KETEROBSERVASIAN SISTEM LINIER DISKRIT

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 108 – 114

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

KETEROBSERVASIAN SISTEM LINIER DISKRIT

MIDIAN MANURUNG

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.

demikara@ymail.com

Abstract.

  Given the following discrete time-invariant linear control systems: x

(t + 1) = Ax(t) + Bu(t),

y _{n m r} (t) = Cx(t), is defined as an where x ∈ R is the state vector, u ∈ R is an input vector, y ∈ R _{n×n n×m} ⁺ is defined as time. Linear system is said to be output, A ∈ R , B ∈ R , and t ∈ Z , t

observable on the finite time interval [t f ] if any initial state x is uniquely determined

by the output y(t) over the same time interval. In order to examine the observability

of the system, we will use a criteria, that is by determining the observability Gramian

matrix of the system is nonsingular and rank of the observability matrix for the system

is n. Kata Kunci : Discrete linear control system, Gramian matrix, observability matrix

  1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem kontrol linier diskrit yang tidak bergantung waktu sebagai berikut: x

  (t + 1) = Ax(t) + Bu(t), (1.1) y _n (t) = Cx(t), _m merupakan dimana x ∈ R yang menyatakan vektor keadaan (state), u ∈ R _{r n×n n×m}

  , dan vektor input (kontrol), y ∈ R menyatakan output, A ∈ R dan B ∈ R

• ⁺ t

  (himpunan bilangan bulat nonnegatif). Sistem (1.1) dikatakan terobservasi ∈ Z

  , t pada [t f ] jika keadaan awal x(t ) = x dapat ditentukan secara tunggal dengan , t mengetahui output y(t) pada [t f ] [2]. Hal yang menarik untuk dikaji dalam sistem kontrol linier adalah isu tentang bagaimana menentukan keterobservasian dari suatu sistem.

  Untuk menentukan suatu sistem terobservasi atau tidak, dapat ditentukan den- gan menggunakan beberapa kriteria. Kriteria yang dapat digunakan diantaranya dengan menunjukkan matriks Gramian keterobservasian dari sistem 1.1 adalah non singular, dan rank dari matriks keterobservasian dari sistem 1.1 adalah n seperti

  Keterobservasian Sistem Linier Diskrit

  2. Keterobservasian Sistem Linier Diskrit Definisi 2.1.

  , t [3] Sistem (1.1) dikatakan terobservasi pada interval [t f ] jika

  

keadaan awal x(t ) = x dapat ditentukan secara tunggal dengan mengetahui output

  y , t (t) pada [t f ]. Teorema 2.2. [3] Sistem (1.1) adalah terobservasi jika dan hanya jika matriks n × n: _{t − X f 1 T T} W _{O (t f ) = φ (t)C Cφ (t), t=0} adalah non singular.

  Bukti.

  (⇐) Misalkan W O (t f ) adalah non singular. Akan ditunjukkan bahwa sis- tem (1.1) adalah terobservasi. Solusi dari persamaan output (1.1) adalah y .

  (t) = Cφ(t)x (2.1) _{T T} Dengan mengalikan kedua ruas (2.1) dengan φ (t)C , diperoleh _{T T T T}

  φ (t)C y (t) = φ (t)C Cφ (t)x . (2.2) Dengan menjabarkan persamaan (2.2) secara rekursif, diperoleh _{T T T T}

  φ y Cφ _{T T T T} (0)C (0) = φ (0)C (0)x φ y Cφ _{T T T T} (1)C (1) = φ (1)C (1)x φ y Cφ

  (2)C (2) = φ (2)C (2)x .. _{T T T T} . φ Cφ .

  (t f − 1)C y (t f − 1) = φ (t f − 1)C (t f − 1)x Dengan menjumlahkan semua persamaan diatas, diperoleh _{t X f f − − 1 t T T T T X 1}

  φ y φ Cφ _{t=0 t=0} (t)C (t) = (t)C (t)x .

  = W O (t f )x (2.3) Karena W O (t f ) adalah non singular, maka x dapat ditentukan secara tunggal, sehingga (1.1) adalah terobservasi.

  (⇒) Misalkan W O (t f ) adalah singular, maka terdapat vektor x a 6= 0 sedemikian sehingga W O (t f )x a = 0, (2.4) dan oleh karena itu

  Midian Manurung

  Tetapi _{T T T T t X f − 1} x W φ Cφ _{a a O (t f )x a = x (t)C (t)x a t − X f 1 t=0 T T T} x φ Cφ = (t)C (t)x a _{t X t=0 f − 1 T a}

  = z (t)z(t) _{t X t=0 f − 1 2} = kz(t)k = 0, (2.6) _t=0 dimana z .

