Perbandingan ,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

  

Perbandingan ,fungsi, persamaan dan

identitas trigonometri

  

Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan

Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan

menggunakan klinometer menggunakan klinometer

   Perbandingan trigonometri

  Perbandingan Trigonometri Pengalaman Belajar 

  Seorang siswa program keahlian bangunan ingin praktik membuat rangka atap rumah dengan ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka panjang x adalah … _{x m} 2 m _{4 m}

  3

  Pengalaman Belajar Pengalaman Belajar 

  Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut elevasi 30 elevasi 30 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 45 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 45

seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20

seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20

meter, berapa tinggi menara tersebut? meter, berapa tinggi menara tersebut?

  30 _B ⁴⁵ _A

_{20 m}

Perbandingan Trigonometrri

  Perbandingan Trigonometri APA yang terjadi ?

  APA yang terjadi ? Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada

  Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb: muridnya sbb:

   “ Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi “ Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi

  

AC=4, BC=6 dan AB=8 . Tentukan besar sudut

AC=4, BC=6 dan AB=8 . Tentukan besar sudut

  A.” A.”

  Sekilas ??? Sekilas ??? 

  Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan oleh guru tersebut? oleh guru tersebut?

   Murid ya mencoba menghitung besar sudut A

  Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A

   Guru merasa tak bersalah

  Guru merasa tak bersalah Perbandingan Trigonometri

  4M

  3 M BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA? Perbandingan Trigonometri

  Perbandingan Trigonometri Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang ?

  1) 2) 4) 3)

  Ruang Ruang

  Lingkup Lingkup

  2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus )

  3. Rumus-rumus Trigonometri

  4. Koordinat Kartesius dan Kutub

  5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga

  1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut

  6. Identitas Trigonometri

  7. Persamaan Trigonometri Perbandingan Trigonometri

  Perbandingan Trigonometri SINUS ADALAH PERBANDINGAN ANTARA SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN

HIPOTENUSA PADA SUATU

SEGITIGA SIKU-SIKU

  C AC

  Sin AOC = A

  Perbandingan Trigonometri 

  Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku O A C

  Cos AOB = OA OC

  Perbandingan Trigonometri  Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi didepan sudut dengan sisi disamping sudut

  O C A Tan AOC =

  AC OA

  Sudut Dalam Kedudukan Baku A B C

  θ Sudut θ tidak dlm kedudukan baku

  X Y A B C θ

  Sudut θ dalam kedudukan baku Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ

  Perbandingan trigonometri

  PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP SINUS ...

  AE EE' AD DD'

  AC CC' AB BB'

     

  PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP KOSINUS ...

  AE AE' AD AD'

  AC AC' AB AB'

     

  PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP TANGEN ...

  AE' EE' AD' DD'

  AC' CC' AB' BB'

     

  Perbandingan trigonometri Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10 cm, sisi BC = 5 cm.

  B Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....

  10

  5 C A ? didapat 5V3 Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3

  Perbandingan Trigonometri Dikembangkan Soal Dengan mengukur panjang

  C tangga BC, dan mengukur besa sudut ABC, dan menggunakan konsep sinus, maka siswa

  Tangga ditugasi untuk menentukan ketinggian lantai II dari dasar lantai.

  A B

  Perbandingan Trigonometri C A B Tali pancang Tiang Dengan mengukur besar sudut BAC dan jarak AB, serta menggunakan konsep kosinus maka siswa dapat menentukan panjang tali pancang AC, yang sudah waktunya diganti itu!

  Sudut Khusus 

  Sudut khusus S A B C D P Q R ABC sama sisi panjang sisi = 2a PQRS persegi panjang sisi = 2a Perbandingan Trigonometri

  Perbandingan Trigonometri Dengan menggunakan gambar di atas, tentukan nilai perbandingan : o

  30

  45

  60

  90 …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

   sin

  

  cos  tg

   ctg

   sec

   ec cos

  

  Perbandibgan Trigonometri Sudut Khusus Sudut Khusus _{o o} 45 sin 45 = ½ V2

  V2 1 o cos 45 = ½ V2 _{o o o} tan 45 = 1

  45

  90

  1 ^o sin 30 = ½ _{o o} cos 30 = ½ V3

  30 _{o 1} tan 30 = / ₃ V3

  V3 _{o o} sin 60 = ½V3 _{o o} cos 60 = ½

  90

  60 _o

  1 tan 60 =

  V3

  Perbandingan Trigonometry RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

A. Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri 1. a. Relasi Kebalikan:

