Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of Transition
PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT
ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE
MATRIKS FORCE OF TRANSITION
FAIZAL HARDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Peluang
Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of
Transition adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2013
Faizal Hardi
NIM G54062175
ABSTRAK
FAIZAL HARDI. Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality
Menggunakan Metode Matriks Force of Transition. Dibimbing oleh BERLIAN
SETIAWATY dan MUHAMMAD ILYAS.
Model select ultimate mortality adalah suatu model tiga state pada bidang
aktuaria. Model ini diasumsikan memiliki sifat Markov yang dicirikan oleh adanya
matriks peluang transisi. Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode
penentuan peluang transisi, yaitu metode force of transition. Dalam metode ini,
penentuan peluang transisi menggunakan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
segi dengan entri berupa force of transition. Hasil yang diperoleh menunjukkan
metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada data penduduk negara
Kanada tahun 1982-1988 yang diperoleh dari Individual Ordianary Mortality Table
mempunyai nilai peluang bertahan hidup yang hampir mendekati nilai dari
Individual Ordianary Mortality Table, dengan mean galat absolut sebesar 0,18%.
Kata kunci: rantai Markov, peluang transisi, matriks force of transition
ABSTRACT
FAIZAL HARDI. Determination of Transition Probability of Select Ultimate
Mortality Model Using the Force of Transition Matrix Method. Supervised by
BERLIAN SETIAWATY and MUHAMMAD ILYAS.
Select Ultimate Mortality Model is a three states model in actuary. This model
assume that it holds Markov properties which are characterized by transition
probability matrix. This paper discusses a method to determine the transition
probability, i.e. the force of transition matrix method. In this method, the probability
of transition is determined by using eigenvalues and eigenvectors from a square
matrix with the force of transitions as entry points. The force of transition matrix
method is applied to data of Canadian population in 1982-1988 which is obtained
from Individual Ordinary Mortality Table. This gives result that the value of
survival probability is close to the value of Individual Ordianary Mortality Table
with the absolute deviation mean 0,18%.
Keywords: Markov chain, transition probability, force of transition matrix
PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT
ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE
MATRIKS FORCE OF TRANSITION
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality
Menggunakan Metode Matriks Force of Transition
Nama
: Faizal Hardi
NIM
: G54062175
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Pembimbing I
Muhammad Ilyas, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Di sini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada orang tua
dan kakak satu-satunya atas dukungan yang telah diberikan. Penulis juga ingin
menyampaikan terima kasih kepada pembimbing, yaitu Ibu Dr. Dra. Berlian
Setiawaty, M.S. dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi. yang telah bersabar membantu
dalam penulisan skripsi ini hingga selesai. Ucapan terima kasih juga penulis
sampaikan untuk para penguji, yaitu Bapak Prof. Dr. Ir I Wayan Mangku, MSc.
atas kritik dan saran untuk pengerjaan karya ilmiah ini.
Penulis ingin menyampaikan terima kasih secara khusus kepada Laras, Dede,
Andrew, Irawan, Antoni, Erri, Yogi, Miftah dan Bayu atas berbagai bantuan dalam
pengerjaan skripsi ini. Secara umum penulis juga ingin berterima kasih kepada
teman-teman yang rasanya tidak mungkin penulis sebutkan seluruhnya.
Terakhir rasa terima kasih penulis ucapkan kepada para dosen dan para
pegawai Departemen Matematika, khususnya kepada Bu Ida dan Bu Susi.
Penulis berharap karya ilmiah ini dapat memberi manfaat kepada pihak lain
dan dapat dikembangkan lebih baik dari ini.
Terakhir, penulis pun selalu berharap Allah ta’ala membalas dengan
kebaikan bagi kita semua.
Bogor, Oktober 2013
Faizal Hardi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
I PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
II TINJAUAN PUSTAKA
2
Ruang Contoh, Kejadian Acak dan Peluang
2
Peubah Acak
2
Proses Stokastik dan Rantai Markov
3
Aljabar Linear
5
III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY
6
IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION
7
V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION PADA MODEL
SELECT ULTIMATE MORTALITY
9
SIMPULAN DAN SARAN
13
Simpulan
13
Saran
13
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
15
RIWAYAT HIDUP
24
DAFTAR TABEL
Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang
berumur 45-70 tahun berdasarkan IOMT
Peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur (45+)tahun
berdasarkan IOMT
Perbandingan peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur
+ t tahun
9
10
12
DAFTAR GAMBAR
Model Select Ultimate Mortality
6
DAFTAR LAMPIRAN
Pembuktian Lema 2.1
Pembuktian Persamaan (3)
Pencarian vektor eigen pada MSUM
Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45 tahun
bertahan hidup pada umur
+ tahun
15
15
21
23
I PENDAHULUAN
Latar Belakang
Beberapa masalah dalam kehidupan dapat ditampilkan dalam proses multi
state. Suatu waktu individu dapat berada pada suatu state, misalkan sehat, sakit,
atau meninggal. Keadaan individu di suatu state atau perpindahan dari satu state ke
state lainnya mungkin berdampak pada berbagai hal, misalnya berdampak pada
keuangan individu tersebut.
Model select ultimate mortality ialah suatu model pada bidang aktuaria yang
terdiri dari tiga state, yaitu state select, state ultimate dan state dead. Model ini
diasumsikan memiliki sifat Markov, yaitu peluang state yang akan datang jika
diketahui peluang state saat ini dan state lampau, maka hanya bergantung kepada
peluang state saat ini. Sifat Markov dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi.
Force of transition adalah laju peluang perubahan sesaat dari satu state ke
state lainnya. Dari force of transition ini bisa diketahui peluang transisi perpindahan
antar state, misalnya peluang meninggal ataupun peluang bertahan hidup seseorang.
Penghitungan peluang transisi dengan force of transition ini bisa dilakukan
dengan berbagai metode, misalnya menggunakan persamaan Kolmogorov maju
ataupun Kolmogorov mundur yang dipaparkan oleh Keyfitz dan Rogers (1982),
tetapi metode ini rumit, karena melibatkan pengintegralan yang sukar untuk
dilakukan secara analitik.
Karya ilmiah ini membahas metode alternatif untuk menentukan peluang
transisi dengan metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada model
select ultimate mortality. Penggunaan metode matriks force of transition bertujuan
untuk menghindari perhitungan yang melibatkan pengintegralan, sehingga lebih
mudah untuk diselesaikan secara analitik.
Pada metode matriks force of transition, penentuan peluang transisi diganti
dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks segi dengan entri
berupa force of transition.
Dari peluang transisi, peluang bertahan hidup dengan metode matriks force
of transiton dihitung. Lalu hasil perhitungan tersebut dibandingkan dengan peluang
hidup yang didapat dari Individual Ordinary Mortality Table, dengan tujuan
memeriksa seberapa akurat metode matriks force of transiton tersebut.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari Jones (1994) yang berjudul
“Actuarial Calculations Using a Markov Model”.
Tujuan
1
2
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
Menjelaskan metode untuk mencari peluang transisi dengan menggunakan
metode matriks force of transition.
Mengaplikasikan metode matriks force of transition pada model select ultimate
mortality.
2
3 Membandingkan nilai peluang bertahan hidup yang diperoleh dari Individual
Ordinary Mortality Table dengan nilai yang diperoleh menggunakan metode
matriks force of transition.
II TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah-masalah pada karya ilmiah ini diperlukan
pengetian beberapa konsep berikut
Ruang Contoh, Kejadian Acak, dan Peluang
Definisi 2.1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi
hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan
semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 2.2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian � adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.3 (Medan-σ)
Koleksi Ƒ dari himpunan bagian Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat:
1. ∅ ∈ Ƒ.
2. Jika � , � , … ∈ Ƒ maka ⋃∞= � ∈ Ƒ.
3. Jika � ∈ Ƒ, maka � ∈ Ƒ.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.4 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang P pada Ω, Ƒ merupakan fungsi : Ƒ → [ , ] yang memenuhi:
1.
∅ = , Ω =
2. Bersifat aditif tak hingga yaitu jika � , � , … ∈ Ƒ dengan � ∩ � = ∅, ≠
∞
, maka ⋃∞
�� .
�= �� = ∑�=
Pasangan Ω, Ƒ, disebut ruang peluang.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peubah Acak
Definisi 2.5 (Peubah Acak)
Misalkan Ƒ adalah medan-� dari ruang contoh Ω. Peubah acak � merupakan fungsi
�: Ω → � di mana { ∈ Ω: �
} ∈ Ƒ untuk setiap ∈ �.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
3
Definisi 2.6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak � dikatakan diskret jika himpunan semua nilai dari peubah acak
tersebut merupakan himpunan diskret berhingga atau terhitung.
(Hoog et al. 2005)
Proses Stokastik dan Rantai Markov
Definisi 2.7 (Ruang State)
Misal ⊂ � merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka disebut
ruang state.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.8 (Proses Stokastik)
Proses Stokastik � = {� , ∈ } adalah suatu koleksi peubah acak, untuk ∈
dengan � adalah peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
ruang state S. Suatu proses stokastik � disebut proses stokastik dengan waktu
diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah. Disebut proses stokastik
dengan waktu kontinu jika T adalah sebuah interval.