  (t) = Cφ(t)x a Dari (2.5) disimpulkan bahwa z (t) = Cφ(t)x a = 0, t = 0, 1, 2, · · · , t f − 1. (2.7) Perhatikan bahwa (2.7) merupakan output dari sistem (1.1) pada x(t ) = x a , dan karena z(t) = 0 untuk t = 0, 1, 2, · · · , t f − 1, maka x(t ) tidak dapat ditentukan secara tunggal dari y(t). Dengan demikian sistem (1.1) tidak terobservasi.

  Teorema 2.3. [3] Sistem LTI (1.1) adalah terobservasi jika dan hanya jika rank

  dari matriks keterobservasian, yaitu _{   } C _{ } CA

  M _{O = (2.8)    } ..

  . _n−1

  CA adalah n (f ull rank). Bukti. (⇐) Jika W (t ) adalah singular maka (2.7) berlaku. Dalam pembuktian _{O f} ke arah kanan dari Teorema 2.2 telah diperoleh bahwa _t z x

  (t) = CA a = 0, t = 0, 1, 2, · · · , t f − 1 (2.9) jika t f = n, maka z x

  (0) = CA a = Cx a = 0 ₁ z x (1) = CA a = CAx a = 0 ₂ z x

  (2) = CA a = 0 ..

  . _n−1 z (n − 1) = CA x a = 0. (2.10) Dalam notasi lain (2.9) dapat ditulis

  Keterobservasian Sistem Linier Diskrit

  dimana x a adalah vektor n × 1 yang unsur-unsurnya bergantung waktu, yaitu _{     x } x _{2 (t) 1 (t)} , x a = dan (2.12) _{   } ..

  . x _{n (t) rn×1} M = c c , (2.13) _{O 1 2 · · · c n} dimana c i , i = 1, 2, · · · , n merupakan kolom dari matriks M O . Dari (2.12)

  ∈ R diperoleh _{X n i=1} x i (t)c i = 0. (2.14) Ekspresi (2.14) menunjukkan bahwa n kolom dari matriks keterobservasian tidak bebas linier, yang berarti bahwa rank dari matriks keterobservasian kurang dari n.

  (⇒) Jika rank(M O ) 6= n, maka dengan memandang persamaan (2.8), yaitu _{t X f − 1 T t T t} W C CA

  (t f ) = (A ) _{t=0 T T T T 2 T 2 T n−1 T n−1} = C C + A C CA + (A ) C CA + · · · + (A ) C CA _{   } C _{T T T n−1 T  } CA

  A C C = C · · · (A ) _{   } ..

  . _{n−1 T} CA ,

  = M M O _{O T} (2.15) Persamaan (ref216) menunjukkan bahwa rank(M M O ) tidak mungkin lebih be- _O sar dari rank(M O ). Dengan kata lain, jika rank(M O ) < n maka Gramian adalah singular.

  3. Contoh Diberikan suatu sistem sebagai berikut: _{       x     x       } x x _{2 (t + 1) 0 −3 0 0 1 (t + 1) 1 0 0 0 2 (t) 1 (t)      } = , x x _{3 (t + 1) 0 0 2 0 3 (t)} x x _{4 (t + 1) 0 0 0 1   4 (t)  x } x _{1 (t)} 1 0 3 2 _{ } ^{2 (t)} y (t) = . _{ } x

  0 1 0 3 ^{3 (t)} Midian Manurung

  Akan diperiksa apakah sistem ini terobservasi atau tidak dalam [0, 2]. Jika ya, ten- tukan keadaan awal x(0). Karena _{     CA } C

  

rank (M O ) = rank = 4,

_{  2} CA ₃ CA maka sistem adalah terobservasi. Berikutnya akan ditentukan x(0).

  Matriks transisi dari sistem di atas adalah _{t − − 1 1} φ (t) = A = Z {z(zI − A) } _{− 0 1 0 0 0 −3 0 0 1        1 0 0 0 1 0 0 0                      − 1} z z

  = Z − _{             } 0 0 1 0 0 0 2 0 _{ −       } 0 0 0 1 0 0 0 1 _{1 − 0 z 0 0 0 −3 0 0 1        0 0 0 1 0 0 0             } z z = Z − _{ 0 0 z 0 0 0 2 0                     z − 1     } 0 0 0 z 0 0 0 1 _{− 1 − z + 3 1  }   z

  = Z _{         } z − 2 _{− 1  z+3      z−1 z z} z − 1 = Z _{ z      z−2 z−1 z  } 1 0 0 _{t t  } 0 (−3) 0 0 φ (t) = A = . _{  t}