  1

  1

  1 cot α = sec α = csc α = sinα cos tan

    sinα

   b. Relasi Pembagian: tan α = cosα cos α cot α = sin α

   c. Relasi “Pythagoras”: _{2 2} sin α + cos α = 1 (dan variasinya) _{2 2} tan α + 1 = sec α _{2 2} 1 + cot α = csc α

  Sudut Berelasi Sudut Berelasi

2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi

   a. sin(90 – α) ^o = cos α ^o cos(90 – α) ^o = sin α ^o tan(90 – α) ^o = cot α ^o cot(90 – α) ^o = tan α ^o sec(90 – α) ^o = csc α ^o csc(90 – α) ^o = sec α ^o

   b. sin(180 – α) ^o = sin α sin(180 + α) ^o = –sin α ^o cos(180 – α) ^o = –cos α cos(180 + α) ^o = –cos α ^o tan(180 – α) ^o = –tan α tan(180 + α) ^o = tan α ^o

   c. sin(360 – α) ^o = –sin α sin(–α ^o ) = –sin α ^o cos(360 – α) ^o = cos α cos(–α ^o ) = cos α ^o tan(360 – α) ^o = –tan α tan(–α ^o ) = –tan α ^o All Sin Tan Cos Bernilai ”+” Perbandingan Trigonometri

  Perbandingan Trigonometri

  α ^{o o}

  Hal Khusus Hal Khusus 2.

  Jika α

1. Jika

  β β ^{o o}

  ) ) ^{o o}

  ) ) ^{o o}

  = cos ½ = cos ½

  γ γ ^{o o} cos cos

  ½ ( ½ (

  α α

  β β

  (90 – ½ (90 – ½

  = = cos cos

  = sin(90 – ½ = sin(90 – ½

  γ γ

  

)

)

^{o o}

  = sin ½ = sin ½

  γ γ ^{o o}

  1.

  2. Jika Jika α α ^{o o} + + β β ^{o o} + +   ^{o o} = 270 = 270 ^{o o} , maka: , maka: sin( sin( α α + + β β ) ) ^{o o} = sin(270 – = sin(270 –  

  ) ) ^{o o}

= –cos = –cos

  ^{o o} cos( cos( α α + + β β ) ) ^{o o} = cos(270 – = cos(270 –   ) ) ^{o o}

= –sin = –sin

  ^{o o}

  γ γ

  β β

  ) ) ^{o o}

  = sin = sin

  = 180 = 180 ^{o o}

  , maka: , maka: sin( sin(

  α α

  β β

  ) ) ^{o o}

  = sin(180 – = sin(180 –

  γ γ

  ) ) ^{o o}

  γ γ ^{o o} cos( cos(

  γ γ ^{o o}

  α α

  β β

  ) ) ^{o o}

  = cos(180 – = cos(180 –

  γ γ

  ) ) ^{o o}

  γ γ ^{o o} sin ½ ( sin ½ (

  α α

  

= –cos

= –cos

  Koordinat Kartesius dan Kutub Koordinat Kartesius dan Kutub Y

  Y P( x,y )

  P( r,  ) x x

    r y y

   x

  X O o

  Koordinat Kutub Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub Koordinat Kutub ke Kartesius

  2

  2

  2 r = x + y x = r cos a y tan α = x

  Y = r sin a

  Rumus Trigonometri dalam Segitiga Rumus Trigonometri dalam Segitiga

  2 – 2ab cos γ 2ca

  2 b

  2 c

  2ab

  2 b  

  2 c

  2 a

  2 c   cos α = cos β = 2bc

  2 a

  2 b

  2 + b

  1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:    sin sin sin c b a

  2 = a

  2 – 2ac cos β c

  2 + c

  2 = a

  2 – 2bc cos α b

  2 + c

  2 = b

  2. Aturan (rumus) kosinus: a

   

  2 a   cos γ = atau

  Rumus Trigonometri dalam segitiga Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan o kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160 dan kapal B ke o

arah 220 dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua

kapal 2 jam kemudian?

  U

  2

  2

  2 o AB = 20 + 32 – 2. 20 . 32 . cos 60 _o = 400 + 1024 – 640

  220 = 784

  O o _o 160

  60

  20 AB = 28 A

  32 Jarak antara kedua kapal 28 mil B

  Rumus trigonometri dalam segitiga

C

  20

  37 B

  51 A Berapakah nilai tan A dan sin B? cos A = sehingga cos B = cos B = sehingga sin A =

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT 1.