(Ross 1996)
Definisi 2.9 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)
Proses stokastik {�� , = , , , . . } dengan ruang state { , , . . , } disebut rantai
Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap
∈ { , , , . . , } berlaku
��+ = |�� = , ��− = �− , … , � = , � = .
= ��+ = |�� = .
(Ross 1996)
Definisi 2.10 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret Homogen)
Rantai Markov dengan waktu diskret �� disebut homogen jika
��+ = |�� = = � = |� = =
untuk semua n dan , ∈ { , , … , }.
(Ross 1996)
Definisi 2.11 (Matriks Peluang Transisi)
Misal {�� , = , , , . } adalah rantai Markov dengan waktu diskret. Nilai dari
peluang transisi
menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada
state i maka berikutnya akan beralih ke state j. Matriks peluang transisi dapat
dituliskan dalam bentuk matriks P, yaitu
…
�
⋱
�=(
).
� …
��
(Ross 1996)
Definisi 2.12 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {� ,
} dengan ruang state diskret
disebut suatu rantai Markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap , >
, , ∈ { , , … } dan
< berlaku
4
� + = |� = , � = ,
= � + = |� = .
(Ross 1996)
Definisi 2.13 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu Homogen)
Rantai Markov dengan waktu kontinu {� ,
} disebut homogen jika peluang
transisi � + = |� = adalah bebas terhadap nilai > , sehingga dapat
ditulis sebagai � + = |� = = .
(Ross 1996)
Definisi 2.14 (Force of Transition)
Misal {� } rantai Markov dengan ruang state { , , , … , }. Force of transition
dari state ke state didefinisikan sebagai berikut
= lim+
ℎ→
�
, +ℎ − �
ℎ
,
, ∈ { , , … , }.
(Jones 1994)
Teorema 2.1 (Sifat Peluang Transisi)
s, s + t = � + = |� = , menyatakan peluang transisi
Didefinisikan
suatu individu berada di state pada waktu + dengan diketahui individu
s, s + t adalah:
tersebut berada di state i pada waktu s. Sifat-sifat dari
a)
, +
untuk ,
�
, + = , untuk , = , , … , dan ,
b) ∑ =
, +
+ , + + , untuk
, + +
= ∑�=
c)
, ,
, =
, + ={
untuk ,
.
d) lim+
→
, ≠
Sifat c) juga dikenal dengan nama Persamaan Chapman-Kolmogorov. Jika
menunjukkan matriks dengan elemen
, sifat (c) dapat ditulis dalam bentuk
matriks sebagai
, + +
=
, +
+ , + + .
(Taylor dan Karlin 1998)
Teorema 2.2 (Persamaan Kolmogorov Maju)
Pada persamaan Kolmogorov maju, laju peluang transisi di waktu yang akan datang
memiliki hubungan sebagai jumlah perkalian peluang transisi dengan rate dari
peluang transisi sesaat (force of transition saat waktu mendatang). Dalam hal ini
peluang transisi
, + didiferensialkan terhadap waktu mendatang + ,
dan hubungan diferensial ini diberikan sebagai berikut
, +
�
= ∑
=
, +
Lema 2.1 (Sifat Force of transition)
∑�=
= , untuk = , , …
Bukti: Lampiran 1.
+
dan
.
(Jones 1994)
.
5
Aljabar Linear
Definisi 2.14 (Ruang Vektor Euclid �� )
Ruang Vektor Euclid �� adalah himpunan semua vektor yang berorde ×
dengan elemen-elemennya berupa bilangan real.
(Leon 1998)
Definisi 2.15 (Bebas Linear)
Vektor-vektor , , � dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
+
+ + � �=
mengakibatkan semua skalar-skalar , , … , � bernilai 0.
(Leon 1998)
Definisi 2.16 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)
Misalkan A adalah suatu matriks × . Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen
atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x sehingga � = λ .
Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigen λ.
(Leon 1998)
Definisi 2.17 (Diagonalisasi)
Suatu Matriks berorde × dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks Χ
taksingular dan suatu matriks diagonal � sedemikian sehingga
�− �� = �.
Dikatakan bahwa � mendiagonalisasi �.
(Leon 1998)
Definisi 2.18 (Deret Taylor)
Deret Taylor untuk fungsi
di sekitar
∞
=∑
�=
�
!
=
didefinisikan sebagai
−
�
.
Definisi 2.19 (Eksponensial Matriks Segi)
Eksponensial matriks segi ( � didefinisikan sebagai
∞
�
�
�
�
= �+�+
+
+ =∑ .
!
!
!
Analog dengan deret Taylor dari fungsi skalar
�
.
=
(Stewart 2003)
(Leon 1998)
Teorema 2.3
Suatu matriks � berukuran × dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika �
mempunyai vektor eigen yang bebas liniear.
(Leon 1998)
6
III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY
Pada tugas akhir ini dibahas model aktuaria yang melibatkan tiga state, yaitu
model select ultimate mortality (MSUM). State pertama adalah state select, yaitu
state penyeleksian kesehatan suatu individu yang memenuhi syarat secara medis
agar dapat menjadi tanggungan pihak asuransi dan merupakan state yang pertama
kali dikunjungi. State kedua adalah state ultimate, yaitu state di mana individu telah
mengikuti asuransi hingga individu tersebut meninggal. Ketiga adalah state dead
yaitu state dimana individu dalam keadaan meninggal. Perpindahan state
ditunjukkan pada Gambar 1 di bawah ini.
2. Ultimate
1. Select
3. Dead
Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality
Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality
Tiga transisi yang mungkin terjadi dalam model tersebut, yakni dari state 1
ke state 2, dari state 1 ke state 3, dan dari state 2 ke state 3. Matriks transisi yang
terlibat pada Gambar 1 memiliki bentuk seperti berikut:
=
, = pada matriks di atas karena pada model
Untuk < , nilai
, =
tersebut, state ultimate tidak mungkin pindah ke state select. Nilai
, = , karena suatu individu yang telah mengalami kematian (berada di
state 3) tidak mungkin hidup kembali (berada di state 1 atau state 2). Nilai
, = , pada kondisi ini individu yang meninggal di suatu waktu, di masa
mendatang individu tersebut pasti tetap berada pada state meninggal tersebut.
Pada
tugas
akhir
ini
dicari
peluang
transisi
dari
,
dan peluang bertahan hidup
, ,
, ,
, ,
, ,
, yang memenuhi:
, +
∑
,
=
∑
,
=
�=
, ,
,
�=
,
,
,
,
,
,
> .
7
Ada beberapa metode untuk menghitung peluang transisi tersebut, salah
satunya menggunakan persamaan Kolmogorov maju ataupun Kolmogorov mundur.
Akan tetapi, jika persamaan tersebut digunakan, perhitungan peluang transisi akan
melibatkan integral yang akan sukar untuk dicari. Oleh karena itu, pada tugas akhir
ini dibahas metode matriks force of transition sebagai salah satu metode alternatif
untuk mencari peluang transisi.
IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION
=
dengan
adalah konstanta untuk semua nilai
,
Jika nilai
maka force of transition dikatakan bernilai konstan. Rantai Markov yang
berhubungan dengan nilai ini adalah rantai Markov homogen. Jika berlaku rantai
Markov waktu homogen, maka fungsi
, + bernilai sama untuk semua
, sehingga notasi
, + bisa ditulis sebagai
.
Misal
adalah matriks ukuran × dengan elemen-elemen
sebagai berikut
Definisikan
berikut
dan ′
berikut
[
adalah matriks berukuran
[
adalah matriks berukuran
[
′
′
′
′
′
′
×
…
].
⋱
…
× dengan elemen-elemen
…
]
⋱
…
dengan elemen-elemen
′
⋱
′
′
]
′
sebagai
sebagai
Persamaan Chapman-Kolmogorov pada Teorema 2.1 dapat ditulis
, + +
=
, +
+ , + + .
(1)
Rantai Markov yang digunakan adalah rantai Markov homogen, oleh karena itu
persamaan (1) berubah menjadi
+
=
.
Berdasarkan persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks, maka dapat
ditulis
′
=
.
(2)
Dengan nilai awal
= �, persamaan (2) mempunyai solusi
=
.
(3)
Bukti: Lampiran 2.
8
Dari persamaan (3), berdasarkan Definisi 2.21 diperoleh solusi berupa matriks
eksponensial
= +
+ ! +
…
(4)
!
Metode pencarian matriks peluang transisi yang dibahas dalam karya ilmiah
ini membutuhkan nilai-nilai eigen yang berbeda pada matriks Q. Hal ini bertujuan
agar matriks Q dapat didiagonalkan. Jika Q mempunyai nilai-nilai eigen berbeda
, ,..,
maka matriks Q bisa dibentuk sebagai = ���− dimana � =
diag , , . . ) dan kolom ke i dari A adalah vektor eigen yang berhubungan
dengan nilai eigen . Sehingga dari persamaan (4) bisa diperoleh
= �+
+
!
+
+
!
���−
���−
= � + ���
+
+
+
!
!
−
−
−
−
��� ��� ���−
��� ���
+
= � + ���− +
!
!
−
−
�
�
�
�
= � + ���− +
+
+
!
!
−
−
� �
� �
+
+. . . ]
= � [�− + ��− +
!
!
−
Diketahui � = [
= � [� + � +
�
…
⋱
…
!
+
�
!
], maka
] �− .
+
…
⋱
…
� =��= [
+
…
⋱
…
][
(5)
]
…
.
