fungsi dan limit fungsi struktur (10)

1. Pengertian dan Notasi
a. Relasi f dari A ke B disebut dengan fungsi yang memetakan elemen pada himpunan
A tepat satu pada himpunan B.
Maka Ciri Fungsi adalah :
Ø Hanya terdapat satu unsur yang memetakan dari himpunan A ke B. Sehingga
∈

terdapat pasangan terurut (a ,b) f.
Ø Tidak terdapat dua atau lebih pasangan terurut berlainan yang mempunyai
anggota pertama yang sama.
b. Notasi fungsi, f : A → B ditulis y = f (x), dibaca “ y merupakan fungsi dari x ”.
c. Daerah Asal Fungsi ( Df = A ={x | x∈ R} )
d. Daerah Hasil Fungsi
R f ={y | y∈ B.sehingga.y = f (x).untuk.satu.x∈ A}

2. Beberapa Jenis Fungsi
§

Fungsi ke Dalam atau into f :A→B dan f (A)∈B
a

2

b
3

c

A

§

a

B

Fungsi ke Kepada atau onto (surjektif) f : A→ B dan f (A)=B

1

b

c
A

§

2
B

Fungsi satu-satu atau injektif f : A→ B into satu-satu dan a1,a2
berlaku f(a1)

≠

f(a2).

∈

A dengan a1

≠

a2

a

2
3

b
c
d

5
A

§

B

Fungsi Bijektif (fungsi yang bersifat injektif dan surjektif) atau korespondensi satusatu.

2

a

3

b

A

B

3. Komposisi Fungsi
a. Jika fungsi f dan g

Rf∩Dg≠0

memenuhi maka terdapat

fungsi dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang dinamakan komposisi dari g ke

f.
h(x)=

b. Notasi :
c. Sifat

(gf )(x)= g(f

(x))
≠

Tidak Komutatif atau fg gf
Asosiatif (fg)h = f(gh)
Terdapat unsur identitas I(x)= x →(fI)= (If )= f

(ff )= (f
−1

−1f

)= I

§

(f g)−1 = g−1f −1

§

[(fg)g ](x)= [g

§

Jika

k = fg → kg−1(x)= f (x)

§

Jika

h = gf → g−1h(x)= f (x)

−1

−1

4. Invers
Jika f : A → B ,

f ={(x, y)| y = f

(x)}

](x)= f (x)

(gf )

dimana x∈A, y∈B maka relasi
Dari f −1 : B → A ,

{

f = (y, x)| x = f
dimana x∈A, y∈B
Dimana : Df = Rf −1 ; Rf = Df−1
−1

(y)}

−1

disebut dengan invers fungsi.

Dengan kata lain : Jika f -1 adalah relasi yang
bukan fungsi maka f -1 disebut invers fungsi.
Diket g ={(1,4), (2,4), (3,5)}, maka g−1 ={(4,1),(4,2),(5,3)},

(terlihat g -1, bukan fungsi)
Jika f -1 adalah relasi yang merupakan fungsi maka f -1 disebut fungsi invers.
Diket f ={(2,5),(3,7), (5,10)}, maka

f −1 ={(5,2),(7,3), (10,5)},

(terlihat f -1, merupakan fungsi satu-satu)

5. Komposisi Fungsi
(g




f)f

−1(x)=f

−1(fg)(x)= g(x)
−1

g(x)= g(x)

Jika

k = fg → f

Jika

h = gf → hf

(fgh)−1
−1(x)

−1

(x)= g(x)

=h−1g−1f

6. Beberapa Rumus Khusus Mencari Invers
f (x)= ax
+b

⇒

f (x)= ax +b ⇒

cx + d

a

f −1(x)= x −b a

f

(x)=−

−1

dx +b
cx − a

f (x)= abx+c ⇒ f −1(x)= log x −c b
x

f (x)=alog(bx + c) ⇒ f −1(x)=

a −c

b

7. Menentukan Domain dan Range dari Suatu Fungsi
7.1. Fungsi Kuadratik f(x) = y = ax2 + bx + c
Df = Real
Rf : Tergantung pada soalnya