1. Rumus jumlah Rumus jumlah

• – –

  α α cos cos

  Rumus sudut rangkap 

    

  1 tan tan ) ( tan 

        tan tan

  β β

  α α sin sin

  β β

  β β

  ) = cos ) = cos

  α α

   cos( cos(

  Rumus selisih  sin( sin( α α – – β β ) = sin ) = sin α α cos cos β β – cos – cos α α sin sin β β

• sin
• sin

     Rumus selisih

  1 tan tan ) tan( 

        tan tan

   cos( cos( α α + + β β ) = cos ) = cos α α cos cos β β – sin – sin α α sin sin β β

   sin( sin( α α + + β β ) = sin ) = sin α α cos cos β β + cos + cos α α sin sin β β

  Rumus setengah sudut Rumus setengah sudut

2. Rumus sudut rangkap

  = 2 sin = 2 sin

  α α cos cos

  2.

  

  1 sin tan ₂ ¹ 

   cos

     

  1 cos 1 tan ₂ ^{1 2} 

   cos

     

  1 tan 2 2 tan

   ₂ tan

  2 cos ^{2 2} ½ α = 1 + cos α  

  α 

  = 1 - cos α

  α = 1 - cos

  ½ α

  2 sin ^{2 2} ½

   2 sin

  Sin 2 Sin 2

  α α

  α α

  = cos = cos ^{2 2}

  Cos 2 α α

   Cos 2

  α α

  α α

• – sin
• – sin
^{2 2}

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT

  3. Rumus sudut rangkap tiga

  3. Rumus sudut rangkap tiga Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α

  Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α

  Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α   

  

  2

  3 tan

  3

  1 tan tan 3 3 tan

     Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali

  Fungsi Sinus/Kosinus Fungsi Sinus/Kosinus 1.

1. Hasil kali sinus dan kosinus Hasil kali sinus dan kosinus

   2 sin 2 sin α α cos cos β β = sin( = sin( α α + + β β ) + sin( ) + sin( α α – – β β ) )

   2 cos 2 cos α α sin sin β β = sin( = sin( α α + + β β ) – sin( ) – sin( α α – – β β ) )

   2 cos 2 cos α α cos cos β β = cos( = cos( α α + +

  

β

β ) – cos( ) – cos( α α – – β β ) )

  

• – – 2 sin 2 sin α α sin sin β β = cos( = cos( α α + +

  ) – cos( ) – cos( α α – – β β ) ) atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β) atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)

  

β

β

  2 . Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus

  . Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus sin A + sin B = 2 sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)

   sin A – sin B = 2 cos sin A – sin B = 2 cos

  ½ (A + B) sin ½ (A – B) ½ (A + B) sin ½ (A – B)

   cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos cos

  ½ (A – B) ½ (A – B)

   cos A – cos B = –2 sin cos A – cos B = –2 sin

  ½ (A + B) sin ½ (A – B) ½ (A + B) sin ½ (A – B)

  2

IDENTITAS TRIGONOMETRI

   Identitas Identitas adalah suatu kalimat terbuka yang adalah suatu kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap pengganti nilai bernilai benar untuk setiap pengganti nilai variabelnya, misal : variabelnya, misal : sin

  

2

α + cos

  2 α = 1 x x x x x

  sin cos 1 cos

  1 sin csc

  2 

   

  

  

  Buktikan !

  Buktikan ! sec

  4  – sec

  2  = tan

  4  + tan

  2 

IDENTITAS TRIGONOMETRI

  sin x 1 cos x  

  Bukti: 1 cos x sin x 

  2

  2 sin x ( 1 cos x )  

   ( 1 cos x ) sin x 

  2

  2 sin x

  1 2 cos x cos x     (

  1 cos x ) sin x  2 2 cos x 

   ( 1 cos x ) sin x 

  2  sin x

  2 csc x ruas kanan (terbukti)  

  IDENTITAS TRIGONOMETRI Bukti: Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari ruas kanan Ruas kanan:  Ruas kiri: _{4 2 4 2} sec tan

   – sec  _{2 2}  + tan  _{2 2}

  = sec = tan ₂ (sec  – 1) _{2 2} (tan  + 1) ₂

  = sec = (sec

   x tan  _{2 2 4}  – 1) sec  ₂ = (1 + tan

  = sec ₂ ) x tan  ₄  – sec 

  = tan = ruas kiri (terbukti) ₄  + tan  ₂

  = tan  + tan 

  = ruas kanan (terbukti)