⋱
[
]
…
Secara umum untuk � , � dan seterusnya, maka diperoleh bentuk
=
�
�
…
.
⋱
�
[
]
…
Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke (5), maka diperoleh:
�� =
=�
+
[
+
!
+
!
+. .
+
+
!
+
!
+
⋱
…
+
(6)
…
+
!
+
!
+]
�−
9
…
⋱
…
= �[
] �−
= ��� �− .
(7)
Elemen-elemen matriks
pada persamaan (7) yaitu
= ∑�= � � � ,
(8)
dengan adalah banyak state,
adalah entri (i,j) dari matriks A dan
adalah
−
entri (i,j) dari matriks � . Dengan demikian, permasalahan mencari fungsi
peluang transisi diganti dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
force of transition.
V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION
PADA MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY
Aplikasi dan contoh numerik dalam mencari peluang transisi dan peluang
bertahan hidup pada model select ultimate mortality (MSUM) dengan metode
matriks force of transition dibahas lebih lanjut dalam bab ini.
Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data dari penduduk
negara Kanada tahun 1982-1988 yang didapat dari Individual Ordinary Mortality
Table (IOMT), yaitu tabel mortalitas yang disusun oleh Commitee on Expected
Experience of the Canadian Institute of Actuaries.
Sampel yang digunakan adalah data force of transition pada populasi
penduduk pria berumur antara 45-70 tahun dan data peluang bertahan hidup untuk
populasi yang sama untuk umur 46-71 tahun.
Data force of transition dan data peluang bertahan hidup dapat dilihat pada
tabel di bawah ini.
Tabel 1 Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang
berumur 45-70 tahun berdasarkan IOMT
Umur x
�
�
�
Umur x
�
�
�
45
0.164
0.00097
0.00225
57
0.164
0.00282
0.00840
46
0.164
0.00107
0.00251
58
0.165
0.00304
0.00933
47
0.163
0.00117
0.00280
59
0.165
0.00329
0.01036
48
0.163
0.00128
0.00313
60
0.167
0.00352
0.01150
49
0.163
0.00140
0.00350
61
0.167
0.00380
0.01274
50
0.163
0.00154
0.00391
62
0.167
0.00410
0.01411
51
0.163
0.00168
0.00437
63
0.167
0.00442
0.01560
52
0.164
0.00183
0.00488
64
0.168
0.00472
0.01725
53
0.164
0.00201
0.00544
65
0.169
0.00503
0.01905
54
0.164
0.00218
0.00608
66
0.169
0.00540
0.02102
55
0.164
0.00238
0.00677
67
0.170
0.00574
0.02318
56
0.164
0.00259
0.00755
68
0.171
0.00609
0.02553
10
Umur x
69
.
�
.
�
.
�
Umur x
.
70
�
�
.
.
�
Tabel 2 Peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur
+ t tahun berdasarkan IOMT
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Peluang
0,99897
0,997522
0,995766
0,993675
0,99122
0,988366
0,985055
0,981223
0,976817
0.9717767
0,966014
0,959455
0,952019
t
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Matriks force of transition � untuk umur
model Gambar 1 pada halaman 6 yakni
�
=[
�
�
�
�
�
�
�
�
�
]=[
�
Peluang
0,943603
0,934111
0,923434
0,911743
0,89897
0,885053
0,869919
0,853504
0,835751
0,816604
0,796017
0,773952
0,750377
tertentu yang diperoleh dari
�
�
�
�
].
Nilai � = karena tidak ada perpindahan dari state 2 ke state 1. Sedangkan state
3 adalah state absorbsi sehingga menyebabkan nilai � = � = � = .
Berdasarkan Lema 2.1, maka matriks force of transition � di atas dapat diubah
menjadi
�
�
− � + �
�
� ].
=[
− �
Matriks peluang transisi untuk interval waktu tertentu di mana force of
transition bernilai konstan dalam tiap tahun dapat dihitung dengan mencari matriks
peluang transisi untuk tiap tahun yang menggunakan persamaan (7). Namun
sebelum peluang transisi dicari, diperlukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
force of transition � .
Cara mencari nilai eigen dan vektor eigen yang berhubungan dengan Tabel 1
adalah
11
|
�
−
+
�
|
�
− λ�| =
−λ
Persamaan karakteristiknya adalah
− � +
�
�
−
+λ λ
�
λ( � +λ
+
Nilai-nilai eigen dari persamaan di atas ialah
�
= , =−
,
Sehingga didapat matriks sebagai berikut
−
�=[
�� = [
�
−�
�
�
−λ
�
−λ
|= .
+λ =
�
+λ = .
�
=−
�
−
�
�
�
+�
.
]
�
+
− �
�
+
].
�
Perhitungan vektor eigen pada Lampiran 3, didapat matriks � �
�
�� =
�
�
+
−
�
[
Sehingga matriks peluang transisi dapat dicari dengan
�
= � � �� [� � ]−
][
=[
=[
�
−�
−
−�
�
−�
�
dengan keterangan:
=
�
+
= −(
=
=
�
�
�
�
+
− �
�
+
�
�
+�
�
−
�
�
−
�
−
�
�
−
)
− �
],
�
+�
�
][
.
]
− ]
12
=
=
�
−
+
�
�
− �
�
−
+�
−�
�
�
�
−
−
�
− �
�
�
+
�
+�
�
(
�
−
−�
�
−
− �
�
+�
�
).
Dari matriks pada persamann (9) maka didapat
=
=
=
=
=
=
− �
�
=
−�
�
�
�
�
+�
−
+�
�
�
�
−�
− �
�
�
+�
−�
�
�
�
−
−
�
�
− �
�
+�
�
�
�
+�
−�
�
−�
�
�
−
− �
= − −�
.
Sehingga didapat peluang bertahan hidup dari suatu individu yaitu
=
+
− �
�
+�
�
+
�
+
�
�
−
�
−�
�
−
− �
�
�
+�
+�
�
�
.
Berdasarkan persamaan (1), untuk force of transition umur yang diberikan
pada Tabel 1 maka dapat dicari matriks peluang transisi untuk mencari peluang
suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur
+ tahun,
∈ [ , ] dengan interval satu tahun yaitu
, + =
,
,
…
+ , +
+
.
…
=
Perhitungan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup
pada umur
+ tahun dihitung dengan metode matriks force of transition, hasil
perhitungan tersebut dibandingkan dengan Individual Ordinary Mortality Table
(IOMT). Hasil perbandingan dapat dilihat pada tabel di bawah ini
Tabel 3 Perbandingan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan
hidup pada umur
+ t tahun
t
IOMT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,99897
0,997522
0,995766
0,993675
0,99122
0,988366
0,985055
0,981223
0,976817
0,971777
0,966014
0,959455
Metode Matriks
Force of Transtiton
0,998931
0,997551
0,995841
0,993768
0,991296
0,988386
0,984998
0,981089
0,97661
0,971502
0,965721
0,959197
% Galat
Absolut
0,00388
0,002967
0,007542
0,009389
0,007667
0,002034
0,00577
0,01368
0,02124
0,02827
0,03034
0,02684
13
t
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Metode Matriks
Force of Transtiton
0,952019
0,951878
0,943603
0,94371
0,934111
0,934621
0,923434
0,924541
0,911743
0,91341
0,89897
0,901153
0,885053
0,887712
0,869919
0,873009
0,853504
0,856986
0,835751
0,839581
0,816604
0,820738
0,796017
0,800418
0,773952
0,778575
0,750377
0,755181
Mean
IOMT
% Galat
Absolut
0,01481
0,011287
0,054608
0,119922
0,182848
0,242856
0,300377
0,35524
0,408012
0,45833
0,506269
0,552802
0,597337
0,640225
0,18
Berdasarkan pengamatan pada Tabel 3, peluang bertahan hidup seorang individu
pria berumur 45 tahun setidaknya sampai umur 46 tahun berdasarkan IOMT adalah
0,99897 dan berdasarkan metode matriks force of transition adalah 0,998931
dengan galat sebesar 0,00388%. Demikian seterusnya sehingga didapat mean pada
galat absolut sebesar 0,18%. Dengan demikian, perhitungan peluang transisi dapat
dilakukan dengan metode matriks force of transition.
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Peluang transisi dan peluang bertahan hidup dapat dicari dengan menggunakan
metode matriks force of transition.
2. Peluang bertahan hidup individu pria yang dicari dengan metode matriks force
of transition hampir mendekati nilai peluang bertahan hidup dari Individual
Ordinary Mortality Table dengan mean galat absolut sebesar 0,18%.
Saran
Saran yang dapat diberikan yakni mencari peluang transisi dan peluang
bertahan hidup dari model Markov yang melibatkan lebih dari tiga state, misalnya
pada HIV-AIDS Progression Model.
14
DAFTAR PUSTAKA
Canadian Institute of Actuaries. 1992. 1982-1988 Individual Ordinary Mortality
Table. Transactions of Society of Actuaries 1991-92 Reports. 701-711.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Process. Third Ed.
Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Sixth Ed. New Jersey (US): Prentice Hall.
Jones BL. 1994. Actuarial Calculation Using a Markov Model. Transactions of
Society of Actuaries. 46:227-250.
Leon SJ. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardini
WB, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Linear Algebra
with Applications.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Second Ed. New York (US). Wiley.
Stewart J. 2003. Kalkulus. Jilid 2. Ed 4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Jakarta
(ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Calculus.