Tentukanlah Rf dari fungsi
f(x) = x -2x + 3 berikut jika
a)
Df = R
2

≤

≤

b)
Df = { x | -1 x 4 } Jawab :
a) Karena Df Real, maka Rf berada pada kurva
dengan a > 0
jadi : Rf = y ≥ y EKSTRIM ;
, Rf : { y | y ≥ 2 }

y EKSTRIM
a

b) Karena Df ditententukan dalam range
[-1,4 ], maka tinggal mensubtitusikan ujung-ujung range tsb thd fungsi.
Dan nilai yekstrim, Kemudian urutkan hasilnya.
f (-1) = 6
f (4) = 11, dan nilai y EKSTRIM f (2) = 3 Rf : { y | 3 ≤ y ≤ 11 }
7.2. Fungsi berbentuk pecahan
(linear : linear)

Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi
f(x) = x−3

2x +5

Jawab :
Df : R – { x ≠ 3 } atau R – { 3 }
Maka untuk mencari Rf ( diinverskan ) mengubah fungsi menjadi x = .....
2x + 5
y = → x −3

y(x −3)

= 2x + 5

x(y − 2)

= 5+ 3y
X=5+ 3y
y−2

Rf : R – { y

≠

2 } atau R – { 2 }

7.3. Fungsi berbentuk pecahan
(kuadratik : linear)
Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi
x2 − x −2
f (x) = x +2

Jawab :
Df : R – { x ≠ -2 } atau R – { -2 }
Maka untuk mencari Rf menuliskan fungsi dalam :
x2 − x − 2
f (x) = → y(x + 2) = x − x − 2 x + 2
x2 − x(1+ y) − 2 − 2y = 0

Syarat :
Fs kuadratik terdefinisi pada R, maka D

≥

0.

(1+ y)2 −4(1)(−2−2y)≥ 0

Maka : y2 +10y +9≥ 0
y ≥ -1 }

≤

y −9 atau

7.4. Fungsi Irasional ( ax +b )

≥

y −1 Rf

: { y ≤ -9 atau

Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi

f (x) =

2x −6

Jawab :
Fungsi di bawah tanda akar akan terdefinisi jika nilainya ≥ 0, maka
≥

2x – 6 ≥ 0 x 3
Df : { x | x ≥ 3 }
Rf : { y | y ≥ 0 }
7.5 . Fungsi Irasiona

(ax 2 + bx + c

)

Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi
f

l(

(x) = − x2 + 4x

Jawab :
Fungsi di bawah tanda akar akan terdefinisi jika nilainya ≥ 0, maka
-x2 + 4x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 4 jadi Df : { x | 0 ≤ x ≤ 4 }
Untuk mencari nilai Rf, maka kuadratkan kedua ruas :
y2 = -x2 + 4x

x2- 4x - y2 = 0
Syarat: terdefinisi fungsi Kuadratik pada R, D ≥ 0 dan y ≥ 0 (syarat tanda di
bawah akar)
16 - 4y2 ≥ 0 dan y ≥ 0
0 ≤y ≤2
Rf : { y | 0 ≤ y ≤ 2 }

-1
TIPS
Tidak dianjurkan sebelum memahami konsep-konsep matematika
tips ini hanyalah sebagai variasi dalam belajar

dengan baik, penggunaan

matematika.

Menyelidiki suatu grafik merupakan fungsi atau bukan
Tariklah garis-garis sejajar dengan sumbu Y. Jika ada garis yang sejajar dengan sumbu
Y memotong grafik di dua titik atau lebih, maka grafik tersebut bukan merupakan suatu
fungsi.

Mengenai fungsi komposisi

f g = k ⇒ kg−1 = f

−1

−1

⇒ f −1k = g
gf = h ⇒ hf −1 = g
⇒ g−1h = f

Beberapa rumus mencari invers

maka kg = f =

maka hf −1 = g =

g h

f −1k

f(x)= ax +b
f(x)=

⇒ f −1(x)= (x −b ) a

x

⇒f

+b
a

⇒f

−1

(x)= a(x −b)

−1

(x)= (x −b)1 /a

a

f(x)=

+b ⇒ f −1(x)= (x − r)1/q − p
f(x)= (x + p)
q

x

+r

f(x)= p qx+r
⇒
x
+r
f(x)= p
⇒

q

f(x)= ax +b ⇒

cx+ d

Ø

pf
−1(x)= logx − r
q
f

(x)= q. plogx − r

−1


f
−1(x)=−dx +b
cx− a