  

  

  

  , k k

  ,

  

  

  . 360

  . 360

  k k

  

  

  B

  

  

  

   atau x x

  

  . 360

  

  

  

  

   maka : x

  B

  3). Jika tan

  cos

  

  B Rumus I :

  B

  

  

   k k

  

  . 180

  . 180

  k k

  

  

  3). Jika tan x x

  

  maka : x x

  maka :

  

  

  tan

  tan

  

  

  

  

  

  cos

  Rumus I :

  maka: x x

  atau

  

  

  . 360

  . 360

  k k

  

  

  

  

  maka:

  

  



  

  sin

  sin

  

  

  

  

  1). Jika sin x x

  1). Jika sin

  Persamaan Trigonometri Sederhana Persamaan Trigonometri Sederhana

  atau x x

  

  

  

  

  

  

  2). Jika cos x x

  2). Jika cos

  B

  B

  

  

  , k k

  ,

  

  (180

  . 360

  . 360

  ) + k k

  ) +

  

  

  

  

  

  

  (180

• k

• +

  B PERSAMAAN TRIGONOMETRI

  

  k k

  .180

  .180

  

  

  ,

  , k k

  

  

  B

  B

  3). Jika tan

  3). Jika tan x x

  

  

  

  

  maka:

  maka: x x

  

   k k

  .180

  .180

  

  

  ,

  , k k

  

  

  B

  

  90

  Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol

  ,

  1). Jika sin

  1). Jika sin x x

  

  

  

  

  maka:

  maka: x x

  

   k k

  .180

  .180

  

  

  , k k

  90

  

  

  B

  B

  2). Jika cos

  2). Jika cos x x

  

  

  

  

  maka:

  maka: x x

  

  

• sin
• sin
• cos
>cos
• 180
• tan
>tan

  

  

  

  

  3). Jika tan x x

  3). Jika tan

  B

  B

  

  

  , k k

  ,

  

  

  . 360

  . 360

  k k

  

  

  



  

  

  

  atau x x

  atau

  

  

  

  

  B

  

  

  , k k

  ,

  

  

  . 180

  . 180

  k

k

  

  

  

  

  maka: x x

  maka:

  

  

  )

  )

  

  

  tan (-

  tan (-

  

  

  . 360

  . 360 . 360

   

  , , k k

   

  . 360 . 360

  ) + ) + k k

   

   

  (180 (180

   

    atau atau x x

  

k

k

  2). Jika cos

   

   

    maka: maka: x x

  ) )

   

    sin (- sin (-

   

   

   

  1). Jika sin x x

  Rumus III : Rumus III : Persamaan mengandung harga negatif Persamaan mengandung harga negatif 1). Jika sin

  B B

  2). Jika cos x x

  . 360

  

  k k

  

  

  180 +

  180 +

  

  

  maka: x x

  maka:

  

  

  )

  )

  

  

  cos (180 +

  cos (180 +

  

  

  

  

  

  

  

  B PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Contoh Soal 

  Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut: Untuk 0 ≤ x < 360: 

  a) sin x = sin 40

  b) cos 2x = Jawab: 

  a) sin x = sin 40  x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360  untuk k = 0 x = 40 k = 0 k = 140 → →

   Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140}

   adalah {30, 150, 210, 330}

  2

  1 PERSAMAAN TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

  1 

  b) cos 2x =

  2 cos 2x = cos 60

maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360

x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180

 untuk k = 0 x = 30 Untuk k = 1 x = 210 →

  →  k = 1 x = 150 k = 2 x = 330 →

  → 

  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {30, 150, 210, 330}

  PERSAMAAN TRIGONOMETRI Soal :

  1.Diketahui segitiga ABC, AC =25 cm, BC=40 cm,

dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm.

Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah ....

2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8

  

km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar

dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah ... km

  Kerangka atap suatu bangunan berbentuk seperti gambar berikut: 

  Hitunglah panjang AB 35,3 B

  A 10,30 m 28,5

  2,20 m panjang AB adalah 3,14 m Penerapan ke prgram keahlian

  Perhatikan gambar:

  a) Hitunglah jarak AB

  b) Hitunglah jarak BC 18 cm

  40

  95

  70 A B C

  a) jarak AB = 12,6 cm

  b) jarak BC = 21,97 cm Penerapan ke program keahlian