Taylor HM, Karlin S. 1998. An Introduction to Stochastic Modelling.
California(US): Academic Press.
15
Lampiran 1 Pembuktian Lema 2.1
Akan dibuktikan ∑�=
= 0 , untuk = , , …
Bukti:
∑�=
+
=
= lim
ℎ→
+ lim
ℎ→
= lim
ℎ→
= lim
ℎ→
+
, +ℎ −
ℎ
, +ℎ −
, +ℎ −
,
ℎ→
,
+
+
,
, +ℎ −
ℎ
, +ℎ +
−lim
+
,
,
,
+ lim
ℎ→
+
+
, +ℎ +
+
+
+
ℎ
, +ℎ −
ℎ
ℎ→
�
, +ℎ −
+
�
+
ℎ
,
+
ℎ
�
+ lim
ℎ
+
.
dan
,
, +ℎ −
ℎ
, +ℎ −
,
�
, +ℎ +
+
�
,
+
,
+…
�
+
�
,
, +ℎ
.
Berdasarkan sifat (d) pada Teorema 2.1, maka persaman terakhir di atas menjadi
∑�=
= lim
ℎ→
− + + + + +
ℎ
= .
Terbukti ∎
Lampiran 2 Pembuktian Persamaan (3)
Diketahui persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks
dengan nilai awal
= �.
Akan dibuktikan solusi dari persamaan tersebut adalah
Misal
′
=
=[
=[
],
][
ℎ
=[
]
ℎ
].
=
.
′
=
16
=[
=[
+
+
+
].
+
+
+
ℎ
ℎ
ℎ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Dari matriks di atas diperoleh
′
′
′
′
′
′
Turunan kedua dari
=
+
+
ℎ=
=
+
+
=
+
+
+
=
=
=
+
′
=
+
′′
=
′
′′
=
′
=
′
′′
=
=
=
′′
=
′
′′
=
′
=
′
=
′
′′
′′
=
=
=
=
ℎ=
= .
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
+ ℎ
+
+
+
+
=
+
+
+
ℎ=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
=
′
′
=
+
+
=
+
+ ℎ
+
ℎ
ℎ
+
+
+
]
17
=
′′
′′
=[
′′
′′
=[
=[
=
=
=
′
=
′′
′′
+
+
+ ℎ
+
+
′′
′′
′′
+
+
+
′
′
=
′′
′′
=
+
+
+
+
][
=
.
Dengan cara yang sama diperoleh
Bentuk deret Taylor untuk
=
= �+
=
Akan dibuktikan
′
′
+
′
+
′
.
×
+
+
+
�
=
=
= �, diperoleh
Berdasarkan nilai awal
Diketahui
+
+ ℎ
+ ℎ
+ ℎ
]
ℎ
′
]
′′
+
+
+
+
=
=
+
.
di =
′
+
!
×
+
+
+
�−
�
+
′′
!
+
�
]
.
=
=
adalah
+
ℎ
�
′′′
+
�
.
+
Terbukti ∎
dengan
.
=�+
+
!
+
!
+
18
=[
Misal
=
=[
=[
=
′
=
=
],
][
ℎ
=[
][
+
+
+
=[
=
+
+ ℎ
+ + ℎ
+ℎ + ℎ
=�+
+
+
+
+
[
]=[
!
+
+
+
+
+
]+[
ℎ
+
+
+
Dari persamaan matriks di atas didapat entri dari
=
=
=
=
+
+
+
+
+
!
!
+
+
!
!
+
+
+
+
+
+ ℎ
+
+
+
+ lg
!
!
+
+
+
+
+ℎ +
]=[
+ ℎ
+ ℎ
+ ℎ
+
+
+
].
+
+
+
].
+
!
+
+
+
+[
]
ℎ
].
ℎ
]
ℎ
+
+
+
+
+ℎ +
=[
+
+
!
!
+
+
] +[
+
+
+
+ ℎ
+ ℎ
+ ℎ
+
+
+
sebagai berikut
]
!
+
+
+
]
!
19
=
=
=
+
+
+
!
+
!
+
!
+
=ℎ +
=
+
!
+
+
+
+
!
+
+
′
′
′
′
′
=
=
=
=
+
+
+
+
= +
= +
=
=
=
=
=
+
+
!
+
!
+
+
+
+
+
!
+
+
+
!
+
+
!
!
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
!
+ ℎ
!
+
+ lg
+ lg
+ ℎ
+ ℎ
+
+
+
!
+
!
+
+
!
!
!
!
+ ℎ
+
!
+
+
+
+
+
+ ℎ
+
+
+
+
+
!
+
!
+
!
+
+
+
+ ℎ
+
+
Turunan pertama dari entri
′
+
!
+
+
!
!
!
+
+
+
20
=
′
=
=
′
+
+
+
!
+
+
=ℎ+
=ℎ+
′
+
= +
!
= +
+
!
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Turunan pertama dari entri
berikut
[
=
′
′
′
′
′
′
+
+
=[
+[
=[
+[
+
+
+
+
+
+
[
′
′
ℎ
+
+
+
+
]
′
+ lg
+
+
]+[
+
+
+
][
][
!
+
!
!
+
+
]
ℎ+
+ ℎ
+ ℎ
+ ℎ
+
+
!
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ℎ +
!
!
dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai
+
]+[
ℎ
!
+
!
+
+ ℎ
+
]
+
!
+
+
!
+
+ ℎ
+
+
+
ℎ
+
!
+
+
+
+
+
+
+
+ ℎ
!
+ ℎ
!
+ ℎ
+
+
+
!
]
+
+
+
!
+
+
+ ℎ
+ + ℎ
+ℎ + ℎ
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ℎ +
+
]
+
!
+
!
!
+
+
]
21
][
=[
ℎ
+
+
+
+
+ℎ +
+[
=[
][
[
= {[
′
!
]+[
= {� +
+
= {� +
+
=
ℎ
+
]+[
=
ℎ
+
+ ℎ
+ + ℎ
+ℎ + ℎ
ℎ
]
ℎ
]+[
!
+
+
+
+
+ℎ +
][
][
+
!
!
+
][
ℎ
]
ℎ
]
ℎ
] +[
ℎ
ℎ
…}
]
ℎ
][
] +[
ℎ
!
][
ℎ
}[
.
=
[
−
[
�
+
�
−
=
−
�
�
~
~
�
�
�
+
�
�
−�
]
ℎ
…}
Terbukti ∎
Lampiran 3 Pencarian vektor eigen pada MSUM
]
[
−
| ]=
−
�
+
�
�
�
~
~
−
�
Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh
�
�
[
][ ] = [ ]
�
−
�
+
−
�
+
�
| ].
�
�
− | ]
22
=
�
dan −
=
Untuk
�
+
�
−
[
[
�
−
+
�
−
�
+
= .
akan diperoleh vektor eigen [ ].
�
= −
�
+
�
�
+
�
�
�
�
�
−
�
�
][ ] = [ ]
�
~
| ]=
�
( � )[
�
�
−
�
+
�
−
�
−
Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh
=
atau
, dan −
=
�
=
dan
�
�
= −
Untuk
�
+
�
= −
[
+
−
=[
=
�
−
�
+�
�
�
�
−�
�
+
=
.
�
�
�
+
−
~
~
�
�
�
( �
� )
�
+�
�
+
+
[
�
�
�
�
−
,
= .
�
�
+
�
+
�
+
Dari bentuk terakhir matriks diatas diperoleh
=
�
diperoleh vektor eigen [
�
�
�
�
�
+�
�
−�
�
].
][ ] = [ ]
�
�
�
+
+
�
�
| ]
�
�
| ]
�
�
| ]
23
Untuk
= −
�
+
�
akan diperoleh vektor eigen [ ].
Dari tiga vektor eigen d iatas maka dapat dibentuk matriks
�=
�
[
+
�
�
−
�
.
]
Lampiran 4 Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45
tahun bertahan hidup pada umur (45+t) tahun
clear;clc;
it=input('masukkan iterasi jika dilihat dari umur 45 dengan pertambahan umur
sebesar 1 dianggap sebagai satu iterasi\n');
P=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];
for i=1:it,
fprintf('________________\n');
fprintf('Untuk Selang ke %d\n',i);
fprintf('________________\n');
m12(i)=input('Masukkan nilai miuw12;');
m13(i)=input('Masukkan nilai miuw13;');
m23(i)=input('Masukkan nilai miuw23;');
a(i)=m12(i)/(m12(i)+m13(i)-m23(i));
A=[1 a(i) 1;1 1 0;1 0 0]
B=inv(A)
D=[1 0 0;0 exp(-m23(i)) 0;0 0 exp(-(m12(i)+m13(i)))]
P=P*A*D*B
p13=P(1,3)
surv13=1-p13
sprintf('%0.7f', surv13)
end
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 24 Desember 1987 sebagai anak
kedua dari pasangan Hardi Damsir dan (almh) Nurhayati. Tahun 2006 penulis lulus
dari SMA Negeri 2 Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk
Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru
(SPMB) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam pada tahun kedua perkuliahan.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Analisis
Numerik Program S1 Matematika pada semester ganjil tahun ajaran 2009/2010.
Penulis juga aktif berorganisasi sebagai staf Badan Pengawas Gumatika dan staf
Infokom BEM-G FMIPA pada tahun 2008 serta DPM FMIPA dan MPM KM IPB
pada 2009.
ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE
MATRIKS FORCE OF TRANSITION
FAIZAL HARDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Peluang
Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of
Transition adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2013
Faizal Hardi
NIM G54062175
ABSTRAK
FAIZAL HARDI. Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality
Menggunakan Metode Matriks Force of Transition. Dibimbing oleh BERLIAN
SETIAWATY dan MUHAMMAD ILYAS.
Model select ultimate mortality adalah suatu model tiga state pada bidang
aktuaria. Model ini diasumsikan memiliki sifat Markov yang dicirikan oleh adanya
matriks peluang transisi. Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode
penentuan peluang transisi, yaitu metode force of transition. Dalam metode ini,
penentuan peluang transisi menggunakan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
segi dengan entri berupa force of transition. Hasil yang diperoleh menunjukkan
metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada data penduduk negara
Kanada tahun 1982-1988 yang diperoleh dari Individual Ordianary Mortality Table
mempunyai nilai peluang bertahan hidup yang hampir mendekati nilai dari
Individual Ordianary Mortality Table, dengan mean galat absolut sebesar 0,18%.
Kata kunci: rantai Markov, peluang transisi, matriks force of transition
ABSTRACT
FAIZAL HARDI. Determination of Transition Probability of Select Ultimate
Mortality Model Using the Force of Transition Matrix Method. Supervised by
BERLIAN SETIAWATY and MUHAMMAD ILYAS.
Select Ultimate Mortality Model is a three states model in actuary. This model
assume that it holds Markov properties which are characterized by transition
probability matrix. This paper discusses a method to determine the transition
probability, i.e. the force of transition matrix method. In this method, the probability
of transition is determined by using eigenvalues and eigenvectors from a square
matrix with the force of transitions as entry points. The force of transition matrix
method is applied to data of Canadian population in 1982-1988 which is obtained
from Individual Ordinary Mortality Table. This gives result that the value of
survival probability is close to the value of Individual Ordianary Mortality Table
with the absolute deviation mean 0,18%.
Keywords: Markov chain, transition probability, force of transition matrix
PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT
ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE
MATRIKS FORCE OF TRANSITION
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality
Menggunakan Metode Matriks Force of Transition
Nama
: Faizal Hardi
NIM
: G54062175
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Pembimbing I
Muhammad Ilyas, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Di sini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada orang tua
dan kakak satu-satunya atas dukungan yang telah diberikan. Penulis juga ingin
menyampaikan terima kasih kepada pembimbing, yaitu Ibu Dr. Dra. Berlian
Setiawaty, M.S. dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi. yang telah bersabar membantu
dalam penulisan skripsi ini hingga selesai. Ucapan terima kasih juga penulis
sampaikan untuk para penguji, yaitu Bapak Prof. Dr. Ir I Wayan Mangku, MSc.
atas kritik dan saran untuk pengerjaan karya ilmiah ini.
Penulis ingin menyampaikan terima kasih secara khusus kepada Laras, Dede,
Andrew, Irawan, Antoni, Erri, Yogi, Miftah dan Bayu atas berbagai bantuan dalam
pengerjaan skripsi ini. Secara umum penulis juga ingin berterima kasih kepada
teman-teman yang rasanya tidak mungkin penulis sebutkan seluruhnya.
Terakhir rasa terima kasih penulis ucapkan kepada para dosen dan para
pegawai Departemen Matematika, khususnya kepada Bu Ida dan Bu Susi.
Penulis berharap karya ilmiah ini dapat memberi manfaat kepada pihak lain
dan dapat dikembangkan lebih baik dari ini.
Terakhir, penulis pun selalu berharap Allah ta’ala membalas dengan
kebaikan bagi kita semua.
Bogor, Oktober 2013
Faizal Hardi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
I PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
II TINJAUAN PUSTAKA
2
Ruang Contoh, Kejadian Acak dan Peluang
2
Peubah Acak
2
Proses Stokastik dan Rantai Markov
3
Aljabar Linear
5
III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY
6
IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION
7
V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION PADA MODEL
SELECT ULTIMATE MORTALITY
9
SIMPULAN DAN SARAN
13
Simpulan
13
Saran
13
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
15
RIWAYAT HIDUP
24
DAFTAR TABEL
Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang
berumur 45-70 tahun berdasarkan IOMT
Peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur (45+)tahun
berdasarkan IOMT
Perbandingan peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur
+ t tahun
9
10
12
DAFTAR GAMBAR
Model Select Ultimate Mortality
6
DAFTAR LAMPIRAN
Pembuktian Lema 2.1
Pembuktian Persamaan (3)
Pencarian vektor eigen pada MSUM
Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45 tahun
bertahan hidup pada umur
+ tahun
15
15
21
23
I PENDAHULUAN
Latar Belakang
Beberapa masalah dalam kehidupan dapat ditampilkan dalam proses multi
state. Suatu waktu individu dapat berada pada suatu state, misalkan sehat, sakit,
atau meninggal. Keadaan individu di suatu state atau perpindahan dari satu state ke
state lainnya mungkin berdampak pada berbagai hal, misalnya berdampak pada
keuangan individu tersebut.
Model select ultimate mortality ialah suatu model pada bidang aktuaria yang
terdiri dari tiga state, yaitu state select, state ultimate dan state dead. Model ini
diasumsikan memiliki sifat Markov, yaitu peluang state yang akan datang jika
diketahui peluang state saat ini dan state lampau, maka hanya bergantung kepada
peluang state saat ini. Sifat Markov dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi.
Force of transition adalah laju peluang perubahan sesaat dari satu state ke
state lainnya. Dari force of transition ini bisa diketahui peluang transisi perpindahan
antar state, misalnya peluang meninggal ataupun peluang bertahan hidup seseorang.
Penghitungan peluang transisi dengan force of transition ini bisa dilakukan
dengan berbagai metode, misalnya menggunakan persamaan Kolmogorov maju
ataupun Kolmogorov mundur yang dipaparkan oleh Keyfitz dan Rogers (1982),
tetapi metode ini rumit, karena melibatkan pengintegralan yang sukar untuk
dilakukan secara analitik.
Karya ilmiah ini membahas metode alternatif untuk menentukan peluang
transisi dengan metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada model
select ultimate mortality. Penggunaan metode matriks force of transition bertujuan
untuk menghindari perhitungan yang melibatkan pengintegralan, sehingga lebih
mudah untuk diselesaikan secara analitik.
Pada metode matriks force of transition, penentuan peluang transisi diganti
dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks segi dengan entri
berupa force of transition.
Dari peluang transisi, peluang bertahan hidup dengan metode matriks force
of transiton dihitung. Lalu hasil perhitungan tersebut dibandingkan dengan peluang
hidup yang didapat dari Individual Ordinary Mortality Table, dengan tujuan
memeriksa seberapa akurat metode matriks force of transiton tersebut.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari Jones (1994) yang berjudul
“Actuarial Calculations Using a Markov Model”.
Tujuan
1
2
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
Menjelaskan metode untuk mencari peluang transisi dengan menggunakan
metode matriks force of transition.
Mengaplikasikan metode matriks force of transition pada model select ultimate
mortality.
2
3 Membandingkan nilai peluang bertahan hidup yang diperoleh dari Individual
Ordinary Mortality Table dengan nilai yang diperoleh menggunakan metode
matriks force of transition.
II TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah-masalah pada karya ilmiah ini diperlukan
pengetian beberapa konsep berikut
Ruang Contoh, Kejadian Acak, dan Peluang
Definisi 2.1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi
hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan
semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 2.2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian � adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.3 (Medan-σ)
Koleksi Ƒ dari himpunan bagian Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat:
1. ∅ ∈ Ƒ.
2. Jika � , � , … ∈ Ƒ maka ⋃∞= � ∈ Ƒ.
3. Jika � ∈ Ƒ, maka � ∈ Ƒ.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.4 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang P pada Ω, Ƒ merupakan fungsi : Ƒ → [ , ] yang memenuhi:
1.
∅ = , Ω =
2. Bersifat aditif tak hingga yaitu jika � , � , … ∈ Ƒ dengan � ∩ � = ∅, ≠
∞
, maka ⋃∞
�� .
�= �� = ∑�=
Pasangan Ω, Ƒ, disebut ruang peluang.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peubah Acak
Definisi 2.5 (Peubah Acak)
Misalkan Ƒ adalah medan-� dari ruang contoh Ω. Peubah acak � merupakan fungsi
�: Ω → � di mana { ∈ Ω: �
} ∈ Ƒ untuk setiap ∈ �.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
3
Definisi 2.6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak � dikatakan diskret jika himpunan semua nilai dari peubah acak
tersebut merupakan himpunan diskret berhingga atau terhitung.
(Hoog et al. 2005)
Proses Stokastik dan Rantai Markov
Definisi 2.7 (Ruang State)
Misal ⊂ � merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka disebut
ruang state.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.8 (Proses Stokastik)
Proses Stokastik � = {� , ∈ } adalah suatu koleksi peubah acak, untuk ∈
dengan � adalah peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
ruang state S. Suatu proses stokastik � disebut proses stokastik dengan waktu
diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah. Disebut proses stokastik
dengan waktu kontinu jika T adalah sebuah interval.
(Ross 1996)
Definisi 2.9 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)
Proses stokastik {�� , = , , , . . } dengan ruang state { , , . . , } disebut rantai
Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap
∈ { , , , . . , } berlaku
��+ = |�� = , ��− = �− , … , � = , � = .