  (2) 0 1 Sehingga matriks Gramiannya adalah _{P t f − 1 T T}

  W φ Cφ _{O (t f ) = (t)C (t) t=0}

  _{     } Keterobservasian Sistem Linier Diskrit _{P t −       1} 1 0 0 1 0 _{t t} 1 0 0 _{f      } 0 (−3) 0 0 0 1 1 0 3 2 0 (−3) 0 0

  = _{t=0       t t} (2) 3 0 0 1 0 3 (2) _{   } 0 1 2 3 0 1 _{P t f 1 0 3 2 −     1 (−3) 0 (−3) 0 0    }

  1 _{t t} 1 0 0 = _{t=0 t t    }

  3(2) 0 1 0 3 (2) _{   }

  2 3 0 1 _{P t f −     1 (−3) 3(3) 0 (−3) 0 0    }

  1 _{t t t}

  3

  2 1 0 0 = _{t=0 t t t t    }

  3(2) 9(2) 6(2) (2) _{ }

  2

  3

  6 _t 13 0 1 _{P t −   f 1 (−3) 3(−3)  } 1 3(2) _{2 t t}

  2 = . _{t=0   t 2 t t} 3(2) 9(2) 6(2) _{t t} 2 3(−3) 6(2)

  13 Untuk t f = 2, diperoleh _{  t X 2−1  } 1 3(2) _{2 t t}

  2 _{ } (−3) 3(−3) W O (2) = _{  t 2 t t t=0} 3(2) 9(2) 6(2) _{t t    } 2 3(−3) 6(2)

  13 _{   } 1 0 3 2 1 0 6 2 0 1 0 3 0 9 0 −9 = _{   } ^{   } + 3 0 9 6 6 0 36 −9

  2 3 6 13 2 −9 12 13 _{   } 2 0 9 4 _{ } 0 10 0 −6 .

  = _{ } 9 0 45 −3 4 −6 18 26 Karena det (W O (t f )) = 1296 6= 0, maka matriks Gramiannya adalah nonsingular. _{ } Dengan memandang persamaan (2.4), diperoleh _{ x   } x _{2 (0) − P 1 (0) 1 T T 1  } = W φ (t)C y (t) _{O t=0} x _{3 (0)} Midian Manurung

  = ^{  } _ 8, 19 −0, 96 −1 −1, 59

  1 dan y _{1 (1)} y _{2 (1)}

  Daftar Pustaka [1] Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer. Edisi Kedelapan Jilid I. Erlangga : Jakarta.

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Muhafzan, Bapak Bukti Gint- ing, M.Si, Bapak Dr. Ahmad Iqbal Baqi, Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan, dan Bapak Zulakmal, M. Si yang telah memberikan masukan dan saran dalam penyempurnaan penulisan artikel ini.

  1, 52 0, 09 ^{   }

  0, 14 −0, 24

   x ₁ (0) x ^{2 (0)} x ^{3 (0)} x _{4 (0)} ^{   } = ^{  } _

  1 , maka _{  }

  =

  =

  −0, 08 0, 12 0, 04 −0, 17 0, 19 0, 22 0, 32 −0, 14 0, 04 0, 07 ^{    P 1 t=0    } 1 0 0

  0, 25y ^{2 (0) + 0, 09y 2 (1)    } . Sehingga jika y _{1 (0)} y _{2 (0)}

  0, 24y ^{2 (0) − 0, 24y 2 (1)} 1, 13y ^{1 (0) + 1, 79y 1 (1) + 1, 15y 2 (0) + 0, 39y 2 (1)}

  = ^{  } _ 2, 01y ^{1 (0) − 0, 99y 1 (1) − 5, 73y 2 (0) − 1, 87y 2 (1)}

  3y ₁ (0) + 6y ₁ (1) 2y ₁ (0) + 3y ₂ (0) + 2y ₁ (1) + 3y ₂ (1) ^{   }

  8, 19 −0, 96 −1 −1, 59 −0, 08 0, 12 0, 04 −0, 17 0, 19 0, 22 0, 32 −0, 14 0, 04 0, 07 ^{       } y ₁ (0) + y ₁ (1) y ₂ (0) − 3y ₂ (1)

  (t) = ^{  } _

  0 1 3 0 2 3 ^{   } y

  0 (−3) ^t 0 0 (2) ^t 0 1 ^{       } 1 0

  [2] Duan, G. 2010. Analysis and Design Descriptor Linear Systems. Springer : New York. [3] Hendricks, E., Jannerup, O., dan Sorensen, P.H. 2008: Linear Systems Control, Springer. Verlag Berlin Heidelberg. [4] Kailath, T. 1980. Linear Systems. Prentice-Hall, Inc., Engelwood Cliffs, NJ. [5] Ogata, K. 1995. Discrete-Time Control Systems. Prentice-Hall, New Jersey. [6] Rugh, W. J. 1996. Linear System Theory, 2nd ed. Prentice-Hall, New Jersey.