatik Lokasi untuk Join dari Dua Graf ≃ K Karena graf roda W n
1 + C n , maka bilangan kromatik lokasi graf roda W n
dapat diperoleh dengan menghitung χ L (K 1 + C n ). Akibat 4.10. [2] Untuk dua bilangan positif m dan n, 3 ≤ m ≤ n, misalkan
1
3
2
1
3
2
m = min{k ∈ N, m ≤ (k − k )} dan n = min{k ∈ N, n ≤ (k − k )}, maka
2
2
χ L (m) + χ L (n) ; untuk n < 9
1
3
2
L (m) + n ; untuk m < 9 ≤ n, n 6= (n − n ) − 1
χ 2 χ
1
3
2 L (m) + n + 1 ; untuk m < 9 ≤ n, n = (n − n ) − 1
2
1
3
2
1
3
2
χ m − m − n
L (C m +Cn) = + n ; untuk m ≥ 9, m 6= (m ) − 1, n 6= (n ) − 1
2
2
1
3
2
1
3
2 + n + 1 ; untuk m ≥ 9, m = (m ) − 1, n 6= (n ) − 1 m − m − n
2
2 m − m − n
1
3
2
1
3
2 + n + 1 ; untuk m ≥ 9, m 6= (m ) − 1, n = (n ) − 1
2
2
1
3
2
1
3
2
m − m − n + n + 2 ; untuk m ≥ 9, m = (m ) − 1, n = (n ) − 1.
2
2 Daftar Pustaka
[1] As’ad, Nabila. Tanpa Tahun. Aplikasi Pewarnaan Graf pada Pemecahan Masalah Penyusunan Jadwal. ITB. Bandung. [2] Behtoei, A. 2012. The Locating Chromatic Number of the Join of Graphs. arxiv.org/abs/1112.2357. [3] Bondy, J.A dan U.S.R Murty. 2008. Graph Theory, Springer, United States. [4] Chartrand, G dan Ping Zhang. 2009. Chromatic Graph Theory. CRC Press.
United States. [5] Chartrand, G dkk. The locating chromatic number of a graph. Bull.
Inst.Combin. Appl. 36:89-101. [6] Godsil, C dan Gordon Royle. 2001. Algebraic Graph Theory. Springer. New York.
[7] Hartsfield, N dan G. Ringel. 1994. Pearls in Graph Theory A Compre- hensive : Introduction Revised and Augmented . Academic Press. San Diego.
[8] Husodo, A.Y. Tanpa Tahun. Aplikasi Pewarnaan Graf dalam Penyimpanan Senyawa Kimia Berbahaya. ITB. Bandung. [9] Vasudev, C . 2006. Graph theory with Application. New Delhi. India.