= ��+ = |�� = .
(Ross 1996)
Definisi 2.10 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret Homogen)
Rantai Markov dengan waktu diskret �� disebut homogen jika
��+ = |�� = = � = |� = =
untuk semua n dan , ∈ { , , … , }.
(Ross 1996)
Definisi 2.11 (Matriks Peluang Transisi)
Misal {�� , = , , , . } adalah rantai Markov dengan waktu diskret. Nilai dari
peluang transisi
menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada
state i maka berikutnya akan beralih ke state j. Matriks peluang transisi dapat
dituliskan dalam bentuk matriks P, yaitu
…
�
⋱
�=(
).
� …
��
(Ross 1996)
Definisi 2.12 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {� ,
} dengan ruang state diskret
disebut suatu rantai Markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap , >
, , ∈ { , , … } dan
< berlaku
4
� + = |� = , � = ,
= � + = |� = .
(Ross 1996)
Definisi 2.13 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu Homogen)
Rantai Markov dengan waktu kontinu {� ,
} disebut homogen jika peluang
transisi � + = |� = adalah bebas terhadap nilai > , sehingga dapat
ditulis sebagai � + = |� = = .
(Ross 1996)
Definisi 2.14 (Force of Transition)
Misal {� } rantai Markov dengan ruang state { , , , … , }. Force of transition
dari state ke state didefinisikan sebagai berikut
= lim+
ℎ→
�
, +ℎ − �
ℎ
,
, ∈ { , , … , }.
(Jones 1994)
Teorema 2.1 (Sifat Peluang Transisi)
s, s + t = � + = |� = , menyatakan peluang transisi
Didefinisikan
suatu individu berada di state pada waktu + dengan diketahui individu
s, s + t adalah:
tersebut berada di state i pada waktu s. Sifat-sifat dari
a)
, +
untuk ,
�
, + = , untuk , = , , … , dan ,
b) ∑ =
, +
+ , + + , untuk
, + +
= ∑�=
c)
, ,
, =
, + ={
untuk ,
.
d) lim+
→
, ≠
Sifat c) juga dikenal dengan nama Persamaan Chapman-Kolmogorov. Jika
menunjukkan matriks dengan elemen
, sifat (c) dapat ditulis dalam bentuk
matriks sebagai
, + +
=
, +
+ , + + .
(Taylor dan Karlin 1998)
Teorema 2.2 (Persamaan Kolmogorov Maju)
Pada persamaan Kolmogorov maju, laju peluang transisi di waktu yang akan datang
memiliki hubungan sebagai jumlah perkalian peluang transisi dengan rate dari
peluang transisi sesaat (force of transition saat waktu mendatang). Dalam hal ini
peluang transisi
, + didiferensialkan terhadap waktu mendatang + ,
dan hubungan diferensial ini diberikan sebagai berikut
, +
�
= ∑
=
, +
Lema 2.1 (Sifat Force of transition)
∑�=
= , untuk = , , …
Bukti: Lampiran 1.
+
dan
.
(Jones 1994)
.
5
Aljabar Linear
Definisi 2.14 (Ruang Vektor Euclid �� )
Ruang Vektor Euclid �� adalah himpunan semua vektor yang berorde ×
dengan elemen-elemennya berupa bilangan real.
(Leon 1998)
Definisi 2.15 (Bebas Linear)
Vektor-vektor , , � dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
+
+ + � �=
mengakibatkan semua skalar-skalar , , … , � bernilai 0.
(Leon 1998)
Definisi 2.16 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)
Misalkan A adalah suatu matriks × . Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen
atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x sehingga � = λ .
Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigen λ.
(Leon 1998)
Definisi 2.17 (Diagonalisasi)
Suatu Matriks berorde × dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks Χ
taksingular dan suatu matriks diagonal � sedemikian sehingga
�− �� = �.
Dikatakan bahwa � mendiagonalisasi �.
(Leon 1998)
Definisi 2.18 (Deret Taylor)
Deret Taylor untuk fungsi
di sekitar
∞
=∑
�=
�
!
=
didefinisikan sebagai
−
�
.
Definisi 2.19 (Eksponensial Matriks Segi)
Eksponensial matriks segi ( � didefinisikan sebagai
∞
�
�
�
�
= �+�+
+
+ =∑ .
!
!
!
Analog dengan deret Taylor dari fungsi skalar
�
.
=
(Stewart 2003)
(Leon 1998)
Teorema 2.3
Suatu matriks � berukuran × dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika �
mempunyai vektor eigen yang bebas liniear.
(Leon 1998)
6
III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY
Pada tugas akhir ini dibahas model aktuaria yang melibatkan tiga state, yaitu
model select ultimate mortality (MSUM). State pertama adalah state select, yaitu
state penyeleksian kesehatan suatu individu yang memenuhi syarat secara medis
agar dapat menjadi tanggungan pihak asuransi dan merupakan state yang pertama
kali dikunjungi. State kedua adalah state ultimate, yaitu state di mana individu telah
mengikuti asuransi hingga individu tersebut meninggal. Ketiga adalah state dead
yaitu state dimana individu dalam keadaan meninggal. Perpindahan state
ditunjukkan pada Gambar 1 di bawah ini.
2. Ultimate
1. Select
3. Dead
Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality
Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality
Tiga transisi yang mungkin terjadi dalam model tersebut, yakni dari state 1
ke state 2, dari state 1 ke state 3, dan dari state 2 ke state 3. Matriks transisi yang
terlibat pada Gambar 1 memiliki bentuk seperti berikut:
=
, = pada matriks di atas karena pada model
Untuk < , nilai
, =
tersebut, state ultimate tidak mungkin pindah ke state select. Nilai
, = , karena suatu individu yang telah mengalami kematian (berada di
state 3) tidak mungkin hidup kembali (berada di state 1 atau state 2). Nilai
, = , pada kondisi ini individu yang meninggal di suatu waktu, di masa
mendatang individu tersebut pasti tetap berada pada state meninggal tersebut.
Pada
tugas
akhir
ini
dicari
peluang
transisi
dari
,
dan peluang bertahan hidup
, ,
, ,
, ,
, ,
, yang memenuhi:
, +
∑
,
=
∑
,
=
�=
, ,
,
�=
,
,
,
,
,
,
> .
7
Ada beberapa metode untuk menghitung peluang transisi tersebut, salah
satunya menggunakan persamaan Kolmogorov maju ataupun Kolmogorov mundur.
Akan tetapi, jika persamaan tersebut digunakan, perhitungan peluang transisi akan
melibatkan integral yang akan sukar untuk dicari. Oleh karena itu, pada tugas akhir
ini dibahas metode matriks force of transition sebagai salah satu metode alternatif
untuk mencari peluang transisi.
IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION
=
dengan
adalah konstanta untuk semua nilai
,
Jika nilai
maka force of transition dikatakan bernilai konstan. Rantai Markov yang
berhubungan dengan nilai ini adalah rantai Markov homogen. Jika berlaku rantai
Markov waktu homogen, maka fungsi
, + bernilai sama untuk semua
, sehingga notasi
, + bisa ditulis sebagai
.
Misal
adalah matriks ukuran × dengan elemen-elemen
sebagai berikut
Definisikan
berikut
dan ′
berikut
[
adalah matriks berukuran
[
adalah matriks berukuran
[
′
′
′
′
′
′
×
…
].
⋱
…
× dengan elemen-elemen
…
]
⋱
…
dengan elemen-elemen
′
⋱
′
′
]
′
sebagai
sebagai
Persamaan Chapman-Kolmogorov pada Teorema 2.1 dapat ditulis
, + +
=
, +
+ , + + .
(1)
Rantai Markov yang digunakan adalah rantai Markov homogen, oleh karena itu
persamaan (1) berubah menjadi
+
=
.
Berdasarkan persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks, maka dapat
ditulis
′
=
.
(2)
Dengan nilai awal
= �, persamaan (2) mempunyai solusi
=
.
(3)
Bukti: Lampiran 2.
8
Dari persamaan (3), berdasarkan Definisi 2.21 diperoleh solusi berupa matriks
eksponensial
= +
+ ! +
…
(4)
!
Metode pencarian matriks peluang transisi yang dibahas dalam karya ilmiah
ini membutuhkan nilai-nilai eigen yang berbeda pada matriks Q. Hal ini bertujuan
agar matriks Q dapat didiagonalkan. Jika Q mempunyai nilai-nilai eigen berbeda
, ,..,
maka matriks Q bisa dibentuk sebagai = ���− dimana � =
diag , , . . ) dan kolom ke i dari A adalah vektor eigen yang berhubungan
dengan nilai eigen . Sehingga dari persamaan (4) bisa diperoleh
= �+
+
!
+
+
!
���−
���−
= � + ���
+
+
+
!
!
−
−
−
−
��� ��� ���−
��� ���
+
= � + ���− +
!
!
−
−
�
�
�
�
= � + ���− +
+
+
!
!
−
−
� �
� �
+
+. . . ]
= � [�− + ��− +
!
!
−
Diketahui � = [
= � [� + � +
�
…
⋱
…
!
+
�
!
], maka
] �− .
+
…
⋱
…
� =��= [
+
…
⋱
…
][
(5)
]
…
.
⋱
[
]
…
Secara umum untuk � , � dan seterusnya, maka diperoleh bentuk
=
�
�
…
.
⋱
�
[
]
…
Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke (5), maka diperoleh:
�� =
=�
+
[
+
!
+
!
+. .
+
+
!
+
!
+
⋱
…
+
(6)
…
+
!
+
!
+]
�−
9
…
⋱
…
= �[
] �−
= ��� �− .
(7)
Elemen-elemen matriks
pada persamaan (7) yaitu
= ∑�= � � � ,
(8)
dengan adalah banyak state,
adalah entri (i,j) dari matriks A dan
adalah
−
entri (i,j) dari matriks � . Dengan demikian, permasalahan mencari fungsi
peluang transisi diganti dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
force of transition.
V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION
PADA MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY
Aplikasi dan contoh numerik dalam mencari peluang transisi dan peluang
bertahan hidup pada model select ultimate mortality (MSUM) dengan metode
matriks force of transition dibahas lebih lanjut dalam bab ini.
Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data dari penduduk
negara Kanada tahun 1982-1988 yang didapat dari Individual Ordinary Mortality
Table (IOMT), yaitu tabel mortalitas yang disusun oleh Commitee on Expected
Experience of the Canadian Institute of Actuaries.
Sampel yang digunakan adalah data force of transition pada populasi
penduduk pria berumur antara 45-70 tahun dan data peluang bertahan hidup untuk
populasi yang sama untuk umur 46-71 tahun.
Data force of transition dan data peluang bertahan hidup dapat dilihat pada
tabel di bawah ini.
Tabel 1 Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang
berumur 45-70 tahun berdasarkan IOMT
Umur x
�
�
�
Umur x
�
�
�
45
0.164
0.00097
0.00225
57
0.164
0.00282
0.00840
46
0.164
0.00107
0.00251
58
0.165
0.00304
0.00933
47
0.163
0.00117
0.00280
59
0.165
0.00329
0.01036
48
0.163
0.00128
0.00313
60
0.167
0.00352
0.01150
49
0.163
0.00140
0.00350
61
0.167
0.00380
0.01274
50
0.163
0.00154
0.00391
62
0.167
0.00410
0.01411
51
0.163
0.00168
0.00437
63
0.167
0.00442
0.01560
52
0.164
0.00183
0.00488
64
0.168
0.00472
0.01725
53
0.164
0.00201
0.00544
65
0.169
0.00503
0.01905
54
0.164
0.00218
0.00608
66
0.169
0.00540
0.02102
55
0.164
0.00238
0.00677
67
0.170
0.00574
0.02318
56
0.164
0.00259
0.00755
68
0.171
0.00609
0.02553
10
Umur x
69
.
�
.
�
.
�
Umur x
.
70
�
�
.
.
�
Tabel 2 Peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur
+ t tahun berdasarkan IOMT
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Peluang
0,99897
0,997522
0,995766
0,993675
0,99122
0,988366
0,985055
0,981223
0,976817
0.9717767
0,966014
0,959455
0,952019
t
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Matriks force of transition � untuk umur
model Gambar 1 pada halaman 6 yakni
�
=[
�
�
�
�
�
�
�
�
�
]=[
�
Peluang
0,943603
0,934111
0,923434
0,911743
0,89897
0,885053
0,869919
0,853504
0,835751
0,816604
0,796017
0,773952
0,750377
tertentu yang diperoleh dari
�
�
�
�
].
Nilai � = karena tidak ada perpindahan dari state 2 ke state 1. Sedangkan state
3 adalah state absorbsi sehingga menyebabkan nilai � = � = � = .
Berdasarkan Lema 2.1, maka matriks force of transition � di atas dapat diubah
menjadi
�
�
− � + �
�
� ].
=[
− �
Matriks peluang transisi untuk interval waktu tertentu di mana force of
transition bernilai konstan dalam tiap tahun dapat dihitung dengan mencari matriks
peluang transisi untuk tiap tahun yang menggunakan persamaan (7). Namun
sebelum peluang transisi dicari, diperlukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
force of transition � .
Cara mencari nilai eigen dan vektor eigen yang berhubungan dengan Tabel 1
adalah
11
|
�
−
+
�
|
�
− λ�| =
−λ
Persamaan karakteristiknya adalah
− � +
�
�
−
+λ λ
�
λ( � +λ
+
Nilai-nilai eigen dari persamaan di atas ialah
�
= , =−
,
Sehingga didapat matriks sebagai berikut
−
�=[
�� = [
�
−�
�
�
−λ
�
−λ
|= .
+λ =
�
+λ = .
�
=−
�
−
�
�
�
+�
.
]
�
+
− �
�
+
].
�
Perhitungan vektor eigen pada Lampiran 3, didapat matriks � �
�
�� =
�
�
+
−
�
[
Sehingga matriks peluang transisi dapat dicari dengan
�
= � � �� [� � ]−
][
=[
=[
�
−�
−
−�
�
−�
�
dengan keterangan:
=
�
+
= −(
=
=
�
�
�
�
+
− �
�
+
�
�
+�
�
−
�
�
−
�
−
�
�
−
)
− �
],
�
+�
�
][
.
]
− ]
12
=
=
�
−
+
�
�
− �
�
−
+�
−�
�
�
�
−
−
�
− �
�
�
+
�
+�
�
(
�
−
−�
�
−
− �
�
+�
�
).
Dari matriks pada persamann (9) maka didapat
=
=
=
=
=
=
− �
�
=
−�
�
�
�
�
+�
−
+�
�
�
�
−�
− �
�
�
+�
−�
�
�
�
−
−
�
�
− �
�
+�
�
�
�
+�
−�
�
−�
�
�
−
− �
= − −�
.
Sehingga didapat peluang bertahan hidup dari suatu individu yaitu
=
+
− �
�
+�
�
+
�
+
�
�
−
�
−�
�
−
− �
�
�
+�
+�
�
�
.
Berdasarkan persamaan (1), untuk force of transition umur yang diberikan
pada Tabel 1 maka dapat dicari matriks peluang transisi untuk mencari peluang
suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur
+ tahun,
∈ [ , ] dengan interval satu tahun yaitu
, + =
,
,
…
+ , +
+
.
…
=
Perhitungan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup
pada umur
+ tahun dihitung dengan metode matriks force of transition, hasil
perhitungan tersebut dibandingkan dengan Individual Ordinary Mortality Table
(IOMT). Hasil perbandingan dapat dilihat pada tabel di bawah ini
Tabel 3 Perbandingan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan
hidup pada umur
+ t tahun
t
IOMT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,99897
0,997522
0,995766
0,993675
0,99122
0,988366
0,985055
0,981223
0,976817
0,971777
0,966014
0,959455
Metode Matriks
Force of Transtiton
0,998931
0,997551
0,995841
0,993768
0,991296
0,988386
0,984998
0,981089
0,97661
0,971502
0,965721
0,959197
% Galat
Absolut
0,00388
0,002967
0,007542
0,009389
0,007667
0,002034
0,00577
0,01368
0,02124
0,02827
0,03034
0,02684
13
t
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Metode Matriks
Force of Transtiton
0,952019
0,951878
0,943603
0,94371
0,934111
0,934621
0,923434
0,924541
0,911743
0,91341
0,89897
0,901153
0,885053
0,887712
0,869919
0,873009
0,853504
0,856986
0,835751
0,839581
0,816604
0,820738
0,796017
0,800418
0,773952
0,778575
0,750377
0,755181
Mean
IOMT
% Galat
Absolut
0,01481
0,011287
0,054608
0,119922
0,182848
0,242856
0,300377
0,35524
0,408012
0,45833
0,506269
0,552802
0,597337
0,640225
0,18
Berdasarkan pengamatan pada Tabel 3, peluang bertahan hidup seorang individu
pria berumur 45 tahun setidaknya sampai umur 46 tahun berdasarkan IOMT adalah
0,99897 dan berdasarkan metode matriks force of transition adalah 0,998931
dengan galat sebesar 0,00388%. Demikian seterusnya sehingga didapat mean pada
galat absolut sebesar 0,18%. Dengan demikian, perhitungan peluang transisi dapat
dilakukan dengan metode matriks force of transition.
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Peluang transisi dan peluang bertahan hidup dapat dicari dengan menggunakan
metode matriks force of transition.
2. Peluang bertahan hidup individu pria yang dicari dengan metode matriks force
of transition hampir mendekati nilai peluang bertahan hidup dari Individual
Ordinary Mortality Table dengan mean galat absolut sebesar 0,18%.
Saran
Saran yang dapat diberikan yakni mencari peluang transisi dan peluang
bertahan hidup dari model Markov yang melibatkan lebih dari tiga state, misalnya
pada HIV-AIDS Progression Model.
14
DAFTAR PUSTAKA
Canadian Institute of Actuaries. 1992. 1982-1988 Individual Ordinary Mortality
Table. Transactions of Society of Actuaries 1991-92 Reports. 701-711.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Process. Third Ed.
Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Sixth Ed. New Jersey (US): Prentice Hall.
Jones BL. 1994. Actuarial Calculation Using a Markov Model. Transactions of
Society of Actuaries. 46:227-250.
Leon SJ. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardini
WB, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Linear Algebra
with Applications.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Second Ed. New York (US). Wiley.
Stewart J. 2003. Kalkulus. Jilid 2. Ed 4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Jakarta
(ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Calculus.
Taylor HM, Karlin S. 1998. An Introduction to Stochastic Modelling.
California(US): Academic Press.
15
Lampiran 1 Pembuktian Lema 2.1
Akan dibuktikan ∑�=
= 0 , untuk = , , …
Bukti:
∑�=
+
=
= lim
ℎ→
+ lim
ℎ→
= lim
ℎ→
= lim
ℎ→
+
, +ℎ −
ℎ
, +ℎ −
, +ℎ −
,
ℎ→
,
+
+
,
, +ℎ −
ℎ
, +ℎ +
−lim
+
,
,
,
+ lim
ℎ→
+
+
, +ℎ +
+
+
+
ℎ
, +ℎ −
ℎ
ℎ→
�
, +ℎ −
+
�
+
ℎ
,
+
ℎ
�
+ lim
ℎ
+
.
dan
,
, +ℎ −
ℎ
, +ℎ −
,
�
, +ℎ +
+
�
,
+
,
+…
�
+
�
,
, +ℎ
.
Berdasarkan sifat (d) pada Teorema 2.1, maka persaman terakhir di atas menjadi
∑�=
= lim
ℎ→
− + + + + +
ℎ
= .
Terbukti ∎
Lampiran 2 Pembuktian Persamaan (3)
Diketahui persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks
dengan nilai awal
= �.
Akan dibuktikan solusi dari persamaan tersebut adalah
Misal
′
=
=[
=[
],
][
ℎ
=[
]
ℎ
].
=
.
′
=
16
=[
=[
+
+
+
].
+
+
+
ℎ
ℎ
ℎ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Dari matriks di atas diperoleh
′
′
′
′
′
′
Turunan kedua dari
=
+
+
ℎ=
=
+
+
=
+
+
+
=
=
=
+
′
=
+
′′
=
′
′′
=
′
=
′
′′
=
=
=
′′
=
′
′′
=
′
=
′
=
′
′′
′′
=
=
=
=
ℎ=
= .
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
+ ℎ
+
+
+
+
=
+
+
+
ℎ=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
=
′
′
=
+
+
=
+
+ ℎ
+
ℎ
ℎ
+
+
+
]
17
=
′′
′′
=[
′′
′′
=[
=[
=
=
=
′
=
′′
′′
+
+
+ ℎ
+
+
′′
′′
′′
+
+
+
′
′
=
′′
′′
=
+
+
+
+
][
=
.
Dengan cara yang sama diperoleh
Bentuk deret Taylor untuk
=
= �+
=
Akan dibuktikan
′
′
+
′
+
′
.
×
+
+
+
�
=
=
= �, diperoleh
Berdasarkan nilai awal
Diketahui
+
+ ℎ
+ ℎ
+ ℎ
]
ℎ
′
]
′′
+
+
+
+
=
=
+
.
di =
′
+
!
×
+
+
+
�−
�
+
′′
!
+
�
]
.
=
=
adalah
+
ℎ
�
′′′
+
�
.
+
Terbukti ∎
dengan
.
=�+
+
!
+
!
+
18
=[
Misal
=
=[
=[
=
′
=
=
],
][
ℎ
=[
][
+
+
+
=[
=
+
+ ℎ
+ + ℎ
+ℎ + ℎ
=�+
+
+
+
+
[
]=[
!
+
+
+
+
+
]+[
ℎ
+
+
+
Dari persamaan matriks di atas didapat entri dari
=
=
=
=
+
+
+
+
+
!
!
+
+
!
!
+
+
+
+
+
+ ℎ
+
+
+
+ lg
!
!
+
+
+
+
+ℎ +
]=[
+ ℎ
+ ℎ
+ ℎ
+
+
+
].
+
+
+
].
+
!
+
+
+
+[
]
ℎ
].
ℎ
]
ℎ
+
+
+
+
+ℎ +
=[
+
+
!
!
+
+
] +[
+
+
+
+ ℎ
+ ℎ
+ ℎ
+
+
+
sebagai berikut
]
!
+
+
+
]
!
19
=
=
=
+
+
+
!
+
!
+
!
+
=ℎ +
=
+
!
+
+
+
+
!
+
+
′
′
′
′
′
=
=
=
=
+
+
+
+
= +
= +
=
=
=
=
=
+
+
!
+
!
+
+
+
+
+
!
+
+
+
!
+
+
!
!
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
!
+ ℎ
!
+
+ lg
+ lg
+ ℎ
+ ℎ
+
+
+
!
+
!
+
+
!
!
!
!
+ ℎ
+
!
+
+
+
+
+
+ ℎ
+
+
+
+
+
!
+
!
+
!
+
+
+
+ ℎ
+
+
Turunan pertama dari entri
′
+
!
+
+
!
!
!
+
+
+
20
=
′
=
=
′
+
+
+
!
+
+
=ℎ+
=ℎ+
′
+
= +
!
= +
+
!
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Turunan pertama dari entri
berikut
[
=
′
′
′
′
′
′
+
+
=[
+[
=[
+[
+
+
+
+
+
+
[
′
′
ℎ
+
+
+
+
]
′
+ lg
+
+
]+[
+
+
+
][
][
!
+
!
!
+
+
]
ℎ+
+ ℎ
+ ℎ
+ ℎ
+
+
!
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ℎ +
!
!
dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai
+
]+[
ℎ
!
+
!
+
+ ℎ
+
]
+
!
+
+
!
+
+ ℎ
+
+
+
ℎ
+
!
+
+
+
+
+
+
+
+ ℎ
!
+ ℎ
!
+ ℎ
+
+
+
!
]
+
+
+
!
+
+
+ ℎ
+ + ℎ
+ℎ + ℎ
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ℎ +
+
]
+
!
+
!
!
+
+
]
21
][
=[
ℎ
+
+
+
+
+ℎ +
+[
=[
][
[
= {[
′
!
]+[
= {� +
+
= {� +
+
=
ℎ
+
]+[
=
ℎ
+
+ ℎ
+ + ℎ
+ℎ + ℎ
ℎ
]
ℎ
]+[
!
+
+
+
+
+ℎ +
][
][
+
!
!
+
][
ℎ
]
ℎ
]
ℎ
] +[
ℎ
ℎ
…}
]
ℎ
][
] +[
ℎ
!
][
ℎ
}[
.
=
[
−
[
�
+
�
−
=
−
�
�
~
~
�
�
�
+
�
�
−�
]
ℎ
…}
Terbukti ∎
Lampiran 3 Pencarian vektor eigen pada MSUM
]
[
−
| ]=
−
�
+
�
�
�
~
~
−
�
Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh
�
�
[
][ ] = [ ]
�
−
�
+
−
�
+
�
| ].
�
�
− | ]
22
=
�
dan −
=
Untuk
�
+
�
−
[
[
�
−
+
�
−
�
+
= .
akan diperoleh vektor eigen [ ].
�
= −
�
+
�
�
+
�
�
�
�
�
−
�
�
][ ] = [ ]
�
~
| ]=
�
( � )[
�
�
−
�
+
�
−
�
−
Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh
=
atau
, dan −
=
�
=
dan
�
�
= −
Untuk
�
+
�
= −
[
+
−
=[
=
�
−
�
+�
�
�
�
−�
�
+
=
.
�
�
�
+
−
~
~
�
�
�
( �
� )
�
+�
�
+
+
[
�
�
�
�
−
,
= .
�
�
+
�
+
�
+
Dari bentuk terakhir matriks diatas diperoleh
=
�
diperoleh vektor eigen [
�
�
�
�
�
+�
�
−�
�
].
][ ] = [ ]
�
�
�
+
+
�
�
| ]
�
�
| ]
�
�
| ]
23
Untuk
= −
�
+
�
akan diperoleh vektor eigen [ ].
Dari tiga vektor eigen d iatas maka dapat dibentuk matriks
�=
�
[
+
�
�
−
�
.
]
Lampiran 4 Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45
tahun bertahan hidup pada umur (45+t) tahun
clear;clc;
it=input('masukkan iterasi jika dilihat dari umur 45 dengan pertambahan umur
sebesar 1 dianggap sebagai satu iterasi\n');
P=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];
for i=1:it,
fprintf('________________\n');
fprintf('Untuk Selang ke %d\n',i);
fprintf('________________\n');
m12(i)=input('Masukkan nilai miuw12;');
m13(i)=input('Masukkan nilai miuw13;');
m23(i)=input('Masukkan nilai miuw23;');
a(i)=m12(i)/(m12(i)+m13(i)-m23(i));
A=[1 a(i) 1;1 1 0;1 0 0]
B=inv(A)
D=[1 0 0;0 exp(-m23(i)) 0;0 0 exp(-(m12(i)+m13(i)))]
P=P*A*D*B
p13=P(1,3)
surv13=1-p13
sprintf('%0.7f', surv13)
end
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 24 Desember 1987 sebagai anak
kedua dari pasangan Hardi Damsir dan (almh) Nurhayati. Tahun 2006 penulis lulus
dari SMA Negeri 2 Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk
Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru
(SPMB) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam pada tahun kedua perkuliahan.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Analisis
Numerik Program S1 Matematika pada semester ganjil tahun ajaran 2009/2010.
Penulis juga aktif berorganisasi sebagai staf Badan Pengawas Gumatika dan staf
Infokom BEM-G FMIPA pada tahun 2008 serta DPM FMIPA dan MPM KM IPB
pada 2009.